SKKN vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải một số bài tập

A ĐẶT VẪN ĐỀ: I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Số học ngành lâu đời đầy hấp dẫn toán học, toán số học làm say mê nhiều người, từ nhà toán học lỗi lạc thời đại đến đông đảo bạn yêu toán Thế giới số, quan trọng với sống hàng ngày, giới kỳ lạ, đầy bí ẩn Lồi người phát tính chất hay, nhiều quy luật đẹp có bất ngờ, đồng thời chịu bó tay trước nhiều kiện, nhiều dự đoán Điều lý thú nhiều mệnh đề khó số học phát biểu đơn giản, hiểu được; tốn khó giải sáng tạo với kiến thức số học phổ thơng Chính lẽ môn số học học 6-7 năm đầu trường phổ thông, tốn số học ln có mặt đề thi học sinh giỏi tất cấp học, chẳng hạn tính chất chia hết tổng Chỉ với lượng kiến thức nhỏ chìa khóa để giải nhiều dạng tập người học nắm vững kiến thức biết vận dụng sáng tạo, lôgic, nhằm phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh,đặc biệt việc bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh lớp việc giải toán chương trình THCS Vì tơi chọn đề tài: “Vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải số tập” II NhiƯm vơ cđa đề tài: Trong khuôn khổ đề tài thân trình bày Vn dng tớnh cht chia ht tổng vào giải số tập” III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Đối tượng khảo sát: hc sinh lp IV PHNG pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực hành - Đúc rút phần kinh nghiệm qua đồng nghiệpvà thân dạy tính chất chia hết tổng B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Năng lực tư lô gic em học sinh lớp chưa phát triển cao, việc vận dụng lý thuyết kiến thức linh hoạt, sáng tạo vào giải tập cụ thể với em khó Do hướng dẫn em hiểu biết vận dụng kiến thức cần thiết Qua giảng dạy tơi thấy, Tính chất chia hết tổng mặt lý thuyết đơn giản, dễ hiểu vận dụng để giải nhiều tập đồng thời rèn luyện tính tư sáng tạo cho học sinh Muốn vận dụng kiến thức vào giải tập trước hết phải nắm vững kiến thức I Kiến thức Định nghĩa Cho số tự nhiên a b b  o, có số tự nhiên x cho b.x= a ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a:b = x Khi đó: a bội b, b ước a Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích a Kiến thức bản: Với a, b, m  N, m, n 0 Tính chất 1: a m, b m  (a + b) m; (a - b) m (a b) Tính chất 2: a m, b m  (a + b) m; (a - b) m (a b) Tính chất 3: a m  k.a m (k N) Tính chất : a m, b n  a.b m.n b Kiến thức nâng cao: Với a, b, c, m, n, k1, k2 N, m, n 0 Tính chất tổng có nhiều số hạng a m, b m  (k1.a + k2.b) m a m, b m, a + b+ c m  c m a m, b m, a + b + c m  c m a b � an bn II Hướng dẫn học sinh vận dụng vào giải số tập Với kiến thức chìa khóa để giải nhiều tập Dưới xin đưa hệ thống số tập từ dễ đến khó áp dụng kiến thức để giải Bài tập 1: Chứng minh rằng:Với số tự nhiên n 60n + 45 chia hết cho 15, không chia hết cho 30 Hướng dẫn giải: Theo tính chất chia hết tổng, tính chất : a m, b m  (a + b) m - Để chứng minh 60n+45 15 ta chứng minh 60n 15 45 15 Thật vậy: 60n 15(n  