Về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Mã số: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Chủ tịch Hội đồng T.M Tập thể hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh GS TSKH Đặng Hùng Thắng HÀ NỘI - 2015 L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nh ng k t qu trình bày lu n án m i Các k t qu vi t chung v i th y hư ng d n GS TSKH Đ ng Hùng Th ng TS Nguy n Th nh, đư c s đ ng ý c a th y hư ng d n đưa vào lu n án Nh ng k t qu đư c trình bày lu n án trung th c chưa t ng đư c công b b t kỳ công trình khác Tác gi lu n án Tr n Xuân Quý i L I C M ƠN Lu n án đư c hoàn thành dư i s quan tâm, đ ng viên, khích l hư ng d n t n tình c a GS TSKH Đ ng Hùng Th ng TS Nguy n Th nh Nhân d p tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c c a đ i v i hai Th y Tác gi xin đư c c m ơn Ban Giám hi u, Khoa Toán - Tin, Trư ng ĐH Khoa h c, ĐHTN; B môn Xác su t Th ng kê, Ban ch nhi m Khoa Toán - Cơ - Tin h c, Phòng sau Đ i h c, Ban giám hi u Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên Hà N i, Khoa Sau đ i h c, ĐHQGHN t o nhi u u ki n thu n l i su t trình làm nghiên c u sinh Tác gi xin c m ơn thành viên c a seminar Toán t ng u nhiên, t o u ki n cho tác gi trình bày giúp tác gi ki m tra k t qu nghiên c u Tác gi xin g i l i c m ơn t i qu NAFOSTED, h tr kinh phí cho tác gi trình nghiên c u Cu i cùng, tác gi xin bày t lòng bi t ơn thành viên c a đ i gia đình, đ ng viên, chia s ch d a v ng ch c v m i m t NCS Tr n Xuân Quý ii M cl c i L i cam đoan ii L i c m ơn v B ng ký hi u M đu Chương M t s ki n th c chu n b 1.1 M t s k t qu v lý thuy t ph c a toán t n tính t t đ nh 1.1.1 Toán t n tính liên t c Toán t liên 1.1.2 h p Toán t t liên h p, Hermit, 1.1.3 chu n t c Đ nh lý bi u di n ph cho toán t chu 1.1.4 n t c, toán t Hermit 10 12 1.2 Toán t ng u nhiên n tính 14 1.2.1 Đ nh nghĩa, ví d M t s tính 14 1.2.2 ch t b n Toán t ng u nhiên n 16 1.2.3 tính b ch n Toán t ng u nhiên n tính liên h 17 1.2.4 p Toán t ng u nhiên suy r ng n 23 1.2.5 tính 25 iii Chương Đ đo ph ng u nhiên đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên n tính 2.1 2.2 29 Đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên n tính chu n t c toán t ng u nhiên n tính Hermit 30 Đ đo ph ng u nhiên suy r ng 34 2.2.1 Toán t ng u nhiên chi u 34 2.2.2 Đ đo ph ng u nhiên suy r ng 35 Chương Toán t ng u nhiên tr u tư ng không gian unitary xác su t 51 3.1 Không gian Banach xác su t 52 3.2 Toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính 63 3.3 Liên h p c a toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính không gian Hilbert xác su t 70 77 K t lu n ki n ngh K t lu n Ki n ngh v nh ng nghiên c u ti p theo Danh m c công trình khoa h c c a tác gi liên quan đ n lu n án 77 78 80 81 Tài li u tham kh o 87 Ch m c iv B ng ký hi u Α, Φ B(S) Β(X) C[a, b] Η h.c.c Λ(X, Y ) Λ(X) σ-đ i s T p ánh x đo đư c b ch n S σ-đ i s Borel c a X Không gian hàm s liên t c [a, b] Không gian Hilbert xác su t H u ch c ch n T p toán t n tính liên t c t X vào Y T p toán t n tính liên t c t X vào X ΛX(Ω) T p h p bi n ng u nhiên X-giá tr T p h p bi n ng u nhiên th c ho c ph c Λ0(Ω) Λ+(Ω) T p h p bi n ng u nhiên th c không âm ΛH(Ω) T p h p bi n ng u nhiên H-giá tr Trư ng s th c ho c ph c K (Ω, Φ, P ) Không gian xác su t đ y đ p-lim Q R r(T ) Ρ(T ) σ(T ) Ξ,Ψ G c a s h i t theo xác su t i T p h p s h u t T p h p s th c i Bán kính ph c a toán t n tính T Mi n giá tr c a toán t n tính T T p ph h c a toán t n tính T Các không gian Banach xác su t n v M đu Lý ch n đ tài Môi trư ng s ng m t môi trư ng ng u nhiên, b can thi p tác đ ng b i nhân t ng u nhiên Chính v y mà Gi i tích môi trư ng ng u nhiên (g i t t Gi i tích ng u nhiên) m t lĩnh v c Toán h c phát tri n nhanh m nh c v lý thuy t ng d ng M t s lư ng l n báo v Gi i tích ng u nhiên đư c tóm t t Math.Review minh ch ng u Gi i tích ng u nhiên mang tính liên ngành, có quan h m t thi t v i nhi u chuyên ngành toán h c khác Lý thuy t toán t ng u nhiên n tính m t nh ng hư ng nghiên c u l n c a Gi i tích ng u nhiên Toán t ng u nhiên n tính thu hút đư c s quan tâm c a nhi u nhà nghiên c u không ch b i s m r ng t t t đ nh sang ng u nhiên c a lý thuy t toán t n tính mà v t m ng d ng r ng l n c a nhi u ngành khoa h c khác N u lý thuy t toán t n tính t t đ nh m t lâu đài đ s c a toán h c, tích lũy đư c m t n i dung h t s c phong phú, k t qu phương pháp c a đư c ng d ng nhi u ngành khác c a toán h c lý thuy t toán ng d ng lý thuy t toán t ng u nhiên n tính non tr giai đo n phát tri n ban đ u Hi n t i lý thuy t toán t ng u nhiên n tính thu đư c m t s k t qu m i, lý thú v i nhi u toán b ng (xem [38]-[48]) − Φ 1v −1 bv α 75 h.c.c − − Do v y Φ b ch n T suy toán t D(Φ 1) = Ρ(Φ ) đóng Th t α α α −1 v y, gi s r ng (un) ⊂ D(Φ ) cho limn un = u T Đ nh lý 3.2.5 suy α − − − t n t i limn Φ 1un = g Vì Φ đóng, ta thu đư c u ∈ D(Φ 1) Ti p α α theo, ta s ch ng minh Ρ(Φ ) = Η theo Đ nh lý 3.1.17, u ki n đ đ ch α ra, n u v⊥Ρ(Φ ) v = Th c v y, v i m i u ∈ Η ta có Φ u ∈ Ρ(Φ ) α α α v y = Φ u, v = αu − Φu, v = α u, v − Φu, v α = α u, v − u, Φv = α u, v − Φv = u, (αI − Φ)v ¯ Do (αI − Φ)v = θ suy v = θ αI − Φ = Φ¯ đơn ánh ¯ ¯ α − Do đó, Φ : Η → Η toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính b α ch n Tương t trư ng h p t t đ nh, ta có − ∗ ∗ − − − (Φ 1) = (Φ ) = (αI − Φ) = Φ ¯ α − α − − ¯α − (Φ ) 1(Φ 1) = (Φ 1)(Φ ) ¯ α α α ¯α − − ∗ − − − − − ∗ − Vì v y, (Φ ) 1(Φ 1) = (Φ ) 1(Φ 1) = (Φ 1)(Φ ) = (Φ 1) (Φ ) ta có α α u ph i ch ng minh α ¯α α α¯ α α α 76 K t lu n ki n ngh K t lu n Các k t q a c a lu n án là: • Đưa khái ni m đ đo ph ng u nhiên, ch ng minh đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên n tính chu n t c toán t ng u nhiên n tính Hermit • Đưa khái ni m đ đo ph ng u nhiên suy r ng, xây d ng đư c tích phân đ i v i đ đo ph ng u nhiên suy r ng Ch ng minh đư c đ nh lý h i t b ch n đ i v i đ đo ph ng u nhiên • Ch ng minh đư c r ng m i đ đo ph ng u nhiên suy r ng (C, Β(C)) có b n đ đo ph ng u nhiên K t qu đư c trình bày Đ nh lý 2.2.9 • Đ nh nghĩa khái ni m toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính • Phát bi u ch ng minh Đ nh lý 3.2.6 cho toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính t không gian Hilbert xác su t Η vào không gian bi n ng u nhiên nh n giá tr ph c b ch n ch đư c bi u di n tích ng u nhiên Η (có th xem phiên b n ng u nhiên c a bi u di n Riesz quen bi t v bi u di n phi m hàm n tính t t đ nh b ch n) 77 • Nghiên c u toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính chu n t c, toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính đ i x ng toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính t liên h p không gian Hilbert xác su t Η Ch u ki n đ đ toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính đ i x ng n a b ch n có th m r ng thành toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính t liên h p (Đ nh lý 3.3.6) Có th xem m t phiên b n ng u nhiên hóa c a Đ nh lý Friedrichs - Stone Wintner trư ng h p t t đ nh cho toán t n tính đ i x ng n a b ch n • Ch ng minh đư c r ng n u Φ : D(Φ) → Η toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính t liên h p α s ph c v i ph n o khác không − Φ = αI − Φ : D(Φ) → Η song ánh (Φ ) : Η → Η toán α α t ng u nhiên tr u tư ng n tính chu n t c Ki n ngh v nh ng nghiên c u ti p theo Hư ng nghiên c u ti p theo c a lu n án m t s v n đ sau: Trong Chương c a lu n án ch ng minh đư c r ng m i đ đo ph ng u nhiên suy r ng (C, Β(C)) có b n đ đo ph ng u nhiên Câu h i đ t li u k t qu cho m i đ đo ph ng u nhiên suy r ng không gian đo b t kỳ (S, Α) hay không? Đ nh nghĩa Đ đo ph ng u nhiên tr u tư ng nghiên c u đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên n tính tr u tư ng Nghiên c u Lý thuy t n a nhóm toán t ng u nhiên n tính b ch n: Cho H không gian Hilbert Ký hi u ΛH(Ω) t p toán b t ng u nhiên n tính b ch n H Cho ánh x T : [0, +∞) → 78 ΛH(Ω) th a mãn u ki n sau b T (0) = I, T (t + s) = T (t)T (s) Ta g i T (t) t0 n a nhóm toán t ng u nhiên n tính b ch n Bài toán: Tìm phiên b n ng u nhiên cho k t qu kinh n c a lý thuy t n a nhóm toán t n tính t t đ nh cho lý thuy t toán t ng u nhiên n tính Tìm m t s ng d ng c th cho qu nghiên c u lý thuy t c a lu n án Tuy nhiên, u ki n th i gian l c nên tác gi chưa gi i quy t đư c v n đ Tác gi hy v ng r ng nh ng v n đ s s m đư c gi i quy t 79 Danh m c công trình khoa h c c a tác gi liên quan đ n lu n án Các k t qu c a lu n án đư c báo cáo h i ngh : H i th o t i ưu tính toán khoa h c l n th 9, 20-23/4/2011, Ba vì, Hà N i H i ngh Khoa h c Khoa Toán - Cơ - Tin h c, Trư ng ĐH Khoa h c T nhiên Hà N i, 2014 Và đư c công b báo: [1] Thang D.H., Quy T.X (2014), Spectral Theorem for Random Operators, Southeast Asia Bulletin for Mathematics,(accepted) [2] Thang D.H., Thinh N., Quy T.X (2014), Generalized Spectral Random Measures, J Theor Probab, 27, pp.576-600, (SCI) [3] Quy T.X., Thang D.H., Thinh N (2015), Abstract Random Linear Operators on Probabilistic Unitary Spaces, J Korean Math Soc, (accepted), (SCIE) 80 Tài li u tham kh o Ti ng Vi t [1] Ph m Th Anh (2015), Đi m b t đ ng m trùng c a toán t hoàn toàn ng u nhiên ng d ng, Lu n án ti n sĩ toán h c, Đ i h c Qu c gia Hà N i [2] T Ng c Ánh (2012), M t s v n đ v phương trình ng u nhiên, Lu n án ti n sĩ toán h c, Đ i h c Qu c gia Hà N i [3] Tr n M nh Cư ng (2011), Thác tri n toán t ng u nhiên không gian Banach kh ly, Lu n án ti n sĩ toán h c, Đ i h c Qu c gia Hà N i [4] Nguy n Vi t Phú, Nguy n Duy Ti n (2004), Cơ s lý thuy t xác su t, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i [5] Đ ng Hùng Th ng (2006), Quá trình ng u nhiên tính toán ng u nhiên, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i [6] Đ ng Hùng Th ng (2013), Xác su t nâng cao, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i [7] Nguy n Th nh (2006), Tích phân ng u nhiên Ito toán t ng u nhiên không gian Banach, Lu n án ti n sĩ toán h c, Đ i h c Qu c gia Hà N i 81 [8] Nguy n Duy Ti n, Đ ng Hùng Th ng (2001), Các mô hình xác su t ng d ng ph n 2: Quá trình d ng ng d ng, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i [9] Nguy n Duy Ti n (2001), Các mô hình xác su t ng d ng ph n 3: Gi i tích ng u nhiên, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i Ti ng Anh [10] Astrom K J (1970), Introduction to Stochastic Control Theory, Academic Press, New York [11] Birman M S., Solomjak M Z (1987), Spectral theory of Self-Adjoint Operators in Hibert sapce, D Reidel Pub Com, Holland [12] Chow Y S., Teicher H (1997), Probability Theory Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York [13] Bharucha-Reid A.T (1972), Random intergral equations, Academic Press, New York and London [14] Billingsley P (1999), Convergence of Probability measures, Willey, New York [15] Conway J B (1990), A Course in Functional Analysis SpringerVerlag [16] Diestel J., Uhl J J (1977), Vector Meaures AMS Providence, Rhode Island [17] Dorogovstev A A (1986), On application of Gaussian random operator to random elements, Theor.veroyat.i.priment 30, pp.812-814 82 [18] Dunford N., Schwarts J T (1963), Linear Operator, Part II, Interscience Publishers, NewYork [19] Feller W (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed Wiley, New York [20] Guo T (1999), Some basic theories of random normed linear spaces and random inner product spaces, Acta Anal Funct Appl, 1(2), pp.160-184 [21] Guo T (2010), Relations between some basic results derived from two kinds of topologies for a random locally convex module, Journal of Functional Analysis, 258, pp.3024-3047 [22] Guo T., Shi G (2011), The algebraic structure of finitely generated L0(Φ, K)− modules and the Helly theorem in random normed modules Journal of Mathematical Analysis and Applications, 381, pp.833-842 [23] Guo T., Xiao H., Chen X (2009), A basic strict separation theorem in random locally convex modules Nonlinear Analysis 71, pp.3794-3804 [24] Guo T., Yang Y (2012), Ekeland's variational principle for an L0−valued function on a complete random metric space, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 389, pp.1-14 [25] Hans O (1957), Random fixed point theorems, Czechoslovak Academic Sciences, pp.105-125 [26] Hans O (1957), Generalized Random Variables, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Fuctions, and Random Processes,(1956), pp.61-103 83 [27] Hans O (1957), Inverse and adjoint transforms of linear bounded random transforms, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Fuctions, and Random Processes,(1956), pp.127-133 [28] Hans O (1961), Random Operator Equations, Proc 4th Berkeley Symp on Math Statist and Probability (1960), Vol II pp.185-202 [29] Kwapie´ S., Woyczy´ n nski W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkh¨ auser, Boston [30] Ledoux M., Talagrand M (1991), Probability in Banach spaces, Springer-Verlag [31] Menger K (1942), Statistical Metrics Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 28, pp.535-537 [32] Mingzhu W (2012), The Bishop-Phelps theorem in complete random normed modules endows with the (ε, λ)− topology, Journal of Mathe- matical Analysis and Applications 391, pp.648-652 [33] Nashed M.Z., Engl H.W (1979), Random generalized inverses and approximate solution of random equations In: Bharucha-Reid A.T (Ed.) Approximate Solution of random equations, Elsevier /North-Holland, New York-Amsterdam, pp.149-210 [34] Olga H., Endre P (2001), Fixed Point Theory in Probabilistic Metric Spaces, Kluwer Academic Publishers [35] Schweizer B., Sklar A (1983), Probabilistics Metric Spaces, Elsevier North Holland, New York [36] Skorokhod A.V (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Company, Dordrecht 84 [37] Sunder V.S (1998), Functional Analysis: Spectral Theory, Birkhauser Verlag, Boston-Berlin [38] Thang D.H (1987), Random Operator in Banach space, Probab Math Statist 8, pp.155-157 [39] Thang D.H (1995), The adjoint and the composition of random operators on a Hilbert space, Stochastic and Stochastic Reports 54, pp.53- 73 [40] Thang D.H (1998), On the Composition of Random Operators on Banach Spaces, Vietnam Journal of Mathematics 26, pp.137-145 [41] Thang D.H (1999), On the Sample Continuity of Random Mappings, Vietnam Journal of Mathematics 27, No1, pp.7-21 [42] Thang D.H (1999), On the Regularity of Random Mappings, Acta Mathematica Vietnamica, 24, No1, pp.15-25 [43] Thang D.H., Thinh N (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J.Math 58, pp.257-276 [44] Thang D.H (2008), Transforming random operators into random bounded operators, Random Oper Stoch Equ 16, pp.293-302 [45] Thang D.H., Cuong T.M (2009), Some procedures for extending random operators, Random Oper Stoch Equ 17, pp.359-380 [46] Thang D.H., Anh T.N (2010), On random equations and applications to random fixed point theorems, Random Oper Stoch Equ 18, pp.199- 212 85 [47] Thang D.H., Thinh N (2013), Generalized random linear operators on a Hilbert space, Stochas Int J Prob Stochas Process 85, pp.1040- 1059 [48] Thang D.H., Anh P.T (2013), Random fixed points of completely random operators, Random Oper Stoch Equ 21, pp.1-20 [49] Xaing Wang, Bhaskara Rao, Deli Li (1995), Some results on strong limmit theorems for (LB)-space-valued random variables, Statisitcs & Probability Letters, 23, pp.247-251 [50] Weidmann (1980), Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer - Verlag, New York Inc [51] Zhu K (1993), An introduction to operator algebras, CRC Press, Inc 86 Ch m c ánh x ng u nhiên, 14 Hermit, 13 đ đo ph , 12 chu n t c, 11 đ đo ph ng u nhiên, 30 Hermit, 11 liên h p, suy r ng, 35 t liên h p, 11 không gian xác su t đ y đ , 14 liên h p, 23 toán t ng u nhiên chi u, 34 toán t ng u nhiên n tính chu n toán t ng u nhiên suy r ng n tính t c, 25 đ i x ng, 27 b ch n h u ch c ch n, 15 b ch n, 27 chu n t c, 27 chu n ng u nhiên, 53 liên t c, 27 không gian đ nh chu n xác su t, 53 không gian Banach xác su t, 55 không gian Hilbert xác su t, 59 t liên h p, 27 toán t ng u nhiên tr u tư ng n tính, 63 không gian n tính xác su t, 52 đ i x ng, 72 không gian unitary xác su t, 56 đóng, 64 liên t c ng u nhiên, 14 b ch n, 64 tích ng u nhiên, 56 chu n t c, 72 toán t , liên t c, 64 t liên h p, 72 đ i x ng, 11 chu n t c, 13 87 toán t ng u nhiên n tính, 14, 15 b ch n, 17 b ch n ng u nhiên, 17 liên h p, 23 suy r ng, 25 toán t ng u nhiên n tính Hermit, 25 toán t ng u nhiên n tính liên h p, 23 88 ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Mã số: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 62 46 01... Toán t ng u nhiên suy r ng n 23 1.2.5 tính 25 iii Chương Đ đo ph ng u nhiên đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên n tính 2.1 2.2 29 Đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên n tính chu n t c toán. .. a toán t ng u nhiên n tính: trư c tiên đưa đ nh nghĩa đ đo ph ng u nhiên, toán t ng u nhiên chi u đ đo ph ng u nhiên suy r ng Xây d ng tích phân c a hàm đo đư c b ch n đ i v i đ đo ph ng u nhiên