Phổ đồ thị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN QUANG PHỔ ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VINH HÀ NỘI−2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lê Anh Vinh, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Trường Trung học phổ thông Khoa Học Giáo Dục - Đại học Khoa học Giáo dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ trình hồn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn Hà Nội, ngày 07 tháng 04 năm 2017 Học viên Phạm Văn Quang Mục lục Lời nói đầu Chương Phổ đồ thị 1.1 Khái niệm 1.2 Một số khái niệm khác 1.3 Một vài kết từ đại số tuyến tính 3 13 Chương Phổ phép toán đồ thị 25 2.1 Phần bù, hợp nối đồ thị 25 2.2 Phổ đồ thị đặc biệt 31 Chương Một số ứng dụng phổ đồ thị 35 3.1 Ứng dụng đếm số đồ thị 35 3.2 Ứng dụng xác định bậc quy tính hai phần 38 3.3 Ứng dụng xác định tính liên thơng 42 3.4 Ứng dụng giá trị phổ lớn thứ 3.4.1 Giá trị riêng lớn thứ hai 3.4.2 Giá trị riêng với môđun lớn thứ hai 3.5 Phổ đồ thị toán Richard Brualdi 3.5.1 Đối phổ đồ thị theo chuẩn pn 3.5.2 Đối phổ đồ thị hai phần đầy đủ Kết luận 44 44 46 47 50 52 55 Tài liệu tham khảo 56 LỜI NĨI ĐẦU Trong tốn học tin học, lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu quan trọng có nhiều ứng dụng Trong thực tế có nhiều toán mạng lưới liên kết website, mạng lưới giao thơng, biểu diễn cấu trúc đồ thị Do vậy, phát triển thuật toán xử lý đồ thị mối quan tâm khoa học máy tính tốn học ứng dụng Một kết lý thuyết đồ thị xuất báo Leonhard Euler Bảy cầu Kăonigsberg, xut bn nm 1736 Bi bỏo ny cng xem kết tôpô hình học, tức là, khơng phụ thuộc vào độ đo Nó diễn tả mối liên hệ sâu sắc lý thuyết đồ thị tôpô học Năm 1852, Francis Guthrie đưa toán bốn màu vấn đề liệu với bốn màu tơ màu đồ cho khơng có hai nước biên giới tơ màu Bài tốn xem khai sinh lý thuyết đồ thị, giải sau kỉ vào năm 1976 Kenneth Appel Wolfgang Haken Trong cố gắng giải toán này, nhà toán học tạo nhiều thuật ngữ khái niệm tảng cho lý thuyết đồ thị Việc ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật khiến cho lí thuyết định tính đồ thị ngày phát triển năm sau Lí thuyết phổ đồ thị khái niệm quan trọng cho biết nhiều thông tin đồ thị Trong luận văn này, ta tập trung tìm hiểu khái niệm với nội dung tham khảo tài liệu [1], [11] [12] Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương dành để trình bày vài khái niệm lí thuyết phổ đồ thị Chương đề cập tới kết phổ đồ thị phép toán đồ thị Chương dành để nêu lại số ứng dụng phổ đồ thị việc xác định tính chất định tính đồ thị Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2017 Phạm Văn Quang Chương Phổ đồ thị Mục đích chương nhằm giới thiệu vài khái niệm lí thuyết đồ thị, đặc biệt phổ đồ thị.Các định nghĩa chương tham khảo chủ yếu sách D Cvetkovic, P Rowlinson, S Simic [1] 1.1 Khái niệm Cho G đơn đồ thị vô hướng hữu hạn khuyên Giả sử đỉnh G gán nhãn 1, 2, , n Nếu đỉnh i j nối với cạnh ta nói i j kề viết i ∼ j Trước hết ta xem xét ma trận kề A đồ thị G định nghĩa sau: A = A(G) = (aij ), aij = i ∼ j trường hợp khác Do A ma trận đối xứng với phần tử đường chéo 0, phần tử khác lấy giá trị trường hợp bất kỳ, nhiên xuyên suốt luận văn phần tử xem số thực Một ví dụ đồ thị ma trận kề cho Hình 1.1 Hình 1.1: Một đồ thị gán nhãn G ma trận kề A Các giá trị riêng A số thực λ thỏa mãn Ax = λx với véc tơ khác không x ∈ Rn Mỗi véc tơ x gọi véc tơ riêng ma trận A (hay đồ gán nhãn G) tương ứng với giá trị riêng λ Quan hệ Ax = λx mơ tả theo cách sau: x = (x1 , x2 , , xn )T xv (u = 1, 2, , n), λxu = (1.1) v∼u tổng lấy qua tất đỉnh kề v đỉnh u Chúng ta ý hai hệ sau từ phương trình mà ta gọi phương trình giá trị riêng G Vì A ma trận đối xứng thực, giá trị riêng số thực Chúng ta thường ký hiệu giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn trừ trường hợp khác, giả sử λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn Khi cần, sử dụng ký hiệu λi = λi (G) (i = 1, 2, , n) Định nghĩa 1.1.1 Tập giá trị riêng ma trận kề A đồ thị G gọi phổ đồ thị G Giá trị riêng lớn λ1 (G) gọi số (index) G Với số n nguyên k ≥ 0, moment phổ thứ k G i=1 λki ký hiệu sk Chú ý sk tổng đường chéo Ak n moment phổ xác định phổ G Mệnh đề 1.1.2 Nếu đồ thị G có bậc lớn ∆(G) |λ| ≤ ∆(G) với giá trị riêng λ G Chứng minh Với ký hiệu trên, đặt u đỉnh mà |xu | cực đại Sử dụng Phương trình (1.1), có: |λ||xu | ≤ |xu | ≤ |∆(G)||xu | v∼u Vì xu = 0, mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.3 Đồ thị G quy bậc r tất véc tơ véc tơ riêng G (với giá trị riêng tương ứng r) Nếu λ giá trị riêng A tập {x ∈ Rn : Ax = λx} không gian Rn gọi không gian riêng λ ký hiệu ε(λ) εA (λ) Các không gian riêng λ gọi không gian riêng G Tất nhiên, việc gán nhãn đỉnh G dẫn đến hoán vị tọa độ véc tơ riêng (và không gian riêng) Vì A ma trận đối xứng nên chéo hóa ma trận trực giao Vì khơng gian riêng trực giao đôi cách ghép với sở trực chuẩn không gian riêng thu sở trực chuẩn Rn gồm véc tơ riêng Ngoài ra, số chiều εA (λ) bội λ nghiệm PG (x) Nói cách khác, bội hình học (geometry multiplicity) λ tương tự bội đại số λ; đề cập đến bội λ Một giá trị riêng đơn giá trị riêng có bội Nếu G có giá trị riêng phân biệt µ1 , , µm tương ứng với bội k1 , , km , viết µ1k1 , , µkmm phổ G (Chúng ta thường bỏ sót trường hợp Ki 1) Ví dụ 1.1.4 Cho đồ thị G Hình 1.1, ta có x −1 −1 −1 −1 x −1 −1 PG (x) = −1 x −1 −1 −1 −1 x −1 −1 −1 −1 −1 x = x5 − 8x3 − 8x2 = x2 (x + 2)(x2 − 2x − 4) √ Giá trị riêng xếp theo thứ tự không tăng λ1 = + 5, λ2 = √ 0, λ3 = 0, λ4 = − 5, λ5 = −2 với véc tơ riêng độc lập tuyến tính √ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x1 = (1, 1, 1, 1, −1 + 5)T , x2 = (0, 1, 0, −1, 0)T , √ x3 = (1, − 1, 0, 0, )T , x4 = (1, 1, 1, 1, − 5)T , x5 = (1, −1, 1, −1, 0)T Chúng √ √ ta có ε(1 + 5) = x1 , ε(0) = x2 , x3 , ε(1 − 5) = x4 ε(−2) = x5 , ngoặc ký hiệu khơng gian sinh véc tơ ngoặc Ví dụ 1.1.5 Các giá trị riêng chu trình có độ dài n cos 2πj (j = n 0, 1, , n − 1) Để thấy điều này, ta quan sát ma trận kề có dạng A = P + P −1 P ma trận hoán vị xác định hốn vị vòng độ dài n Nếu ω bậc n đơn vị (1, ω, ω , , ω n−1 )T véc tơ riêng P với giá trị riêng tương ứng ω Vì giá trị riêng A số ω + ω −1 ω n = Vì giá trị riêng lớn (với bội 1) giá trị riêng lớn thứ hai cos 2π (với bội 2) Giá trị riêng nhỏ −2 (với n bội 1) n chẵn cos (n−1)π (với bội 2) n lẻ n Ví dụ 1.1.6 Đồ thị Petersen (Hình 1.2) có phổ 31 , 15 , (−2)4 Hình 1.2: Đồ thị Petersen Chúng ta nói hai đồ thị đồng phổ chúng có phổ giống Rõ ràng, đồ thị đẳng cấu đồng phổ (nói cách khác, phổ bất biến đồ thị) Tuy nhiên đồ thị có phổ giống không thiết đẳng cấu: đồ thị khơng đẳng cấu Hình 1.3(a) có phổ 21 , 03 , (−2)1 Đây ví dụ với số đỉnh Hình 1.3(b) đồ thị liên thơng khơng đẳng cấu đồng phổ với số đỉnh nhất: đa thức đặc trưng chúng (x − 1)(x + 1)2 (x3 − x2 − 5x + 1) Các đồ thị khác đặc trưng phổ chúng với bất biến đại số chúng Hình 1.3: Hai cặp đồ thị đồng phổ không đẳng cấu Cho đồ thị G với tập đỉnh 1, 2, , n Gọi D ma trận đường chéo diag(d1 , , dn ), di bậc đỉnh i (i = 1, , n) Ma trận Laplacian đồ thị G ma trận D − A ma trận Laplacian không dấu ma trận D + A Ma trận Seidel G ma trận S = J − I − 2A, J ma trận kích thược n × n Vì phần tử vị trí (i, j) S i = j, −1 i ∼ j trường hợp khác Giống đồ thị quy biết, có lựa chọn ma trận từ quan điểm phổ đồ thị Giả sử G đồ thị quy bậc r A có giá trị riêng xếp theo thứ tự khơng tăng λ1 , , λn Từ Mệnh đề 1.1.2 1.1.3, ta có λ1 = r tất véc tơ gồm tồn mở rộng tới sở trực giao Rn gồm véc tơ riêng ma trận A, rI ± A J − I − 2A Khi D ± A có giá trị riêng r ± r, r ± λ2 , , r ± λn , S có giá trị riêng n − − 2r, −1 − 2λ2 , , −1 − 2λn Với đồ thị khơng quy, khơng có liên hệ đơn giản phổ khác nhau; Định lý 1.3.15 cung cấp số bất đẳng thức, ta đưa ví dụ rõ ràng Ví dụ 1.1.7 Cho đồ thị Hình 1.1 Các giá trị riêng ma trận Laplacian 5, 5, 3, 3, Các giá trị riêng ma trận Laplacian không dấu √ √ √ (9 + 17), 3, 3, 12 (9 − 17) giá trị riêng Seidel 3, 12 (−1 + 17), −1, √ −1, 21 (−1 + 17) Ma trận Seidel có liên quan đặc biệt tới graph switching (thường gọi Seidel switching): cho tập U đỉnh đồ thị G Đồ thị GU thu từ G sau Với u ∈ U, v ∈ / U đỉnh u, v kề GU chúng không kề G Giả sử G có ma trận kề G A(G) = AU B T B C , AU ma trận kề đồ thị cảm sinh U B T chuyển vị B Khi GU có ma trận kề T A(GU ) = AU B B C , B thu từ B cách thay Khi G quy cơng thức dễ (Xem Ví dụ 1.1.4) Việc tìm kiếm điều kiện cần đủ U cho GU quy sau: Mệnh đề 1.1.8 Giả sử G quy với n đỉnh bậc r Khi GU quy bậc r U sinh đồ thị bậc k, |U | = n − 2(r − k) Chú ý đồ thị switching tập U tập đỉnh giống đồ thị switching hợp phần Đồ thị switching mơ tả dễ dàng từ ma trận Seidel S G: ma trận Seidel GU T −1 ST T ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thứ i i ∈ U −1 i không thuộc U Ta dễ dàng thấy đồ thị switching U V giống ˙ \U ) Ta thấy switching xác định quan switching (U \V )∪(V hệ tương đương đồ thị Chú ý ràng đồ thị tương đương switching có ma trận Seidel tương tự có phổ Seidel giống Xét quan hệ phổ phổ Seidel đồ thị quy, có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.9 Nếu G GU quy bậc G GU có phổ giống 1.2 Một số khái niệm khác Chúng ta thường ký hiệu Kn , Cn , Pn tương ứng đồ thị đầy đủ, chu trình, đường n đỉnh Một đồ thị liên thơng với n đỉnh gọi unicyclic có n cạnh chứa chu trình Nếu chu trình độ dài lẻ đồ thị gọi odd-unicyclic Một đồ thị liên thông với n đỉnh n + cạnh gọi đồ thị bicyclic Chu vi (girth) đồ thị G độ dài chu trình ngắn G Một đồ thị đầy đủ G gọi clique G, coclique đồ thị cảm sinh khơng có cạnh Đồ thị hai phần đầy đủ kích thước phần m n ký hiệu Km,n Đồ thị K1,n gọi n-claw Hơn nữa, Kn1 ,n2 , ,nk đồ thị đầy đủ k-phần với phần (các lớp mầu) kích thước n1 , , nk Siêu đường cong m chiều (hypercube) ký hiệu Qm Các đỉnh 2m m-bộ và hai kề chúng khác đỉnh Các đỉnh hay cạnh gọi độc lập chúng không kề đôi Khi viết, tập đỉnh độc lập thường gọi tập ổn định Một tập cạnh độc lập G gọi matching G Một matching G gọi hoàn hảo đỉnh G đỉnh cuối cạnh từ matching; matching hoàn hảo gọi 1-factor The cocktail party graph CP (n) đồ thị quy với 2n đỉnh bậc 2n − 2; thu từ đồ thị K2n cách xóa matching hồn hảo Bậc đỉnh v ký hiệu deg(v) dv Bậc nhỏ G ký hiệu δ(G), bậc lớn ký hiệu ∆(G) Một cạnh chứa đỉnh bậc gọi cạnh treo (pendant) Một đồ thị quy bậc r gọi r-chính quy đồ thị 3-chính quy gọi đồ thị bậc ba (cubic graph) Một đồ thị quy mạnh 43 Nhận xét 3.3.4 Theo Phương trình (1.9), ta viết cơng thức hóa lại n Hệ 1.3.8 sau: đồ thị liên thông j=1 α1j =1 α1j = (j = 1, , n) Nếu ta giới hạn trường hợp đồ thị liên thơng ta u cầu thêm: ví dụ, ta hỏi đường kính lớn bao nhiêu, ta đưa câu hỏi tương tự cho tâm sai đỉnh (Nhắc lại đường kính diam(G) đồ thị liên thơng G khoảng cách cực đại hai đỉnh G, tâm sai ecc(u) đỉnh u khoảng cách lớn từ u tới đỉnh.) Định lý 3.3.5 Nếu G đồ thị liên tơng có m giá trị riêng phân biệt diam(G) ≤ m − Chứng minh Giả sử phản chứng, G có đỉnh s đỉnh t cách m Ma trận m−1 kề A G có đa thức tối tiểu bậc m, ta viết Am = k=0 ak Ak Điều kéo theo mâu thuẫn thành phần vị trí (s, t) vế phải 0, thành phần vị trí (s, t) bên trái khác không Với cận tâm sai đồ thị liên thơng, ta dùng ma trận góc (αij ): Định lý 3.3.6 Cho u đỉnh thuộc đồ thị liên thông G Nếu m(u) số thành phần khác không cột thứ u ma trận góc G, ecc(u) ≤ m(u) − Chứng minh Giả sử phản chứng e ≥ m(u), với e = ecc(u) Từ phân tích phổ ma trận kề A G ta có Ak = µk1 P1 + µk2 P2 + · · · + µkm Pm (k = 0, 1, 2, ) (3.5) Giả sử v đỉnh G cách u khoảng cách e Khi số vị trí (u, v) Ak khơng với k ∈ {0, 1, , e − 1} Gọi xj số vị trí (u, v) Pj (j = 1, 2, , m) So sánh số vị trí (u, v) (3.5) (với k = 0, 1, 2, , e − 1) ta thu hệ e phương trình với m biến x1 , x2 , , xm : m µkj xj = (k = 0, 1, , e − 1) j=1 44 Chú ý xj = (Pj eu )T (Pj ev ), không αju = Do vậy, hệ bên rút gọn thành hệ m phương trình m(u) biến Hệ gồm m(u) phương trình có định thức Vandermonde, tất biến xj lại Từ (3.5), ta thấy ví trí (u, v) Ak với k Cho nên G không liên thông, mâu thuẫn 3.4 Ứng dụng giá trị phổ lớn thứ Trong mục ta thảo luận tầm quan trọng giá trị riêng lớn thứ hai, giá trị có trị tuyệt đối lớn thứ hai, đóng vai trò bất biến đồ thị quy Chúng ta thảo luận đa thức Hoffman đồ thị quy trung bình bậc đồ thị cảm sinh tùy ý đồ thị quy 3.4.1 Giá trị riêng lớn thứ hai Giá trị riêng lớn thứ hai đồ thị liên thơng đóng vai trò quan trọng xác định cấu trúc đồ thị Hiện tượng quan sát lần năm 1976 mối liên hệ với đồ thị bậc ba Bussemaker, Cobelji´c, Cvetkovi´c Seidel Với n ≤ 14, đồ thị bậc ba quy có n đỉnh thứ tự từ điển theo phổ chúng (λ1 , λ2 , , λn ); ln ln λ1 = 3, λ2 đóng vai trò Định lý 3.4.1 Cho G đồ thị r-chính quy có n đỉnh Gọi v đỉnh G gọi d trung bình bậc đỉnh đồ thị cảm sinh đỉnh khơng kề với v Khi λ22 + λ2 (n − r) d≤r λ2 (n − 1) + r Chứng minh Ta chia V (G) thành phần: v, đỉnh kề với v, đỉnh không kề với v Nếu ta chia ma trận kề A G thành khối tương ứng, tổng theo hàng khối tạo thành ma trận   r   B = 1 r − v − r  , r−d d v số cạnh từ đỉnh kề với v tới đỉnh không kề với v Đếm số cạnh theo hai cách, ta có rv = (n − − r)(r − d) Theo Hệ 1.3.13, 45 giá trị riêng B xem kẽ giá trị riêng A Vì B có đa thức đặc trưng (x − r)(x2 − (d − v − 1)x − d), đa thức phải không dương x = λ2 , ta có λ22 − (d − v − 1)λ2 − d ≥ Bây kết định lý rút cách thay (n − − r)(r − d)/r cho v bất đẳng thức Trong Định lý 3.4.1, cận d giảm λ2 giảm Sự giảm d rút gọn số cạnh đồ thị H1 cảm sinh đỉnh khơng kề với v (và kéo số cạnh gần v) Ngoài ra, d giảm, r − v − trung bình bậc đỉnh đồ thị H2 cảm sinh lân cận v giảm Do ta có cạnh H1 H2 , nhiều cạnh đồ thị này: tượng tương ứng trực giác với đồ thị giả sử có dạng ‘tròn’ Đồ thị bậc ba mà giá trị riêng lớn thứ hai cực đại xác định [BGI]; với số n ≥ chẵn, tồn đồ thị Gn có n đỉnh Đồ thị G4 chất K4 , G6 lăng trụ (prism) K3 + K2 , G8 đồ thị đỉnh Bảng A5 Phụ lục Đồ thị Gn (n ≥ 10) minh họa Hình 3.2 (a) (b) Hình 3.2: (a) Đồ thị Gn với n ≡ (mod 4), (b) Đồ thị Gn với n ≡ (mod 4) Cuối ý kết Nilli: G đồ thi liên thơng r-chính quy mà chứa hai cạnh có khoảng cách 2k + √ λ2 (G) ≥ r − 1 − k+1 + k+1 (3.6) (Khoảng cách hai cạnh độ dài đường ngắn mà có đỉnh kết thúc đỉnh cạnh.) 46 3.4.2 Giá trị riêng với môđun lớn thứ hai Ở ta thảo luận hệ thức Λ(G), mô đun lớn thứ hai giá trị riêng đồ thị quy liên thơng, tính chất mở rộng G Với X ⊆ V (G) gọi N (X) tập đỉnh G kề với đỉnh X Mở rộng đồ thị định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, yêu cầu thiết yếu để G đồ thị mở rộng ‘tốt’ với X ⊆ V (G), N (X) phải đủ lớn so với |X| Ở thiết lập cận |N (X)|/|X| đồ thị quy Với X, Y ⊂ V , đặt e(X, Y ) số cạnh có thứ tự với đỉnh đầu mút thuộc X đỉnh đầu mút lại thuộc Y Do e(X, Y ) = |{(u, v) ∈ V (G)2 : u ∼ v, u ∈ X v ∈ Y }|, cạnh có đầu mút thuộc X ∩ Y tính hai lần Bổ đề 3.4.2 Cho G đồ thị r-chính quy liên thơng có n đỉnh, có giá trị riêng λ1 (= r), λ2 , , λn Gọi X, Y hai tập V (G) với |X| = αn |Y | = βn Nếu Λ = maxi {|λi | : λi = ±r} |e(X, Y ) − αβrn| ≤ Λn (α − α2 )(β − β ) Chứng minh Gọi x y véc tơ riêng tập X Y , gọi A ma trận kề G Chú ý xT Ay = e(X, Y ) Đặt v = x − αj w = y − βj, j véc tơ ∈ Rn tồn số Vì (αj)T Ay, xT A(βj), (αj)T A(βj) αβrn, ta có vT Aw = e(X, Y ) − αβrn Mặt khác, véc tơ v, w nằm jT ta có |vT Aw| ≤ Λ|vT w| ≤ v w = Λn (α − α2 )(β − β ) Suy điều phải chứng minh Định lý 3.4.3 Cho G đồ thị liên thơng r-chính quy với n đỉnh, với giá trị riêng λ1 (= r), λ2 , , λn Nếu Λ = maxi {|λi | : λi = ±r} với X ⊆ V (G), |N (X)| r2 ≥ |X| Λ2 + (r2 − Λ2 ) |X| n 47 Chứng minh Ta áp dụng Bổ đề 3.4.2 cho X Y , với Y = V (G)\N (X) Chú ý e(X, Y ) = 0, |X| = αn, |Y | = βn, αβrn ≤ Λn (α − α2 )(β − β ) Cho nên αβr2 ≤ Λ2 (1 − α − β + αβ), hay tương đương Λ2 (1 − α) β≤ Λ + (r2 − Λ2 )α Bây ta có |N (X)| = (1 − β)n ≥ |X|r2 , Λ2 + (r2 − Λ2 )α ta suy điều phải chứng minh Nếu Λ đủ nhỏ so với r G mở rộng tốt Λ nhỏ bao nhiêu? Một dấu hiệu tốt đưa kết sau Alon Boppana Vói r > cố định, gọi (Gm )m∈N lớp hàm r-chính quy liên thơng cho |V (Gm )| → ∞ m → ∞ Khi √ (3.7) lim inf Λ(Gm ) ≥ r − m→∞ Điều giải thích tầm quan trọng lớp đồ thị sau: Định nghĩa 3.4.4 Đồ thị Ramanujan đồ thị r-chính quy liên thơng G √ cho Λ(G) ≤ r − Một họ vô hạn đồ thị Ramanujan {X p·q } xây dựng lần Lubotzky, Phillips Sarnak vào năm 1988 Ở đây, p q số nguyên tố khác nhau, đồng dư mod 4, cho p khơng phương mod q Đồ thị X p·q nhận đồ thị hai phần bắc cầu đỉnh có bậc p + với q(q − 1) đỉnh Thật ra, tồn vô hạn họ đồ thị Ramanujan có bậc r miễn r − lũy thừa số nguyên tố Cuối ta ý bất đẳng thức (3.6) √ giới hạn đường kính đồ thị Ramanujan G cho Λ(G) ≤ r − 3.5 Phổ đồ thị toán Richard Brualdi Phần để trường hợp tổng quát không tồn số cận |e − e |, e e kí hiệu số cạnh hai đồ thị G G thỏa mãn tính chất đặc biệt cs(G) = λ(G, G ) (sẽ nhắc bên dưới) Đối 48 với chiều ngược lại, người ta với đồ thị G G vậy, ta √ √ có | e − e | ≤ Nói riêng, |e − e | ≤ 3e Trong toàn phần tất đồ thị đồ thị đơn, tức đồ thị hữu hạn, vơ hướng khơng có chu trình hay cạnh bội Trong [11], Richard Brualdi đề xuất toán sau Bài toán AWGS.4 Cho Gn Gn hai đồ thị khơng đẳng cấu có n đỉnh với phổ tương ứng λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn Định nghĩa khoảng cách hai phổ Gn Gn n n (λi − λi ) λ(Gn , Gn ) = |λi − λi | sử dụng i=1 i=1 Định nghĩa đối phổ (cospectrality) Gn cs(Gn ) = min{λ(Gn , Gn ) : Gn không đẳng cấu với Gn } Do cs(Gn ) = Gn có đồ thị đồng phổ Đặt csn = max{cs(Gn ) : Gn đồ thị n đỉnh} Hàm đo độ xa phổ đồ thị có n đỉnh với phổ đồ thị có n đỉnh Bài toán A Khảo sát cs(Gn ) cho lớp đồ thị đặc biệt Bài tốn B Tìm cận tốt cho csn Trong [13] đối phổ đồ thị sau xác định: đồ đầy đủ (complete) Kn với n đỉnh, đồ thị không (null) Kn với n đỉnh cạnh, đồ thị K2 ∪ Kn−2 với n ≥ đỉnh mà có cạnh, đồ thị hai phần đầy đủ Kn,n với hai phần có kích thường giống Trong luận văn nghiên cứu Bài toán B trường hợp tổng quát sử dụng bất đẳng thức p-Wielandt-Hoffman, thu giá trị xác csn chuẩn pn Ta nhắc lại số định nghĩa liên quan Cho ≤ p ≤ ∞ Giả sử · pn chuẩn p Rn , tức  ( n |a |p ) p1 ≤ p < ∞ i=1 i (a1 , , an ) pn = max{|a | : i = 1, , n} p = ∞ i 49 Cho Gn Gn hai đồ thị không đẳng cấu có n đỉnh có phổ tương ứng λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn Định nghĩa  ( Λ − Λ p )p n λ(p) (Gn , Gn ) =  Λ − Λ ∞ n ≤ p < ∞ p = ∞, Λ = (λ1 , , λn ) Λ = (λ1 , , λn ) Giả sử cs(p) (Gn ) = min{λ(p) (Gn , Gn ) : Gn không đẳng cấu với Gn }, (p) cs(p) n = min{cs (Gn ) : Gn đồ thị với n đỉnh} Trong [14], độ đo đối phổ với chuẩn sau nghiên cứu Kết (p) Định lý 3.5.1 Cho n ≥ Khi csn  2 ≤ p < ∞ = 1 p = ∞ (2) Ở kí hiệu csn độ đo phổ csn Định lý 3.5.1 trả lời Bài toán B, tức csn = với n ≥ Lấy động lực từ tính tốn đối phổ đồ thị với nhiều đỉnh, đề xuất câu hỏi sau [13] Câu hỏi 3.5.2 Có tồn số c cho cs(G) = λ(G, G ), |e−e | ≤ c, e e số cạnh G G ? Trong [13] (Nhận xét 5.3) c tồn c ≥ Ở ta đưa câu trả lời cho Câu hỏi 3.5.2 không tồn Sử dụng định lý sau, ta tìm lớp vô hạn đồ thị hai phần đầy đủ Km,n với m n định (m ≤ n) cho cs(Km,n ) đạt đồ thị H |mn − e | = n − m − 1, e số cạnh H Do khơng tồn cận cho số Câu hỏi 3.5.2 Định lý 3.5.3 Cho m n hai số nguyên dương Nếu m + ≤ n < √ m − + m − 1, cs(Km,n ) = λ(Km,n , H) H ∼ = Km+1,n−1 50 Chú ý đối phổ Km,m Km,m+1 xác định [13] Trong [15] liệt kê đối phổ tất đồ thị lên tới đỉnh theo chuẩn , ∞ Câu hỏi 3.5.4 Liệu có tồn số c mà cs(G) = λ(G, G ) |e−e | ≤ ce, e e số cạnh G G Ta chứng minh định lý sau để trả lời cho Câu hỏi 3.5.4 có Định lý 3.5.5 Cho G G hai đồ thị thỏa mãn cs(G) = λ(G, G ) cho √ √ e e số cạnh G G Khi | e − e | ≤ Nói riêng, |e − e | ≤ 3e Với đồ thị G, kí hiệu V (G) E(G) tập đỉnh tập cạnh G; kí hiệu G phần bù G kí hiệu A(G) ma trận kề G Với hai đồ thị G H có tập đỉnh rời nhau, kí hiệu G ∪ H đồ thị có tập đỉnh V (G) ∪ V (H) tập cạnh E(G) ∪ E(H), tức hợp rời hai đồ thị G H Tích đầy đủ (complete product) G∇H hai đồ thị G H đồ thị thu từ G ∪ H cách nối tất đỉnh G với tất đỉnh H Với số nguyên dương n1 , , n , kí hiệu Kn1 , ,n đồ thị đa phần đầy đủ có n đỉnh kí hiệu Kn đồ thị khơng với n đỉnh 3.5.1 Đối phổ đồ thị theo chuẩn p n Để chứng minh Định lý 3.5.1, ta cần nhắc lại số định nghĩa Cho ma trận B cỡ n×n với giá trị riêng thực λ1 , , λn , chuẩn p-Schatten B, kí hiệu B S p , định nghĩa sau B S p := (λ1 , , λn ) pn Kết rút từ định lý gọi bất đẳng thức p-WielandtHoffman Định lý 3.5.6 Cho hai ma trận thực n × n A B, với giá trị riêng λ1 ≥ · · · ≥ λn λ1 ≥ · · · ≥ λn , ta có (λ1 , , λn ) − (λ1 , , λn ) p n ≤ A − B S p Bổ đề 3.5.7 Cho G đồ thị có cạnh Khi  2 ≤ p < ∞ (p) λ (G, G\e) ≤ 1 p = ∞, 51 e cạnh G G\e đồ thị thu từ G cách xóa cạnh e Chứng minh Kí hiệu A B ma trận kề đồ thị G G\e Khi A − B ma trận kề đồ thị với có cạnh có số đỉnh G Do giá trị riêng 1, 0, , 0, −1  21/p ≤ p < ∞ A − B Sp = 1 p = ∞ Điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 3.5.1 Cho Gn đồ thị với  n đỉnh có 2 ≤ p < ∞ cạnh e Theo Bổ đề 3.5.7, cs(p) (Gn ) ≤ λ(p) (Gn , Gn \e) ≤ 1 p = ∞ Vì  2 ≤ p < ∞ (p) (p) cs (Kn ) = λ (Kn , K2 ∪ Kn−1 ) = 1 p = ∞, điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 3.5.5 Cho λ1 , , λn λ1 , , λn giá (2) trị riêng G G Theo Định lý 3.5.1, cs(G) ≤ csn = Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác, ta có Λ 2n − Λ 2n ≤ Λ − Λ 2n = λ(2) (G, G ) = (G), √ √ Λ = (λ1 , , λn ) Λ = (λ1 , , λn ) Vì Λ = 2e Λ = 2e , √ √ suy | e − e | ≤ √ √ √ Nếu e ≥ e, e ≤ e + nên e ≤ e + e + ≤ 4e Điều kéo theo |e − e | ≤ 3e Cần phải đề cập tới kết sau liên hệ khái niệm lượng đồ thị với độ đo đối phổ theo chuẩn Khái niệm lượng đồ thị nghiên cứu [14] Nhắc lại lượng đồ thị G với giá trị n riêng λ1 ≥ ≥ λn i=1 |λi | kí hiệu E(G) Chứng minh Mệnh đề 3.5.8 tương tự với chứng minh Định lý 3.5.5 Mệnh đề 3.5.8 Cho G G hai đồ thị thỏa mãn cs(1) (G) = λ(1) (G, G ) Khi |E(G) − E(G )| ≤ 52 3.5.2 Đối phổ đồ thị hai phần đầy đủ Ta cần kết sau để chứng minh Định lý 3.5.3 Định lý 3.5.9 ([5]) Cho G đồ thị có n đỉnh H đồ thị cảm sinh G có m đỉnh Giả sử λ1 (G) ≥ ≥ λn (G) λ1 (H) ≥ ≥ λm (H) giá trị riêng G H Khi với i, ≤ i ≤ m, λi (G) ≥ λi (H) ≥ λn−m+i (G) Định lý 3.5.10 ([4]) Đồ thị có giá trị riêng dương đỉnh không cô lập tạo thành đồ thị đa phần đầy đủ Định lý 3.5.11 ([4]) Cho G đồ thị có n đỉnh, khơng có đỉnh lập Khi < λ2 (G) < G ∼ = (K1 ∪ K2 )∇Kn−3 , λ2 (G) giá trị riêng lớn thứ hai G Hai bổ đề sau thiết yếu chứng minh Định lý 3.5.3 Bổ đề 3.5.12 Cho m n hai số nguyên dương Giả sử m + ≤ n < √ √ √ m − + m − Khi giá trị nhỏ | rs − mn| số nguyên dương r s thỏa mãn r ≤ s, (r, s) = (m, n) r + s ≤ m + n, đạt (r, s) = (m + 1, n − 1) Chứng minh Ta xét trường hợp sau: √ (1) Cho rs ≥ mn Vì m + ≤ n < m − + m − 1, m+n−1 với hai số nguyên dương r s, r + s ≤ m + n − 1, rs ≤ r+s 2 ≤ m+n−1 2 < mn Do < mn Vậy giá trị nhỏ đạt r s cho r+s = m+n Cho r+s = m+n Định nghĩa f (r) = r(m + n − r) với số thực r ≥ Cho nên f (r) ≥ mn m ≤ r ≤ n Mặt khác f tăng khoảng m, m+n giảm m+n , n Điều giá trị nhỏ f (r) số nguyên khoảng [m + 1, m − 1] hiển nhiên đạt m + Vậy giá trị nhỏ √ √ | rs − mn| đạt (r, s) = (m + 1, n − 1) (2) Cho rs ≤ mn Tương tự với phần ta thấy giá trị nhỏ √ √ | rs − mn| (r, s) đạt (r, s) = (m − 1, n + 1) 53 Bây (m + 1)(n − 1) − √ mn < √ mn − (m − 1)(n + 1), điều phải chứng minh Nhận xét 3.5.13 Kết luận Bổ đề 3.5.12 tính cặp (r, s) mà đạt giá trị cực tiểu Điều kiện √ m+2≤n m − + m − f tăng đoạn [m + 1, ∞), suy điều phải chứng minh Phương pháp sử dụng bên để chứng minh Định lý 3.5.3 tương tự chứng minh Định lý 1.4 [13] √ Định lý 3.5.3 Cho m + ≤ n < m − + m − Vì với số nguyên dương p q √ √ Spec(Kp,q ) = {− pq, 0, , 0, pq}, p+q−2 √ suy λ(Km,n , Km+1,n−1 ) = 2( (m + 1)(n − 1) − mn)2 Ta kiểm tra với m ≤ 11, λ(Km,n , Km+1,n−1 ) < 19 Do theo Bổ đề 3.5.14, ta kết luận λ(Km,n , Km+1,n−1 ) < 19 Giả sử phản chứng tồn đồ thị H có m+n đỉnh cho H ∼ = Km,n , Km+1,n−1 λ(Km,n , H) < λ(Km,n , Km+1,n−1 ) Giả sử λ1 ≥ · · · ≥ λm+n giá trị riêng H Do λ(Km,n , H) < 91 , ta thu |λ2 | < 31 Do với đồ thị ngoại trừ 54 đồ thị đầy đủ, giá trị riêng lớn thứ hai không âm, ta ≤ λ2 < 13 Bây xét trường hợp sau: Trường hợp Giả sử λ2 = Do theo Định lý 