N )   60n  4515 45 15  - Để chứng minh 60n + 45 30 Theo tính chất 2: a m, b m  (a + b) m Ta thấy: 60n 30(n  N )   60n  4530 4530  Bài tập 2: Cho a - b chia hÕt cho Chøng minh c¸c biĨu thøc sau chia hÕt cho a) a + 5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b Hướng dẫn giải: a) Ta cã : a + 5b = a + 6b - b = ( a - b) + 6b  ( v× (a - b)  vµ 6b  6) b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  c) a - 13b = ( a - b) - 12b [ (a - b) 18b6] [ v× ( a - b )  12b 6] Bi 3: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có chữ số tạo số Chứng minh tổng tất số chia hết 211 Hng dn gii: tất số có chữ số tạo chữ số 0, a, b là: a0b; ab0; ba 0; b0a Tổng số là: a 0b ab0 ba  b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hÕt cho 211 Bi 4: a) Tìm tất số x,y ®Ó sè 34 x5 y chia hÕt cho 36 b) Tìm chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, ,5 Hướng dẫn giải: V× (4;9) = nªn 34 x5 y chia hÕt cho 36  34 x5 y chia hÕt cho vµ 34 x5 y chia hÕt cho Ta cã: 34 x5 y chia hÕt cho  5y chia hÕt cho  y 2;6 34 x5 y chia hÕt cho  ( + 4+ x + + y) chia hÕt cho  (12 + x + y) chia hết cho Vì x,y chữ số nên x+ y 6;15 Nếu y = x = x = 13 > (loại) Nếu y = x = x = Vậy số phải tìm lµ: 34452; 34056; 34956 b) Ta cã : 21xy  ó y  0;5 NÕu y = th× 21xy kh«ng chia hÕt cho NÕu y = th× 21xy chia hÕt cho ó x0  4 x  0; 2; ; ; 8 (1) 21x0  ó (2 + + x + 0)  ó (3 + x)  x 0; 3; 6; ( 2) Kết hợp (1) ( 2)  x  0; 6 VËy c¸c sè cần tìm là: 2100 ; 2160 Bi 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hÕt cho 15 víi  a, b số tự nhiên Hng dn gii: Vì 1980 nên 1980.a với a Vì 1995 nên 1995.b với  b Nªn (1980a + 1995b)  Chøng minh tương tù ta cã: (1980a + 1995b)  víi  a, b mµ (3,5) =  (1980 a + 1995b)  15 Bài tập 6: Chøng minh r»ng nÕu ( 6x + 11y ) chia hÕt cho 31 th× ( x + 7y) chia hÕt cho 31 víi số tự nhiên x, y Hng dn gii: Vì ( 6x + 11y)  31 nªn ( 6x + 11y + 31y )  31  ( 6x + 42 y)  31  ( x + 7y )  31 mµ ( 6, 31 ) =  ( x + 7y )  31 ( ®pcm) Bài tập 7: Cho B = 23! + 19! - 15! Chứng minh rằng: a B 11 b, B 110 Hướng dẫn giải: Tương tự tập vận dụng tc1 mở rộng cho tổng có nhiều số hạng , Ta chứng minh số hạng B chia hết cho 11 n! = 1.2.3…n B = 23! + 19! - 15! =1.2.3.4….10.11…13 + 1.2.3……10.11……19 - 1.2….10.11…15 a Ta thấy: Mỗi số hạng B có thừa số 11 11 nên B 11 b, Mỗi số hạng B có thừa số 10.11=110 110 nên B 110 Bài tập 8: Cho C = + + 32 + 32 +….+ 311 Chứng minh rằng: a C 13 b, C 40 Hướng dẫn giải: Ta thấy mổi hạng tử C 13 ta nhóm số hạng đầu C có tổng 13 13 + + 32 = 13 13 Mặt khác ta thấy C có 12 số hạng (12 3) Vậy ta cử nhóm số học tiên tiếp với nhau, nhóm 13 C = (1 + + 32) + (33 + 34+ 35)+(36 + 37 + 38)+(39 + 310+ 311) = (1 + 3+ 32) + 32(1 + + 32) + 36(1 + + 32) + 39(1 + + 32)  C 13 b Tương tự câu a Ta thấy + + 32 + 33 = 40 4 Và 12  C = + + 32 + 33 +….+ 311 = (1 + + 32 + 33) + … + (38 + 39 + 310 + 311) = (1 + + 32) + 34(1 + + 32 + 33) + 38(1 + + 32 + 33)  C 40 Bài tập 9: a) Cho A = + 22 + 23 + + 260 Chứng minh : A3; A7; A15 b) Cho B = + 33 + 35 + + 31991 Chøng minh r»ng : B chia hÕt cho 13 vµ B chia hÕt cho 41 Hướng dẫn giải: *A = + 22 + 23 + + 260 = ( + 22) + ( 23 + 24) + + (259 + 260) = = 2( + 2) + 23 ( + 2) + + 259 (1 + 2) = 2.3 + 23 + + 259 = = 3.(2 + 23 + + 259) chia hÕt cho *A= (2 + 22+ 23) + (24 + 25 + 26) + + (258 + 259 + 260) = 2.(1 + + 4) + 4( + + 4) + + 58( + + 4) = 2.7 + 24.7 + + 258.7 = 7( + 24 + + 258)  *A= (2 + 22+ 23 + 24) + + (257 + 258 + 259 + 260) = 2(1 + + + 8) + + 57( + + + 8) = 15( + 25 + + 257) 15 VËy A 3, A  vµ A  15 b) B = + 33 + 35 + + 31991 = ( + 33 + 35) + ( 37 + 39+ 311) + + ( 31987+ 31989 + 31991) = 3( + 32 + 34) + 37( 1+ 32+ 34) + + 31987(1+ 32+ 34) = 91 + 37.91 + + 31987.91 = 91( + 37 + + 31987)  13 ( v× 91  13) B = ( + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + + ( 31985 + 31987 + 31989+ 31991) = 3( + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + + 31985(1 + 32 + 34 + 36) = 820 + 39 820 + + 31985.820 = 820( + 39 + + 31985)  41 ( v× 820  41) Bài tập 10: Tìm số tự nhiên n để: n + n + Hướng dẫn giải: ta có : a b  a - b b 10 n + n +  {n + - (n + 2)} n +  (n + - n - 2) n +  n + Hay n + ước � n + 2 1;2;4 Ta lập bảng tìm giá trị n ta n   0;2 Bài tập 11: CMR tổng số tự nhiên tiếp chia hết cho Hướng dẫn giải: Gọi số tự nhiên tiếp là: n, n + 1, n + ( n  N ) Ta có: n + n + + n + = 3n + 3 ( n  N ) Bài tập 12: Cho 10k -1  19 với k > Chứng minh rằng: 102k –  19 Hướng dẫn giải: Ta biến đổi 102k-1 để vận dụng 10k – 19 102k - = 102k - 10k + 10k - 1= (102k - 10k) + (10k - 1) = 10k (10k - 1) + (10k - 1) 19  102k –  19 Bài tập 13: Cho abc 37 Chứng minh rằng: bca 37 Hướng dẫn giải: Ta vận dụng tính chất : a m, b m, a + b + c m  c m Theo ra: abc 37 11 (100a + 10b + c) 37  10.(100a + 10b + c) 37  100b + 10c + a + 999a 37 Mà 999 37  100b + 10c + a 37 hay bca 37 Bài tập 14: Cho a + 5b 7 (a,b  N) Chứng minh rằng: 10a + b 7 Hướng dẫn giải: Đặt: a + 5b = x; 10a + b = y x 7 ta chứng minh 10 x –y 7  y 7 Ta có: x 7  10x 7 10x-y=10 (a + 5b) - 10a-b = 50b - b=49b 7  y 7 hay 10a + b 7 Bài tập 15: Tìm UCLN 2n + 9n + (n  N) Hướng dẫn giải: ta vận dụng tính chất : a m, b m  (k1.a + k2.b) m Gọi UCLN (2n - 1; 9n + 4) d  (9n + 4) - 9(2n - 1) d  17 d  d  {1;17} Ta có: 2n - 17  2n - 18 17  2(n - 9) 17  n - 17 n = 17k + (k  N) Nếu n  17k + 2n - 17 9n + = (17k + 9) + = bội 17 + 85 17, (2n - 1, 9n + 4) = 17 Nếu n 17k + 2n - 17  (2n - 1, 9n + 4) = 12 Bài tập 16: Chứng minh rằng: 2n + 3n + 1(n  N) số nguyên tố Hướng dẫn giải: Vận dụng tính chất chia hết tổng ta c/minh ƯC(2n + 1, 3n + 1) = Thật gọi d  ƯC (2n + 1, 3n + 1)  3(2n + 1) - 2(3n + 1) d  d  d =  2n + 3n + 1(n  N) số nguyên tố Bài tập 17: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư Hướng dẫn giải: Gọi số cần tìm n Ta có: n - 5; n - + 10 5; n + 5 n - 7; n - + 14 7; n + 7  n + 35  n + = 35.k (k  N)  số n nhỏ n = 26 Bài tập 18: Tìm n  N cho phân số n4 có giá trị số nguyên n Hướng dẫn giải: phân số n4 