Về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Chủ tịch Hội đồng T.M Tập thể hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh GS TSKH Đặng Hùng Thắng HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết viết chung với thầy hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh, đồng ý thầy hướng dẫn đưa vào luận án Những kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Trần Xuân Quý i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm, động viên, khích lệ hướng dẫn tận tình GS TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hai Thầy Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin, Trường ĐH Khoa học, ĐHTN; Bộ mơn Xác suất Thống kê, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng sau Đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, Khoa Sau đại học, ĐHQGHN tạo nhiều điều kiện thuận lợi suốt trình làm nghiên cứu sinh Tác giả xin cảm ơn thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên, tạo điều kiện cho tác giả trình bày giúp tác giả kiểm tra kết nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, hỗ trợ kinh phí cho tác giả trình nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thành viên đại gia đình, ln động viên, chia sẻ chỗ dựa vững mặt NCS Trần Xuân Quý ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kết lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính tất định 1.1.1 Toán tử tuyến tính liên tục 1.1.2 Toán tử liên hợp 1.1.3 Toán tử tự liên hợp, Hermit, chuẩn tắc 10 1.1.4 Định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc, toán tử Hermit 12 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 14 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 14 1.2.2 Một số tính chất 16 1.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 17 1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp 23 1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính 25 iii Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 2.2 29 Định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit 30 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 34 2.2.1 Toán tử ngẫu nhiên chiếu 34 2.2.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 35 Chương Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng không gian unitary xác suất 51 3.1 Không gian Banach xác suất 52 3.2 Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính 63 3.3 Liên hợp toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính khơng gian Hilbert xác suất Kết luận kiến nghị 70 77 Kết luận 77 Kiến nghị nghiên cứu 78 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 Chỉ mục 87 iv Bảng ký hiệu A, F σ-đại số B(S) Tập ánh xạ đo bị chặn S B(X) σ-đại số Borel X C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] H Không gian Hilbert xác suất h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(X) Tập toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị L0 (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên thực phức L+ (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên thực không âm LH (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên H-giá trị K Trường số thực phức (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất Q Tập hợp số hữu tỷ R Tập hợp số thực r(T ) Bán kính phổ tốn tử tuyến tính T R(T ) Miền giá trị tốn tử tuyến tính T σ(T ) Tập phổ tốn tử tuyến tính T X,Y Các khơng gian Banach xác suất v Mở đầu Lý chọn đề tài Môi trường sống môi trường ngẫu nhiên, bị can thiệp tác động nhân tố ngẫu nhiên Chính mà Giải tích mơi trường ngẫu nhiên (gọi tắt Giải tích ngẫu nhiên) lĩnh vực Tốn học phát triển nhanh mạnh lý thuyết ứng dụng Một số lượng lớn báo Giải tích ngẫu nhiên tóm tắt Math.Review minh chứng điều Giải tích ngẫu nhiên mang tính liên ngành, có quan hệ mật thiết với nhiều chuyên ngành toán học khác Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính hướng nghiên cứu lớn Giải tích ngẫu nhiên Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu khơng mở rộng từ tất định sang ngẫu nhiên lý thuyết tốn tử tuyến tính mà tầm ứng dụng rộng lớn nhiều ngành khoa học khác Nếu lý thuyết tốn tử tuyến tính tất định lâu đài đồ sộ toán học, tích lũy nội dung phong phú, kết phương pháp ứng dụng nhiều ngành khác toán học lý thuyết tốn ứng dụng lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính non trẻ giai đoạn phát triển ban đầu Hiện lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thu số kết mới, lý thú với nhiều tốn bỏ ngỏ (xem [38]-[48]) Hơn nửa kỷ trở lại đây, hướng nghiên cứu nhận quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết Tuy nhiên, phần lớn kết nghiên cứu lý thuyết toán tử ngẫu nhiên lại tập trung vào phương trình tốn tử ngẫu nhiên, chủ yếu điểm bất động ngẫu nhiên, mở rộng kết cách riêng lẻ, không hệ thống Khởi đầu với kết nghiên cứu điểm bất động ngẫu nhiên O Hans A Spacek năm 1950 (xem [25]-[28]) Sau kết này, nhiều kết mở rộng chứng minh Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên thực tiếp thêm sức mạnh đời sách Random integral equations (1972) A.T Bharucha-Reid Với kết nghiên cứu A.V Skorohod tác giả sách Random Linear Operators (1984), nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên khơng gian Hilbert, xem xét hội tụ yếu mạnh toán tử ngẫu nhiên, hàm toán tử ngẫu nhiên, phương trình tích phân ngẫu nhiên Đã thu hút nhiều nhà toán học mở rộng kết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Nhiều nhà tốn học thành cơng việc mở rộng kết Cụ thể hơn, gần nhóm nghiên cứu đứng đầu Guo Tiexin thu nhiều kết ngẫu nhiên hóa kết giải tích hàm (xem [20]-[24]) Trong nước, dẫn đầu GS Đặng Hùng Thắng nhóm học trò, từ cuối năm 1980 trở lại bắt đầu nghiên cứu lý thuyết toán tử ngẫu nhiên thu nhiều kết (xem [38]-[48]) Cụ thể, hướng điểm bất động ngẫu nhiên phương trình ngẫu nhiên cơng bố cơng trình tiêu biểu [2],[46],[48]; thác triển toán tử ngẫu nhiên [3],[45] Một chủ đề lớn “chính thống” lý thuyết tốn tử tuyến tính (tất định) lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính (gọi tắt lý thuyết phổ) Theo hiểu biết chúng tôi, kết nghiên cứu lý thuyết phổ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính đến tương đối Thành thử chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Về độ đo phổ ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính” với hy vọng gặt hái kết lĩnh vực nghiên cứu đầy hứa hẹn Mục tiêu nghiên cứu Tìm dạng ngẫu nhiên định lý phổ tất định (chẳng hạn định lý biểu diễn phổ toán tử chuẩn tắc, toán tử tự liên hợp ) Nói cách khác mục tiêu luận án mở rộng định lý phổ tốn tử tuyến tính tất định sang trường hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Đối tượng nghiên cứu Các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng công cụ kết xác suất, giải tích, giải tích hàm (lý thuyết tốn tử tuyến tính, khơng gian Hilbert), lý thuyết độ đo véc tơ, lý thuyết xác suất không gian vô hạn chiều Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án bổ sung làm phong phú thêm lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Nếu lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính tất định có nhiều áp dụng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, vật lý học có sở để hy vọng lý thuyết phổ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính tìm áp dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên, phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên, vật lý thống kê, vật lý lượng tử Cấu trúc luận án Luận án trình bày ba chương Chương 1: Trình bày thống số khái niệm số kết tác giả khác mà sử dụng phần sau luận án Trước tiên chúng tơi trình bày lại số khái niệm kết tốn tử tuyến tính tất định, độ đo phổ tất định, tích phân hàm đo bị chặn độ đo phổ tất định số kết liên quan, chẳng hạn như: Định lý hội tụ bị chặn độ đo phổ tất định kết biểu diễn phổ toán tử tất định xây dựng phiên ngẫu nhiên Chương Tiếp theo chúng tơi trình bày lại khái niệm toán tử ngẫu nhiên tuyến tính số kết đạt tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Chương 2: Trình bày phần kết luận án biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính: trước tiên chúng tơi đưa định nghĩa độ đo phổ ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên chiếu độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Xây dựng tích phân hàm đo bị chặn độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Chứng minh định lý hội tụ bị chặn độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng có độ đo phổ ngẫu nhiên Chương 3: Chúng đưa khái niệm không gian ngẫu nhiên tổng quát, chẳng hạn như: không gian tuyến tính xác suất, khơng gian định chuẩn xác suất, không gian Banach xác suất không gian Hibert xác suất Tiếp theo chúng tơi trình bày khái niệm tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính, mở rộng số kết đạt không gian ngẫu nhiên tổng quát Chúng chứng minh phiên ngẫu nhiên định lý biểu diễn Riesz Ngẫu nhiên hóa kết Friedrichs - Stone -Wintner trường hợp tất định cho toán tử đối xứng nửa bị chặn Chỉ Φ : D(Φ) → H tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp α số phức với phần ảo khác khơng Φα = αI − Φ : D(Φ) → H song ánh (Φα )−1 : H → H toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc Hà Nội, ngày 05 tháng 15 năm 2015 Tác giả luận án NCS Trần Xuân Quý Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kết lý thuyết phổ toán tử tuyến tính tất định Trong mục trình bày tốn tử tuyến tính liên tục, tốn tử tuyến tính liên hợp, đối xứng, chuẩn tắc, tự liên hợp, định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc Một số kết liên quan đến toán mở rộng cho toán tử ngẫu nhiên trình bày 1.1.1 Tốn tử tuyến tính liên tục Giả sử H1 H2 hai không gian vector trường K Tốn tử tuyến tính T từ H1 vào H2 ánh xạ tuyến tính từ D(T ) vào H2 (với D(T ) không gian H1 , ta viết T : D(T ) ⊂ H1 → H2 ) D(T ) gọi miền xác định T, tập hợp R(T ) = {T x : x ∈ D(T )} gọi miền giá trị T (hay ảnh T ) Vì xét tốn tử tuyến tính, nên xuyên suốt phần ta thống gọi tốn tử thay gọi tốn tử tuyến tính Nếu H1 = H2 = H T gọi toán tử H Toán tử từ H vào K gọi phiếm hàm tuyến tính Miền giá trị tốn tử T khơng gian H2 Một toán tử đơn ánh T x = suy x = Trong trường hợp toán tử ngược T −1 T xác định sau D(T −1 ) = R(T ), T −1 y = x với y = T x ∈ R(T ) Ta có T −1 toán tử từ H2 vào H1 Với toán tử T từ H1 vào H2 a ∈ K, toán tử aT xác định sau D(aT ) = aD(T ), (aT )x = a(T x) với x ∈ D(aT ) Xét hai toán tử S, T từ H1 vào H2 , toán tử tổng S + T xác định sau D(S + T ) = D(S) ∩ D(T ), (S + T )x = Sx + T x với x ∈ D(S + T ) Nếu S toán tử từ H1 vào H2 T toán tử từ H2 vào H3 tốn tử tích T S định nghĩa sau D(T S) = {x ∈ D(S) : Sx ∈ D(T )}, (T S)x = T (Sx) với x ∈ D(T S) Giả sử S T hai toán tử từ H1 vào H2 Toán tử T gọi mở rộng (hay thác triển) S ta có D(S) ⊂ D(T ) Sx = T x với x ∈ D(S) Ta ký hiệu S ⊂ T Giả sử H1 H2 hai không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng · 1, · Toán tử T từ H1 vào H2 gọi liên tục x ∈ D(T ) nếu, với dãy (xn ) ⊂ D(T ) thỏa mãn limn xn = x ta có limn T xn = T x Toán tử T gọi liên tục liên tục với x ∈ D(T ) Toán tử T gọi bị chặn tồn C để T x C x với x ∈ D(T ) Định lý 1.1.1 ([50], Định lý 4.2) Giả sử T tốn tử từ H1 vào H2 Khi ta có khẳng định sau tương đương: (a) T liên tục, (b) T liên tục 0, (c) T bị chặn T toán tử bị chặn từ H1 vào H2 , chuẩn T xác định sau T = inf{C : Tx C x với x ∈ D(T )} Ký hiệu L(H1 , H2 ) tập toán tử bị chặn từ H1 vào H2 với miền xác định H1 , ta có L(H1 , H2 ), khơng gian định chuẩn, H2 khơng gian Banach L(H1 , H2 ), không gian Banach Nếu S ∈ L(H1 , H2 ) T ∈ L(H2 , H3 ) T S ∈ L(H1 , H3 ) với chuẩn · 23 D(T S) = {x ∈ H1 : Sx ∈ D(T ) = H2 } = H1 T Sx S T 23 x với x ∈ H1 Ta ký hiệu L(H) thay cho L(H, H) Với S, U, T ∈ L(H) ta có S(T + U ) = ST + SU, (S + T )U = SU + T U Toán tử I với miền xác định D(I) = H Ix = x với x ∈ H Dễ thấy I = IT = T I = T với T ∈ L(H) Ta gọi I toán tử đồng H Toán tử T : D(T ) ⊂ H1 → H2 gọi xác định trù mật D(T ) tập trù mật H1 Định lý 1.1.2 ([50], Định lý 4.5) Giả sử T tốn tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian định chuẩn H1 vào khơng gian Banach H2 Khi tồn toán tử mở rộng bị chặn S T cho D(S) = D(T ), ta có S = T Tiếp theo ta xét phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định không gian Hilbert H Định lý biểu diễn Riesz định lý có ý nghĩa tồn lý thuyết không gian Hilbert Định lý 1.1.3 (F Riesz) ([50], Định lý 4.8) Với a ∈ H tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục Ta với D(Ta ) = H Ta (x) = a, x (1.1) Ta = a (1.2) với Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục Ta khơng gian Hilbert H biểu diễn cách dạng (1.1) a ∈ H thỏa mãn (1.2) Tiếp theo, nhắc lại khái niệm giá trị riêng, vector riêng, tập phổ tập giải toán tử (toán tử tuyến tính tất định) Số z gọi giá trị riêng toán tử T tồn x ∈ D(T )\{0} cho T x = zx, nghĩa tốn tử z −T = zI −T khơng phải đơn ánh (Ker(z −T ) = {0}) Phần tử x gọi vector riêng toán tử T ứng với giá trị riêng z Không gian Ker(z −T ) gọi không gian giá trị riêng z Nếu z giá trị riêng tốn tử T ta đặt R(z, T ) = (z − T )−1 Tập hợp ρ(T ) = {z ∈ K : z − T đơn ánh, R(z, T ) ∈ L(H)} gọi tập giải toán tử T , với K trường số thực phức Nếu tốn tử T khơng đóng z −T R(z, T ) khơng đóng, ρ(T ) = ∅ Nếu tốn tử T đóng theo định lý đồ thị đóng ta có ρ(T ) = {z ∈ K : z −T song ánh} Ánh xạ R(., T ) : ρ(T ) → L(H) , z → R(z, T ) gọi giải toán tử T Với z ∈ ρ(T ) toán tử R(z, T ) gọi giải toán tử T điểm z Tập hợp σ(T ) = K\ρ(T ) gọi tập phổ toán tử T 1.1.2 Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.1.4 Giả sử H1 , H2 khơng gian Hilbert tốn tử T : D(T ) ⊂ H1 → H2 với miền xác định D(T ) trù mật Toán tử T ∗ : D(T ∗ ) ⊂ H2 → H1 với miền xác định D(T ∗ ) sau D(T ∗ ) = {y ∈ H2 : phiếm hàm x → T x, y liên tục D(T )} thỏa mãn T x, y = x, T ∗ y với x ∈ D(T ), y ∈ D(T ∗ ), gọi toán tử liên hợp T Tương tự, ta ký hiệu T ∗∗ toán tử liên hợp T ∗ Định lý 1.1.5 ([50], Định lý 4.14) Giả sử T toán tử xác định trù mật từ H1 vào H2 Khi (a) T bị chặn T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) (b) Nếu T bị chặn T = T ∗ (c) Nếu T bị chặn T ∗∗ thác triển liên tục tốn tử T lên tồn không gian H1 Với T ∈ L(H1 , H2 ) ta có T ∗∗ = T Nếu S T xác định trù mật từ H1 vào H2 S ⊂ T T ∗ ⊂ S ∗ Ta có kết sau Định lý 1.1.6 ([50], Định lý 4.19, 4.20) Giả sử T1 , T2 tương ứng toán tử xác định trù mật từ H1 vào H2 từ H2 vào H3 Khi (a) Nếu T2 T1 xác định trù mật, ta có T1∗ T2∗ ⊂ (T2 T1 )∗ (b) Nếu T2 ∈ L(H2 , H3 ), ta có (T2 T1 )∗ = T1∗ T2∗ Giả sử S, T toán tử từ H1 vào H2 , (a) Nếu T xác định trù mật, ta có (aT )∗ = aT ∗ , ∀a = (b) Nếu T1 + T2 xác định trù mật, ta có T1∗ + T2∗ ⊂ (T1 + T2 )∗ (c) Nếu S ∈ L(H1 , H2 ) T xác định trù mật, ta có (T1 + T2 )∗ = T1∗ + T2∗ 1.1.3 Toán tử tự liên hợp, Hermit, chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.7 Tốn tử T khơng gian Hilbert H gọi đối xứng T x, y = x, T y với x, y ∈ D(T ) Tốn tử T xác định trù mật khơng gian Hilbert H gọi toán tử chuẩn tắc bị chặn T T ∗ = T ∗ T Tốn tử T khơng gian Hilbert H gọi tự liên hợp T = T ∗ Tốn tử T khơng gian Hilbert H gọi Hermit bị chặn, D(T ) = H đối xứng 10 Toán tử tự liên hợp toán tử chuẩn tắc Nếu T toán tử chuẩn tắc z + T tốn tử chuẩn tắc, với z ∈ K Nếu T đối xứng D(T ) = H T tự liên hợp Định lý 1.1.8 ([50], Định lý 5.23, 5.24) (a) Tốn tử đối xứng T khơng gian Hilbert phức H tự liên hợp σ(T ) ⊂ R (b) Nếu toán tử T tự liên hợp khẳng định sau tương đương (i) z ∈ ρ(T ) (ii) tồn c > cho (z − T )x c x với z ∈ D(T ), nghĩa (z − T ) đơn ánh R(z, T ) < c−1 (iii) R(z − T ) = H Kết đảm bảo tồn toán tử tự liên hợp mở rộng lớp toán tử đối xứng Một tốn tử đối xứng S khơng gian Hilbert H gọi bị chặn tồn γ ∈ R cho x, Sx γ x với x ∈ D(S) Định lý 1.1.9 ([50], Định lý 5.32) Giả sử S toán tử đối xứng không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện tồn γ ∈ R cho x, Sx γ x với x ∈ D(S) Khi với θ < γ tồn toán tử mở rộng tự liên hợp Tθ S thỏa mãn x, Tθ x θ x , ∀x ∈ D(Tθ ) Định lý sau kết mở rộng cho toán tử Hermit bị chặn Định lý 1.1.10 ([50], Định lý 5.33) Giả sử S toán tử Hermit bị chặn khơng gian Hilbert H tồn toán tử mở rộng tự liên hợp T ∈ L(H) S thỏa mãn T = S Nếu R(S) trù mật tốn tử thác triển tự liên hợp S đơn ánh 11 1.1.4 Định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc, toán tử Hermit Trong phần chúng tơi trình bày độ đo phổ định lý phổ cho toán tử chuẩn tắc toán tử Hermit Kết ngẫu nhiên hóa cho vấn đề trường hợp ngẫu nhiên trình bày chương Xét H khơng gian Hilbert, M khơng gian đóng H Khi với x ∈ H có biểu diễn dạng x = u + v với u ∈ M v ∈ M ⊥ Xét ánh xạ P với D(P ) = H P x = u P tốn tử tuyến tính H, gọi toán tử chiếu trực giao M Nếu M = {0} P = 0, M = {0} P = Vì P x = x ∀x ∈ M nên ta có P = P P = P Ta lại có R(P ) = M, Ker(P ) = M ⊥ Để đơn giản, ta gọi toán tử chiếu trực giao tốn tử chiếu Ta có định nghĩa độ đo phổ sau Định nghĩa 1.1.11 (xem [11], Chương 5, độ đo phổ tích phân, xem [15, 18] ) Cho tập hợp S, A σ−đại số tập S, H không gian Hilbert, độ đo phổ (S, A, H) ánh xạ E : A → L(H) thỏa mãn điều kiện sau; (a) với M ∈ A, ánh xạ E(M ) toán tử chiếu; (b) E(∅) = E(S) = I; (c) E(M ∩ N ) = E(M )E(N ) với M, N ∈ A; (d) {Mn }∞ n=1 dãy tập đơi rời A E ∪∞ n=1 Mn = ∞ E(Mn ) n=1 Nếu E độ đo phổ (S, A, H) x, y ∈ H Ex,y (M ) = E(M )x, y 12 độ đo σ− cộng tính A với biến phân tồn phần khơng vượt q x y Với ánh xạ f : S → K đo bị chặn ta có định nghĩa tích phân hàm đo bị chặn độ đo phổ E ký hiệu S f E(ds) (xem [11], trang 130) Định lý hội tụ bị chặn lý thuyết độ đo kết kinh điển, chìa khóa kết mở rộng sau Đối với độ đo phổ có kết tương tự Kết định lý hội tụ bị chặn độ đo phổ Định lý 1.1.12 (xem [11], Định lý trang 132) Giả sử E độ đo phổ (S, A, H) Giả sử (fn ) dãy hàm B(S) thỏa mãn, tồn M > để fn M với n Nếu limn→∞ fn = f, với x ∈ H ta có lim n→∞ S fn (s)E(ds)x = S f (s)E(ds)x (1.3) Kết sau thể mối liên hệ độ đo phổ với toán tử chuẩn tắc toán tử Hermit Định lý 1.1.13 (xem [15, 18, 50, 51]) Nếu E độ đo phổ (S, A, H) f : S → C hàm đo bị chặn, T = S f E(dz) toán tử chuẩn tắc, nghĩa T T ∗ = T ∗ T Giả sử T toán tử chuẩn tắc tập phổ σ(T ) ⊂ C Khi σ(T ) tập compact tồn độ đo phổ E xác định tập Borel σ(T ) thỏa mãn T = σ(T ) zE(dz) Giả sử T toán tử Hermit tập phổ σ(T ) ⊂ R Khi σ(T ) tập compact tồn độ đo phổ E xác định tập Borel σ(T ) thỏa mãn T = σ(T ) 13 λE(dλ) 1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Tương tự trường hợp tất định, chúng tơi đưa khái niệm tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn theo nghĩa hầu chắn, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục Định lý 1.2.15 điều kiện cần đủ để toán tử ngẫu nhiên bị chặn chứng minh GS Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh (xem báo [43]) 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ Giả sử X Y không gian Banach khả ly (Ω, F, P ) không gian xác suất đầy đủ LX (Ω) tập hợp biến ngẫu nhiên Ω nhận giá trị X (X−giá trị) Định nghĩa 1.2.1 (xem [38, 43]) Một ánh xạ A từ X vào LY0 (Ω) gọi ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y hay gọi ánh xạ ngẫu nhiên Y −giá trị với miền xác định X Ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vào Y gọi ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính với x1 , x2 ∈ X λ1 , λ2 ∈ R ta có A(λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 A(x1 ) + λ2 A(x2 ) h.c.c (1.4) Chú ý rằng, tập bỏ qua nói chung phụ thuộc vào λ1 , λ2 x1 , x2 Ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vào Y gọi liên tục ngẫu nhiên x0 ∈ X p − x→x lim Ax = Ax0 14 (1.5) tức lim P ( Ax − Ax0 > t) = ∀t > x→x0 Ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y gọi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y (hay gọi tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Y − giá trị với miền xác định X) tuyến tính liên tục ngẫu nhiên Họ (ui , i ∈ I) biến ngẫu nhiên Y −giá trị gọi bị chặn ngẫu nhiên (hay bị chặn theo xác suất) lim sup P ( ui > t) = 0, (1.6) t→∞ i∈I gọi bị chặn (hay bị chặn hầu chắn) tồn biến ngẫu nhiên thực k(ω) cho với i ∈ I ui (ω) k(ω) h.c.c., (1.7) với tập ω thỏa mãn bất đẳng thức (1.7) phụ thuộc vào i ∈ I Dưới ví dụ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Các ví dụ trình