Tích phân đối với độ đo vecto ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên

• / TRIÍCÍNG DAI HOG TONG EdP HA NOI DANG H.UNG TKAIÍG A r^ni v_ :J TICH PíIATI DOI Vdl DO DO YECTO NGAU IHII^:! 'JA TOAN Tt/ NGAU NHÍT CHÜYEH ITGAJiH: Mr Hífü : LY THUY£T XAC SÜAT V^ THOÍÍG ) ^ 1.01^0¿i LUÁN- AN TIEN SI KHOA HOC TOAK L I HA : Í O I - 1992 TOí KOC •1- K]JZ LUC Hd DẴ CKI/Q^G I DO DO VÍ.CTO NGAU NKl£v VA TICH PKAlí NGAU líErí •? CUA KA!í TAT DINH 10 ! I , DJnh n g h í a va -tijt so cí¿nh l y cd b a n I I Sy h j i 10 t'^ cua cac dj v e c t o ngau nhien * 20 I I I - T i c h p h a n ngau n h i e n cua ham t a t dj.nh v a k h c n g g i a n O r l i c z •- CHrfdNG I I TICH PHM NGAU KHIEK CUA HAM NGAU NEIEN DOI VOI DO DO NGAU IÍÜ;N' VECTO ?N DINH DOI Xl/NG • I Dp ngau n h i e n - v e c t o en d¿.nh d o i xiing ^ 39 ^ 39 I I - Tich p h a n cua ham khong ngau n h i e n d o i v d i d j ngau n h i e n Z^ p " ^ III Tich phan ngau nhien cua ham ngau nhien ágo l^p vdi Z IV Tich phan ngau nhien cua ham ngau nhien phu hj'p vdi Z ¿i • *55 61 F CHtfONG T i l TOAN 10^ NGAU NEIEN GIÜÁ CAC KHONG GIAl.^ BAIÍACH I D¿nh n g h i a , t h i dy v a cae t m h chat tong quat I I SS n'^1 ty cur, cae t o a n t u ngau n h i e n ^ ?C ^ 70 * - 77 - «- I I I «^ Tac dcng c i a t o a n t ú ngau n h l é a l é n -ur *- b i e n ngau rüiierx ^ -83 p- T YI5H CHAT QUY DAO CUA TOAN Ti/ NGAU NHIEN l - a c i n e n t n u c chuan bj I I Ycájn t i nxáu n h i e n v i quy d§LO t r o n g V C L(X,Y) I I I líjn: c h l t ( V , p ) - b i e u d i e n dii^íc cua t o a n t ú ngau n h i e a - - IV Z^'c -^¿anh cua ni9t t o a n t u ngau n h i e n v l t o a n -IS. -i»C ^.- t V -w¿J\ 99 lOS ti d^^ T t 97 119 ^ry íf NGAU NHIEN ON DINK DOI XUÍÍG / I * l o a n r ¿ iirS^ n h i e n Gauss d í i xóng 1 - t c l n ru i g u n h i e n on d^nh d o i x5ng - • ^ - - » r z r >C7C 122 122 131 i3S PHP LDC ^kh 3ANe CAC DAffl Itf CHI DAN ~ i:?o -3- •^ ;r MO DAU Trong hdn h a i t h e biy quaíVc'i su gop s u c cua n h i e u t h e he nha coan h c , b nion g i a i t i c h t o a n h9C da t r o t h n h :.i9t l a u d a i 59 v d i nh-ng t o a nha nguy nga t r n g l e nhií : F h l p t í n h \ a , t i c h p h a n , t r i n h v i phan v a d^o han r i e n g , g i a i phUdng t i c h hará No da t r o t h a n h n p t cong c^ dac l ^ c cho n h i e u nganh ¿choa h9c ky t h u ^ t k h i xu l y mo hlnh t a t dj-nh a i i n g , n h v í chúng t a deu b i e t , n g a u n i i i e n c a n t h i e p r a t mánh l i ' ^ t vao cupe song chúng t a V i v^y no h i n h t a t d^nh khong du de phan anh t h y c t e r t p h c t ^ p k h i co stf t a c agng cua nhan t o ngau n i i i e n ^ P h a n I o n hf t h o n g va h^ d j n g l u c t r o n g v ^ t l y , c d h o c , Í - i n h t e , s i n h thái ¿eu l a nhüng hf ngau n h i e n T r o n g nh3ng nam g a n day,;:i^t n^-t nhu cau phát t r i e n n j i t ^ cúa t o a n h c , a a t k h c nhan cung cap z.gt z j t cong cu cho phép xigon n g , :¡o t a , p h a n t i c h , d u bao va d i e u k h i e n he ngau n h i e n cac c h u y e n g i a ve l y t h u y e t xac s u a t dang ichan t r u c n g x a y dung toa l a u dai g i a i t i c h nr:au n h i e n v c l hy V9ng r a n g t u d n g l a i no cung se co :n9t t a c voc to I d n khong kesi.Gó t h e t i n chao r a n g , l y t h u y e t 09 d o , t i c h ph'an ngau n h i ? n , p h u d n g t r i n h v i phan ngau n h i e n va t o a n tu ngau nhi*en se l a nhUng t o a nha c h m h t r o n g l a u d a i raa nh5ng ngüc?i d=t nen laong cho chung l a V;'¿ener,lto v a S k o r o k h o d Ve n ^ t l^-ch s u , t i c h phan ngau n i i i e n dau t i e n t r o n g l y t h u y e t s u t l a t i c h p h a n cua :n9t han t a t - d^-nh(khong ngau n h i e n ) b m h xáe phudng Izha " i c h doi v5i t r i n h chuyen d9ng 3roa'n V-iéner dUa r a [62] • Tich phan ngau nhien Wiener da dii^c 30 r9ng cho nhieu qua t r i n h ngau nhien khác Levy [29"] xay d\ing t i c h phan ngau nhien ¿oi vo'i t r l n h gia 50 d9C l ^ p , kol-"ogorov [22"] xay diíng t i c h phan ngau nhien doi v i X , / / cua - r l n h gia so t r u c g i a o , t í c h phan cong ri9t v a i t r o then chot y l y t h u y e t t r i n h dling j :-I¿rt buce ngo^t then chot da (xzcz thuc h i e n b c i I t o nhem thu'c h i f n cua zrinh lAy t i c h phan ngau nhien cho ca cac haní nrau nhien Trong ccng t r i n h noi t i e n g r o l I t o da xay dung t i c h phan ngau nhien doi vdi - r l n h chuyen d9ng Brov.-n cho ham ngau nhien phü htíp( adapted) vci cuy dfo binh phudng t i c h T i c h phan Itcmgay da t r n r í n ngü thong dung cua cac chuyen g i a ve he d9ng Idc ngau n h i e n va cd hpc ngau nhi'en.iügn t§ii,co mjt huáng nghien cúu dang thu hut sií cuan ta-Ti cua nhieu nguol l a nham ^6 bo g i a t h i e t phu hdn t r o n g d^-nh nghia t i c h phan Ito.M9t so t i c h phan I t o suy r9ng da duoc dua r a , d a n J J ^ den nhung sií phat t r i e n l y thuyet thu v^., t r o n g dang y n h a t l a t i c h phan Skorokhod, t i c h phan Oga-\'/a va t i c h Tjhan S t r a t o n o v i c h (Xin xe- {l'^^fS}^ ' [^^] ^^- ^^^" -i^^ ¿ dó ) :.9X h-cng md rpng :-;hac l a :>:ay dung t i c h phan ngau nhien cho cac cua zT^nn rong c u s í he: .Cn^ng h^n^.ift l y "cnuyet ve t i en phan ngcu nniei cua cac hain nüau nhien kha doán l^y doi v c i ^:9t s e n i n a r t i n g a l e da dd^c nghien cuu ran rg ¿ My,Fháp( xeni h i c h t e l e r ["4"] va thu :nuc ó )' -5^ ^ r y^ y^ J *¡9t hiiéng mé rjng khác nua l a xay dtíng t i c h phan ngau nhien b i , t i e p t'^c c'ong v i f c cua I t o \2.1~\ doi v5i qua t r i n h tong quat hdn ( xem[26 j [_27j va thu 3^c t ^ ) •TÍch phan ngau nhien Wiener cháng cua l a t i c h phan doi v c l ag ngáu nhi*en ca::: sinh bci t r i n h chuyen d9n^ Brov/n.Dp ngau n h i e n co t í n h chat l a j giá tr^ t r e n t^p r b i n h a i i a nhüng b i e n / ngáu nhien djc l^p.iu tuíng ve dj ngau nhien co tinh chat lan • dáu tien xuat hien cong trinh cua Sochner |_3 J Urbanik £ ] sú "' d'jing no t r o n g l y thuyet d^ bao qua t r i n h dung ch^.t khong ton t ^ i nioaen' cap ¿ Tich phan ngau nhien cúa ha;n t a t d4.nh doi v é i d9 ngau nrie'n ce t m h chat duf'c nghien cuu bói Urbanik va 'úoyczynsid £ ] , 5u r:c r9ng t i c h phan ngáu nhien kieu náy cho cae háa t a t á:^nh nhfin giá tr;i t r e n khong gian Banaeh diíjíc th^te h i f n boi Hoff.riann-Jorgensen [ l e ] , Okasalii [33'} va ícosinsld [ , 3?'] Ghüdng I va chudng I I cua lu|.n án dánh cho v i f c nghien cúu ág vec to ngau nhien nhf.n giá tr^ khong gian Banaeh va t i c h phán cúa han g i a t r i th^c ( ngáu nhien va khong ngáu nhien) doi vdi chung Va chúng t o i cung chi x e t cae 09 ngáu niiien co t m h c h a t : ü i t r ^ t r i n t j p r d i l a nhúng bien ngáu nhien 090 l^p , Dp vec t e ngau nhien npt n^t l a su^ T^Ó r j n g tií nhien cua d9 "^ ^ ^ « ^ j ngáu nhien giá tr^ thyc nói c tren.M^t khác cung co the coi no la sü nio rjng * * ngau nhien' ' hay sii ngau nhien hoa cua khai nifm 09 vectc nh^n gia tr^ ^:hong gian Banaeh du^-c n¿;'hien cúu rat ky" giai t i c h ha:n( xen Fia"] ) T i e t cúa chudng I t r l n h b¿y d^nh nghia va nijt so t i n h c h a t ed han cua dj vecto ngáu nhien va t i c h phán cua hám / ' J , , y/ t a t dj-nh g i a t r j th^jíc doi v5i chúng.Tiet chiidng I dua r a rn9t so kieu h9i t'^ cua dj vecto ngau nhien va quan h | giúa cae iiieu h9i t^ ay.Trong t i e t chudng I chúng t o i mo t a khong gian haii kha t i c h doi v é i mpt l ü dj vecto ngáu nlaien sinh boi m^t h9 nao cae i J phan bo ehia vo h^n Chudng II dó danh cho viec xay d^ng tich phán ngáu nhien u la ham ngau nhien Z ( udZ § ¿9 vecto ngau nhien on dJ.nh,aoi '£.\in^ y.Tiet trlnh bay d^nh nghia va cac tính chat quan tr9ng cua cac do Z Quá trlnh V.iener nh^n giá tr^ khong gian Banaeh P diia bci N.V.Thu fh^l Is .r:9t tru'cJng agp rieng cua cac do ngau ^ ^/ ^ nhien Gauss doi rAng Z « ^^ / I»hd :^gt bucc trung gian , tiet chung toi khao sat trudc het trucng hcp u la ha:: khong ngau nhi^n.Tie'p theo tiet dj.nh nghia va tich chat cua tich phán ngáu nhien í' udZ diídc t h i e t lf.p hai triiong h9'p: / u 090 l § p v§i Z , Z n lay giá trj khong gian Banaeh l o ^ t^-on di.nh va trüdng h^p • < la phu hdp vdi h9 19c sinh bci Z , ¿ T) u lay giá tri khong giaa "O y^ Banaeh q - t r d n deu hoa ( q \ p neu p < , q r neu p zi ) Kdn nüa, Z l a do ngáu nhien vecto iviener , t í c h -ohán P " ludZ J P dtfdc xáy ' d^ng theo cach t i e p c^n Ogav;a [32 "j cho i^.gl harringáu nhien u dgc l | p vai Z ,khong can g i a t h i e t gi ve hlnh hpc cua kh'ong gian Banaeh -7Bai toan xay difng t i c h phán ngáu nhien Skorokhod cho ág ncáu nhie'n vecto uauss hay dang DO ngo Trong g i a i t i c h toan hpe, chúng t a b i e t rang t i c h phan ch^ng qua mjt l o ^ la toan tú tuyen t í n h dfc b i ^ t nhun quan trpng nhat.i^y t h u y e t toan tú tuyen t í n h tong quat da ducc ap dung r a t hifu qua o.e nghien cuu cae phudng t r i n h vi phan va d^o ha;/ rie'ng.Tüdng ty nhu v y , t i e h \ r^ ^ ' -> y ^ phan nj-'au nhien cúng :-:o"t vi du quan tr9ng cúa toan tú ngau nhien Do uo r:pt -5' thuy-^t tong quat ve toan tu ngau nnien co the va can phai phát trien, cúng nhu ung dung vao phudng trlnh vi phan ngau nhien M^t khac toan tú ngau nhien cúng la nipt sy no rpng td nhien cúa / T ^' / Sí ^ ^ ^ J ^ ^ toan tú tuyen t í n h chuyen tí? -.ao h m h t a t d^-nh sang -no hlnh ngau nhien.C-ia su rang i-.gt he thong diidc -:io t a ooi toan tu A: X —^ Y - l t§^p hcp váo( i n p u t ) '1 l a t^p h^'p cai ra(output) A dude ggt l quy lu'^t tac djng cua he thong hay ed cau b i e n doi c i vao c a i r a Trong r.o hlnh t a t d n h , c a i r a hoán toan düoc xac / V ^ X / y^ S^ ^ J d}.nh bci cai váo va quy lu^t tac dpng Trong ;ao hlnh ngáu nhie]:^,bie't V ^ ^ , ^ c y>^^ dupc cri vao X va cuy lu'^t tac d9ng A ta chí nhieu lar: bie't du9'e •pnan co xac suat cua c na thoi.^;nut v^y,n:9t toan tu ngau nnien A la -;t pnep tuong ung T.OI X ^ A -^ ? -^ ^ -ot oien ngau nnien Ax co tr^ ^/ khong gian Y.Toan tú ngau nhien tuyen tinh giua cae khong gian Hilbert düfc nghien cúu dáu tien bci S::oro::hod £441 • T:r ong chudng 3,4 va chúng t?i se danh cho viec nghien cúu toan tú n'ck^:^ nhien(tuyen tinh) giua hai khong gian Banaeh y! Chudng III i I trlnh báy vi d^,cáe tính chat chung cua toan tu ngáu nhie'n,di.nh nghía l o ^ hfi ty cúa day cac toan tú ngau nhien va inci quan he giua cac I c ^ h9i tu ay.Chung toi da ág.t düoc :ii9t so ket qua DUCC uau viec d^nh ngnia tac aong cua ::;ot tran tu ngau nnien iu X váo Y Ion zgt bien ngau nl:ien ce tr^ treh X./cu tran tu ngáu nhien toan tú tich phán ngau nhien thi tac d^ng náy cho ta d^-uh nghia i '^ ^ ^ tich phan ngau nhien cua '.^gt ha::i ngau nhien Trong chudng chúng toi nhin injt tran tú ngau nhien tu k saiig Y nhü ^ s J:" ys ; J / ^ ' :zgt trucng ngau nhien düoc chi so hca boi t^p tha so X.Suan diem ^ J , ^ - ? X- y i hpc cúa Khoa T o n - C d - T i n h j c DHTH Há n j i 9 , 9 J / ac ke't qua náy , dude c'ong bo cong trlnh [49 - :?7] / "D, y "1 T-* ac -'^ua t-Thon^ ke / ^._^«^e ÍJ^ - ri ^-!^ -^^j i-^-'C i,ong •-9_-' es i'•9— -¿=-0 »-u ^ t- * & '.'^c c ou _ es » » C I Ü MTuug,C-iac su T i e n sy :':gu7£in u-j-j Tien da iir.uyen i ; n i c h , d c n r vi-sn -/a t ^ c nnung u i e u r:i^n t.-u¿in l ; i l'c rnc t a c g i a :;can t n a r h ban -u~n veo: / - i a clian t h a n h ca.n dn Giác sü T i e n ¿v ?:^uvon V?n T h u , ^ i c sü T i e n j ;^ w ;/'v j-::^r .r-an :.nu u5 cr.c n.nieu y r^in cuy r: = u -.t tac gia hoan thien lu^n an Tac gi.a curg x:.n zr.e^n ca^' dn cac thunh ^len trcng lei-ms ,.ac / ^ Euat cua 'Jrucng :;=i ri^c rong ncp h a -191 va ' l e n Toan ncc vr nnung y I / / * •-r- •'5 - •• r^ - ^ ' * ' •: = ?? -"-, lir,v:r'r- - ^ ''"•"ir-';"' * * r^ :• ^ , ^\- , * • - ^ T -•^r:^ *- * r^ - f ^ - r f^ , r"-'"''j / ~ ^ r- ' ~~^ tií X vao Y i düjic cho nhii sau Vg(x) = Tich phan Bociiner (2-8) (2-8) ton t^i yl Í2-81 |IQx(t).|l^ d ^ ( t ) < oo.TÍi ta có llVg(x)|l ^ llgll ¡ rilGx(t)llPdyuL(t)j ^^P í Dieu cháng to rVg^ - (g(t)Gx(t)dyu.(t) Tacó Tg ^LÍX^Y) (h^x^y) - -^ ll Vg || $ C II g ll II G ll (Vg^(x)»y) = yT(x « ) y ) ( t ) g ^ ( t ) dyu(t) Cll ei;|IGx:|l^ y ) ' ) -Djnh ly düjíc chúng minh^ THlf MÜC l^.Arauio,E.Gine,The central limit theorem for real and Banaeh valued random variables,-New York: John Wiley - Sons 1980 2^ A.de Acosta: Stahle measures and seminorms, Ann.Probab.3,3(1985)» 865-875 3» S.Bochner: S t o c h a s t i e processes,.AnnJ^ath.48(1947),.1014-1061 ^ - B i c h t e l e r : S t o c h a s t i e i n t e g r a t i o n and L - t h e o r y of s e m i m a r t i n g a l e s Ami.Prohab.9(1981),49-89 ^ • J ' - B i l l i n g s l e y : Convergence of p r o b a b i l i t y measures,New York: John Wiley-Sons 19óS J B r e t a g n o l l e , D D C a s t e l l e and J U ^ K r i v i n e : Lois s t a b l e s e t espaces L , Ann-.Infít^B.enri P o i n c a r e B e r 11.^(1966)^231-259* P7.-S.A.-Chobanian,V^,^I!arieladze,Gaussian characterization of certain Banaeh spaces,J.Multivar.Anal 7^(1977).,l83-203 8.^.A.Chobanian^A Weron-, Banaeh space valued stationary processes and their linear prediction^Dissertationes Math.l25(1975)tl"^5 S»A»-Chobanian,A Weron-,£xistenjce of the linear prediction for Banaeh space valued Gaiissian processes, J.Muí ti va Anal 11,1(19811,69-80 10 S.Chevet,Compaatness in the space of Gaussian Radon probahilities on a Banaeh space,C.R.Acad.Bci.Paris Ser*A 296(1983),275-278 11 S Dunford,J.T«^chwartz,Linear operators,Part I,.Iiew York ,1964- k Í9' 12» J.J)±estel,J,J*.Uifa, Vector measures,Americal Math.Society 197713- N.Elezovia,Cylindrical measures on tensor product of Banaeh spaces and random l i n e a r operators,MamiBcripta Kath.60(a988)>l-20 14- N^Elezovic,Product of random l i n e a r operatorE,Gla6nik Math.44(1989) 639'-648 15*- D.J*ií«-Garling^unctional central l i m i t theorems i n Banaeh spaces, Ann Prohab.4a976).»600-6ll 16^ E,-Gine,>í»B.Karcus,The c e n t r a l l i m i t theorem for s t o c h a s t i e i n t e g r a l with respect to Levy processes^Ann^Probab.11(1983i>58-77 17» J-Hoffmann-Jorgensen,Probability in Banaeh spaces,Lecture Notes i n M a t h 598(1977X^1-18618- J.Iioffmann-Jorgenfíen,G.Pisier,The law of large numbers and the c e n t r a l l i m i t theorem i n Banaeh spaces^Ann-J*rohab.4(1976).,587-599 19- T P i Ü l l , Conditional gene r a l i zations of strong laws which conclude the p a r t i a l sums convergence almost surely,Aim.Probah.,.10,3(1982),, 826-8^0 20 K I t o , S t o c h a s t i e i n t e g r a l , Journal Hath.Soc.Japan29(1944) »519-*-^524^ K I t o , Múltiple Wiener i n t e g r a l , J o u r n a l Math-Soc.Japan 3(1951), 157-169 22 A^N Kolmogorov,Wienersche s p i r a l e n und einige andere i n t e r e s s a n t e kurven im Hilbertshen Raum,Doiü.ady Akad.Jiauk ü S.S.R 20(1940) ^ - l l b , N.Kono,Recent development on random f i e l d s and t h e i r sample p a t h s , Sooehwow J o u r n a l of Math , ( 9 ) , - l l 24», M J Í a n t e r , L i n e a r sample spaces and s t a b l e p r o c e s s e s , J J u n c t i o n a l Analysis,9(1972),441-459 25.-S.iíwapien,.On a theorem of L.^chwartz and i t s a p p l i c a t i o n s to ahsolut e l y summing o p e r a t o r s ^ S t u d i a Math 8 ( ) , - S.Kwapien^W^.Woyczynski,Double s t o c h a s t i e i n t e g r i s , r a n d o m quadrat i c forms and random s e r i e s i n O r l i e a s p a c e s , A n n ^ r o b a b l ( ) ,10721096 27»W.iCrakowiak,J.Szulga, A m ú l t i p l e s t o c h a s t i e i n t e g r a l w i t h r e s p e c t to a s t r i c t l y p - s t a b l e random measure,Ann^Probab.l6(1988) , - 7 28 V ' L i n d e , I n f i n i t e l y d i v i s i b l e and s t a b l e measures on Banaeh spaces', Teuhner-Texte zur Mathematik,Band 58, L e i b a i g Teibner 1983» 29*P.Levy,Fo2tctions a l é a t o i r e s a c o r r é l a t i o n , l i n e a i r e , I l l i n o i s Journail of Math 1(1957) , ^ - 30.D.Nualart,B.Pardoux, Stochastie ealculus with a n t i c i p a t i n g i n t e g r a n d s , P r o b a h - T h ^ e l - £ i e l d 78(1988) , 5 - M E.-Marcus,W»A Woyczynski».Stable measures and c e n t r a l l i m i t theo- rem i n s p a c e s of s t a b l e t y p e , T r a t t s A m e r ^ a t h S o c i ( 9 l , - ^ 32.-S.Ogawa,Sur l e p r o d u i t d i r e c t du b r u i t b l a n c par l u i m e m e C ü A c a d » S c x ^ a r i s Ser-A 288»(1979) , - -141- ' 33» Y.Okazaiii, Wiener i n t e g r a l by s t a b l e random measures,Mem.Fae.Sci Kyushu Üniv-Ser-A 3 ( 9 ) , - « G P i s i e r , M a r t i n g a l e s with v a l ú e s i n uniformly convex s p a c e s , I s r a e l J-Math-20(1975)326-350 35» M.D.Perlman»Gharacterizing m e a s u r a b i l i t y d i s t r i b u t i o n and weak convergence of random v a r i a b l e s i n a Banaeh by t o t a l s u b s e t s of l i n e a r f u n c t i o n a l e s , J ^ u l t i v a r A n a l , ( ) ,.174-188 36*.J»JBosinski,Random i n t e g r i s of Bsinach space valued functions, Studia Math.83(1984),15-83 J - R o s i n s k i , B i l i n e a r random i n t e g r i s , D i s s e r t a t i e n e s Math.¿59(1987).T 1-76 38- • ^ L.Scüwarts,Random measures on arbitrary topelogieal spaces and cylindrical measures,Oxford Bombay,Oxford üniv.Press 1975 39 L.Schwartz,Geometry and probability in Banaeh spaces,Lecture Notes in Math.-852(198l) , J ' ¿ a p h a r , P r o d u i t s t e n s o r i e l s d ' e s p a c e s de Banaeh e t c l a s s e s d*appli c a t i o n s l i n e a i r e s , S t u d i a Math ( ) , - 0 i i I B a t o , S o u s l i n s u p p o r t and F o u r i e r e x p a n s i ó n of a Gaussian Radon m e n s u r e , L e e t u r e Notes i n M a t h ( ) , 9 - 3 42 J B z u l g a , T h r e e s e r i e s theorem f o r H a r t i n g a l e s i n Banaeh s p a c e s , Bull.Aead^olon^ci Ser.Sci.Math.Astronom.Phy.25,2(1977) , 175-180 L !• 45 K.^tencel,ün boundedness and convergence of some Banaeh space valued random series,Probab.Math.Statistics,43,1(1980) ,1¿53-201 44 A.V.-Skorokhod,Random linear operators,Kiev Nauk 1979 45 A ^V Skorokhod, Qn a gene rali zation ofa stochastie integral, Theor Probab.Appl.2D(l975),219-23546 N*V Thu,Banaeh space valued Brownian motionB,Acta Math.Vietnamica, 5^2(1978),35-4447 N.,2.Tien,Sur le theorem des trois series de Kolmogorov,.Theor.Probab Appl.24r4(1979)»795-S07 48.- D.H.Thans,N».Z Tien, On the extensión of stahle cylindrical measures Aeta Math Vietnamí ca 5»1(1980) ,169-17749•D.B.-Thang,Random operators in Banaeh spaces,Probab.Math.Statist 8*.a(1987) ^55-16750.D.B.Thang,Gaussian random operators i n Banaeh spaces^Acta Math.Vietnamiea , A ( 8 ) ; , - - D.^.Tha9S, 0°- the convergence of v e c t o r random measures,-Probab.Th Rel.:Eields 38(1991) ,.1-16 52 D^B.-Thang, Vector symmetric random measures and random i n t e g r i s , Theor.Prohab-Appl.56(1991) ( i n p r i n t ) 55-D.£.Thans, Sample paths of random l i n e a r operators i n Banaeh spaces, Report a t Cooference' Global a n a l y s i s and a p p l i c a t i o n ' Hanoi 12/1991 to appear i n , :.Me;h.Fae.Sei.Kyushu Univ.-Ser A , (1952)^ ^ ^ - , 55^D.H.Thang,Remarks of Banaeh s p a c e s of s - c o t y p e p , P r o b a b M a t h S t a t i s t 1 , ( 9 ) , 133-138 54-D.H,Than£, A r e p r e s e n t a t i o n theorem for symrnetric s t a b l e random o p e r a t o r s , Acta Math.Vietnamica ( t o appear) 55JD-.H.Thang, S t o c h a s t i e i n t e g r i s of random p r o c e s s e s w i t h r e s p e c t to v e c t o r s t a b l e random measures Submitted to P r o h a h T h ü e l J i e l d s 56 D.H.Thang, A c t i o n of a random o p e r a t o r to random elements.-Submitted to P r o h a b M a t h S t a t i s t - D.ii.Thang, Gaussian random o p e r a t o r s : Sample path p r o p e r t i e s and a c t i o n to random e l e m e n t s S u b m i t t e d to Mem.Fae.SciJCyushu Univ.Ser.A K.Urbanik,W.A.Woyczynski,Random i n t e g r a l and O r l i c z s p a c e s , B u l l Acad.Polon.Sci.Ser.Math.Astronom.Physis 15(1967),l6l-l69 59 K.Urbanik,Some p r e d i c t i o n problems for s t r i c t l y s t a t i o n a r y p r o c e s s e s , P r o e e e d i n g of F i f t h Berkley Symposiu:c on M a t h S t a t i s t P r o b a b II 1(19671^35-258 60 N N V a k h a n i a , P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s i n l i n e a r spaces.Tbilisi W*A.Woyczynski,Geometry and M a r t i n g a l e s i n Banaeh s p a c e s P a r t Adv.in Probab.4(1978).v267-517 62 N W i e n e r , D l f f e r e n t i a l s p a c e , J o u r n a l M a t h P h y s M a t h I n s t T e e h 2(1923),151-174 II Phy l y c riay g i í i thi'^u ^.-^t so khai ni^!:n,djnri i y cua l y t h u y e t xac s u t t r e n khong gian Banaeh düp'c s¿ dyng lugui an.C¿c chúng minh cung nhü cae thong t i n l i e n quan,ngücJi dpe co the tim dpe t r o n g [ I J [5], [28] , [60}, I5l] Z^ t ^ I B i e n n^áu n h i é n ^ i t r j t r e n khon^ páan Banaeh Giá s i CXI , ?" ) l liipt khong gian düp'c ,P l mpt dp de xac s u t t r e n (-TI , ? ) Ta gpi bp ba ( í ^ , 5^ ,P) l mpt khong gian xác s u t C h o E l a mpt khong gian Banaeh t r a n g bJ B o r e l Ár.h xf g i t r J néu f : S^ —> f l dü^z{ B S'-dfi so O t a eo lim P J II f^(uj) - f (c^)ll > t ] = O / y Phán be cua í ^ ^í^ ^ o ^^9^ ^^^ ^ ^ /^^(B) = TÍch phán Bochner \ f i(cu)dP ^^^ PJo;: f(t^) fc B = P [i"'^(B)] düp'c gpi l ky vpng eúa f vá düpc ky h i f u l Ef Phán bo^ cua i l u c n l a mpt dp Radoi t r e n £(Mpt d^ yu t r e n E düp'e gpi l P^adon neu v é i mpi B ^ / x (B) = sup yUL(K) ir vdi K i a t f p co!r¡pact }; , ^ -r Ky hi-u E' khoug gian dci ngau cüa £ Har:, dfc trüng cua :npt dr f X xac s u a t ju trei L audc djnh ngnia bdi f^{a) = j exp[i(>:,a)|dyu(::) DĨ l mpt h a - tír E» vác C Han d^c trüng cua ^ s fe f e ^"(-H.) o düdc xác djnh nh^: han dfc trüng cúa phán bó cia no túc ^i4X (a) /A.(^) = i expji(^fCu/),a )]dP ac kieu hpi ty cua dáy bien ngáu nhién E-giá trJ la ) Hpi ty hau hháe chan(h,c.e.) : Ta nói / p|ou : neu lin f (co) = b) Kpi ty thec xác sua't : Ta nói f h^i ty t§i r- h.c.c f nP^ f^ hpi ty thec xác suat toi f trcng tcr^c cüe L^(iZ) " o c) Hpi ty thec ohan to: Ta nói f r.gt tv tSi f thec chár be r: ntj hpi ty yeu tói phan bo cua f.Nhc Ifi rang dáy dg^ phan bo cua f_ i^adon ijlX f^ npi ty tSi f n f(cu) - ( hp"i ty yeu tói djnh tren E ta eó Jix lim lf(x)d/u d) Hpi ty trung blnh cap p : i neu vci rripi han; thüc lien tye xác — (f(x)d/u düpc nói hpi ty trung binh cap p tói f( hay hpi ty L'^(il) ) neu ^ Ta có cae müi ten keo theo sau: a) -^ b) fijnh ly Skorokhod nói rang néu f lim (|/f - f 1| dP - O n J n —-^ c) vá d) —?• b ) , ^ hpi ty theo phan bo tói f thi eó n ^ / ton t f i cae b i e n ngáu rJiiéü E - g i a t r J g ,g sac cho *-^ M ' g r /te ^ / f va c n npi ty t o i g ' *^ yu^ n t~ u e c - >i y y ^ l a dp de p - o n d j n h , d o i xung tr'en E (O < p < ; t h i ce ton n h t :-:pt dp doi x\xnc huu h f n / t r é n "jf^t eáu ddn vJ S cua E s a o eho vg ao yC.(a) = expj- f|(x,a)l-^d^Cx)] a ^E» í uupc g c i l a de ac uno cua yU / ^-^r a.' '-^íausc a e i xung co mome-nt r::;-: cap-:^,> ic : —en a¿.nn, Dj.nh -.V / / U02 xung vS < p < 2, ce ;;:.T.cn-: cap r < p va xhonr ce "cnent cap c y AX b) Dp xác suat 'nay phan boj d\:'¿z gpi la ehia ve hfn néu vci mpi n ^ ?T, ce ton tfi ¿p dz xac £:uát yu(a) = ^^ Z lU sac che fyu^(a)J" X yJ ^ Cae dp p-on djnh z!eM la cac phán be ehia ve hfn ^ ^ j Djnh l y ( E i e ' ^ d i é n L e v y - n h i n c h i n ) J , ^ X Néu ^ j px~ l \ dp ¿c c n i a ve J \ J x a c d j n h ¿iho'ng ám vá mpt dp M [o]= O vá hám dye t r ü n g cua fi{a) z expí- MJlIxll > px- M d í i xiing t } eí bieu (Ra.a)/2 - í ^ H düp'e g p i le dp Levy cua é < oc yx ~ S'-hüu hfn t r e n E vói - f i aci xiv^g doi xung tren E thi ec ten tfi mpt toan tü hfch R ; E' — ^ E / hfn t > C sac - che dién - c o s ( x , a ) j dM(x) fxx Neu P = O t a n o i j\x khong co -'^p— ^ ^nann phan Gauss - o i chung :nit dg de v , ^ se duVc gpi l mpt dp dz Levy néu :-pi t > O vá han ' ¿.^ K | o ] - C, 5-_1,-^ ,^.,^ , ^ , , 3: MJ |) x || > t ] < 00 h(a) = expí-íjl - c o ( x , a ) ] dí^(x)l véi l hám d¿:c trün£ cua -iipi, ap xac s u a t Radon t r e n E I I I H m h hoc k.honr: gian Banaeh Khéng gian Banaeh E düpc gpi l cÓ l o f i p ( 4: r ^ day (x^^; e ty n e c E s a s cho c ae ([^ ^ ll x^ ir < oc ta có chuSi 2) néxL véi m5i V x hpi ) l dáy bien ngáu nhién thyc dpe I f p nhfn / cac gxa t r ^ ^ va -1 vdi xac s u a t nhü , va chung mini: d^pc ráng E có l o f i p neu vá cni néu ton t f i hang so" chuu£ Z > O s^c che ^ 11 ¿ oien ngau niiien , J-O * \ f X ^ ^ X x 11 - J ' J ^ vSi :.íicl< i co ky vpnr O va mc:.'ient eáu r nuu hfn n , (^g) Khong gian Banaeh E diipc gpi l l có doi l o f i p (c ^ 2) néu tu sy¿ hpi ^ 0 ty h e C cus chuoi eso ¿2: £^ t a r ú t Thi dy Iixiong gian L ( l ^ Z ' < 2) P co dci l o f i p va eó l o f i có l o f i c yil::^ir < oc' vá khong gian L ( p > ?) P ^ Khong g i a n Banaeh E düpc gpi l eó I c f i p-on djnh ( O < p < 2) néu vdl mol dáy (x ) C E r hpi ty h c c o dó ( sac cho ) T i| x ll" < c>c ;ít, ^ ^ ta ec ehuci Vx Z n n l a day cac b i l n ngau nhién thyc dpc I f p cung phán bo vSi nári: d|.c t r ü n g l exp|-|tr \ TÍnh ehát l o f i p-oh djnh l a npt t í n h chat hlnh hpc Msturey va P i s i a r dá chüng minn rang I; co l o f i p-on djnh neu ve chi néu E khong c hía mp, caen deu Neu E có l o f i p-on ijnn t h i r -Sn'- oa^ r.NÍu E E ce l o f i r - c n djnh vói :r¡pKhong gian Banaeh E dd^íc gpi l p - t r d n deu (1 ^ p ^ 2) cua t í n h t r c n , k y hifu l a o p (t) - p thoá man diéu kuLfn sup) II X + yll + | x - yll düpc l y t r e n t t ca eáe HxlL^ - vá / J néu i^iodulus J>(t) Z O(f^) v é i supre-num |l y 11 = t Khong giar^ i:- dupc gpi l p - t r d n deu hoa n£U E dang cau v é i r-pt khong *** ^ gian p - t r t í n déu.Mpt khong gian p-troT: deu hoa l mpt khong g i a n ce l o f i p.DJnh l y A s s o u a d - P i s i e r cho t a dfC trüng cua khong gian p - trc'n d'éi^ hoa qua mpt b t dung thóc M a r t i n g a l ; E l a mpt khong gian 2: z ' X J JT V -.^ p - t r d n deu hoa ne'u vá chi néu ton t f i hang co' C "^ C sac che ve'i moi M a r t i n g a l (X ) ec t r i t r e n E vá X CL{S\) ta zo * • n E Nhó I f i l l x lf rang dáy n Í: c ¿ E lU: (X ) C ^S{S1) \\.i^\ \] = - p f gpi l m^pt M a r t i n g a l néu X r ^ 3A:Í3 CAC DANK TI'' CHI Z^ DAN d i é u k h i e n 10 :• n ga u n h i en ve e t c 10 :Í ngau n h i e n v e c t c s i n h b e i ('\) ^ f^ 34' n r a u n h i e n v e c t o ^Vienen ' :o c o v a r i a n c e 45 39 ;o dfc t r ü n g 47 :c t r y 98 I f p g i ü a b i e n ngau n h i é n va dp de ngáu n h i é n v e c t o r 55 I f P g: ü s b i e n ngeu n h i é n va t o a n t ^ ngáu n h i é n 65 g glc-^ p - t r e n deu hoa 62 ' hf'p g i ü a b i e n ngau n h i e n vá dp ngáu n h i é n v e c t o r , tu p - t c n r h c a ti klt-j h-S 6I 99 • • 99 t J ec a ? i ngáli k i e u h-S lüC ápng düjíc oho dyng 91 t u n g u n h i é n Ciauss d o i xúng ^ 122 t ¿ n g u n h i é n o n d j n h d o i xiSng 131 phán d o i v é i dp 14 ngau n h i é n v e c t o r n ) - b i e u d i é n düpc 103 109 50 BAI^G cÁc DANH TI'' CKl DAN Dp d i é u k h i e n 10 íp de ngau n h i é n v e c t c 1^-' íj de ngau n h i e n v e c t o s i n h hc'i (:;._^),^ ^'^do n^au n h i e n v^cto Víi'3ri,£r 3^' ' •' Jp de c o v a r i a n c e 39 Jp dfC t r ü n g 47 'p de t r y 98 'p- I f p giuE bié'n ngáu n h i é n va dg ngáu n h i é n v e c t o r 55 *pc I f p gi üs b i e n ngau n h i é n v\ t o a n t u n^^: •hcng g i a n p - t r d n deu h o a nhien - 62 hu npp g i ü a Dien ngau n h i e n va up ao ngau n n i e n v e c t o r 'o/-n t u p - t c n r h o a ban t í ki?u h-S • 99 luO 'ác dpng dü^c üho dyng \ -Z oi 9S toan tu ec u e i ngau k i e u h - S é B5 -^ 91 y^^ oán tu ngáu nhién Gauss doi xúng 122 oán tu ngau nhién on djnh doi xúng 131 ich phan doi voi ep ao -ban n _ V,.p)-biéu dién düpc 14 103 ngau nhien vector 109 ... h a t ed han cua dj vecto ngáu nhien va t i c h phán cua hám / ' J , , y/ t a t dj-nh g i a t r j th^jíc doi v5i chúng.Tiet chiidng I dua r a rn9t so kieu h9i t'^ cua dj vecto ngau nhien va quan... v é i mpt l ü dj vecto ngáu nlaien sinh boi m^t h9 nao cae i J phan bo ehia vo h^n Chudng II dó danh cho viec xay d^ng tich phán ngáu nhien u la ham ngau nhien Z ( udZ § ¿9 vecto ngau nhien on... O r l i c z •- CHrfdNG I I TICH PHM NGAU KHIEK CUA HAM NGAU NEIEN DOI VOI DO DO NGAU IÍEÍÜ;N' VECTO ?N DINH DOI Xl/NG • I Dp ngau n h i e n - v e c t o en d¿.nh d o i xiing ^ 39 ^ 39