luận văn thạc sĩ một số bài toán tối ưu trên đồ thị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Phương Loan MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Phương Loan MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Hoàng Thạch Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Hoàng Thạch Các kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2019 Người cam đoan Lê Thị Phương Loan LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Hồng Thạch Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình tơi thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Tốn học thầy anh chị phòng Cơ sở Toán học Tin học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn bạn học viên chuyên ngành Toán ứng dụng khoá 2017- 2019 giúp đỡ, động viên tơi q trình thực luận văn Cuối cùng, luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết Vì tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Lời nói đầu Danh sách bảng Danh sách hình vẽ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 1.1.1 Các định nghĩa thí dụ 1.1.2 Biểu diễn đồ thị 11 1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ TÍNH LIÊN THÔNG 15 1.2.1 Đường chu trình 15 1.2.2 Tính liên thơng 17 BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ 19 2.1 BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 20 2.2 THUẬT TOÁN DIJKSTRA 21 2.2.1 Mơ tả thuật tốn 21 2.2.2 Chứng minh tính đắn thuật tốn 23 2.2.3 Độ phức tạp thuật toán 27 2.2.4 Ví dụ 27 2.3 THUẬT TOÁN BELLMAN-FORD 28 2.3.1 Mô tả thuật toán 28 2.3.2 Chứng minh tính đắn thuật tốn 30 2.3.3 Độ phức tạp thuật toán 31 2.3.4 Ví dụ 32 2.4 SO SÁNH 33 ỨNG DỤNG: BÀI TỐN LẬP KẾ HOẠCH 34 3.1 MƠ TẢ BÀI TOÁN 35 3.2 MƠ HÌNH ĐỒ THỊ 37 3.2.1 Phương pháp 37 3.2.2 Phương pháp PERT 42 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 46 4.1 KẾT LUẬN 46 4.2 KIẾN NGHỊ 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 LỜI NÓI ĐẦU Trong tối ưu lĩnh vực quan trọng có lịch sử lâu đời tốn học ứng dụng, tối ưu tổ hợp lại nhánh "trẻ" bắt đầu phát triển mạnh từ khoảng đầu kỷ 20, nhu cầu phát sinh từ sản xuất đại, quy mô lớn Các toán tối ưu tổ hợp diện khắp nơi sống đại, từ việc lên kế hoạch, tổ chức dây chuyền sản xuất, kho bãi đến khía cạnh đời thường gần gũi giao thơng thị, xếp thời khóa biểu, Cũng phát triển mạnh kỷ 20 lý thuyết đồ thị Các mơ hình đồ thị cho phép thể cách trực quan tập hợp đối tượng rời rạc mối quan hệ chúng Ban đầu gắn liền với khoa học máy tính, lý thuyết đồ thị thân trở thành lĩnh vực tốn học riêng phát triển mạnh Các mơ hình đồ thị tìm thấy thiết kế máy tính phần mềm, mạng viễn thơng, sinh học, nghiên cứu mạng xã hội, kinh tế, Một số toán tối ưu tổ hợp mơ hình hóa (và giải) cách tự nhiên ngôn ngữ đồ thị Luận văn tập trung vào lớp tốn tiêu biểu số Trong khn khổ luận văn, tơi