Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)

Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đường tròn Soddy và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGƠ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRỊN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2019 ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❤➻♥❤ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▼ð ✤➛✉ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ✶✳✶ ✶✳✷ ✐✐✐ ✐✈ ✶ ✸ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✷ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❜↔♦ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳✷ ▼ët sè ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✷ ❈→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✷✵ ✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✷ ❇→♥ ❦➼♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✷✸ ✷✳✸ ✷✳✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✶ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥ë✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✷✳✷ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✸✳✶ ❈→❝ ✤✐➸♠ ❙♦❞❞② ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✸✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞② ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✸✳✶ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ✷✾ ✸✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✐✐ ✸✳✷ ✸✳✸ ✸✳✶✳✶ ▼ët sè ❤➺ t❤ù❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✶✳✷ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✸✳✶✳✸ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✸✳✶✳✹ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❜✐➳t ♠ët ❝↕♥❤ κ = ta + tb + tc ✳ ✳ ✳ ✸✳✷✳✶ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ = ✸✳✷✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ = ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ = tb + tc ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✸✳✶ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ =1 ✸✳✸✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ =2 ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✸✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ✺✼ ✺✽ ✐✐✐ ❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤ ✶✳✶ ❷♥❤ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ❛✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ü❝❀ ❜✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â t➙♠ ❧➔ ❝ü❝ ✶✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❷♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❦❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ü❝ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✹ ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ AB = R · AB OA.OB ✶✳✹ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✶✳✺ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❜↔♦ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✻ ❱➼ ❞ư ✈➲ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈♦♥✇❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷✳✶ ✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥ë✐ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✷✳✷ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✸ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❙♦❞❞② ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞② ✷✻ ✷✳✹ ❚➙♠ ❙♦❞❞② ♥ë✐✱ ♥❣♦↕✐ ✈➔ ✤✐➸♠ ❊♣♣st❡✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✺ ❈→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❊✉❧❡r ✈➔ ●❡r❣♦♥♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✻ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ✈✉æ♥❣ t↕✐ S ✳ ✳ ✸✷ ✷✳✼ ▼ët sè ✤✐➸♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ✳ ✳ ✸✸ ✸✳✶ AD✲❝❡✈✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✸✳✷ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝❡✈✐❛♥ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✤➾♥❤ ❆ ✸✳✸ ❈→❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✸✳✹ P Q ⊥ AD ✸✳✺ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ữớ t r s s ợ t ✤✐➸♠ ✸✳✽ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❜✐➳t ♠ët ❝↕♥❤ ✸✳✾ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ A t✐➳♣ t✉②➳♥ ✤➾♥❤ E = X481 Fl = G ∩ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ C θ ABC ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ AD ✹✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✸✳✶✵ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ =1✳ =2✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✐✈ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♠ët ❝→❝❤ ❤♦➔♥ tổ ổ ữủ sỹ ữợ ú ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱✐➺t ❍↔✐✱ ●✐↔♥❣ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❚r÷í♥❣ ✤↕✐ ❤å❝ ❍↔✐ P❤á♥❣✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ✈➔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ tr✐ ➙♥ ♥❤➜t ❝õ❛ tỉ✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ t❤➛② ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ tỉ✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ❚✐♥✱ qỵ t ổ ợ ✲ ✷✵✶✾✮ ❚r÷í♥❣ ✤↕✐ ❤å❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ qỵ ụ ữ t tổ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t t tợ ỳ ữớ ❧✉ỉ♥ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❤é trđ ✈➔ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦ ❍↔✐ P❤á♥❣✱ t❤→♥❣ ✶✷ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥ ◆❣ỉ ❚rå♥❣ ❚❤➔♥❤ ✶ ▼ð ✤➛✉ ✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❈→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❧➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❆♣♦❧✐❧♦♥✐✉s✳ ❈❤❛ ✤➫ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ ✤✐➸♠ ❙♦❞❞②✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞②✱ t❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞②✱✳✳ ❧➔ ❋r❡❞❡r✐❝❦ ❙♦❞❞②✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❞➔♥❤ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ t❤÷ð♥❣ ◆♦❜❡❧ ✈➲ ❍â❛ ❤å❝✳ P❤→t tr✐➸♥ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ✭◆✳ ❉❡r❣✐❛❞❡s ♥➠♠ ✷✵✵✼✱ ▼✳ ❏❛❝❦s♦♥ ♥➠♠ ✷✵✶✸✱ ▼✳ ❏❛❝❦s♦♥ ✈➔ ❚❛❦❤❛❡✈ ♥➠♠ ✷✵✶✺✱ ✷✵✶✻ ✮ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❝→❝ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ s➙✉ s➢❝ s✐♥❤ r❛ tø ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ ❧➔♠ t❤➳ ♥➔♦ ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tố t trữợ ữớ trỏ ữớ t õ q ợ ✤÷í♥❣ trá♥ ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤➣ ❜✐➳t ❦❤→❝❄ ❚r➻♥❤ ❜➔② qt t tr ỵ ✤➸ tỉ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✧✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✈➔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥✧✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔✿ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤✱ t➻♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ t t ợ ữớ trỏ ữớ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐✳ ❚ø ✤â ✤÷❛ r❛ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❙♦❞❞② tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝✳ ✲ ❳→❝ ✤à♥❤ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❝õ❛ t❛♠ ợ ữớ t t P ữủ t ợ = ta + tb + tc ❦❤↔♦ s→t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ✷ ❧ỵ♣ ✤â✳ ✈➔ ❧ỵ♣ = tb + tc ✱ ✷ ✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐✱ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ✈➔ ❜ê s✉♥❣ ❤❛✐ ❝❤õ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ❧➔♠ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛✿ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✈➔ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝✱ ữỡ ỗ P tr ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✶✳✷✳ ❚å❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❝ò♥❣ ❝→❝ ❜ë ♣❤➟♥ ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tå❛ ✤ë✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ỳ trồ t ữỡ ỗ ❝→❝ ♠ư❝ s❛✉ ✭tê♥❣ ❤đ♣✱ ❜ê s✉♥❣ tø ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶❪✱ ❬✸❪✱ ❬✼❪✮✿ ✷✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✷✳✷✳ ❇→♥ ❦➼♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✷✳✸✳ ✣÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✷✳✹✳ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞② ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲❙♦❞❞② ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ①➨t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✱ t❛♠ ❣✐→❝ ❙♦❞❞②✱ t❤ü❝ ❝❤➜t ❧➔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤→❝ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ tê♥❣ ❤ñ♣ t❤❡♦ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹❪✱ ❬✺❪✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ỗ t ❧ỵ♣ ✸✳✸✳ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ κ = ta + tb + tc = tb + tc ✳ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✈➔ ❜ê s✉♥❣ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝➛♥ ❝❤♦ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✿ ❚❤ù ♥❤➜t✱ ✤✐➸♠ q✉❛ ✈➲ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣❀ ❚❤ù ❤❛✐✱ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ✭❞↕♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤✮✱ ♣❤→t tr✐➸♥ tø ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➙♠ t✛ ❝ü q✉❡♥ t❤✉ë❝✳ ✶✳✶ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❊✉❝❧✐❞❡✳ ❈→❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝â t❤➸ t➻♠ t❤➜② tr♦♥❣ ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣ ❤✐➺♥ ❤➔♥❤✳ ✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R✳ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝ü❝ O✱ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ k = R2 ❧➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✱ ❜✐➳♥ P → P s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ P = O t❤➻ OP.OP = R2 ❀ ♥➳✉ P ≡ O t❤➻ P ←→ ∞✳ ❚❛ ỵ õ ữớ trỏ ✤↔♦✳ fRO2 ✱ ✤÷í♥❣ trá♥ (O, R) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♥➔② ❝ô♥❣ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❉➵ t❤➜② ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❤ñ♣✱ tù❝ ❧➔ fRO2 = Id✳ ❚ø ✹ ❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❷♥❤ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ s✉② r❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✿ ❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❛✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ü❝❀ ❜✮ ❷♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â t➙♠ ❧➔ ❝ü❝ ❛✮ ◗✉❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ fRO2 ✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ (O, R) ❜✐➳♥ t❤➔♥❤ ❝❤➼♥❤ ♥â✱ ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❧➔ ❤➻♥❤ ❦➨♣ t✉②➺t ✤è✐ ✭t÷ì♥❣ tü trư❝ ✤è✐ ①ù♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣✮✳ ▼å✐ ✤✐➸♠ ð tr♦♥❣ ❜✐➳♥ t❤➔♥❤ ✤✐➸♠ ð ♥❣♦➔✐ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳ (O, R) ✹✹ s−a s−b s−c s = = = m2 n2 m2 (m + n)2 n2 (m + n)2 (m2 + mn + n2 )2 ⇐⇒ (s − a) m2 + mn + n2 ⇐⇒ s · = s.m2 n2 m2 + n2 (m + n)2 = a · m2 + mn + n2 2 s m2 (m + n)2 + n2 = b m2 + mn + n2 ✈➔ s·[n2 (m+n)2 + m2 ] = c m2 + mn + n2 ✳ ❱➻ ✈➟② t❛ ❝â t❤➸ ❧➜② a = (m + n)2 m2 + n2 ❀ ❚÷ì♥❣ tü✱ b = m2 (m + n)2 + n2 ; c = n2 (m + n)2 + m2 ✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❍❡r♦♥ ✈➔ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t t❛ ❝â✿ S = m2 n2 (m + n)2 m2 + mn + n2 ; s = m2 + mn + n2 m2 + n2 (m + n)2 + m2 (m + n)2 + n2 m2 n2 (m + n)2 R= ;r = (m2 + mn + n2 ) m + mn + n2 ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ù♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝➦♣ m n c b a s S r R ✶ ✶ ✺ ✺ ✽ ✾ ✶✷ ✷ ✶ ✶✸ ✹✵ ✹✺ ✹✾ ✷✺✷ ✸ ✶ ✷✺ ✶✺✸ ✶✻✵ ✶✻✾ ✶✽✼✷ ✹ ✶ ✹✶ ✹✶✻ ✹✷✺ ✹✹✶ ✽✹✵✵ ✸ ✷ ✶✸✻ ✷✻✶ ✸✷✺ ✸✻✶ ✶✼✶✵✵ ✺ ✶ ✻✶ ✾✷✺ ✾✸✻ ✾✻✶ ✷✼✾✵✵ ✻ ✶ ✽✺ ✶✽✵✵ ✶✽✶✸ ✶✽✹✾ ✼✻✽✺✷ ✺ ✷ ✷✾✻ ✶✸✷✺ ✶✹✷✶ ✶✺✷✶ ✶✾✶✶✵✵ ✹ ✸ ✺✽✺ ✾✷✽ ✶✷✷✺ ✶✸✻✾ ✷✻✶✵✼✷ ✼ ✶ ✶✶✸ ✸✶✽✺ ✸✷✵✵ ✸✷✹✾ ✶✼✽✼✺✷ ✺ ✸ ✽✵✶ ✶✽✷✺ ✷✶✼✻ ✷✹✵✶ ✼✵✺✻✵✵ ✽ ✶ ✶✹✺ ✺✷✹✽ ✺✷✻✺ ✺✸✷✾ ✸✼✽✹✸✷ ✼ ✷ ✺✷✵ ✹✶✻✺ ✹✷✾✸ ✹✽✾ ✶✵✻✸✻✾✷ ✺ ✹ ✶✻✾✻ ✷✹✷✺ ✸✸✷✶ ✸✼✷✶ ✶✾✼✻✹✵✵ ✾ ✶ ✶✽✶ ✽✶✽✶ ✽✷✵✵ ✽✷✽✶ ✼✸✼✶✵✵ ✼ ✸ ✶✸✹✶ ✺✸✹✶ ✺✽✵✵ ✻✷✹✶ ✸✹✽✸✾✵✵ 36 144 13 400 21 900 31 900 31 1764 43 4000 39 7056 37 3136 57 14400 49 5184 73 15876 67 32400 61 8100 91 44100 79 25 325 14 2125 26 9061 42 6409 38 29341 62 78625 86 56869 78 47125 74 183625 114 110449 98 386125 146 292825 134 210781 122 749521 182 470980 158 (m, n)✿ ✹✺ ✸✳✶✳✹ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❜✐➳t ♠ët ❝↕♥❤ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❝â ✤→② ❧➔ AB A(0, 0), B(c, 0)✳ ●✐↔ sû tå❛ ✤ë ❝õ❛ C ợ m, n số tỹ ữỡ t ❝â ❣â❝ ✈ỵ✐ ✸✳✶✳✸ tr♦♥❣ ❤➺ tå❛ ✤ë ❉❡s❝❛rt❡s ✈✉ỉ♥❣ ❧➔ (x, y)✳ ❉ò♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ tr♦♥❣ m3 m2 + mn + n2 x b2 + c2 − a2 , = = c 2c2 (m + n) (m2 + n2 )2 2m2 n2 m2 + mn + n2 y 2S = = c c (m + n)2 (m2 + n2 )2 ❱✐➳t m = tn t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ q✉ÿ t➼❝❤ ❝õ❛ (x, y) = c C ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤❛♠ sè t ♥❤÷ s❛✉ 2t2 + t + 2t2 + t + 2t2 , (1 + t) (1 + t2 )2 (1 + t)2 (1 + t2 )2 ❍➻♥❤ ✸✳✼✿ ◗✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ C ❚r➯♥ t❤ü❝ t➳✱ ợ s a, s b trữợ tữợ t ỹ ữủ t ❙♦❞❞② ♠ët ❝→❝❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈→❝❤ ❞ü♥❣✳ AB ✈➔ ✤✐➸♠ Z ∈ AB s❛♦ ❝❤♦ AZ = s − a, BZ = s − b✳ ◆❤÷ ✈➟② AB = AZ + BZ = s − a + s − b = c✳ B1 ❉ü♥❣ ⊥ AB t↕✐ Z ✱ ❝➢t ♥û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AB ð P ❀ B2 ▲➜② ❆✬✱❇✬ ♥➡♠ ✈➲ ❝ò♥❣ ♠ët ♣❤➼❛ ❝õ❛ ❆❇ ♠➔ AA , BB ⊥ AB ✈➔ AA = AZ, BB = BZ B3 ◆è✐ P A , P B ✱ ❝❤ó♥❣ ❝➢t AB t÷ì♥❣ ù♥❣ t↕✐ X, Y ❀ B4 ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ q✉❛ P, X, Y ✱ ❝➢t ❧↕✐ P Z t↕✐ Q❀ B5 ❉ü♥❣ X ∈ AZ, Y ∈ ZB s❛♦ ❝❤♦ X Z = ZY = ZQ❀ ❈❤♦ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✹✻ B6 ❉ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ A ✈➔ B ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣ q✉❛ Y , X ✳ ❍❛✐ ✤÷í♥❣ C ✳ ∆ABC ❧➔ t❛♠ ỹ ợ ữớ ú AB Z ✱ ❤➻♥❤ ✸✳✽✳ trá♥ ♥➔② ❣➦♣ ♥❤❛✉ ð trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t✐➳♣ ❍➻♥❤ ✸✳✽✿ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❜✐➳t ♠ët ❝↕♥❤ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ AZ = u, BZ = v ✳ ❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ √ trá♥ ❙♦❞❞② t❛ ❝â ZP = uv ✈➔ tø ✭✸✳✽✮ s✉② r❛ √ √ ZP uv u v √ =√ √ ZX = ZA · =u· ZP + AA u + uv u+ v √ v u √ ✳ ❚❤❡♦ ỵ ữỡ t ữỡ tỹ ZY = u+ v ✣➦t ZQ = ❚❛ s✉② r❛ = ZQ √ ZX.XY uv √ = √ ZP ( u + v)2 √ u+ v 1 1 √ =√ +√ =√ +√ ✳ uv u v AZ ZB ✤÷í♥❣ ✹✼ ❉♦ ✤â t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❤ä❛ ♠➣♥✿ BC = BX = BZ + ZX = BZ + ZQ, AC = AY = AZ + ZY = AZ + ZQ, AB = AZ + ZB, 1 1 1 = √ = √ +√ = √ +√ ✳ ✣â ZQ s−c s−a s−b AZ ZB ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ợ ữớ trỏ t t ú AB t Z ✳ √ ✈ỵ✐ t❛♠ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✸✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ κ = ta + tb + tc ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❧ỵ♣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ❞ü❛ t❤❡♦ r t ABC ỵ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳ A B C , tb = tan , tc = tan ✳ 2 ❚❛ ♥â✐ ❆❇❈ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❧ỵ♣ κ ♥➳✉ ta + tb + tc = κ✳ ta = tan ❚ø ❤❛✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ợ r t ữủ r ξ r ta + tb + tc − = ξ ta + tb + tc + = ❚❛ s✉② r❛✿ ξ κ+2 = ξ κ−2 ✭✸✳✶✵✮ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✶✵✮ t❤➸ ❤✐➺♥ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❙♦❞❞② ✈➔ ✤➦❝ sè κ✳ κ✳ Ð ✤➙② t❛ ❝❤➾ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ợ số ữỡ ởt t ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ κ ❧➔ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝→❝ t❛♥❣ ❝õ❛ ♠é✐ ♥û❛ ❣â❝ ❝õ❛ ♥â ❧➔ sè ❤ú✉ t✛✳ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ ❣å✐ θ = ADB ✈ỵ✐ AD ❧➔ ❝❡✈✐❛♥ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✤➾♥❤ A✱ t❛ ❝â tb − tc = (tb + tc ) cos ỵ sè κ ✈➔ ❤➺ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✭✸✳✸✮ t❛ ❧➟♣ ữủ ữỡ tr ợ ta , tb , tc ✿   = (tb + tc ) cos θ  tb − tc ta + tb + tc =κ   t t +t t +t t =1 a b b c c a ❉➵ t❤➜② ❝â ✈ỉ sè ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ ✹✽ ●✐↔✐ ❤➺ t❤✉ ✤÷đ❝ √ κ + cos2 θ + 2c κ2 − − cos2 θ ta = + cos2 θ √ (1 + cos θ) κ − κ2 − − cos2 θ tb = + cos2 θ √ (1 − cos θ) κ − κ2 − − cos2 θ tc = + cos2 θ ✭✸✳✶✶✮ ✭✸✳✶✷✮ ✭✸✳✶✸✮ = ±1✳ ❘ã r➔♥❣ ta , tb , tc ❧➔ sè ❤ú✉ t✛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ κ2 − − cos2 θ = v 2 ✈ỵ✐ v ❤ú✉ t✛✳ ❚ù❝ ❧➔ κ − ❧➔ tê♥❣ ❤❛✐ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ❤ú✉ t✛✳ ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✱ κ − ❧➔ tê♥❣ ữỡ số t s ợ ▼ët sè ♥❣✉②➯♥ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ sè ❤ú✉ t✛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥✳ ✭✤÷đ❝ ❋✳▼✳ ❏❛❝❦s♦♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✸❪✮✿ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳ ●✐↔ sû κ > số ữỡ r ợ tỗ t tê♥❣ ❝õ❛ ✷ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ s✉② r❛ tø ❜ê ✤➲ tr➯♥✳ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ κ2 − ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ✷ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ✤â ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ✳ ✸✳✷✳✶ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ = ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔②✱ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❦✐➸✉ ❙♦❞❞② ❦❤↔♦ s→t ð ♠ư❝ ✸✳✶ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ ✷✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ tä ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ s✐♥❤ r❛ tø ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞②✳ ◆❣❛② s❛✉ ✤➙②✱ t❛ s➩ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ ✹✳ P❤➨♣ ①➙② ❞ü♥❣ rã r➔♥❣ →♣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❧ỵ♣ κ ✈ỵ✐ κ2 − ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳ ✸✳✷✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ = ❚✛ sè ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✷ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ κ✱ t❛ t❤➜② ♥❣❛② t✛ sè κ+2 κ−2 κ+2 ξ = = 1+ ✳ ξ κ−2 κ−2 ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❝❤➾ ❦❤✐ ❱ỵ✐ κ = 3, 4, ✹✾ ✈➔ ❜↔♥ t❤➙♥ ❣✐→ trà t✛ sè ♥➔② t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜➡♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ κ = 3, 6✳ 5, 3, 2✳ ❚❤❡♦ ♠➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷ Ð ✤➙② t❛ s➩ ①➙② ❞ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ κ = 4✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ ❝❤➜t tê♥❣ q✉→t✱ ❣✐↔ sû a ≥ b ≥ c✳ ❈→❝ t❤❛♠ sè ta , tb , tc ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ✭✸✳✶✶✮✱ ✭✸✳✶✷✮✱ ✭✸✳✶✸✮ ✈ỵ✐ κ = 4✳ ❚❛ ❝â √ κ2 − = 13 ✈➔ ✤á✐ ❤ä✐ cos θ ✈➔ v = 13 − cos2 θ ❧➔ ❝→❝ sè ❤ú✉ t✛✳ ❱➻ 13 = 32 + 22 ♥➯♥ t❛ ✈✐➳t v = 13 − cos2 θ ❧➔ v − = − cos2 θ ⇐⇒ (3 − cos θ)(3 + cos θ) = (v − 2)(v + 2)✳ ❱➻ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû ❧➔ sè ❤ú✉ t✛ ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû − cos θ = w(v + 2) ✈ỵ✐ w ❧➔ sè ❤ú✉ t✛ ♥➔♦ ✤â✳ ❚❛ s✉② r❛ w(3 + cos θ) = v − 2✳ ❚❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❍❡r♦♥ ✈ỵ✐ − cos θ = w(v + 2) w(3 + cos θ) = v − = w(v + 2) 3w = v − 2 ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ v ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❤ú✉ t✛ ❞♦ v = 13✳ ❇ð✐ ✈➟② t❛ ❝â t❤➸ ❝♦✐ b > c✱ ❦❤✐ ✤â θ ❧➔ ❣â❝ ♥❤å♥ ✈➔ < cos θ < 1✳ ●✐↔✐ ❤➺ ✤â ✈ỵ✐ ➞♥ cos v t ữủ ú ỵ r ♥➳✉ tb = tc t❤➻ cos θ = 0✳ ❍➺ trð t❤➔♥❤ − 4w − 3w2 + 6w − 2w2 , v= ✭✸✳✶✹✮ cos θ = + w2 + w2 √ √ √ 3−1 3−2 ✈➔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ♥➔② ❧✉æ♥ ❧✉æ♥ ♥❤å♥ ❱➻ ❝→❝ ❣✐→ trà ✺✺ > ta > ✈➔ tb > > tc > ✈➔ ✈➻ tb + tc = ♥➯♥ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ < ta + tb + tc < ✳ r ♥➯♥ ξ = s − a > ✈➔ ✤÷í♥❣ ▲↕✐ tø ✭✸✳✻✮ t❛ ❝â✿ ta + tb + tc − = ξ ✈ỵ✐ b ❧➔ ❝↕♥❤ ❧ỵ♥ t ú ỵ r tb > trỏ s ổ t ú ợ ữớ trỏ t ú ứ t = ữợ t❤✉ ✤÷đ❝✿ a = 2m2 n b = (m + n) m2 − 2mn + 2n2 c = −(m − n) m2 + 2mn + 2n2 ú ỵ r ✈➻ < cos θ < ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❝â t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝➙♥ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ ♥➔②✳ ❚ø ✭✸✳✷✸✮ t❛ ❝â ❤➺ t❤ù❝ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❝↕♥❤ a3 = s(b − c) ❱ỵ✐ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❧ỵ♣ S= ❤♦➦❝ a(s − a) ≤ m < n ≤ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ = a, b, c ữợ ợ t ú ữ t tr ữợ ✤➙②✿ m n a b c s S r R ✶ ✷ ✹ ✶✺ ✶✸ ✶✻ ✷✹ ✶ ✸ ✸ ✷✻ ✷✺ ✷✼ ✸✻ ✷ ✸ ✶✷ ✷✺ ✶✼ ✷✼ ✾✵ ✶ ✹ ✽ ✶✷✺ ✶✷✸ ✶✷✽ ✹✽✵ ✸ ✹ ✼✷ ✶✶✾ ✻✺ ✶✷✽ ✷✵✶✻ ✶ ✺ ✺ ✶✷✸ ✶✷✷ ✶✷✺ ✸✵✵ ✷ ✺ ✷✵ ✶✶✾ ✶✶✶ ✶✷✺ ✶✵✺✵ ✸ ✺ ✹✺ ✶✶✻ ✽✾ ✶✷✺ ✶✽✵✵ ✹ ✺ ✽✵ ✶✶✼ ✺✸ ✶✷✺ ✶✽✵✵ ✶ ✻ ✶✷ ✹✷✼ ✹✷✺ ✹✸✷ ✷✺✷✵ ✺ ✻ ✸✵✵ ✹✵✼ ✶✺✼ ✹✸✷ ✶✾✽✵✵ 10 15 63 12 42 72 72 35 275 65 325 24 85 1025 16 1105 16 2501 40 629 10 2581 40 689 10 5185 24 5809 24 ❳➨t ✈à tr➼ t➙♠ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐ ❝õ❛ ❧ỵ♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ♥➔② ❝ò♥❣ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ♥â ♥❤÷ tr➯♥ ❤➻♥❤ ✸✳✶✵✳ ✺✻ ❍➻♥❤ ✸✳✶✵✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧ỵ♣ r ợ ố ỵ ❬✺❪✮ =2 ✳ ❚➙♠ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ = ❧➔ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝õ❛ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ q✉❛ ❝↕♥❤ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ = tb + tc = 2✳ ❚ø r ✭✸✳✼✮ t❛ ❝â ta + tb + tc − = ♥➯♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐ ξ ❜➡♥❣ ξ = s − a > ♥❤÷ ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ta ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✳ ❱ỵ✐ ξ > ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ♥❣♦↕✐ ❧✉ỉ♥ t✐➳♣ ①ó❝ ợ ữớ trỏ t ú õ BF = s − b + ξ = s − b + s − a = c ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ABF ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥✳ ❚❛ ❝ơ♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ F ❧➔ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝õ❛ A q✉❛ BC ✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ ❝❤➜t tê♥❣ q✉→t t❛ ❧➜② ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❝❤õ ②➳✉ ❦❤↔♦ s→t ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ = 1, 2✳ κ = 2, ✈➔ ❇➡♥❣ ❝→❝ s✉② ❧✉➟♥ sè ❤å❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝ư t tữỡ ự ợ số ❦❤→❝ ✈➔ ✳ ❍♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü ❝â t❤➸ ❦❤↔♦ s→t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ✺✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✿ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❧÷đ❝ ✈➲ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❞ò♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ ✷✱ ✸✳ ✷✳ ❚rå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ợ t ữớ trỏ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ❝→❝❤ ❞ü♥❣✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❙♦❞❞② ✈➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝✳ ✸✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✈ỵ✐ ✤➦❝ sè κ = 2, ✈➔ ✤➦❝ sè = 1, 2✳ ❈❤ó♥❣ tổ t õ ữợ ự t t ✲ ❚➻♠ t❤➯♠ ✈➲ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❦➳t q ỵ tử ❦❤❛✐ t❤→❝ ❝→❝ ②➳✉ tè ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❊✉❧❡r✲●❡r❣♦♥♥❡✲ ❙♦❞❞② ✈➔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✤➦❝ sè κ ✈➔ ❦❤→❝✳ ▼➦❝ ❞ò ✤➣ r➜t ❝è ❣➢♥❣ ♥❤÷♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❤↕♥ ❝❤➳✱ ❦❤✐➳♠ ❦❤✉②➳t✳ ❚→❝ rt sỹ õ ỵ s t ổ ỗ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❝â ➼❝❤ ❤ì♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✳ ✺✽ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✶❪ ❉❡r❣✐❛❞❡s✱ ◆✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✏❚❤❡ s♦❞❞② ❝✐r❝❧❡s✑✱ ❋♦r✉♠ ●❡♦♠❡tr✐❝♦r✉♠✱ ✼ ✱ ♣♣✳ ✶✾✶✕✶✾✼✳ ❆♥ ❆❜str❛❝t ♦❢ ❛ ❚❤❡s✐s ❙✉❜♠✐tt❡❞ ✐♥ P❛rt✐❛❧ ❋✉❧✲ ❢✐❧❧♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❘❡q✉✐r❡♠❡♥t ❢♦r t❤❡ ❉❡❣r❡❡ ▼❛st❡r ♦❢ ❆rts✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❬✷❪ ●✐s❝❤✱ ❉✳❏✳ ✭✷✵✵✻✮✱ ♦❢ ◆♦rt❤❡r♥ ■♦✇❛✱ ✶✲✾✳ ❬✸❪ ❏❛❝❦s♦♥✱ ❋✳▼✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✏❙♦❞❞②✐❛♥ tr✐❛♥❣❧❡s✑✱ ✶✸ ❋♦r✉♠ ●❡♦♠❡tr✐❝♦r✉♠✱ ✱ ♣♣✳ ✶✕✻✳ ❬✹❪ ❏❛❝❦s♦♥✱ ❋✳▼✳✱ ❚❛❦❤❛❡✈✱ ❙✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❍❡r♦♥✐❛♥ tr✐❛♥❣❧❡s ♦❢ ❝❧❛ss ❈♦♥❣r✉❡♥t ✐♥❝✐r❝❧❡s ❝❡✈✐❛♥ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡✑✱ ❋♦r✉♠ ●❡♦♠❡tr✐❝♦r✉♠✱ K✿ ✶✺ ✱ ♣♣✳ ✺✕✶✷✳ ❬✺❪ ❏❛❝❦s♦♥✱ ❋✳▼✳✱ ❚❛❦❤❛❡✈✱ ❙✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❍❡r♦♥✐❛♥ tr✐❛♥❣❧❡s ♦❢ ❝❧❛ss ❏✿ ❈♦♥✲ ❣r✉❡♥t ✐♥❝✐r❝❧❡s ❝❡✈✐❛♥ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡✑✱ ♣✉t❡r ❉✐s❝♦✈❡r❡❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ✶ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❈♦♠✲ ✭✸✮✱ ♣♣✳ ✶✕✽✳ ❬✻❪ ❑✐♠❜❡r❧✐♥❣✱ ❈✳ ✭✷✵✵✵✮✱ ✏❊♥❝②❝❧♦♣❡❞✐❛ ♦❢ tr✐❛♥❣❧❡ ❝❡♥t❡rs✑✱ ❆✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛t ❤tt♣✿✴✴❢❛❝✉❧t②✳❡✈❛♥s✈✐❧❧❡✳❡❞✉✴❝❦✻✴❡♥❝②❝❧♦♣❡❞✐❛✴❊❚❈✳❤t♠❧✳ ❬✼❪ ❨✐✉✱ P✳ ✭✷✵✵✶✮✱ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ ●❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡ ❚r✐❛♥❣❧❡✱ ❆t❧❛t✐❝ ❯♥✐✈❡rs✐t② ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s✳ ❋❧♦r✐❞❛ ... KHOA HỌC  - NGƠ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRỊN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS