Tô màu đồ thị và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐỖ VĂN PHONG TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐỖ VĂN PHONG TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th.s PHẠM VĂN DUẨN Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận tốt nghiệp, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.s Phạm Văn Duẩn người tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô Khoa Toán, Trường đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017 Sinh viên ĐỖ VĂN PHONG Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận trung thực chưa sử dụng để bảo vệ học vị Mọi giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn ngốc cách rõ ràng phép công bố.Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường cam đoan Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017 Sinh viên ĐỖ VĂN PHONG i Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Đồ thị 1.1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.2 Quan hệ kề Một số dạng đồ thị đặc biệt 1.2.1 Đồ thị phân đôi 1.2.2 Những đồ thị đơn đặc biệt 10 TÔ MÀU ĐỒ THỊ 2.1 2.2 2.3 12 Tô màu đỉnh 12 2.1.1 Định nghĩa 12 2.1.2 Định lý 12 2.1.3 Ví dụ 21 Tô màu đồ 25 2.2.1 Định nghĩa 25 2.2.2 Định lý 26 2.2.3 Ví dụ 31 Đa thức tô màu 34 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 2.5 ĐỖ VĂN PHONG 2.3.1 Định nghĩa 34 2.3.2 Định lý 34 2.3.3 Ví dụ 37 Thuật toán tô màu Welsh-Powell 40 2.4.1 Định nghĩa 40 2.4.2 Ví dụ 41 Kết luận chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÔ MÀU ĐỒ THỊ 3.1 3.2 3.3 3.4 42 43 Bài toán xếp lịch thi 43 3.1.1 Bài toán 43 3.1.2 Cách giải 43 3.1.3 Ví dụ 44 Bài toán phân chia tần số 46 3.2.1 Bài toán 46 3.2.2 Cách giải 46 3.2.3 Ví dụ 46 Bài toán soduku 49 3.3.1 Bài toán 49 3.3.2 Cách giải 49 3.3.3 Ví dụ 50 Kết luận chương iii 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Lời mở đầu 1.Lý chọn đề tài Khái niệm lý thuyết đò thị nhiều nhà khoa học độc lập nghiên cứu có nhiều đóng góp lĩnh vực toán học ứng dụng Sử dụng toán tô màu để giải toán phương pháp hay lý thuyết đồ thị Phương pháp không đòi hỏi nhiều kiến thức khả tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sáng tạo việc đưa mô hình cụ thể linh hoạt cách tư duy, áp dụng cách máy móc Đó điểm mạnh khó toán tô màu Hiện nay, tài liệu viết lý thuyết đồ thị chưa nhiều gây chút khó khăn cho việc nghiên cứu tài liệu tham khảo Trong tài liệu chưa đề cập nhiều đến ứng dụng toán tô màu Để hiểu rõ lý thuyết đồ thị ứng dụng việc giải số toán thực tế cách tô màu cho đồ thị, lựa chọn đề tài :"TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG" 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tô màu đồ thị ứng dụng vào số toán thực tiễn Đối tượng phạm vi nghiên cứu -Đối tượng nghiên cứu: Đồ thị ứng dụng đồ thị Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG -Phạm vi nghiên cứu: Tô màu đồ thị số ứng dụng tô màu đồ thị Phương pháp nghiên cứu -Phương pháp nghiên cứu tài liệu -Phương pháp đánh giá -phương pháp hệ thống hóa số ứng dụng đồ thị Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm chương: -Chương Kiến thức chuẩn bị -Chương Tô màu đồ thị -Chương Một số ứng dụng tô màu đồ thị Do thời gian thực đề tài không nhiều, kiến thức hạn chế nên khóa luận tránh sai sót Tôi mong nhận đóng góp ý kiến ý kiến phản biện quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhắc lại số khái niệm, tính chất đồ thị có sử dụng trình tìm hiểu chương chương 1.1 1.1.1 Đồ thị Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.1 Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh đó, ký hiệu G = (V, E) V gọi tập đỉnh E gọi tập cạnh Có thể coi E tập tất cặp (u, v) với u v hai đỉnh V Một số hình ảnh đồ thị Hình 1.1: Ví dụ mô hình đồ thị Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Định nghĩa 1.2 Đồ thị vô hướng tập hữu hạn G gồm hai tập hữu hạn V, E (ký hiệu G = {V, E}) với V tập đỉnh đồ thị, E tập cặp đỉnh (i, j) mà cặp không tính đến thứ tự (nghĩa trình tự (i, j) giống trình tự (i, j)) Cặp (i, j) gọi cạnh đồ thị Ví dụ 1.1.1 Hình 1.2 biểu diễn hình học đồ thị vô hướng Hình 1.2: Đồ thi vô hướng Định nghĩa 1.3 Một đồ thị gọi phẳng ta vẽ mặt phẳng cho cạnh không cắt điểm khác đỉnh Hình vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Ví dụ 1.1.2 Một số hình ảnh đồ thị phẳng Hình 1.3 Hình 1.3: Đồ thị phẳng Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Ví dụ 2.4.2 Dựa vào thuật toán tô màu đồ thị Hình 2.22 Hình 2.22: Đồ thị vô hướng G Lời giải Ta xếp đỉnh có bậc theo thứ tự giảm dần tô màu cho đồ thị bảng sau (Bảng 2.2) Đỉnh e a b Bậc Màu c f h i d g j 4 4 2 3 2 Bảng 2.2: Bảng kết tương ứng với đồ thị hình 2.5 Kết luận chương Trong chương này, giới thiệu cách tổng quan tô màu đồ thị thông qua phần tô màu đỉnh, tô màu đồ, tô màu đa thức tô màu thuật toán Welsh - Powell Hiểu định nghĩa, định lý làm tảng cho việc tìm hiểu, vận dụng kiến thức vào toán thực tế nói tô màu đồ thị 42 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÔ MÀU ĐỒ THỊ Tô màu đồ thị ứng dụng Lý thuyết đồ thị, ứng dụng nhiều lĩnh vực, nhằm giải đề thực tiễn liên quan đến phân hoạch, phân nhóm, đồ, Và chương tìm hiểu toán cụ thể có ứng dụng toán tô màu vào để giải nhanh gọn toán đặt 3.1 3.1.1 Bài toán xếp lịch thi Bài toán Giả sử học sinh phải thi số môn n môn thi Hãy lập lịch thi cho học sinh có hai môn thi thời gian số đợt thi 3.1.2 Cách giải Để giải toán ta lập đồ thị có đỉnh môn thi hai môn 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG thi kề có học sinh thi hai môn Thời gian thi môn biểu thị màu khác Như toán lập lịch thi đưa toán tô màu đồ thị 3.1.3 Ví dụ Có môn thi cần xếp lịch, môn thi đánh số từ đến 9, cặp môn thi sau có chung học sinh (1,2); (1,3); (1,5); (1,6); (1,8); (2,3); (2,4); (2,5); (2,7); (2,9); (3,4); (3,6); (3,8); (4,5); (4,6); (4,8); (5,3); (5,6); (5,9); (6,2); (6,8); (7,6); (7,8); (7,9); (8,9); (9,1) Hãy xếp lịch thi cho học sinh tham gia thi môn Lời giải Từ yêu cầu toán ta đưa toán cho dạng toán tô màu đồ thị với đỉnh môn học cạnh hai môn học có học sinh học chung môn, cho đỉnh kề có màu khác Với số màu cần phải tô tương ứng với đợt thi tổ chức thi cho học sinh Đồ thị toán có dạng Hình 3.1 Hình 3.1: Đồ thị mối quan hệ môn học 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Bây ta áp dụng thuật toán Welsh-Powell để tô màu đồ thị trên, ta tô màu cho đồ thị Hình 3.1 sau Bước 1: Ta xếp đỉnh có bậc giảm dần Bước 2: Chọn đỉnh chưa tô danh sách đỉnh xếp theo thứ tự bậc từ lớn đến nhỏ tô màu cho đỉnh có màu Chọn đỉnh không kề với tô màu cho cho với màu đỉnh màu (lưu ý: tô màu cho đỉnh không kề với cần kiểm tra xem đỉnh tập có kề với hay không, xuất hai đỉnh kề chọn đỉnh để tô màu) Bước 3: Lặp lại bước (tức ta tô màu cho đỉnh có bậc cao danh sách đỉnh chưa tô màu cụ thể đỉnh ta tô màu 2, sau ta xét đỉnh không kề với tô màu cho màu 2) tất đỉnh tô dừng thuật toán Ta thu kết Bảng 3.1 Đỉnh Bậc 7 6 6 5 Màu 3 Bảng 3.1: Mối quan hệ màu sắc môn học Từ bảng 3.1 ta có bảng lịch thi với tương ứng màu ứng với đợt thi đợt thi có môn thi tương ứng (Bảng 3.2) 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Đợt thi Môn thi I 2,8 II 6,9 III 1,4,7 IV V Bảng 3.2: Sắp xếp buổi thi ứng với môn thi 3.2 3.2.1 Bài toán phân chia tần số Bài toán Có n đài phát Hãy phân chia kênh truyền hình cho đài phát cho hai đài cách không 100 (km) không trùng kênh số kênh dùng 3.2.2 Cách giải Để giải toán ta lập đồ thị cho đỉnh đài phát hai đài phát kề khoảng cách chúng không 100 (km) Kênh truyền hình đài biểu diễn màu khác Như toán phân chia tần số đưa toán tô màu đồ thị 3.2.3 Ví dụ Xác định số kênh truyền hình dùng để phân chia cho đài truyền hình tỉnh (mỗi tỉnh có đài truyền hình) Hà Nội,Bắc Ninh, Bắc Giang, Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Thái Nguyên, Hải Phòng, Nam Định cho hai đài phát hai tỉnh nằm cạnh đồ địa lý phát kênh 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Lời giải Từ yêu cầu toán ta đưa toán tô màu đồ thị, với đỉnh đài phát thanh, cạnh đài phát có khoảng cách 100 (km) Với màu tương ứng với số kênh phát sóng Ta có đồ thị sau (Hình 3.2) Hình 3.2: Đồ thị số tỉnh phân vùng phát Bây ta áp dụng thuật toán Welsh-Powell ta tô màu cho đồ thị Hình 3.2 sau Bước 1: Ta xếp đỉnh có bậc giảm dần Bước 2: Chọn đỉnh Hà Nội chưa tô danh sách đỉnh xếp theo thứ tự bậc từ lớn đến nhỏ tô màu cho đỉnh giả sử mà đỉnh Hà Nội màu Sau đó, chọn đỉnh không kề với Hà Nội tô màu cho đỉnh màu với đỉnh Hà Nội ta thấy đỉnh mà không kề với Hà Nội nên ta chuyển qua bước Bước 3: Lặp lại bước (tức ta tô màu cho đỉnh có bậc cao danh sách đỉnh chưa tô màu cụ thể đỉnh Bắc 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Ninh ta tô màu 2, sau ta xét đỉnh không kề với Bắc Ninh Nam Định tô màu cho màu 2) tất đỉnh tô dừng thuật toán (lưu ý: tô màu cho đỉnh không kề với cần kiểm tra xem đỉnh tập có kề với hay không, xuất hai đỉnh kề chọn đỉnh để tô màu) Khi ta có bảng biểu thị mối quan hệ màu đỉnh sau (Bảng 3.3) Đỉnh Bậc Màu Hà Nội Bắc Ninh Vĩnh Phúc Bắc Giang Phú Thọ Thái Nguyên Hải Phòng Nam Định 2 Bảng 3.3: Bảng kết tô màu đồ thị Hình 2.2 Từ bảng kết ta có bảng phân chia tần số kênh tương ứng với tỉnh thành theo toán (Bảng 3.4) Kênh Tỉnh thành Hà Nội Bắc Ninh, Nam Định Vĩnh Phúc, Hải Phòng Bắc Giang, Phú Thọ, Thái Nguyên Bảng 3.4: Danh sách kênh phát ứng với tỉnh thành 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3 3.3.1 ĐỖ VĂN PHONG Bài toán soduku Bài toán Soduku trò chơi trí tuệ tiếng, thu hút nhiều người tham gia thuộc nhiều tầng lớp, độ tuổi khác Sudoku đời Nhật nhanh chóng lan rộng toàn giới Sodoku loại trò chơi lôgic cách chơi điền số từ đến vào ô trống cho cột dọc, hàng ngang, phân vùng nhỏ (ô 3x3) có đủ số từ đến mà không lặp lại Bảng câu đố hình vuông, chiều có ô nhỏ, hợp thành cột, hàng chia thành ô lớn 3x3 Một vài ô nhỏ đánh số, manh mối để bạn tìm lời giải Tuỳ theo mức độ nhiều hay manh mối, câu đố xếp loại dễ, trung bình, khó hay cực khó Ngoài ra, bảng 16x16, 25x25 hay chí 100x100 3.3.2 Cách giải Điền số từ đến n vào hàng, cột toán soduku cỡ nxn cho hàng cột n ô vuông trùng lặp số từ đến n Vậy để giải toán ta quy toán tô màu đồ thị Đồ thị biểu diễn cạnh đỉnh nối với theo mối quan hệ định.Các đỉnh đánh số theo thứ tự từ đến nxn từ trái qua phải từ xuống Các cạnh kề đỉnh hàng, cột n ô vuông chia từ nxn ô vuông Với đồ thị xác định ta phải dùng n màu để tô màu đồ thị 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG toán giải 3.3.3 Ví dụ Ta chơi trò chơi soduku vơi cỡ 4x4 Hãy điền chữ số từ đến vào ô chưa điền để dạng soduku đúng(Bảng 3.5) Bảng 3.5: Giải toán soduku Lời giải: Bây ta đưa toán toán tô màu đồ thị với màu, tương ứng với việc điền vào ô lại từ đến cho hàng cột ô vuông chia từ 4x4 ô vuông cho trùng lặp.Đồ thị tương ứng hình 3.3 Hình 3.3: Đồ thị tương ứng với bảng 2.5 Bây ta tô màu đồ thị (Hình 3.3) cách áp dụng thuật toán Welsh - Powell sau Ta xếp đỉnh có bậc giảm dần 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Chọn đỉnh có bậc lớn 7, sau ta tô màu cho đỉnh giả sử màu màu đỏ Xét đỉnh đồ thị không kề với ta đỉnh (7,8,10,11,12,14,15,16) chọn đỉnh đỉnh không kề với ta chọn đỉnh để tô màu với màu đỏ, đỉnh lại không kề với ta chọn đỉnh không kề với để tô màu với màu (1,7) màu đỏ ta chọn đỉnh 12, lại (10,14,16) đỉnh đỉnh không kề với không kề với đỉnh có đỉnh 14 không kề với 12 nên đỉnh 14 có màu đỏ ta với đỉnh có màu đỏ (1,7,12,14) tùy thuộc vào cách chọn cho thỏa mãn đỉnh chọn không kề với Tiếp tục quay lại trình ta tô màu cho đỉnh màu xanh ta thu kết tương ứng thu gồm đỉnh (2,8,915) có màu xanh Ta tô đỉnh màu vàng thị thu gồm đỉnh (3,5,10,16) có màu vàng Khi đỉnh lại (4,6,11,13) ta tô màu đen Kết ta thu bảng 2.6 Đây kết ta tùy thuộc vào cách chọn cho thỏa mãn đề ta có số kết khác cụ thể kết sau: Ta tô màu đỏ cho (1,8,10,15), màu xanh cho (2,7,9,16), màu vàng cho (3,6,12,13) màu đen cho (4,5,11,14) Qua thuật toán ta thu kết tương ứng đồ thị (Hình 3.4) tô màu đỏ, xanh, vàng, đen đáp án cho toán soduku (Bảng 3.5) với ô chưa điền (Bảng 3.6) Qua ví dụ cho cách hoàn thành 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Đỉnh Bậc Màu đỏ xanh vàng đen vàng đen 7 đỏ xanh xanh 10 vàng 11 đen 12 đỏ 13 đen 14 đỏ 15 xanh 16 vàng Bảng 3.6: Bảng màu đồ thị Hình 3.3 4 2 4 Bảng 3.7: Kết thu ứng với Hình 3.4 toán sodoku với kích cỡ lớn 5x5, 6x6, 9x9, cách lập đồ thị tương ứng với bảng chứa thông tin vị trí số toán soduku Và hoàn thành toán soduku cụ thể hoàn toàn xác định toán tương ứng với việc thay đổi vị trí số Từ kết bảng 3.6 ta kết tương ứng 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG Hình 3.4: Kết tô màu đồ thị Hình 3.3 bảng 3.7 Bằng ánh xạ cụ thể 1→3 f: 2→4 3→1 4→2 2 4 3 Bảng 3.8: Kết qua ánh xạ f biến bảng 3.7 thành bảng 3.8 Kết bảng 3.8 hoàn toàn với tính chất toán soduku cột, hàng trùng lặp số 3.4 Kết luận chương Qua việc tìm hiểu cách tô màu đồ thị biết cách ứng dụng toán tô màu vào thực tiễn toán xếp lịch thi, phân vùng tần số phát đài phát ứng dụng 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG trò chơi soduku nhiều người lứa tuổi tìm hiểu 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG KẾT LUẬN Với kết nghiên cứu Tô màu đồ thị ứng dụng, có nhìn tổng quát vấn đề sau: -Tô màu cho đồ thị cách cách tô màu đỉnh, tô màu đa thức, đưa toán tô màu đồ đồ thị tương ứng để tô màu có công cụ hữu ích cho tô màu đồ thị thuật toán Welsh Powell -Một số ứng dụng tô màu đồ thị vào toán thực tiễn : Bài toán xếp lịch thi, toán phân chia tần số toán cài đặt nhiều thiết bị điện thoại, máy tính toán soduku Tóm lại, Tô màu đồ thị ứng dụng đề tài có nhiều ứng dụng thực tế, phát triển nghiên cứu để giải toán thực tiến mà người đưa 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ VĂN PHONG DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thi, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Kenneth H Rosen (1997), Toán học rời rạc Ứng dụng tin học, Nxb Ban khoa học Kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu nước [3] Alan M Gibbons-Algorithmic graph theory (1985) [4] Graph Theorem An Introductory Course (Graduate Texts in Mathematics 63) Bela Bollobas - Springer Verlag Berlin and Heidelberg GmbH and Co.K (1979) [5] J.A.Bondy and U.S.R.Murty Graph Theory - Graduate Texts in Mathematics (2008) [6] Robin J Wilson Introduction to Graph Theory, Fourth Edition (1996) 56 ... đến ứng dụng toán tô màu Để hiểu rõ lý thuyết đồ thị ứng dụng việc giải số toán thực tế cách tô màu cho đồ thị, lựa chọn đề tài :"TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG" 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tô màu. .. đỉnh màu lam màu lục Vậy ta tô màu đồ thị G màu Hình 2.7 thể tô màu Đồ thị H tạo nên từ đồ thị G cách thêm vào cạnh nối a với g Mọi ý định tô H màu cần phải tuân theo lý luận đã dùng tô màu G,... đỉnh V1 màu tô đỉnh V2 màu khác Khi ta nhận 2 -tô màu G G đồ thị 2-phần Mặt khác, G 1 -tô màu đồ thị khác rỗng Vậy χ(G) = G đồ thị 2-sắc (c) (2)⇒(3):Giả sử G = (V, E) đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng