Luận án Tiến sĩ Giáo dục học: Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường Hình học động

Luận án Tiến sĩ Giáo dục học: Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường Hình học động được nghiên cứu nhằm Hỗ trợ khả năng hình thành giả thiết cho học sinh; thiết kế các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động nhằm hỗ trợ học sinh thao tác lên đối tượng để quan sát các bất biến toán học, từ đó kiến tạo kiến thức toán; phân tích quá trình hình thành giả thiết của học sinh khi tiến hành khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động và các khó khăn mà học sinh gặp phải khi khảo sát các bài toán này.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUỲNH THỊ ÁI HẰNG KHẢO SÁT CÁC BÀI TỐN QUỸ TÍCH CĨ ĐIỀU KIỆN TRONG MƠI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG Chun ngành: LÍ ḶN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Huế, năm 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Huỳnh Thị Ái Hằng ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc, người nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo sau đại học, thầy khoa Tốn, đặc biệt thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn tận tình giảng dạy truyền thụ cho nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu hai năm học vừa qua Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, giáo viên chủ nhiệm tập thể học sinh lớp 9/1, trường THCS Nguyễn Văn Linh, thành phố Huế tạo điều kiện cho thực nghiệm sư phạm Sau xin chân thành cám ơn gia đình bạn bè ủng hộ, quan tâm, động viên giúp đỡ tơi mặt để tơi hồn thành luận văn Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận hướng dẫn góp ý Chân thành cám ơn! Huế, tháng năm 2015 Huỳnh Thị Ái Hằng iii MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC HÌNH Chương GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Giới thiệu 1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu 1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu 1.2 Mục tiêu nghiên cứu 1.3 Câu hỏi nghiên cứu 1.4 Các thuật ngữ dùng luận văn 10 1.5 Ý nghĩa nghiên cứu 11 1.6 Cấu trúc luận văn 11 Tóm tắt chương 12 Chương TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 13 2.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 13 2.1.1 Nguồn gốc sở lý thuyết tốn quỹ tích có điều kiện .13 2.1.2 Bài tốn quỹ tích có điều kiện Mơi trường Hình học động 14 2.2 Khung lý thuyết 16 2.2.1 Lý thuyết kiến tạo 16 2.2.2 Sự hình thành đốn Mơi trường Hình học động 19 2.2.2.1 Làm việc Hệ thống Hình học động 19 2.2.2.2 Kéo rê DGS .20 2.2.2.3 Phương thức Kéo rê 21 2.2.2.4 Bất biến mơi trường Hình học động 25 2.2.2.5 Lý luận thông qua ngoại suy .28 2.2.3 Nhận thức bất biến Mơi trường Hình học động .29 2.2.3.1 Phương thức kéo rê theo mơ tả Hưlzl 29 2.2.3.2 Phương thức kéo rê theo mô tả Marton 31 2.2.3.3 Nhận thức thơng qua Chương trình Kéo rê Duy trì 34 Tóm tắt chương 41 Chương THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 42 3.1 Thiết kế nghiên cứu 42 3.2 Đối tượng tham gia 43 3.3 Chủ đề toán khảo sát 43 3.4 Công cụ nghiên cứu 44 3.4.1 Phiếu học tập số 44 3.4.2 Phiếu học tập số 46 3.4.3 Bảng hỏi (Xem phụ lục) 48 3.5 Quá trình thu thập phân tích liệu 48 3.5.1 Thu thập liệu .48 3.5.2 Phân tích liệu 49 3.6 Hạn chế 49 Tóm tắt chương 50 Chương KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 51 4.1 Kết từ phiếu học tập 51 4.1.1 Phiếu học tập số 51 4.1.2 Phiếu học tập số 55 4.2 Kết thu từ bảng hỏi 60 Tóm tắt chương 66 Chương KẾT LUẬN 67 5.1 Kết luận 67 5.1.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ .67 5.1.2 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 68 5.1.3 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 69 5.2 Đóng góp nghiên cứu hướng phát triển đề tài 70 Tóm tắt chương 71 KẾT LUẬN .72 TÀI LIỆU THAM KHẢO .73 PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: Các phiếu học tập P1 PHỤ LỤC 2: Bảng hỏi P5 PHỤ LỤC 3: Các làm học sinh P10 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THCS Trung học sở GSP Geometer’s Sketchpad DGS Dynamic Geometry System (Hệ thống hình học động) DGE Dynamic Geometry Environment (Mơi trường hình học động) nnk người khác DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 2.1 Kéo rê trì điểm A để ABDC hình chữ nhật 15 Hình 2.2 Kéo rê trì điểm C để B nằm đường tròn (C; CA) .16 Hình 2.3 Vết C kéo rê C để B nằm đường tròn (C; CA) 16 Hình 2.4 Tứ giác ABCD dựng theo giả thiết 23 Hình 2.5 ABCD trơng “giống như” hình chữ nhật 23 Hình 2.6 Kéo rê trì điểm M để ABCD hình chữ nhật 23 Hình 2.7 Dấu vết điểm M trơng “giống như” đường tròn 24 Hình 2.8.Kéo rê thử nghiệm M đường tròn đường kính AK 24 Hình 2.9 Tam giác ABC dựng theo giả thiết 27 Hình 2.10 Tứ giác ABDC dựng theo giả thiết 30 Hình 2.11 Kéo rê điểm B để r s trùng 31 Hình 2.12 Một trình nhận thức cho thăm dò (E) 33 Hình 4.1 Dấu vết kéo rê điểm B cho r s trùng 50 Hình 4.2 Dấu vết B “giống như” đường tròn 51 Hình 4.3 Quỹ tích điểm B đường tròn (O; OA) 51 Hình 4.4 Học sinh kéo rê điểm A để dự đốn hình dạng ABDC .54 Hình 4.5 Dấu vết điểm A học sinh kéo rê trì ABDC hình chữ nhật .56 Hình 4.6 Dấu vết điểm A “giống như” đường tròn .56 Chương GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Giới thiệu 1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu Trong thập kỉ gần đây, việc cho học sinh tương tác trực tiếp Mơi trường Hình học động (DGE) nhằm kiến tạo tri thức nhiều nhà toán học giới quan tâm Sự hỗ trợ phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP), Cabri,… thay đổi tình xảy ra, dựa kinh nghiệm học sinh giải tốn hình học trường Việc chuyển đổi từ môi trường đồ họa truyền thống dựa giấy – bút đến môi trường đồ họa “ảo” dựa số liệu hình, thực cơng cụ đồ họa biến đổi tác động thơng qua rê chuột, có tiềm ảnh hưởng sâu sắc đến cách học sinh nhận thức lý luận hình học Từ lợi ích mà mơi trường hình học động mang lại, nhiều nhà giáo dục toán ý đến việc đưa tốn quỹ tích vào mơi trường hình học động, từ tạo tốn quỹ tích có điều kiện – loại tốn thiết kế DGE giúp học sinh khám phá, giải toán khảo sát cách trực quan sâu sắc Thông qua việc nghiên cứu mơ hình kéo rê trì, tốn quỹ tích có điều kiện khai thác nhiều nhà giáo dục toán Arzarello, Anna Baccaglini – Frank, Mariotti, Allen Leung… Theo Allen Leung, mơi trường hình học động làm phát sinh tượng, nơi đối tượng hình học chuyển động thay đổi với phản hồi trực quan cảm giác vận động, dẫn đến việc học sinh nhận thức đặc tính hình học hình vẽ DGE nhà nghiên cứu mơ hình hóa sau hệ thống lý thuyết Euclid, tính “động” đặc điểm đặc trưng nó, đưa góc nhìn cho hình học giáo dục hình học (Laborde, 2000; Strässer, 2001) Đặc biệt, phương thức kéo rê DGE nghiên cứu môi trường sư phạm hiểu cơng cụ sư phạm có lợi cho lập luận toán học, đặc biệt trình hình thành giả thuyết hình học (Arzarello nnk., 2002; Baccaglini – Frank, 2010; Baccagalini – Frank Mariotti, 2010) Hệ thống hình học động (DGS) cho máy vi tính máy tính, chẳng hạn GSP Cabri, cốt lõi số nghiên cứu, chúng khẳng định khả ảnh hưởng đến việc dạy học hình học (Healy Hoyles, 2001; Hölzl, 2001; Laborde, 2000; Mariotti, 2000; Strässer, 2001) Kể từ nhà toán học bắt đầu nghiên cứu, xuất chúng nêu bật tiềm cung cấp DGS việc hỗ trợ giải toán học sinh vấn đề hình học Việc sử dụng DGS, GSP, việc tạo đoán dựa việc giải thích thao tác điều khiển kéo rê cách logic, liên quan đến việc chuyển đổi tri giác học sinh vào tốn có điều kiện Trong q trình suy đốn, cách thức chuyển đổi quan sát hình ảnh hình học sinh tiến hành với mục đích tìm kiếm mối quan hệ tính chất hình học, mối quan hệ xây dựng việc đưa đoán Bất kỳ phương thức kéo rê coi thao tác cụ thể sử dụng để giải toán kết thúc mở, ý nghĩa xuất phát từ việc sử dụng gọi ý nghĩa tốn học đốn, có nghĩa là, tốn có sử dụng phương thức kéo rê thể phụ thuộc logic giả thuyết kết luận Song song với phát triển DGE, khảo sát vấn đề toán học chiến lược quan trọng phát triển tư hiểu biết học sinh toán học, chúng thu hút ý nhà giáo dục nhà nghiên cứu toán học Khảo sát toán cung cấp cho học sinh kinh nghiệm giúp em trải nghiệm giới tốn học, từ đó, em có động lực tự tin làm tốn Mục đích giáo dục trang bị cho học sinh khả giải vấn đề, khơng tốn học mà lĩnh vực khác khoa học đời sống Các hoạt động khảo sát tốn kết thúc mở chương trình thúc đẩy suy nghĩ linh hoạt đa dạng hơn, nâng cao kỹ giải vấn đề học sinh, mở rộng nhận thức học sinh toán, làm giàu củng cố khái niệm Đặc biệt, học sinh tiến hành khảo sát toán, em lắng nghe vấn đề người khác, từ em làm sáng tỏ sàng lọc ý tưởng cho mình, thúc đẩy khả để từ giải pháp vấn đề cụ thể đến việc tạo Trường: Họ tên: Lớp: PHIẾU HỌC TẬP SỐ Dựng ba điểm A, B, C hình, kẻ đường thẳng qua A B, đường thẳng qua A C Sau đó, dựng đường thẳng l song song với AC qua B, đường vng góc với l qua C Gọi giao điểm hai đường thẳng D, xét tứ giác ABDC Khảo sát tự do:  Kéo rê điểm cách kích giữ trỏ chuột điểm cần kéo rê Trong kéo rê điểm, quan sát thay đổi đối tượng khác  Tạo dấu vết cho điểm: ta chọn điểm, vào Display | Trace Point Điểm tạo vết, di chuyển để lại vết hình  Muốn thơi tạo vết cho điểm, ta chọn điểm, vào Display | Trace Point  Muốn xóa hết vết trang hình, vào Display | Erase Trace P3 Nhiệm vụ 1: Em kéo rê điểm A để thay đổi vị trí Hãy khảo sát để rút nhận xét yếu tố không thay đổi yếu tố thay đổi điểm A di chuyển Sau hồn thành bảng sau Khi kéo rê điểm A Điểm di Điểm khơng di Tính chất bảo Tính chất chuyển? chuyển? tồn? khơng bảo tồn? Nhiệm vụ 2: Em ghi đoán loại tứ giác mà ABDC trở thành Nhiệm vụ 3: Kéo rê điểm A cho ABDC trở thành dạng tứ giác đặc biệt vừa đoán, tạo vết dự đoán đường A giữ ABDC theo dạng tứ giác đặc biệt Nhiệm vụ 4: Tìm quỹ tích điểm A cho ABDC dạng tứ giác đặc biệt giải thích theo cách suy nghĩ em P4 PHỤ LỤC 2: Bảng hỏi Vui lòng điền vào chỗ trống Em tiếp xúc với máy vi tính bao lâu? … Em học tốn với cơng nghệ thơng tin chưa?…… Nếu có có thường xun tiếp xúc khơng? Trước em tiếp xúc với phần mềm GSP chưa?