trình bày mơ hình tốn học phương pháp giải, sau minh họa ứng dụng thực tiễn Luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm, tính chất, mệnh đề, nội dung để phục vụ cho nội dung luận văn Chương Bài tốn tìm đường ngắn đồ thị Đây phần luận văn Trong chương nêu toán, phương pháp giải, giả mã chứng minh tính đắn thuật toán Chương Ứng dụng: Bài tốn lập kế hoạch Nêu mơ hình thực tiễn, cách áp dụng từ tốn tìm đường ngắn bên để giải mơ hình Các khái niệm, nội dung luận văn tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6] viết lại theo ý hiểu tác giả Danh sách bảng 3.1 Ví dụ mơ hình dự án 36 Danh sách hình vẽ 1.1 Đơn đồ thị vơ hướng(a) có hướng(b) 1.2 Đơn đồ thị vơ hướng có trọng số(a) có hướng có trọng số (b) 1.3 Hai phép biểu diễn đồ thị vô hướng hình 1.1a 12 1.4 Hai phép biểu diễn đồ thị có hướng hình 1.1b 13 1.5 Hai phép biểu diễn đồ thị có trọng số hình 1.2a 14 1.6 Ví dụ đồ thị có hướng 16 2.1 Minh họa cho chứng minh ý 23 2.2 Minh họa cho chứng minh ý trường hợp 24 2.3 Minh họa cho chứng minh ý trường hợp 25 2.4 Minh họa cho chứng minh ý trường hợp 26 27 2.6 Minh họa cho chứng minh trường hợp 31 2.7 Thực thi thuật toán Bellman-Ford 32 3.1 Đồ thị Conjunctive 38 3.2 Biểu diễn đồ thị bảng 3.1 phương pháp 39 3.3 Biểu diễn kết phương pháp 42 3.4 Biểu diễn đồ thị bảng 3.1 phương pháp PERT 44 3.5 Biểu diễn kết phương pháp PERT 44 45 2.5 Thực thi thuật toán Dijkstra 3.6 Biểu diễn toán biểu đồ Gantt 33 2.4 SO SÁNH Dựa vào kết nêu cho thấy, với tốn thuật tốn Dijkstra có thời gian chạy tốt so với thuật tốn Bellman-Ford, song lại khơng giải tốn chứa cạnh trọng số âm Do đó, thuật tốn Bellman-Ford thường sử dụng toán chứa cạnh có trọng số âm Cả hai thuật tốn giải tốn tìm đường ngắn nguồn đơn Sự khác biệt hai thuật tốn thuật tốn Dijkstra khơng thể xử lý cạnh có trọng số âm Thuật tốn Bellman-Ford xử lý vấn đề Tuy nhiên, phải nhắc lại rằng, có chu trình âm khơng có đường ngắn 34 CHƯƠNG ỨNG DỤNG: BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH Trong thực tế, việc lập kế hoạch tiến độ cơng cụ quản lý dự án Các hoạt động dự án lập kế hoạch tiến độ với mức độ chi tiết khác Dự án tập hợp hoạt động liên quan với phải thực theo thứ tự hoàn thành toàn hoạt động Hoạt động hiểu việc đòi hỏi thời gian, nguyên liệu để hoàn thành Việc lập kế hoạch cho biết thời điểm hồn thành cơng việc Cách tiếp cận kỹ thuật lập kế hoạch xây dựng mạng lưới công việc mối liên hệ chúng nhằm biểu diễn trình tự công việc dự án Đồng thời cần xác định rõ nhiệm vụ cần hoàn thành trước hay sau Một số thuật ngữ dùng phổ biến: Công việc (Task/Activity): nhiệm vụ hay tập hợp nhiệm vụ cụ thể mà dự án yêu cầu, tiêu dùng nguồn lực cần thời gian để hoàn thành Sự kiện (Event): kết việc hồn thành hay nhiều cơng việc Ta có 35 thể ghi nhận trạng thái kết thúc công việc thời điểm cụ thể Các kiện không sử dụng nguồn lực Đường (Path): chuỗi công việc liên tiếp hai kiện mạng Đường tới hạn (Critical path): cơng việc, hay đường mà trễ kéo dài thời gian hoàn thành dự án Mỗi đường tới hạn dự án có nghĩa trình tự công việc tới hạn (và kiện tới hạn) mà nối kiện bắt đầu dự án với kiện kết thúc dự án 3.1 MƠ TẢ BÀI TỐN Một dự án chia thành nhiều cơng việc T1 , , Tn Trong cơng việc có khoảng thời gian dự kiến hồn thành Công việc T1 cần c1 đơn vị thời gian thực Công việc T2 cần c2 đơn vị thời gian thực Giữa cơng việc có ràng buộc thời gian, thứ tự, nguồn lực Trong khuôn khổ luận văn, ta không xét đến việc nguồn lực dự án: người, máy móc, , nên giả sử nguồn lực vô tận, chạy song song nhiều cơng việc Có số ràng buộc thời gian sau: Tj phải thực sau Ti , Tk phải thực sau Ti Tj , 36 Tl phải thực xong trước thời điểm xl , Mục tiêu tốn: tính tốn ngày kết thúc dự án cho sớm Ta cần tìm thời điểm d1 , d2 , , dn , f1 , f2 , , fn cho: + Ti bắt đầu thực thời điểm di kết thúc thời điểm fi + Tất ràng buộc thỏa mãn Dễ thấy, fi = di + ci Khi đó, khoảng thời gian kết thúc f := max{fi } bé Ví dụ 3.1.1 Trong bảng 3.1 ví dụ dự án có 11 cơng việc với ràng buộc sau: Bảng 3.1: Ví dụ mơ hình dự án Cơng việc Thời gian thực Ràng buộc T1 NA T2 NA T3 NA T4 Sau T1 T5 Sau T1 T6 Sau T2 T7 Sau T2 T8 Sau T4 , T5 T9 10 Sau T3 T10 Sau T7 , T8 T11 Sau T6 , T7 , T10 37 3.2 MƠ HÌNH ĐỒ THỊ Đồ thị có nhiều ứng dụng việc lập lịch, với tốn tìm đường dài nhất, ta đề cập tới ứng dụng lập lịch sử dụng phương pháp sơ đồ mạng PERT Ta mở rộng tốn tìm đường ngắn thành tốn tìm đường dài cách thay tìm trọng số nhỏ nhất, ta tìm trọng số lớn cho đỉnh Phương pháp giải đồ thị giúp trả lời câu hỏi: + Dự án hoàn thành nào? + Mỗi hoạt động dự án nên bắt đầu vào thời điểm kết thúc vào thời điểm nào? + Những hoạt động dự án phải kết thúc thời hạn để tránh cho toàn dự án bị kết thúc chậm so với kế hoạch? + Liệu chuyển nguồn lực trữ từ hoạt động không "tới hạn" sang hoạt động tới hạn (các hoạt động phải hoàn thành tiến độ) mà không ảnh hưởng tới dự án? 3.2.1 Phương pháp Đồ thị Conjunctive cặp (G, w) đó: + G = (V, E) đồ thị có hướng cho V = {s = v0 , v1 , v2 , , , vn+1 = t}, đỉnh s nguồn, đỉnh t đích + w : E → R+ 38 thỏa mãn ∀vi = s, t: tồn đường dương từ s đến vi tồn đường dương từ vi đến t Một hàm G hàm q : V → R cho: q(s) = 0; Với cạnh (u, v) : q(u) + w(u, v) ≤ q(v) (∗) Hình 3.1: Đồ thị Conjunctive Với đồ thị Conjunctive (G, w) định nghĩa trên, tồn đồ thị khơng có chu trình dương (sự phụ thuộc vòng quanh).Vì tồn chu trình dương khơng thỏa mãn (∗) Mỗi tương ứng với cách lập kế hoạch thỏa mãn tất ràng buộc Từ tốn mơ hình dự án, ta chuyển sang tốn đồ thị có hướng, có trọng số bước sau: Bước 1: Bổ sung thêm đỉnh đầu, đỉnh cuối đồ thị thời điểm bắt đầu kết thúc dự