bày tài liệu [3, 7],[38]-[45] Ví dụ 1.2.2 Giả sử X không gian Fréchet Y không gian Banach, B : Ω → L(X, Y ) biến ngẫu nhiên Ánh xạ A : X → Y xác định sau, với x ∈ X ta có Ax(ω) = B(ω)x tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Ví dụ 1.2.3 (Chuỗi ngẫu nhiên) Cho (fn )n dãy ánh xạ tuyến tính tất định đo từ X vào Y (với X, Y không gian Banach khả ly), (αn )n ⊂ L0 (Ω) Giả sử với x ∈ X chuỗi theo xác suất Khi phép tương ứng ∞ x −→ αn fn (x) n=1 15 ∞ n=1 αn fn (x) hội tụ xác định tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y Ví dụ 1.2.4 (Tích phân ngẫu nhiên) Cho (Wt , t ∈ [0, 1]) chuyển động Brown [0, 1] Với hàm x = x(t) ∈ L2 ([0, 1]) đặt Ax(t) = t x(s)dW (s) Khi Ax hàm ngẫu nhiên liên tục [0, 1], nên xem Ax(t) biến ngẫu nhiên nhận giá trị C[0, 1] Do đó, phép tương ứng x −→ Ax cho ta tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L2 ([0, 1]) vào C[0, 1] 1.2.2 Một số tính chất Theo định nghĩa, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ X vào LY0 (Ω) Ta có khẳng định sau Định lý 1.2.5 ([38], Định lý 1.3a) Giả sử A : X → LY0 (Ω) ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính Khi A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính lim sup P t→∞ x Ax > t = Định lý 1.2.6 ([38], Định lý 1.3b, Định lý đồ thị đóng cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính) Giả sử A : X → LY0 (Ω) ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính Khi A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính với dãy (xn ) ⊂ X cho limn xn = x p-limn Axn = ϕ, ta có Ax = ϕ h.c.c Định lý 1.2.7 ([38], Định lý 1.3c, Nguyên lý bị chặn cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính) Giả sử Ai : X → Y, i ∈ I họ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thỏa mãn: Với x ∈ X ta có lim sup P t→∞ i∈I Ai x > t = 16 Khi ta có lim sup sup P t→∞ x Ai x > t = i∈I Định lý 1.2.8 ([38], Định lý 1.3d, Định lý Banach-Steinhaus cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính) Giả sử An : X → Y, n = 1, 2, dãy toán tử ngẫu nhiên tuyến tính cho với x ∈ X ta có (An x) hội tụ LY0 (Ω) Khi ánh xạ A : X → LY0 (Ω) xác định Ax = p - n→∞ lim An x, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 1.2.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Trong mục này, nhắc lại hai khái niệm bị chặn tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính số kết liên quan tới hai khái niệm Định nghĩa 1.2.9 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ X vào Y gọi bị chặn ngẫu nhiên họ biến ngẫu nhiên Y − giá trị {Ax, x ∈ B} bị chặn ngẫu nhiên, tức lim sup P Ax > t = 0, t→∞ x∈B B = {x ∈ X : x (1.8) 1} Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ X vào Y gọi bị chặn tồn biến ngẫu nhiên không âm k(ω) cho với x ∈ X ta có Ax(ω) k(ω) x h.c.c (1.9) Chú ý rằng, tập bỏ qua bất đẳng thức (1.9) phụ thuộc vào x 17 Ví dụ 1.2.10 Cho T1 , T2 , , Tn ∈ L(X, Y ) α1 , , αn biến ngẫu nhiên thực Khi ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính A xác định n Ax = αi Ti x i=1 tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ X vào Y Ví dụ 1.2.11 Cho K(s, t, ω) hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo mẫu xác định liên tục [0, 1] × [0, 1] Với x(t) ∈ C[0, 1] ta đặt Ax(t, ω) = K(s, t, ω)x(s)ds Khi A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ C[0, 1] vào Ta lại có |Ax(t, ω)| x |K(s, t, ω)|ds K(ω) x , A toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Trong trường hợp tốn tử tuyến tính tất định, ta có kết tính liên tục tương đương với tính bị chặn Trong mơi trường ngẫu nhiên kết Định lý điều Định lý 1.2.12 ([43], Mệnh đề 2.2) Nếu A toán tử ngẫu nhiên tuyến tính tính liên tục ngẫu nhiên A tương đương với tính bị chặn ngẫu nhiên Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng thiết bị chặn Ví dụ cho ta minh họa tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng bị chặn Ví dụ 1.2.13 (xem [43], Ví dụ 2) Xét ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính A từ L2 [0, 1] vào C[0, 1] xác định sau Ax(t) = t x(s)dW (s) 18 Ta toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng bị chặn Thật vậy, dễ thấy A tuyến tính Trước hết ta chứng minh A liên tục ngẫu nhiên Thật theo bất đẳng thức martingale ta có P ( Ax > r) = P t sup t∈[0,1] E r2 x(s)dW (s) > r2 x x(s)dW (s) = r Như = t→∞ t2 lim sup P ( Ax > t) t→∞ x lim Theo Định lý 1.2.12 A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L2 [0, 1] vào C[0, 1] Tiếp theo ta A không bị chặn Thật vậy, với h ∈ (0, 1/e) ta đặt xh (t) hàm thực [0, 1] xác định sau       √1−h √ xh (t) =     0 2h ln ln(1/h) t h, h < t Ta có xh ∈ L2 [0, 1] xh = = x2h (t)dt = h dt (1 − h)2h ln ln(1/h) → h → 2(1 − h) ln ln(1/h) (1.10) Tuy nhiên Axh (ω) = sup Axh (t) Axh (1) = t xh (t)dW (t) = W (h) 2h ln ln(1/h) Theo luật loga lặp q trình Wiener ta có lim sup Axh (ω) h.c.c h→0 Vì (Wt ) q trình liên tục, nên ta có lim sup Axh (ω) h∈Q h→0 19 h.c.c., (1.11) với Q tập số hữu tỉ Nếu A bị chặn, tồn biến ngẫu nhiên không âm k(ω) cho Axh (ω) k(ω) xh h.c.c Vì tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D h ∈ Q ta có k(ω) xh → h → Axh (ω) (1.12) Do (1.10), (1.11) (1.12) mâu thuẫn nên A không bị chặn Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn bị chặn ngẫu nhiên Dưới ví dụ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn ngẫu nhiên khơng bị chặn Ví dụ 1.2.14 (xem [43], Ví dụ 3) Ta xác định tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ L2 [0, 1] vào L2 [0, 1] xác định sau: t Ax(t) = x(s)dW (s) Trước hết, ta chứng minh A bị chặn theo xác suất Thật vậy, ta có E Ax r2 P ( Ax > r) Nhưng  E Ax = E = = 1 t 0  t E  x(s)dW (s) dt x(s)dW (s) t x2 (s)ds x (s)dsdt   dt dt = x 2, nên ta có lim sup P ( Ax > r) r→∞ x 20 lim r→∞ = r2 Theo Định lý 1.2.12 A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L2 [0, 1] vào L2 [0, 1] Bây ta A không bị chặn Thật vậy, với < h < 1/e ta đặt xh (t) hàm thực [0, 1] xác định       √1−h √ xh (t) =     0 2h ln ln(1/h) t h, h < t Ta có xh ∈ L2 [0, 1] xh = = x2h (t)dt = h dt (1 − h)2h ln ln(1/h) → h → 0, 2(1 − h) ln ln(1/h) (1.13)      √1   1−h √2h ln ln(1/h) W (t) t < h,      √1−h √ h t Axh (t) =  W (h) 2h ln ln(1/h) Do Axh (ω) = 1 h |Axh (t, ω)|2 dt [W (h)]2 |Φxh (t, ω)| dt = 2h ln ln(1/h) Theo luật loga lặp trình Wiener lim sup Axh (ω) h.c.c (1.14) h→0 Nếu Φ bị chặn theo định nghĩa tồn biến ngẫu nhiên k(ω) cho Axh (ω) k(ω) xh h.c.c (1.15) Do (1.13), (1.14) (1.15) mâu thuẫn nên A không bị chặn Kết đưa điều kiện cần đủ để toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 21 Định lý 1.2.15 ([43], Định lý 3.1) Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ X vào Y bị chặn tồn ánh xạ TA : Ω → L(X, Y ) thỏa mãn Ax(ω) = TA (ω)x h.c.c (1.16) Nhận