3.5.10, tồn số nguyên dương k n1 , , nk số nguyên t ≥ cho G ∼ = Kt ∪ Kn1 , ,nk Nếu k = 1, G ∼ = Km+n nên λ(Km,n , H) = 2mn ≥ 2, mâu thuẫn Nếu k = H ∼ = Kt ∪ Kr,s với r s thỏa mãn r + s = m + n − t Trong trường hợp √ √ ta có λ(Km,n , H) = 2( mn − rs)2 Mâu thuẫn với Bổ đề 3.5.12 Do k ≥ Nếu n1 = · · · = nk = 1, G ∼ = Kt ∪ Km+n−t λ(Km,n , H) > 19 , mâu thuẫn Bây ta giả sử G có K1,1,2 đồ thị cảm sinh Do λ3 (K1,1,2 ) = −1, từ định lý Interlacing suy λ2m+n−1 ≥ nên λ(Km,n , H) ≥ 1, mâu thuẫn Trường hợp Giả sử < λ2 < 13 Theo Định lý 3.5.11, ta kết luận tồn số nguyên t ≥ cho H ∼ = Kt ∪ (K1 ∪ K2 )∇K m+n−t−3 Nếu m+n−t−3 = 1, dễ thấy λ(Km,n , H) > 19 , mâu thuẫn Nếu m+n−t−3 > 1, H có K1,1,2 đồ thị cảm sinh phần lập luận lại tương tự phần trước Định lý chứng minh 55 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Trình bày lại khái niệm lí thuyết phổ đồ thị Nêu lại tính chất, mối quan hệ phổ đồ thị phép toán đồ thị Trình bày lại kết áp dụng phổ cho lí thuyết định tính đồ thị Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] D Cvetkovic, P Rowlinson, S Simic, 2010, "An Introduction to the Theory of Graph Spectra", Cambridge University Press [2] de Abreu N M M., Old and new results on algebraic connectivity of graphs, Linear Algebra Appl 423 (2007), 53-73 [3] Alon N., Eigenvalues and expanders, Combinatorica (1986), 83-96 [4] J.H Smith, Symmetry and multiple eigenvalues of graphs, Glas Mat Ser III 12(1) (1977) 3–8 [5] C Godsil, G Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, New York, 2001 [6] Alon N., Tools from higher algebra, in Handbook of Combinatoric (eds Graham R., Grotchel M., Lovasz L.), North-Holland Elsevier (Amsterdam) 1995, pp 1749-1783 [7] Alon N., Milman V D., Eigenvalues, expanders and superconcentrators, Proc 25th Annual Symp on Foundations of Computer Science, Singer Island, Florida, IEEE ( 1984), pp 320-322 [8] Aton N., Milman V D., λ1 , isoperimetric inequalities for graphs, and superconcentrators, J Combin Theory Ser B 38 (1985), 73-88 [9] L A Vinh, On kaleidoscopic pseudo-randomness of finite Euclidean graphs, Discussiones Mathematicae Graph Theory 32(2) (2012) 279 – 287 [10] L A Vinh, Explicit construction of 3-e.c graphs from quadrances, Australasian Journal of Combinatorics 51 (2011), – [11] D Stevanivié, Research problems from the Aveiro Workshop on Graph Spectra, Linear Algebra Appl 423 (2007) 172–181 57 [12] A Abdollahi, S Janbanz, M R Oboudi, Distance between spectra of graphs, Linear Algebra Appl 466 (2015) 401–408 [13] A Abdollahi, M.R Oboudi, Cospectrality of graphs, Linear Algebra Appl 451 (2014) 169–181 [14] I Jovanovi´c, Z Stani´c, Spectral distances of graphs, Linear Algebra Appl 436 (2012) 1425–1435 [15] A Abdollahi, Sh Janbaz, M.R Oboudi, Cospectrality measures of graphs with at most six vertices, preprint, http://sciold.ui.ac.ir/ a.abdollahi/PDF/Cospec-Tab.pdf ... bù, hợp nối đồ thị 25 2.2 Phổ đồ thị đặc biệt 31 Chương Một số ứng dụng phổ đồ thị 35 3.1 Ứng dụng đếm số đồ thị 35 3.2 Ứng dụng xác định... để trình bày vài khái niệm lí thuyết phổ đồ thị Chương đề cập tới kết phổ đồ thị phép toán đồ thị Chương dành để nêu lại số ứng dụng phổ đồ thị việc xác định tính chất định tính đồ thị Hà Nội,... 1.1.6 Đồ thị Petersen (Hình 1.2) có phổ 31 , 15 , (−2)4 Hình 1.2: Đồ thị Petersen Chúng ta nói hai đồ thị đồng phổ chúng có phổ giống Rõ ràng, đồ thị đẳng cấu đồng phổ (nói cách khác, phổ bất