……… Việc chứng minh tốn quỹ tích em có khó khơng? Vì sao? Vui lòng chỉ chọn (đánh dấu x) ô trống hàng PHẦN A: QUAN ĐIỂM CỦA HỌC SINH VỀ HỌC TOÁN CH1 Suy nghĩ học sinh mơi trường hình học động đứng trước vấn đề toán học Với câu sau em đồng ý với mức độ nào? Rất Đồng Không Rất đồng ý đồng không ý đồng ý ý a) Em mong đợi ứng dụng mơ hình 2 trực quan thiết kế tro vng phần mềm GSP để giải vấn đề tốn học mơn học khác b) Em mong muốn hiểu sâu sắc 4 khái niệm tính chất tốn học thơng qua phần mềm tốn học GSP c) Em muốn tìm hiểu kiến thức tốn thơng qua GSP để vận dụng vào giải vấn đề đặt chứng P5 minh kiến thức cách chặt chẽ CH Tự tin đối mặt với tốn quỹ tích có điều kiện mơi trường hình học động Em có cảm thấy tự tin phải thảo luận với bạn nhóm hoặc đối thoại với giáo viên lớp khảo sát tốn? Rất tự Tự tin Khơng Khơng tin a) Thực việc kéo rê chuột GSP để tự tin tự tin tí phát đường dấu vết kích hoạt b) Thực việc chứng minh quỹ tích tốn quỹ tích có điều kiện môi trường GSP c) Thực đối thoại quan sát hoạt động toán giáo viên thao tác với phần mềm GSP để tìm kết CH Việc học tốn có hiệu khảo sát tốn quỹ tích có điều kiện mơi trường hình học động Với câu sau em đồng ý mức độ nào? Rất Đồng Không Rất đồng ý đồng ý không đồng ý ý a) Việc khám phá tốn quỹ tích có điều kiện GSP giúp em tìm đáp án ghi nhớ kiến thức lâu P6 b) Việc học toán hiệu em tự cố gắng tìm hướng giải có hỗ trợ kịp thời cần thiết GV c) Việc học toán hiệu học sinh thảo luận theo cặp theo nhóm nhỏ d) Trong tiết học toán, giáo viên cần tạo 4 4 nhiều tình thú vị giúp em say mê thảo luận e) Nội dung học có hỗ trợ phần mềm GSP phù hợp với trình độ học sinh giúp học sinh tích cực tham gia việc khảo sát quỹ tích tốn học f) Em nghĩ việc tự khảo sát tốn quỹ tích có điều kiện mơi trường hình học động GSP giúp em phát triển tư logic, sáng tạo g) Em nghĩ môi trường hình học động GSP giúp em giải tốn quỹ tích hiệu so với mơi trường giấy bút PHẦN B: CÁC LỚP HỌC TOÁN CỦA BẠN CH Mong muốn bạn lớp học toán: Em đồng ý với khẳng định sau mức độ nào? Rất Đồng Không Rất đồng ý đồng không ý đồng ý P7 ý a) Giờ học tốn có GSP tích hợp giải tốn khảo sát quỹ tích giúp em cảm thấy hứng thú, u thích học tốn b) Khi chúng em gặp tình tốn học đó, em nghĩ tốt hết nên kết hợp ý tưởng tất học sinh nhóm c) Trong mơn tốn, em học nhiều điều 4 làm việc với học sinh khác lớp d) Trong học cần phải có tranh luận nhóm, giáo viên học sinh sau làm việc nhóm riêng lẻ e) Em nghĩ giáo viên nên đưa nhiều tốn quỹ tích có điều kiện thiết kế phần mềm dạy học GSP vào giảng CH Nhận xét bạn lớp học toán Những điều sau có thường xuyên xảy lớp học tốn bạn? a) Giáo viên khuyến khích học sinh tham gia đối thoại lớp học P8 Mọi Hầu Một Không hết vài bao học bài học học b) Học sinh lắng nghe giáo viên nói c) Giáo viên sẵn sàng trợ giúp học sinh hiểu 4 4 khái niệm tính chất tốn thơng qua phần mềm dạy học d) Giáo viên tạo hội cho học sinh phát biểu ý kiến e) Giáo viên khuyến khích, động viên học sinh tìm cách khác để đến lời giải f) Môi trường học tập thân thiện: động viên, khuyến khích để chia sẻ kiến thức toán Cám ơn bạn rất nhiều! P9 PHỤ LỤC 3: Các làm học sinh P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 ... quan sát bất biến tốn học, từ kiến tạo kiến thức tốn  Phân tích q trình hình thành giả thiết học sinh tiến hành khảo sát toán quỹ tích có điều kiện mơi trường hình học động khó khăn mà học sinh... tích có điều kiện mơi trường hình học động học sinh khảo sát nào, chúng nâng cao khả khám phá kiến thức học sinh đến đâu Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài: Khảo sát tốn quỹ tích có điều kiện mơi trường. .. triển DGE, khảo sát vấn đề toán học chiến lược quan trọng phát triển tư hiểu biết học sinh toán học, chúng thu hút ý nhà giáo dục nhà nghiên cứu toán học Khảo sát toán cung cấp cho học sinh kinh