xét 1.2.16 Theo Định lý 1.2.15, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A từ X vào Y xem họ toán tử bị chặn từ X vào Y tham số hóa tập Ω, ta ký hiệu A = {A(ω) : ω ∈ Ω} đó, ω ∈ Ω A(ω) ∈ L(X, Y ) Định lý 1.2.17 Xét A : X → Y tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Xác định ánh xạ A˜ LX (Ω) sau ˜ Au(ω) = TA (ω)(u(ω)) Y Khi A˜ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ LX (Ω) vào L0 (Ω) Kết với toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A : X → LY0 (Ω) thác triển thành tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Y liên tục A˜ : LX (Ω) → L0 (Ω) cách đặt ˜ Au(ω) = TA (ω)(u(ω)) với u ∈ LX (Ω) Như vậy, A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn ta coi A Y tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A˜ từ LX (Ω) vào L0 (Ω) Tiếp theo đưa khái niệm hợp thành hai toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.2.18 Giả sử A, B tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ X vào X, hợp thành AB : X → LX (Ω) xác định sau ˜ (AB)(x) = A(Bx) 22 Từ phần sau luận án, để rút gọn A˜ A ký hiệu A Khi ta viết (AB)(x) = A(Bx) Bổ đề 1.2.19 Nếu A, B tốn tử nhẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ X vào X AB tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn thỏa mãn TAB (ω) = TA (ω)TB (ω) h.c.c 1.2.4 (1.17) Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp Giả sử H khơng gian Hilbert khả ly, với tích , Từ phần trở đi, ta gọi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ H vào H tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính H Định nghĩa 1.2.20 Cho A, B toán tử ngẫu nhiên tuyến tính H Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính B gọi liên hợp A với x, y ∈ H ta có Ax, y = x, By h.c.c Đặt A∗ = B, phần sau luận án, ta sử dụng ký hiệu A∗ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A tồn Trong trường hợp tổng quát, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng thiết phải có liên hợp (xem [39]) Dễ dàng rằng, liên hợp toán tử ngẫu nhiên tuyến tính tồn Kết trình bày điều kiện cần đủ để toán tử ngẫu nhiên tuyến tính có liên hợp Định lý 1.2.21 ([39], Định lý 3.5) Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A có liên hợp với sở (en ) H ta có ∞ | Aen , y |2 < ∞ h.c.c., với y ∈ H n=1 23 Ví dụ 1.2.22 Xét (ξn ) dãy biến ngẫu nhiên phức độc lập phân bố thỏa mãn Eξn = 0, E|ξn |2 = Với x ∈ H ta có ∞ E| x, ek ξk |2 = k=1 ∞ k=1 Vì chuỗi ∞ | x, ek |2 = x < ∞ k=1 x, ek ξk hội tụ hầu chắn Lấy a ∈ H cho a = Xét ánh xạ A : H → LH (Ω) xác định sau ∞ Ax = a x, ek ξk k=1 Khi A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Ta có Aek , e1 = aξk , e1 = ξk a, e1 Tồn em thỏa mãn a, em = ∞ | Aen , em |2 = | a, em |2 n=1 ∞ |ξn |2 = ∞ h.c.c n=1 Theo Định lý 1.2.21, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A khơng có liên hợp Ví dụ 1.2.23 Xét (Tn ) dãy tốn tử tuyến tính liên tục tất định H (ξn ) dãy biến ngẫu nhiên Gauss độc lập phân bố với kỳ vọng phương sai Giả sử với x ∈ H ta có ∞ Tn x < ∞ n=1 Khi với x ∈ H chuỗi ∞ n=1 ξn Tn x hội tụ LH (Ω) Theo Định lý Banach-Steinhaus, ánh xạ A : H → LH (Ω) xác định sau Ax = ∞ n=1 ξn Tn x tuyến tính liên tục, xác định 24 tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A có liên hợp với x ∈ H chuỗi ∞ n=1 Tn∗ x < ∞ Bổ đề 1.2.24 Giả sử toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A bị chặn Khi A có liên hợp A∗ Hơn A∗ bị chặn thỏa mãn TA∗ (ω) = TA (ω)∗ h.c.c., (1.18) Với u, v ∈ LH (Ω) ta có Au(ω), v(ω) = u(ω), A∗ v(ω) h.c.c Định nghĩa 1.2.25 Giả sử A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert khả ly H • A gọi tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit bị chặn A = A∗ • A gọi tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc bị chặn AA∗ = A∗ A 1.2.5 Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Khái niệm tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính GS Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh đưa chứng minh định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến suy rộng tuyến tính tự liên hợp báo [47] Định nghĩa 1.2.26 ([47], Định nghĩa 2.1) Tập M LH (Ω) gọi khơng gian tuyến tính ngẫu nhiên u1 , u2 ∈ M, ξ1 , ξ2 ∈ L0 (Ω) ξ1 u1 + ξ2 u2 ∈ M 25 Giả sử M khơng gian tuyến tính ngẫu nhiên Ánh xạ Φ : M → LH (Ω) gọi ánh xạ ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính với u1 , u2 ∈ M, ξ1 , ξ2 ∈ L0 (Ω) ta có Φ(ξ1 u1 + ξ2 u2 ) = ξ1 Φ(u1 ) + ξ2 Φ(u2 ) h.c.c Ánh xạ ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ : M → LH (Ω) với miền xác định trù mật gọi toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Miền xác định M Φ ký hiệu D(Φ) Nhận xét 1.2.27 Giả sử A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Khi A thác triển thành tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Thật vậy, xét [H] tập biến ngẫu nhiên u nhận giá trị H có dạng n u= ξi xi , i=1 với ξi ∈ L0 , xi ∈ H Dễ thấy [H] khơng gian ngẫu nhiên tuyến tính Xác định tốn tử ΦA : [H] → LH (Ω) sau n ΦA u = ξi Axi i=1 Ta có ΦA tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính ΦA thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A Giả sử Φ : D(Φ) → LH (Ω) toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính với miền xác định trù mật D(Φ) Xét M∗ tập hợp phần tử v ∈ LH (Ω), tồn g ∈ LH (Ω) cho với u ∈ D(Φ) có Φu, v = u, g Ta có biến ngẫu nhiên g xác định với v Đặt g = Φ∗ v Ta thu ∗ ∗ ánh xạ Φ∗ : M∗ → LH (Ω), với miền xác định M , ký hiệu D(Φ ) Ta có D(Φ∗ ) khơng gian tuyến tính ngẫu nhiên Φ∗ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 26 Định nghĩa 1.2.28 Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ∗ : D(Φ∗ ) −→ LH (Ω) gọi liên hợp Φ thỏa mãn quan hệ sau Φu, v = u, Φ∗ v (1.19) với u ∈ D(Φ), v ∈ D(Φ∗ ) Định nghĩa 1.2.29 Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ gọi liên tục liên tục ngẫu nhiên, tức là, với dãy (un ) ⊂ D(Φ) cho limn un = u ∈ D(Φ) ta có limn Φun = Φu Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ gọi bị chặn tồn biến ngẫu nhiên không âm k(ω) cho với u ∈ D(Φ) ta có Φu(ω) k(ω) u(ω) h.c.c Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật D(Φ) gọi đối xứng Φ ⊂ Φ∗ , nghĩa Φu, v = u, Φv ∀u, v ∈ D(Φ) Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ gọi chuẩn tắc bị chặn ΦΦ∗ = Φ∗ Φ Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật D(Φ) gọi tự liên hợp Φ = Φ∗ Ví dụ 1.2.30 Giả sử tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A đối xứng Khi tốn tử mở rộng ΦA : [H] → LH (Ω) A đối xứng Đối với toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính có kết tương tự tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Kết trích dẫn báo [47] 27 Định lý 1.2.31 ([47], Định lý 2.5) Giả sử Φ : D(Φ) → LH (Ω) toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn Khi Φ thác triển thành tốn tử ngẫu ˆ : LH (Ω) → LH (Ω) Vì nhiên suy rộng tuyến tính liên tục bị chặn Φ 0 khơng giảm tính tổng qt, giả sử miền xác định toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn tồn khơng gian LH (Ω) H Nếu Φ : LH (Ω) → L0 (Ω) toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn tồn (h.c.c.) ánh xạ T : Ω → L(H) thỏa mãn Φu(ω) = T (ω)u(ω) h.c.c (1.20) Ngược lại, giả sử T : Ω → L(H) ánh xạ thỏa mãn với x ∈ H T (ω)x biến ngẫu nhiên H−giá trị Khi đó, ánh xạ Φ : LH (Ω) → LH (Ω) xác định (1.20) tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn H Nếu Φ : LH (Ω) → L0 (Ω) toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính H bị chặn Φ∗ : LH (Ω) → L0 (Ω) toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn thỏa mãn đẳng thức sau Φ∗ u(ω) = T ∗ (ω)u(ω) h.c.c 28 Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Trong Chương 2, chúng tơi trình bày phiên ngẫu nhiên định lý biểu diễn phổ Trong Mục 2.1 trình bày độ đo phổ ngẫu nhiên, định lý biểu diễn phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit Định lý 2.1.2 giới hạn tích phân hàm đo bị chặn ứng với độ đo phổ ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Tiếp theo chúng tơi đưa khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Định lý 2.2.8 phiên ngẫu nhiên hóa định lý hội tụ bị chặn độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Trong Mục 2.2, Định lý 2.2.9 độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng C, B(C) có độ đo phổ ngẫu nhiên Các kết trình bày chương được đăng báo "Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên" (đã nhận đăng tạp 29 chí "Southeast Asia Bulletin for Mathematics" 2014) "Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng" (đã đăng tạp chí "Journal of Theoretical Probability", 2014) Kết chương tập trung báo thứ hai 2.1 Định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit Định nghĩa 2.1.1 Cho H không gian Hilbert, (S, A) không gian đo (Ω, F, P ) không gian xác suất đầy đủ Một họ U = {U (ω), ω ∈ Ω} độ đo phổ tất định với tập số Ω thỏa mãn với x ∈ H, M ∈ A ánh xạ ω → U (ω)(M )x biến ngẫu nhiên H−giá trị gọi độ đo phổ ngẫu nhiên U (S, A, H) Tương tự định lý phổ cho tốn tử tuyến tính chuẩn tắc tốn tử Hermit trường hợp tất định, chứng minh kết tương ứng trường hợp ngẫu nhiên sau Định lý 2.1.2 Giả sử A = {A(ω), ω ∈ Ω} tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc Khi tồn độ đo phổ ngẫu nhiên U = {U (ω), ω ∈ Ω} xác định (C, B(C), H) cho với x ∈ H ta có A(ω)x = n→∞ lim với Bn = {z ∈ C : |z| Bn zU (ω)(dz)x h.c.c (2.1) n} Giả sử A = {A(ω), ω ∈ Ω} tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit Khi đó, tồn độ đo phổ ngẫu nhiên U = {U (ω), ω ∈ Ω} xác định 30 (R, B(R), H) cho với x ∈ H ta có A(ω)x = n→∞ lim n −n λU (ω)(dλ)x h.c.c (2.2) Chứng minh Với ω, theo Định lý 1.1.13 tồn độ đo phổ U (ω) xác định tập Borel tập phổ σ(A(ω)) toán tử A(ω) cho A(ω)x = σ(A(ω)) zU (ω)(dz)x Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.1.3 Với M ∈ B(C), x ∈ H, ánh xạ ω → U (ω)(M )x đo Chứng minh Bổ đề 2.1.3 Với n, đặt Dn = {ω : A(ω) < n}, Bn = {z ∈ C : |z| n} Từ bất đẳng thức r(A(ω)) A(ω) , với r(A(ω)) bán kính phổ tốn tử A(ω) ω ∈ Dn ta có σ (A(ω)) ⊂ Bn Do với ω ∈ Dn ta có A(ω)x = σ(A(ω)) Bước Giả sử P (z) = k zU (ω)(dz)x = Bn zU (ω)(dz)x ak z k đa thức Đặt P (A(ω)) = σ(A(ω)) P (z)U (ω)(dz), ánh xạ ω → P (A(ω))x từ Dn vào H đo Thật vậy, P (A(ω))x = σ(A(ω)) ak A(ω)k x P (z)U (ω)(dz)x = k Với biến ngẫu nhiên u giá trị H, ánh xạ ω → A(ω)u(ω) đo Bằng cách quy nạp với k ω → A(ω)k x đo Vì ánh xạ ω → P (A(ω))x từ Dn vào H đo 31 Bước Nếu f (z) hàm liên tục xác định Bn ánh xạ ω → f (A(ω))x từ Dn vào H đo Thật vậy, theo định lý Weierstrass, tồn dãy đa thức Pk (z) hội tụ tới f (z) Bn Do |Pk (z)| bị chặn Vì σ(A(ω)) ⊂ Bn với ω ∈ Dn theo Hệ tài liệu ([18], trang 899), ta có lim Pk (A(ω))x = f (A(ω))x k→∞ với ω ∈ Dn Vì vậy, từ Bước ta có điều phải chứng minh Bước Với tập đóng M C x ∈ H, ánh xạ ω → E(ω)(M )x từ Ω vào H đo Thực vậy, với số tự nhiên n đặt Mn = {s : d(s, M ) ≥ 1/n} Mn tập đóng M ∩ Mn = ∅ Theo bổ đề Urysohn tồn hàm liên tục fn thỏa mãn fn (z) = với z ∈ M fn (z) = với z ∈ Mn fn (z) ∀z Nếu z ∈ / M tồn n0 cho d(z, M ) Vì fn (z) = với n 1/n0 1/n với n ≥ n0 n0 Do limn→∞ fn (z) = 1M (z) Vì ánh xạ M → E(ω)(M )x biến ngẫu nhiên H−giá trị, theo Định lý tài tiệu ([16], trang 56) ta có, với ω ∈ Dn lim f (z)U (ω)(dz)x n→∞ σ(A(ω)) n = σ(A(ω)) 1M (s)U (ω)(dz)x nghĩa limn→∞ fn (A(ω))x = U (ω)(M )x ∀ω ∈ Dn Từ Bước suy ánh xạ ω → U (ω)(M )x từ Dn vào H đo Nhưng Dn đo Ω = ∪n Dn ánh xạ ω → E(ω)(M )x từ Ω vào H đo Bước cuối Giả sử M lớp tập Borel M cho ánh xạ ω → U (ω)(M )x từ Ω vào H đo Khi M σ-đại số 32 Thực vậy, theo định nghĩa độ đo phổ, với ω ta có U (ω)(M ∩ N )x = U (ω)(M )[U (ω)(N )x]; U (ω)(M ∪ N )x = U (ω)(M )x + U (ω)(N )x − U (M ∩ N )(ω)x; U (ω) lim U (ω)(An )x An x = n→∞ (An ) ↓; U (ω) An x = n→∞ lim U (ω)(An )x (An ) ↑ Từ điều kiện trên, M đóng với phép tốn giao, hợp lớp đơn điệu Vì M σ-đại số Từ Bước 3, M chứa tập đóng Vậy M đồng với lớp tất tập Borel Do đó, với x ∈ H, M ∈ B, ánh xạ ω → U (ω)(M )x đo Tiếp theo, sử dụng Bổ đề 2.1.3 ta chứng minh khẳng định thứ đẳng thức (2.1) định lý Thật vậy, cố định ω ∈ Ω Bởi Dn ↑ Ω nên tồn n0 (ω) cho ω ∈ Dn với số tự nhiên n > n0 (ω) Do đó, n > n0 (ω) σ(A(ω)) ⊂ Bn điều suy A(ω)x = σ(A(ω)) zU (ω)(dz)x = Bn zU (ω)(dz)x, nghĩa A(ω)x = n→∞ lim Bn zU (ω)(dz)x Theo Định lý 1.1.13 tồn độ đo phổ U (ω) xác định tập tất tập Borel tập phổ σ(A(ω)) ⊂ R A(ω) Chứng minh tương tự ta thu biểu diễn (2.2) 33 2.2 2.2.1 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Toán tử ngẫu nhiên chiếu Để đưa khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng, trước tiên chúng tơi đưa khái niệm tốn tử ngẫu nhiên chiếu Từ Định nghĩa 1.2.18 Bổ đề 1.2.19 hợp thành hai toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn, ta có định nghĩa tốn tử ngẫu nhiên chiếu sau Định nghĩa 2.2.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính P xác định H gọi toán tử ngẫu nhiên chiếu H bị chặn, tự liên hợp P P = P Vì tốn tử ngẫu nhiên chiếu P tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn, nên theo Định lý 1.2.15 trình bày chương 1, tồn ánh xạ TP : Ω → L(H) thỏa mãn P x(ω) = TP (ω)x h.c.c Ta có khẳng định sau Định lý 2.2.2 Giả sử P toán tử ngẫu nhiên chiếu H Khi ta có khẳng định sau TP (ω) toán tử tuyến tính chiếu H với hầu hết ω với u ∈ LH (Ω) ta có P u(ω) u(ω) h.c.c với cặp (u, v) biến ngẫu nhiên H-giá trị ta có khẳng định sau P u(ω), v(ω) = u(ω), P v(ω) h.c.c Chứng minh Theo (1.17) (1.18) suy P toán tử ngẫu nhiên chiếu H với hầu hết ω toán tử TP (ω) toán tử chiếu 34 Theo khẳng định Định lý ta suy P u(ω) = TP (ω)(u(ω)) u(ω) h.c.c Từ Bổ đề 1.2.24 ta thu P u(ω), v(ω) = u(ω), P ∗ v(ω) = u(ω), P v(ω) 2.2.2 h.c.c Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Tiếp theo đưa khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng, xây dựng tích phân hàm đo bị chặn độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Định nghĩa 2.2.3 Giả sử (S, A) không gian đo H không gian Hilbert Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng E (S, A, H) ánh xạ E từ A vào tập tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính H thỏa mãn điều kiện sau (1.) E(M ) toán tử ngẫu nhiên chiếu H với M ∈ A; (2.) E(∅) = E(S) = I; (3.) Nếu M, N ∈ A E(M ∩ N ) = E(M )E(N ); (4.) Nếu (Mi ) dãy tập đôi rời A với x ∈ H ta có  E  ∞  i=1 Mi  x(ω) ∞ = E(Mi )x(ω) h.c.c i=1 Chú ý tập bỏ qua điều kiện (4.) phụ thuộc vào (Mi ) x 35 Ví dụ 2.2.4 Giả sử {U (ω), ω ∈ Ω} họ độ đo phổ (S, A, H) với tập số Ω cho với x ∈ H, M ∈ A, ánh xạ ω → U (ω)(M )x đo Giả sử E ánh xạ từ A vào tập tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính H cho với M ∈ A, x ∈ H ta có E(M )x(ω) = U (ω)(M )x h.c.c Từ ta có TE(M ) (ω) = U (ω)(M ) Từ Bổ đề 1.2.24, dễ dàng E độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Bổ đề 2.2.5 Giả sử E độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng (S, A, H) Khi ta có khẳng định sau: Nếu x, y ∈ H M, N ∈ A E(M )x(ω), E(N )y(ω) = x, E(M ∩ N )y(ω) h.c.c Đặc biệt, M ∩ N = ∅ E(M )x(ω) E(N )y(ω) trực giao H hầu chắn Nếu (Mi ) dãy tập đôi rời A với x ∈ H ta có  E  ∞ Mi  ∞  x(ω) = i=1 E(Mi )x(ω) h.c.c (2.3) i=1 Chứng minh Đặt A = E(M ), B = E(N ), v = E(N )y = By Khi theo Bổ đề 1.2.24 ta có E(M )x(ω), E(N )y(ω) = Ax(ω), v(ω) = x, Av(ω) = x, A(By)(ω) = x, (AB)y(ω) = x, E(M ∩ N )y(ω) h.c.c Từ điều kiện (4.) Định nghĩa 2.2.3 ta có  ∞  ∞ Mi  x(ω) = E i=1 E(Mi )x(ω) h.c.c i=1 36 Vì (E(Mi )x(ω))∞ i=1 đơi trực giao H, nên ta thu đẳng thức (2.3) Giả sử B(S) không gian Banach ánh xạ nhận giá trị phức bị chặn S với chuẩn sup, f = sups∈S |f (s)| Tiếp theo đưa khái niệm tích phân S f (s)E(ds) hàm f ∈ B(S) độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng E (S, A, H) Bổ đề 2.2.6 Với hàm đơn giản f (s) = n i=1 ci 1Mi (s) x ∈ H đặt n I(f )x(ω) = ci E(Mi )x(ω) i=1 Khi ánh xạ I(f ) : x → I(f )x xác định tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn H thỏa mãn bất đẳng thức sau I(f )x(ω) f x h.c.c (2.4) Chứng minh Dễ dàng tính tuyến tính I(f ) Chúng ta chứng minh bất đẳng thức (2.4) Từ Bổ đề 2.2.5 với hầu hết ω ta có I(f )x(ω) = I(f )x(ω), I(f )x(ω) n n = ci E(Mi )x(ω), i=1 n n cj E(Mj )x(ω) j=1 ci cj E(Mi )x(ω), E(Mj )x(ω) = i=1 j=1 n n |ci |2 E(Mi )x(ω) |ci | E(Mi )x(ω), E(Mi )x(ω) = = i=1 f n E(Mi )x(ω) = f i=1 f 2 i=1 n E( i=1 x Vậy bất đẳng thức 2.4 chứng minh 37 Mi )x(ω) 2 Giả sử f ∈ B(S) Cố định x ∈ H Vì tập hàm đơn giản trù mật B(S), tồn dãy hàm đơn giản (fn ) cho n→∞ lim fn − f = Từ bất đẳng thức (2.4) ta có I(fn )x(ω) − I(fm )x(ω) = I(fn − fm )x(ω) fn − fm x Vì dãy {I(fn )x(ω)} hội tụ hầu chắn H Đặt I(f )x(ω) = n→∞ lim I(fn )x(ω) Giới hạn không phụ thuộc vào cách chọn dãy (fn ) ký hiệu I(f )x(ω) = S f (s)E(ds)x Theo Bổ đề 2.2.6 cách lấy qua giới hạn ta thu ánh xạ I(f ) : x → I(f )x từ H vào LH (Ω) tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính H ta có I(f )x(ω) f x h.c.c (2.5) Vì I(f ) tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn H I(f ) ký hiệu I(f ) = S f (s)E(ds) gọi tích phân hàm f độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng E Định lý 2.2.7 Giả sử f, g ∈ B(S), c ∈ C Khi ta có khẳng định sau I(f + g) = I(f ) + I(g); I(cf ) = cI(f ) I(f )∗ = I(f )I(g) = I(f g) = S S f (s)E(ds) f (s)g(s)E(ds) 38 Chứng minh Dễ dàng có Chúng chứng minh với x, y ∈ H ta có S f (s)E(ds)x(ω), y = x, Trước tiên ta giả sử f (s) = n i=1 S f (s)E(ds)y(ω) h.c.c (2.6) ci 1Mi (s) hàm đơn giản Với i E(Mi ) tốn tử ngẫu nhiên chiếu nên ta có E(Mi )x(ω), y = x, E(Mi )y(ω) h.c.c Do với hầu hết ω ta có n n I(f )x(ω), y = ci E(Mi )x(ω), y = i=1 n = ci E(Mi )x(ω), y i=1 n ci E(Mi )x(ω), y = i=1 n = ci x, E(Mi )y(ω) i=1 n x, ci E(Mi )y(ω) = x, ci E(Mi )y(ω) i=1 i=1 = x, I(f (s))y(ω) Tiếp theo, ta giả sử hàm f bị chặn Khi tồn dãy hàm đơn giản (fn ) hội tụ tới f Khi fn hội tụ tới f Từ đẳng thức I(f )x(ω) = n→∞ lim I(fn )x(ω) h.c.c ta có I(f )x(ω), y = n→∞ lim I(fn )x(ω), y = n→∞ lim x, I(fn )y(ω) = x, I(f (s))y(ω) Trước tiên ta rằng, f, g ∈ B(S) với hầu hết ω ta có I(g)x(ω), I(f )y(ω) = I(f g)(ω)x, y 39 (2.7) Thực vậy, giả sử f (s) = n i=1 ci 1Mi (s), g(s) = n i=1 di 1Mi (s) hàm đơn giản Khi n n I(g)x(ω), I(f )y(ω) = ci E(Mi )x(ω), i=1 n = dj E(Mj )y(ω) j=1 ci dj E(Mj )x(ω), E(Mi )y(ω) i,j=1 n = ci di E(Mi )x(ω), y i=1 n = ci di E(Mi )x(ω), y = I(f g)(ω)x, y i=1 Tiếp theo, để đơn giản, ta đặt A = I(f ), An = I(fn ), B = I(g), Bn = I(gn ) với (fn ), (gn ) ∈ B(S) limn→∞ fn = f, limn→∞ gn = g B(S) Ta có Bn x(ω), A∗n y(ω) = I(gn )x(ω), I(fn )y(ω) = I(fn gn )x(ω), y Cho n → ∞ ta thu với hầu hết ω ta có Bx(ω), A∗ y(ω) = I(f g)x(ω), y Tiếp theo từ Bổ đề 1.2.24 ta có (AB)x(ω), y = A[Bx(ω)], y Bx(ω), A∗ y(ω) Do đó, (AB)x(ω), y = I(f g)x(ω), y → (AB)x(ω) = I(f g)x(ω) nghĩa AB = S f (s)g(s)E(ds) Trong trường hợp tất định, ta có định lý hội tụ bị chặn, trường hợp ngẫu nhiên có phiên tương ứng độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Đây phiên ngẫu nhiên Định lý 1.1.12 phát biểu chương 40 Định lý 2.2.8 Xét E độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng (S, A, H) Giả sử (fn ) dãy hàm B(S) thỏa mãn, tồn K > để K với n Nếu limn→∞ fn = f, với x ∈ H ta có fn lim n→∞ S fn (s)E(ds)x(ω) = S f (s)E(ds)x(ω) LH (Ω) (2.8) Chứng minh Giả sử LH (Ω) tập biến ngẫu nhiên u nhận giá trị H thỏa mãn E u = Ω u(ω) dP (ω) < ∞ LH (Ω) không gian Hilbert với tích xác định [u, v] = Ω u(ω), v(ω) dP (ω) Với x ∈ H ta chứng minh hai khẳng định sau Ánh xạ Gx : M → E(M )x xác định độ đo vector σ− cộng tính Gx nhận giá trị không gian Hilbert LH (Ω) Với f ∈ B(S) tích phân S S f (s)Gx (ds) ∈ LH (Ω) f (s)E(ds)x(ω) = S f (s)Gx (ds)(ω) (2.9) Thật vậy: Theo Bổ đề 2.2.2 ta có E(M )x(ω) x E(M )x(ω) dP h.c.c Vì x dP = x suy Gx (M ) ∈ LH (Ω) Tiếp theo ta chứng minh Gx σ− cộng n i=1 E(Mi )x(ω) tính Đặt Sn (ω) = ∞ i=1 Gx (Mi ) = Theo điều kiện (4.) Định nghĩa 2.2.3 dãy Sn hội tụ hầu chắn tới S(ω) = E( ∞ i=1 Mi ) x(ω) = Gx ( ∞ i=1 Mi ) Ta có n Sn (ω) = n E(Mi )x(ω) = E( i=1 i=1 41 Mi )x(ω) h.c.c Theo định lý hội tụ bị chặn dãy Sn hội tụ tới S LH (Ω) nghĩa   ∞ ∞ Mi  = Gx  Gx (Mi ) i=1 i=1 hội tụ chuỗi hội tụ LH (Ω) Rõ ràng đẳng thức (2.9) thỏa mãn với hàm đơn giản f Giả sử f ∈ B(S) (gn ) dãy hàm đơn giản hội tụ tới f Do đó, từ lim gn (s)E(ds)x(ω) = lim gn (s)Gx (ds)(ω) = n→∞ S n→∞ S S gn (s)E(ds)x(ω) = S S S f (s)E(ds)x(ω) h.c.c f (s)Gx (ds)(ω) LH (Ω) gn (s)Gx (ds)(ω) ta suy (2.9) thỏa mãn với f ∈ B(S) Vận dụng định lý hội tụ bị chặn Bartle ([16], Định lý 1, trang 56) ta thu lim n→∞ S fn (s)E(ds)x(ω) = S f (s)E(ds)x(ω) LH (Ω) suy (2.8) Định lý rằng, với độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng (C, B(C), H) có độ đo phổ ngẫu nhiên Định lý 2.2.9 Giả sử E độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng (C, B(C), H) Khi tồn độ đo phổ ngẫu nhiên {U (ω), ω ∈ Ω} (C, B(C), H) cho với x ∈ H, M ∈ B(C) ta có E(M )x(ω) = U (ω)(M )x h.c.c Chứng minh Để chứng minh định lý, trước tiên ta xét bổ đề sau: 42 Bổ đề 2.2.10 Cho số tự nhiên n Xét E độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng tập trung Bn = {z ∈ C : |z| n}, nghĩa E(M ) = M ∩ Bn = ∅ Khi tồn họ U (ω) độ đo phổ với tập tham số Ω cho với M ∈ B(Bn ) x ∈ H ta có E(M )x(ω) = U (ω)(M )x h.c.c Chứng minh Bổ đề 2.2.10 Đặt Ax(ω) = Bn (2.10) zE(dz)x(ω) Khi theo Định lý 2.2.7 AA∗ = A∗ A bất đẳng thức 2.5 ta có Ax(ω) h.c.c n x Theo Bổ đề 1.2.19 Bổ đề 1.2.24, tồn họ {T (ω)} toán tử tuyến tính chuẩn tắc với tập sổ Ω cho với x ∈ H ta có Ax(ω) = T (ω)x h.c.c Vì T (ω)x n x =⇒ T (ω) n Theo Định lý 1.14 ( xem [15], trang 259), với ω tồn độ đo phổ U (ω) T (ω) cho T (ω) = Từ khẳng định r(T ) σ(T (ω)) zU (ω)(dz) (2.11) T , với r(T ) bán kính phổ toán tử T , ta suy σ(T (ω)) ⊂ Bn σ(T (ω)) zU (ω)(dz) = Bn zU (ω)(dz) h.c.c Từ (2.10) (2.11) ta thu Bn zE(dz)x(ω) = 43 Bn zU (ω)(dz)x (2.12) Tiếp theo để hoàn thành chứng minh bổ đề ta thực theo ba bước sau: Bước Xét đa thức P (z) = Bn Bn z E(dz)x(ω) = z U (ω)(dz)x = k ak z k Ta có Bn Bn zE(dz)(ω) zU (ω)(dz) Bn Bn zE(dz)x(ω) zU (ω)(dz)x Do (2.12) ta thu Bn z E(dz)x(ω) = Bn z U (ω)(dz)x Bằng quy nạp ta có Bn z k E(dz)x(ω) = Bn z k U (ω)(dz)x Vì vậy, Bn P (z)E(dz)x(ω) = Bn P (z)U (ω)(dz)x h.c.c Nếu f (z) hàm liên tục Bn theo Định lý Weierstrass tồn dãy đa thức Pk (z) hội tụ tới f (z) Bn Vì theo Định lý 2.2.8, với ω ta có lim k→∞ Bn Pk (z)U (ω)(dz)x = Bn f (z)U (ω)(dz)x Lại theo Định lý 2.2.8 ta có lim k→∞ Bn Pk (z)E(dz)x(ω) = Bn f (z)E(dz)x(ω) theo xác suất Do đó, với hàm liên tục f Bn ta có Bn f (z)E(dz)x(ω) = Bn f (z)U (ω)(dz)x h.c.c Bước Giả sử M tập đóng C Với k xét tập hợp sau Mk = {z : d(z, M ) 44 1/k}, Mk tập đóng M ∩ Mk = ∅ Theo định lý Urysohn tồn hàm liên tục fk thỏa mãn fk (z) = với z ∈ M fk (z) = với z ∈ Mk Nếu z ∈ / M tồn n0 cho d(z, M ) fk (z) với n n0 Vì fk (z) = với n supk fk lim 1/n0 1/n n0 Do lim fk (z) = 1M (z) k→∞ Theo Định lý 2.2.8 ta thu với ω k→∞ Bn fk (z)U (ω)(dz)x = Bn 1M (z))U (ω)(dz)x = U (ω)(M )x (2.13) Cũng theo Định lý 2.2.8 ta có lim k→∞ Bn fk (z)E(dz)x(ω) = Bn 1M (z)E(dz)x(ω) = E(M )x(ω) theo xác suất Vì vậy, với tập đóng M ta có E(M )x(ω) = U (ω)(M )x h.c.c Bước Xét M ⊂ B(C) lớp tập M ∈ B(C) thỏa mãn E(M )x(ω) = U (ω)(M )x h.c.c Theo định nghĩa độ đo phổ độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Định lý 2.2.8, với ω ta có U (ω)(M ∩ N )x = U (ω)(M )[U (ω)(N )x]; U (ω)(M ∪ N )x = U (ω)(M )x + U (ω)(N )x − U (M ∩ N )(ω)x;  U (ω)  ∞  An  x n=1   ∞ U (ω)  An  x n=1 = n→∞ lim U (ω)(An )x (An ) ↓; = n→∞ lim U (ω)(An )x (An ) ↑; 45 E(M ∩ N )x(ω) = E(M )[E(N )x(ω)] h.c.c.; E(M ∪ N )xω) = E(M )x(ω) + E(N )x(ω) − E(M ∩ N )x(ω) h.c.c.;  E E  ∞ An  x(ω) = p- n→∞ lim E(An )x(ω) (An ) ↓; = p- n→∞ lim U (ω)(An )x (An ) ↑ n=1   ∞  An  x(ω) n=1 Từ đó, M đóng với phép tốn giao, hợp lớp đơn điệu Vì M σ-đại số Theo Bước 2, M chứa tập đóng Do M trùng với lớp B(C) tập tất tập Borel C Bổ đề chứng minh Xét En = E|Bn (hạn chế E Bn ) Theo Bổ đề 2.2.2, tồn họ Un (ω) độ đo phổ với tập tham số Ω cho với M ∈ B(Bn ) x ∈ H ta có En (M )x(ω) = Un (ω)(M )x h.c.c Cố định m > n Ta Um (ω)|Bn = Un (ω) h.c.c (2.14) Đặt Un (ω) = Um (ω)|Bn Với x ∈ H ta có Bn zUn (ω)(dz)x = = = Bn Bn Bn zUm |Bn (ω)(dz)x zEm (dz)x(ω) = Bn zEn (dz)x(ω) zUn (ω)(dz)x Vì H khả ly, nên tồn tập D với xác suất một, ta có Bn zUn (ω)(dz) = Bn zUn (ω)(dz) với ω ∈ D Theo tính định lý biểu diễn phổ suy với ω ∈ D, Um (ω) = Un (ω) 46 nghĩa đẳng thức (2.14) thỏa mãn Từ đó, tồn tập Ω1 có xác suất một, để ω ∈ Ω1 Um (ω)|Bn = Un (ω) với m > n (2.15) Cố định ω ∈ Ω1 Toán tử chiếu U (ω)(M ) (với M ∈ B(C)) xác định sau Đặt Mn = M ∩ Bn Pn = Un (ω)(Mn ) Khi Pn tốn tử chiếu Hn = Pn (H) Hn không gian đóng H từ (2.14) Hn ⊂ Hn+1 Cố định x ∈ H, ta có Pn+1 x Pn x ⇔ Pn+1 x, Pn+1 x ⇔ x, Pn+1 x Nghĩa là, dãy Pn x, x n Pn x, Pn x x, Pn x khơng giảm bị chặn x Vì vậy, lim | (Pn − Pm )x, x | = m,n→∞ Đặt h(x, y) = (Pn − Pm )x, y , n > m Sử dụng bất đẳng thức Schwarz cho dạng song tuyến tính khơng âm h(x, y) ta thu (Pn − Pm )x = (Pn − Pm )x, (Pn − Pm )x = h(x, (Pn − Pm )x) h(x, x)h((Pn − Pm )x, (Pn − Pm )x) = (Pn − Pm )x, x (Pn − Pm )2 x, (Pn − Pm )x (Pn − Pm )x, x Pn − Pm x x (Pn − Pm )x, x → m, n → ∞ Như với x ∈ H, tồn giới hạn n→∞ lim Pn x Đặt P x = n→∞ lim Pn x Ta có = x − Pn x, Pn x −→ x − P x, P x = Do đó, P toán tử chiếu Đặt U (ω)(M ) = P ta thu lim Un (ω)(Mn )x = U (ω)(M )x ⇔ n→∞ lim Un (ω)(M ∩ Bn )x = U (ω)(M )x n→∞ 47 Tiếp theo, ta U (ω) độ đo phổ Thật vậy, ta có Un (ω)(M ∩ N ∩ Bn )x = Un (ω)(M ∩ Bn )[Un (ω)(N ∩ Bn )x] = Pn yn với yn = Un (ω)(N ∩ Bn )x Ta có n→∞ lim yn = U (ω)(N )x = y Vì Pn nên ta có n→∞ lim Pn yn = P y với n→∞ lim yn = y xét n → ∞ ta thu U (ω)(M ∩ N )x = U (ω)(M )[U (ω)(N )x] Tiếp theo, ta (Ai ) tập đôi rời B(C) x ∈ H ∞ ∞ U (ω) Ai x = i=1 U (ω)(Ai )x (2.16) i=1 Thực vậy, ta có ∞ ∞ U (ω) i=1 lim Un (ω) Ai x = n→∞ i=1 ∞ Ai ∩ Bn x = n→∞ lim U (ω)(Ai ∩ Bn )x, i=1 (2.17) ∞ ∞ lim Un (ω)(Ai ∩ Bn )x U (ω)(Ai )x = i=1 i=1 n→∞ Đặt V0 = ∅, Vj = Bj \ Bj−1 , aij = Uj (ω)(Ai ∩ Vj ) = Un (ω)(Ai ∩ Vj ) với j n, ta có n Un (ω)(Ai ∩ Bn ) = aij j=1 aij , akh = 0, (i, j) = (k, h) Ta lại có ∞ i=1 ∞ lim U (ω)(Ai ∩ Bn )x = n→∞ n n i=1 lim n→∞ aij , j=1 ∞ U (ω) i=1 ∞ Ai x = n→∞ lim i=1 ∞ Un (ω)(Ai ∩ Bn )x = n→∞ lim n aij i=1 j=1 Do ta phải chứng minh ∞ lim n→∞ ∞ n aij = i=1 j=1 n lim i=1 n→∞ aij j=1 Để chứng minh đẳng thức (2.18) ta cần chứng minh bổ đề sau 48 (2.18) ... nhiên định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 2.2 29 Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit 30 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng... ngẫu nhiên tuyến tính: trước tiên chúng tơi đưa định nghĩa độ đo phổ ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên chiếu độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Xây dựng tích phân hàm đo bị chặn độ đo phổ ngẫu nhiên. .. 1.2.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 17 1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp 23 1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính 25 iii Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên định