Bài toán vận dụng nâng cao - Chủ đề 5: Khối đa diện

Tài liệu với 48 bài tập vận dụng nâng cao về khối đa diện giúp các em học sinh củng cố, rèn luyện kiến thức, phục vụ công tác học tập. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết các bài tập.

PHẦN CUỐI: BÀI TỐN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 5. KHỐI ĐA DIỆN Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)  Cho hình hộp chữ  nhật   ABCD A B C D   có   AB = a, AD = a   Tính  khoảng cách giữa hai đường thẳng  BB  và  AC a B.  a C.  a A.  D.  a Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  A C = ( AB ) +( B C ) D = 2a  Kẻ  B H ⊥ A C   A A B B C a.a a BH = = =   BC 2a B Vì  BB // ( ACC A )  nên  d ( BB , AC ) = d ( BB , ( ACC A ) ) d ( BB , ( ACC A ) ) = B H = Nên  d ( BB , AC ) = a C D' C' H B' A' a Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp  S ABC   có  SA ⊥ ( ABC ) , tam giác  ABC  vuông cân tại  B ,  AC = 2a  và  SA = a  Gọi  M  là trung điểm cạnh  SB  Tính thể tích khối chóp  S AMC a3 a3 a3 a3 A.  B.  D.  C.  12 Hướng dẫn giải Chọn A Xét tam giác vuông cân  ABC  có:  AB = BC = S ABC = AB.BC = a   1 a3 VS ABC = SA.S ABC = a.a =   3 Áp dụng định lí Sim­Son ta có: VSAMC SA SM SC = =   VS ABC SA SB SC AC =a 2  S a M A 2a B C a3   � VS AMC = VS ABC = Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng  ABC A1B1C1  có  AB = a ,  AC = 2a ,  AA1 = 2a   ﾷ và  BAC = 120  Gọi  K ,  I  lần lượt là trung điểm của các cạnh  CC1 ,  BB1  Tính khoảng cách  từ điểm  I  đến mặt phẳng  ( A1 BK ) A.  a C.  a B.  a 15 D.  a 15  Hướng dẫn giải Chọn C C1 A1 Ta có  IK = B1C1 = BC = AB + AC − AB.AC cos1200 = a   Kẻ  AH ⊥ B1C1   khi  đó  AH   là đường cao của tứ diện  A1 BIK   Vì  A1 H B1C1 = A1 B1 A1C1.sin1200 � A1H = SVIKB = a 21   H B1 K I A 1 IK KB = a 35 � VA1 IBK = a 15(dvtt )   2 C B Mặt khác áp dụng định lý Pitago và cơng thức Hê­rơng ta tính đc  S ∆A1BK = 3a ( dvdt )   Do đó  d ( I , ( A1BK ) ) = 3VA1IBK S ∆A1BK = a   Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hình chóp  S ABCD  có đáy là hình chữ  nhật. Tam giác  SAB  vng cân tại  A và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy và  SB =  Gọi  M  là  trung điểm của cạnh  SD  Tính khoảng cách  l  từ điểm  M  đến mặt phẳng  ( SBC ) A.  l = B.  l = 2 C.  l = Hướng dẫn giải D.  l = 2 S K H M N D A B Theo giả thiết, ta có  C ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB ) �( ABCD ) = AB SA ⊥ AB � SA ⊥ ( ABCD ) Gọi  N , H , K  lần lượt là trung điểm các cạnh  SA, SB  và đoạn  SH   Ta có BC ⊥ SA � BC ⊥ ( SAB ) � BC ⊥ AH BC ⊥ AB Mà  AH ⊥ SB ( VABC  cân tại A có  AH  là trung tuyến) Suy ra  AH ⊥ ( SBC ) , do đó  KN ⊥ ( SBC )  (vì  KN || AH , đường trung bình) Mặt khác  MN || BC MN || ( SBC ) Nên  d ( M , ( SBC ) ) = d ( N , ( SBC ) ) = NK = AH = 2   Đáp án: B Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện đều  ABCD  có cạnh bằng 3. Gọi  M , N  lần lượt  là trung điểm các cạnh  AD, BD  Lấy điểm không đổi  P  trên cạnh  AB (khác  A, B ). Thể tích  khối chóp  PMNC  bằng A.    16 B.    C.  3   D.  27   12 Hướng dẫn giải A Chọn A Do  AB P( CMN )  nên  d ( P, ( CMN ) ) = d ( A, ( CMN ) ) = d ( D, ( CMN ) ) Vậy  VPCMN = VDPMN = VMCND = VABCD M P N B (Do diện tích đáy và chiều cao đều bằng một nửa) C D Mặt khác  VABCD = a2 27 �a � a 27 2  nên  VMCND =   a − � �= = = 12 16 12 � � 12 Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện  ABCD  có AD = 14, BC =  Gọi  M , N  lần lượt  là trung điểm của các cạnh  AC , BD  và  MN =  Gọi  α  là góc giữa hai đường thẳng  BC  và  MN  Tính  sin α 2 A.  B.  C.  D.  Hướng dẫn giải A Gọi   P   trung   điểm     cạnh α = (ﾷMN , BC ) = (ﾷMN , NP ) Trong   ﾷ cos MNP = tam   giác   CD ,   ta   có  14   MNP ,   ta   M có  MN + PN − MP ﾷ =  Suy ra  MNP = 60   MN NP D N Suy ra  sin α =   B P C Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho lăng trụ tam giác  ABC A ' B ' C '  có đáy  ABC  là đều cạnh  AB = 2a  . Biết  AC ' = 8a  và tạo với mặt đáy một góc  450  . Thể tích khối đa diện  ABCC ' B '   A.  8a 3   B.  8a   C.  16a 3   D.  16a Hướng dẫn giải Gọi  H  là hình chiếu của  A  lên  mp ( A ' B ' C ' )   B 2a A ﾷ ' A = 450   � HC C � ∆AHC '  vuông cân tại H.  8a B' AC ' 8a � AH = = = 4a   2 A' H NX:  2 VA BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' = AH S ABC = 4a 3 C' ( 2a ) Chọn D Gọi  H  là hình chiếu của  A  lên  mp ( A ' B ' C ' )   ﾷ ' A = 450   � HC = 16a � ∆AHC '  vuông cân tại H � AH = NX:  V AC ' 8a = = 4a   2 A BCC ' B ' ( ) 2a 16a 2 = VABC A ' B ' C ' = AH S ABC = 4a = 3 Câu 8: (T.T DIỆU HIỀN) Cho hình lập phương  ABCD A ' B ' C ' D '  cạnh  a  Tính khoảng cách giữa  hai đường thẳng  BC '  và  CD ' a A.  a B.  C.  2a D.  a Hướng dẫn giải Chọn B A' D' O B' C' H A D C B Gọi  O = A ' C ' B ' D '  và từ  B '  kẽ  B ' H ⊥ BO Ta     CD ' // ( BA ' C ')   có d ( BC '; CD ') = d ( D ';( BA ' C ')) = d ( B ';( BA ' C ')) = B ' H = nên  BB '.B ' O a   = BO Câu 9: (T.T DIỆU HIỀN) Một hình hộp chữ  nhật  ABCD A B C D  có ba kích thước là  2cm ,  3cm   và  6cm  Thể tích của khối tứ diện  A.CB D  bằng A.  8 cm3 B.  12 cm3 C.  6 cm3 D.  4 cm3 Hướng dẫn giải Chọn B.  A'   Ta có :  B' D' C' cm A D cm B cm C VABCD A B C D = VB AB C + VD ACD + VA B AD + VC B C D + VA.CB D � VABCD A B C D = 4VB AB C + VA.CB D � VA.CB D = VABCD A B C D − 4VB AB C � VA.CB D = VABCD A B C D − VABCD A B C D 1 � VA.CB D = VABCD A B C D = 2.3.6 = 12 cm3 3 Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện đều  ABCD  cạnh bằng  2cm  Gọi  M , N , P  lần lượt  là trọng tâm của ba tam giác  ABC , ABD, ACD  Tính thể tích  V của khối chóp  AMNP   A.  V = cm3 162 B.  V = 2 cm 81 C.  V = cm 81 D.  V = cm3 144 Hướng dẫn giải Chọn C A Tam giác  BCD  đều  � DE = � DH = AH = AD − DH = S ∆EFK N M 1 1 = d( E , FK ) FK = d( D,BC) BC = 2 2 � VSKFE = Mà    B K D 1 AH S ∆EFK = = 3 H E F AM AN AP = = =   AE AK AF Lại có:  P C VAMNP AM AN AP 8 = = � VAMNP = VAEKF = VAEKF AE AK AF 27 27 81 Câu 11: (LÝ   TỰ   TRỌNG   ABCD A B C D   có  ﾷ BCD = 60 , AC = a 7, BD = a 3, AB > AD ,đường chéo  BD  hợp với mặt phẳng  ( ADD A )   góc  30  Tính thể tích  V  của khối hộp  ABCD A B C D   39 A.  39a   B.  C.  3a   D.  3a   a    –  TPHCM)  Cho   hình   hộp Hướng dẫn giải Chọn D D' C' 30° A' B' x D y O A Đặt  x = CD; y = BC C B ( x > y)   Áp dụng định lý hàm cos và phân giác trong tam giác BCD                        3a = x + y − xy   và  x + y = 5a                              � x = 2a; y=a  ﾷ = 60   Với  x = y = 2a  và  C BD ⊥ AD   ﾷ BD ';(ADD'A') = 30 DD ' = 3a   S ABCD = xy.sin 60 = a   Vậy V hình hộp =  a3 3 Câu 12: (NGƠ GIA TỰ  ­ VP)  Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu ́ ̀   S ABCD   co thê tich ́ ̉ ́  V =  Goị   M   là  trung điêm cua canh  ̉ ̉ ̣ SD  Nêu  ́ SB ⊥ SD  thi khoang cach t ̀ ̉ ́ ư ̀ B  đên m ́ ặt phẳng  ( MAC )  băng: ̀ A.  B.  C.  D.  Hướng dẫn giải Chọn A S M D A O B C Giả sử hình chóp có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a  Khi đó,  BD = a Tam giác  SBD  vuông cân tại  S  nên  SD = SB = a  và  SO = BD a = 2 Suy ra các tam giác  SCD, SAD  là các tam giác đều cạnh  a  và  SD ⊥ ( MAC )  tại  M a3 Thể tích khối chóp là  V = SO.S ABCD = Mà  a3 2 = � a =1  6 Vì  O  là trung điểm  BD  nên  d ( B, ( MAC ) ) = d ( D, ( MAC ) ) = DM = Câu 13: (THTT – 477) Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng  a , cạnh bên bằng  b  và  tạo với mặt phẳng đáy một góc  α  Thể  tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ  và   đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là 3 3 A.  B.  C.  D.  a b sin α a b sin α a b cos α a b cos α 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A A' C' S B' A C H' H B Gọi  H  là hình chiếu của  A  trên  ( ABC )  Khi đó  α = ﾷA AH Ta   có A H = A A.sin α = b sin α   nên   thể   tích   khối   lăng   trụ   là  a 2b sin α Lại có chiều cao của chóp theo u cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng  A H   VABC A B C = A H S ∆ABC = a 2b sin α nên thể tích khối chóp là  VS ABC = VABC A B C = 12 Câu 14: (THTT – 477) Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng  a,  b,  c  Thể  tích của khối hộp đó là A.  V = (b + c − a ) ( c + a − b2 ) ( a + b2 − c ) (b B.  V = + c − a ) ( c + a − b2 ) ( a + b2 − c ) C.  V = abc D.  V = a + b + c Hướng dẫn giải B C x a A D y b c z B' C' A' D' Chọn A Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước:  x, y, z �x + y = a �y = a − x �y = a − x �2 �2 �2 2 2 a − x2 + b2 − x2 = c2 Theo u cầu bài tốn ta có  �y + z = c � �y + z = c � � �x + z = b �z = b − x �z = b − x � � � a − b2 + c2 2 a + b2 − c2 � x2 = �V = b2 + c2 − a2 z = y2 = (a + c2 − b2 ) ( a2 + b2 − c2 ) ( b + c2 − a ) Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ  A BCA B C có đáy là tam giác đều cạnh  a  Hình chiếu  ( ) vng góc của  A  lên mặt phẳng  A BC  trùng với trọng tâm tam giác  A BC  Biết khoảng  cách giữa hai đường thẳng   A A     BC     a  Tính thể  tích  V   của khối lăng trụ  A BCA B C A. V = a 24 B. V = a 12 C. V = a 3 D. V = a Hướng dẫn giải  A' Chọn B C' H ( B' ) M  là trung điểm của  BC  thì  BC ⊥ A A M C A G B M Gọi  MH  là đường cao của tam giác  A A M  thì MH ⊥ A A  và  HM ⊥ BC  nên  HM  là khoảng cách A A  và  BC Ta có  A A HM = A G A M   a A A = a A A − a   � a2 � 4a 4a 2a 2 � A A = 4� A A − �� 3A A = �AA = �AA =   � � 3� � Đường cao của lăng trụ là  A G = Thể tích V LT = 4a 3a a − = 9 a 3a a 3   = 12 ﾷ Câu 16: (SỞ   GD   HÀ   NỘI)  Cho   hình   chóp   S ABC   có   ﾷASB = CSB = 600 ,   ﾷASC = 900 ,  SA = SB = SC = a  Tính khoảng cách  d  từ điểm  A  đến mặt phẳng  ( SBC ) A.  d = 2a B.  d = a C d = a D.  d = Hướng dẫn giải Chọn B S B A H C + Ta có:  ∆SAB ,  ∆SBC  là các đều cạnh  a  nên  AB = BC = a + Ta có:  ∆SAC  vng cân tại  S  nên  AC = a + Ta có:  AC = AB + BC  nên  ∆ABC  vng tại  B  có  S ABC = a2 2a ( ) � a � �a � 0; ;0 �;  S 0;0; a ;  I � ;0;0 �     Ta có  H ( 0;0;0 ) ;  B � � � �2 � Vì  ( SBD )   ( SBD ) : ( SBI ) 2x y z + + = � 2x + y + z −a = a a a 3 Suy ra  d ( H , ( SBD ) ) = 2.0 + 2.0 + − a 4+4+ = a Câu 24: (CHUN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối chóp  S ABCD  có thể tích bằng  a3  Mặt bên  SAB   là tam giác đều cạnh  a  và đáy  ABCD  là hình bình hành. Tính theo  a  khoảng cách giữa  SA   và  CD 2a a A.  3a B.  a C.  D.  Hướng dẫn giải Chọn A Vì đáy  ABCD  là hình bình hành S a3   � VSABD = VSBCD = VS ABCD = 2 Ta có: Vì tam giác  SAB  đều cạnh  a   a2   S SAB =   A D Vì  CD P AB CD P( SAB )  nên d ( CD, SA ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) )   = 3VSABD S SBD a = 2 = 3a a a B C Câu 25: (LÝ TỰ  TRỌNG  – TPHCM) Tìm   Vmax  là giá trị  lớn nhất của thể  tích các khối hộp chữ  nhật có đường chéo bằng  2cm  và diện tích tồn phần bằng  18cm   A.  Vmax = 6cm3   B.  Vmax = 5cm3   C.  Vmax = 4cm3   D.  Vmax = 3cm3   Hướng dẫn giải Chọn C a + b + c = 18 Đặt  a, b, c  là kích thước của hình hộp thì ta có hệ  ab + bc + ac = Suy ra  a + b + c =  Cần tìm GTLN của  V = abc Ta có  b + c = − a � bc = − a ( b + c ) = − a ( − a ) 4bc Do  ( b + c ) �� ( − a) 2 �4 � − a ( − a) � � �� < a �4 Tương tự  < b, c   − a ( − a) � Ta lại có  V = a � � �. Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của  V  là 4 Câu 26: (CHUN PHAN BỘI CHÂU)  Khối chóp   S ABCD   có đáy   ABCD   là hình thoi cạnh   a   SA = SB = SC = a , Cạnh  SD  thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp  S ABCD  là: a3 a3 3a a3 A.  B.  C.  D.  8 Hướng dẫn giải Chọn D Khi  SD  thay đổi thi  AC  thay đổi. Đặt  AC = x Gọi  O = AC BD Vì  SA = SB = SC  nên chân đường cao  SH  trùng  với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC � H �BO   S x� 4a − x 4a − x Ta có  OB = a − �   = = �� �2 � 1 4a − x x 4a − x   S ABC = OB AC = x = 2 a.a.x a x a2 HB = R = = = S ABC x 4a − x 4a − x 4 SH = SB − BH = a − A x B O a H C D a4 a 3a − x   = 4a − x 4a − x 2 a 3a − x x 4a − x   VS ABCD = 2VS ABC = SH S ABC = 3 4a − x 1 �x + 3a − x � a = a x 3a − x a� �=   3 � � ( ) Câu 27: (THTT – 477) Cho khối đa diện đều  n  mặt có thể tích  V  và diện tích mỗi mặt của nó bằng  S  Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt   của nó bằng nV V A.  B.  S S nS 3V V C.  D.  S 3S Hướng dẫn giải Chọn C C A H B Xét trong trường hợp khối tứ diện đều Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự.  1 1 VH ABC = h1.S ; VH SBC = h2 S ; VH SAB = h3 S ; VH SAC = h4 S 3 3 3V 3V 3V 3V h1 = ; h2 = ; h3 = ; h4 = S S S S ( V1 + V2 + V3 + V4 ) 3V � h1 + h2 + h3 + h4 = = S S Câu 28: (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Cho hình lập phương   ABCD A B C D  có cạnh bằng  a , một mặt  phẳng  ( α )  cắt các cạnh  AA ,  BB ,  CC ,  DD  lần lượt tại  M ,  N ,  P ,  Q  Biết  AM = a ,  CP = a  Thể tích khối đa diện  ABCD.MNPQ  là: 11 11 a3 2a A.  a B.  C.  D.  a 30 15 3 HD: Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I  B C O thuộc đoạn OO’ A AM + CP 11 a = a<   Ta có:  OI = 30 D N M I P Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì : Q 11 OO1=2OI= a