có giá trị số nguyên n  n + n Ta có: n + n  n + - n n  n hay n ước  n  1;2;4 13 Bài tập 19: Tìm n để phân số n 1 (n Z, n 3) phân số tối giản n Hướng dẫn giải: để phân số n 1 phân số tối giản n + 1và n - số nguyên tố n Gọi d ước nguyên tố n + 1và n -  {n + 1- (n - 3)} d  d d 2  n - �2k  n số chẵn Bài tập 20: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× ( 3n +1, 4n + 1) = Hướng dn gii: Gọi d ƯC( 3n+ 1, 4n + 1)  3n +  d  4n +  d 4.( 3n + 1)  d ( 4n+1)  d  ( 12n + - 12n - )  d 1d d=1  ( 3n + 1, 4n + 1) = Bài tập 21: 14 a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để đc số chia hết cho số 5, ,9 ? b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số ®Ĩ ®ược sè chia hÕt cho c¸c sè 6, 7, 8, 9? Hướng dẫn giải: a) Gi¶ sư sè viÕt thêm abc Ta có 579abc chia hết cho 5, ,9 suy 579abc chia hÕt cho = 315 ( 3, 5, đôi nguyên tố nhau) Mặt khác 579abc = 579000 + abc = ( 315.1838 + 30 + abc )  315 Mµ 315.1838 315 suy ( 30 + abc )  315 Do 30  30 + abc nªn ( 30 + abc ) suy abc    30 + 999 = 1029 { 315; 630; 945} { 285; 600; 915} VËy sè cã thÓ viết thêm 285; 600; 915 b) Gọi số phải viết thêm abc Ta có : 15 523abc chia hÕt cho 6, 7, 8, nªn 523abc chia hết cho BCNN(6, 7, 8, 9) = 504 Mặt khác 523abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 + abc Vì 504 1037 504 nên ( 352 + abc )  504 ó abc = k.504 - 352 víi k  N  k  { 1; } ó abc  { 152 ; 656} VËy số viết thêm 152 656 C KẾT LUẬN: Qua thực tế giảng dạy thấy sau hướng dẫn em vận dụng kến thức tính chất chia hết tổng vào giải số tập từ dễ đến khó,với dạng khơng có quy tắc tổng qt song sau giải giáo viên cho em đặc điểm, hướng giải thấy em phát triển tư tốt tự vận dụng vào giải nhiều tập 16 Tính chất chia hết tổng không ứng dụng tập hợp số tự nhiên mà mở rộng tập hợp số nguyên học sinh vận dụng để giải nhiều tập chương trình THCS Trên số kinh nghiệm tơi q trình dạy tốn lớp 6, lớp Trong q trình thực khơng tránh khỏi sai sót Rất mong góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Sách giáo khoa sách tập Toán Nhà xuất giáo dục 2- Nâng cao phát triển Tốn Tác giả: Vũ Hữu Bình 3- Tuyển tập đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất giáo dục 4- Tuyển tập tập chí Tốn tuổi thơ số Nhà Xuất giáo dục 5- 23 chuyên đề 1001 toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh 17 ...Vì tơi chọn đề tài: Vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải số II Nhiệm vụ đề tài: Trong khuôn khổ đề tài thân trình bày Vn dụng tính chất chia hết tổng vào giải số tập III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN... tốt tự vận dụng vào giải nhiều tập 16 Tính chất chia hết tổng không ứng dụng tập hợp số tự nhiên mà mở rộng tập hợp số ngun học sinh vận dụng để giải nhiều tập chương trình THCS Trên số kinh nghiệm... em vận dụng kến thức tính chất chia hết tổng vào giải số tập từ dễ đến khó,với dạng khơng có quy tắc tổng quát song sau giải giáo viên cho em đặc điểm, hướng giải thấy em phát triển tư tốt tự vận