án Bước 2: Mỗi đỉnh đồ thị công việc dự án 39 Bước 3: Ta có loại cạnh đồ thị, tương ứng với trường hợp: + Ti → Tj : công việc Tj thực sau cơng việc Ti hồn thành Trọng số tương ứng ci + s → Ti : cơng việc khơng có ràng buộc đứng trước Khi đó, cạnh (s, Ti ) có trọng số + Tj → t cơng việc khơng có ràng buộc đứng sau Khi đó, cạnh (Tj , t) có trọng số Bước 4: Sử dụng phương pháp giải, tìm đường dài từ s đến t qua tất đỉnh đồ thị Ta có biểu diễn đồ thị bảng 3.1 Gọi δ(u, v) độ dài đường dài từ u đến v Hình 3.2: Biểu diễn đồ thị bảng 3.1 phương pháp Giả sử đồ thị khơng có chu trình dương Ta định nghĩa sớm muộn sau: Thế sớm nhất: R = {r(v) := δ(s, v)} 40 Thế muộn nhất: L = {l(v) := δ(s, t) − δ(v, t)} Ta định nghĩa [ri , li ] khoảng giới hạn đỉnh vi , qi ∈ [ri , li ] đỉnh tới hạn Đặt q∗ = l(s, t) thời gian lập lịch tối ưu Ta chứng minh được, với q, ta có: q(v) ≥ d(v) q(v) ≤ f (v) Và q(t) thời điểm hoàn thành công việc cuối cùng, q(t) ≥ q∗ = l(s, t) Việc tính tốn sớm muộn dựa vào tốn tìm đường ngắn tìm đường dài Tất đường dài từ s đến t đường tới hạn (critical path) Tất đỉnh đường hoạt động tới hạn (critical task) Khi đó, ta biểu diễn tham số, điều kiện đồ thị Ta có nhận xét: Nhận xét 3.2.1 Bài toán tồn lời giải đồ thị khơng chứa chu trình dương Đối với tốn bảng 3.1, ta có: Biểu diễn cạnh: + w(s, T1 ) = w(s, T2 ) = w(s, T3 ) = 0; + w(T1 , T4 ) = 2; + w(T1 , T5 ) = 2; + w(T2 , T6 ) = 2; 41 + w(T2 , T7 ) = 2; + w(T4 , T8 ) = 3; + w(T5 , T8 ) = 4; + w(T3 , T9 ) = 2; + w(T7 , T10 ) = 6; + w(T8 , T10 ) = 4; + w(T6 , T11 ) = 7; + w(T7 , T11 ) = 6; + w(T10 , T11 ) = 3; + w(T9 , t) = 10; + w(T11 , t) = Khi đó, ta sớm muộn đỉnh: 42 Vậy thời gian tối đa làm dự án 17 đơn vị thời gian Một đường găng từ s đến t là: s → T1 → T5 → T8 → T10 → T11 → t Hình 3.3: Biểu diễn kết phương pháp 3.2.2 Phương pháp PERT Sơ đồ mạng PERT (Project Evaluation anh Review Technique) xếp lịch dự án, ứng dụng rộng rãi đem lại nhiều hiệu việc thi cơng cơng trình PERT phát triển cho văn phòng dự án đặc biệt Hải quân Hoa kỳ vào năm 1957 để hỗ trợ cho dự án tàu ngầm hạt nhân Polaris Hải quân Hoa kỳ Sau người ta thấy có ứng dụng nhiều ngành khác Một ví dụ tiêu biểu PERT ứng dụng cho việc chuẩn bị cho vận hội mùa đông năm 1968 Grenoble từ năm 1965 khai mạc năm 1968 Sơ đồ PERT biểu diễn đồ thị có hướng Trên cạnh có đặt thời gian thực hiện, đỉnh thời điểm bắt đầu kết thúc hay nhiều công việc 43 Ta thay đổi tập đầu vào việc xây dựng đồ thị có hướng 2n đỉnh có ràng buộc trình tự thực cơng việc sau: Với Ti tương ứng với cặp (di , fi ) có giá trị ci , công việc Ti phải thực trước công việc Tj biểu diễn thành fi → dj , trọng số cung gán thời gian tối thiểu công việc cách ngày Nếu khơng nói sau ngày, ta hiểu fi → dj − Phương pháp PERT tư tưởng hoàn toàn tương tự với phương pháp năng, song có số thay đổi việc biểu diễn đồ thị bước bước 3: Bước 2: Mỗi đỉnh đồ thị thời điểm bắt đầu kết thúc công việc dự án Bước 3: Ta có loại cạnh đồ thị, tương ứng với trường hợp: + di → fi : trọng số tương ứng ci + s → di : cơng việc khơng có ràng buộc đứng trước Khi đó, cạnh (s, di ) có trọng số + fi → t công việc khơng có ràng buộc đứng sau Khi đó, cạnh (fj , t) có trọng số + fi → dj : công việc Tj thực sau cơng việc Ti hồn thành Để giải tốn trên, ta bổ sung số đỉnh giả để tiện cho việc tính tốn Ta có đồ thị biểu diễn tốn phương pháp PERT: 44 Hình 3.4: Biểu diễn đồ thị bảng 3.1 phương pháp PERT Sau q trình tính tốn, ta thu công việc tới hạn đường in đậm hình bên Hình 3.5: Biểu diễn kết phương pháp PERT Nhận xét 3.2.2 Với điều kiện đầu vào kết phương pháp Hiện nay, ta thấy ứng dụng phương pháp PERT biểu đồ Gantt 45 nhiều phần mềm quản lý dự án Ví dụ MS Project hay Omni Plan Ta có biểu diễn tốn biểu đồ Gantt Hình 3.6: Biểu diễn tốn biểu đồ Gantt 46 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 4.1 KẾT LUẬN Trong luận văn Một số tốn tối ưu đồ thị ứng dụng, tơi trình bày số vấn đề sau: Trình bày kiến thức lý thuyết đồ thị Trình bày tốn tìm đường ngắn nhất, thuật toán Dijkstra, BellmanFord để giải thuật tốn, giả mã thuật tốn, chứng minh tính đắn hai thuật toán trên, so sánh hai thuật toán Trình bày ứng dụng thực tiễn tốn tìm đường ngắn ngất, cách đưa tốn đồ thị cách giải 4.2 KIẾN NGHỊ Sau đây, để tiếp tục hồn thiện luận văn, tơi tìm hiểu phương pháp PERT lập trình hai thuật toán Dijkstra Bellman-Ford 47 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp Đồ thị, Viện Toán học, Hà Nội, 2003 Tài liệu Tiếng Anh [2] Balas, Egon, Machine sequencing via disjunctive graphs: An implicit enumeration algorithm, Operations Research, 1969 [3] B Roy, B Sussmann, Les problèmes d’ordonnancement avec con- straintes disjonctives, SEMA, 1964 [4] Kelley, James; Walker, Morgan, Critical-Path Planning and Scheduling,Proceedings of the Eastern Joint Computer Conference, 1959 [5] Kenneth H Rosen, Discrete Mathematics And Its Applications 7th, McGraw-Hill Education, 2012 [6] Thomas H Cormen, Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, Clifford Stein, Introduction to Algorithms, The MIT Press, 2001 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Phương Loan MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng. .. Hình 1.2: Đơn đồ thị vơ hướng có trọng số( a) có hướng có trọng số (b) Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị đồ thị G đồ thị H = (W, F ) cho W ⊂ V, F ⊂ E Tiếp sau số thuật ngữ lý thuyết đồ thị 10 Trước... xã hội, kinh tế, Một số tốn tối ưu tổ hợp mơ hình hóa (và giải) cách tự nhiên ngôn ngữ đồ thị Luận văn tập trung vào lớp toán tiêu biểu số Trong khn khổ luận văn, tơi trình bày mơ hình tốn