KHAI THÁC CÁC DẠNG KÉO RÊ ĐỂ PHÁT TRIỂN SUY LUẬN NGOẠI SUY CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CĨ ĐIỀU KIỆN NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC – CAO THANH HỒN Tóm tắt Các dạng kéo rê thực biểu diễn tốn động tỏ có hiệu việc hỗ trợ học sinh tiến hành khảo sát nhằm đưa giả thuyết ngoại suy Nghiên cứu khai thác dạng kéo rê để hỗ trợ học sinh khảo sát biểu diễn toán động nhằm phát triển suy luận ngoại suy thơng qua tốn quỹ tích có điều kiện Kết nghiên cứu cho thấy suy luận ngoại suy nhằm đề xuất giả thuyết thực trình khảo sát hợp tác học sinh, tối ưu hoá củng cố vững nhờ thao tác kéo rê Từ khoá: kéo rê, suy luận ngoại suy, tốn quỹ tích có điều kiện Mở đầu Vào cuối năm 1990, Arzarello với cộng tiến hành nghiên cứu phân loại tập hợp phương thức kéo rê khác học sinh sử dụng suốt trình giải vấn đề hình học phần mềm hình học động (Arzarello & nnk, 2002) Các gói phần mềm hình học động The Geometer’s Sketchpad (GSP) Cabri Geometry, sau có thêm Geogebra, Cinderella Trong thập kỉ gần đây, việc cho học sinh tương tác trực tiếp Mơi trường Hình học động (Dynamic Geometry Environment DGE) nhằm kiến tạo kiến thức nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán học giới quan tâm Với hỗ trợ phần mềm GSP, việc chuyển đổi từ môi trường đồ họa truyền thống dựa giấy–bút đến môi trường đồ họa “ảo” dựa số liệu hình, thực thơng qua kéo rê chuột, có tiềm ảnh hưởng sâu sắc đến cách học sinh nhận thức lý luận hình học Năm 1994 nhà Triết học người Mỹ, C S Peirce (trích dẫn) sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” để loại suy luận liên quan đến việc hình thành, xây dựng giả thuyết để giải thích tượng, quy luật quan sát Thuật ngữ quen thuộc so với “suy diễn”, “quy nạp” toán học Ngoại suy loại suy luận có lý tạo nên giả thuyết để giải thích tượng, kết quả, phát với tính không chắn Từ đây, người ta bắt đầu quan tâm đến việc phát triển suy luận ngoại suy học sinh việc dạy học hình học Đã có số nghiên cứu nói kéo rê ngoại suy Baccaglini-Frank Mariotti (2010) nhằm xây dựng mơ hình kéo rê trì dựa phương thức kéo rê “chương trình kéo rê” Arazello (2002); ngồi có số tác giả khác Nguyễn Thị Khánh Phương (2011); Huỳnh Thị Ái Hằng (2015), Phạm Thị Hòa Nhi (2016) Nghiên cứu chúng tơi kế thừa nghiên cứu có trước, đồng thời chúng tơi tìm hiểu mối liên hệ trình kéo rê trình suy luận ngoại suy học sinh giải tốn hình phẳng Nghiên cứu nhằm trả lời câu hỏi sau: Xây dựng toán hỗ trợ thao tác kéo rê để học sinh hình thành giả thuyết ngoại suy? Các giả thuyết ngoại suy học sinh hình thành biến đổi thông qua thao tác kéo rê khảo sát biểu diễn toán động? Cơ sở lý thuyết nghiên cứu -1 2.1 Các dạng kéo rê mơi trường hình học động Theo nghiên cứu trước (Arzarello & nnk., 1998b; Olivero, 1999; Arzarello, 2001), dựa nghiên cứu Hölzl (1995, 1996), Arzarello cộng (2012) xác định phương thức kéo rê khác mà học sinh sử dụng dựa mục đích khác họ q trình giải vấn đề mở DGE Cụ thể hơn, quan sát cách học sinh sử dụng chuột giải vấn đề hình học động, Baccaglini Mariotti (2010) đề xuất bốn phương thức xây dựng mô tả đây: Kéo rê tự do/ngẫu nhiên: kéo rê cách ngẫu nhiên điểm hình mà khơng có định hướng cả, nhằm phát hiện, tìm kiếm hình dạng thú vị qui luật hình Kéo rê trì: kéo rê điểm để hình trì tính chất định Kéo rê với dấu vết kích hoạt: kéo rê điểm với dấu vết Kéo rê thử nghiệm: kéo rê điểm để xem liệu hình dựng có trì tính chất mong muốn không Như vậy, việc học sinh khai thác phương thức kéo rê khác đạt mục đích khác nhau, chẳng hạn khám phá, đốn, xác nhận đánh giá tốn hình phẳng Để làm rõ phương thức kéo rê trì đề cập chúng tơi minh họa thơng qua ví dụ sau: Ví dụ: Trên trang hình GSP, cho tứ giác ABCD, điểm D thuộc đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB Hai đường thẳng d1 , d đường trung trực đoạn AB CD Hãy đưa giả thuyết hình dạng tứ giác ABCD hai đường thẳng d1 , d có xảy thay đổi vị trí điểm B mặt phẳng B d2 D d1 d1 C A B C D d2 A Hình ABCD thỏa điều kiện toán kéo rê B cho d1 trùng d Kéo rê tự do/ngẫu nhiên điểm B dừng lại hai đường thẳng d1 d trùng Nhìn vào hình vẽ bắt đầu nghĩ đặc điểm tứ giác ABCD Để thấy rõ hơn, ta kéo rê với dấu vết kích hoạt điểm B tới vị trí khác mặt phẳng cho hai đường thẳng d1 , d trùng Nói cách khác việc kéo rê lúc khơng cịn tình cờ nữa, mà việc kéo rê có chủ đích làm cho hai đường thẳng d1 , d trùng nhau, kéo rê thử nghiệm điểm B xem tứ giác ABCD trở thành hình thang cân thời điểm khác không Thao tác kéo rê điểm B cho tượng “tứ giác ABCD hình thang cân” gọi kéo rê trì Các suy luận giải thích cho tượng tứ giác ABCD trở thành hình dạng đặc biệt hình thành nên giả thuyết giúp giải thích tượng Những giả thuyết gọi giả thuyết ngoại suy, kết trình suy luận ngoại suy 2.2 Suy luận ngoại suy -2 Như giới thiệu trên, ngoại suy loại suy luận có lý, tạo nên giả thuyết để giải thích tượng, kết quả, phát với tính khơng chắn “Một cách tổng quát, ngoại suy trình suy luận nhằm đưa giả thuyết tốt để giải thích cho kết quan sát Một quy trình cho suy luận ngoại suy thể qua bước sau (Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010): (1) Một Sự kiện (hiện tượng, kết quả…) S quan sát (2) Xuất Giả thuyết G giải thích cho S (3) Khơng có giả thuyết khác giải thích tốt cho S G -(4) Vậy G lời giải thích tốt cho S Erkki Patokorpi (2006) phân chia ngoại suy thành bốn dạng bản: chọn lựa, sáng tạo, quan sát thao tác Mỗi dạng, tác giả phân chia chúng thành nhiều loại Ở đây, mô tả dạng ngoại suy, ví dụ cho dạng xem Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010) Ngoại suy chọn lựa: Chọn số trường hợp có sẵn trường hợp lý giải cho kết luận có Ngoại suy sáng tạo: Khi trường hợp có sẵn khơng lý giải được, cần tìm trường hợp khác để lý giải cho kết luận có Ngoại suy quan sát: Thực quan sát đối tượng trình ngoại suy để tìm kiếm lý giải thích hợp Ngoại suy thao tác: Sử dụng thao tác lên đối tượng trình suy luận để tìm kiếm lý giải thích hợp Để thiết kế biểu diễn toán động hỗ trợ cho học sinh tiến hành khảo sát để hình thành giả thuyết ngoại suy DGE, phát triển suy luận ngoại suy thông qua tốn quỹ tích có điều kiện, chúng tơi tiến hành thiết kế quy trình nghiên cứu tổ chức thực nghiệm dạy học đối tượng học sinh trường phổ thông nhằm trả lời hai câu hỏi đề phần trước 2.3 Thiết kế nghiên cứu Mục trình bày quy trình nghiên cứu, đối tượng học sinh tham gia thực nghiệm, công cụ nghiên cứu 2.3.1 Quy trình nghiên cứu Lựa chọn tốn chủ đề hình học phẳng tạo tình hỗ trợ khả đề xuất giả thuyết ngoại suy Thiết kế tốn hình học phẳng mơi trường hình học động, tích hợp vào nhiệm vụ tốn thành hoạt động dạy học, chuẩn bị phiếu học tập, bảng hỏi, thiết bị ghi âm trình thực nghiệm Tiến hành thu thập phân tích liệu để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 2.3.2 Đối tượng học sinh tham gia thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành vào đầu năm học 2017-2018 đối tượng học sinh lớp 11 trường THCS-THPT Bàu Hàm, tỉnh Đồng Nai Trong nghiên cứu này, sử dụng phương pháp nghiên cứu trường hợp, tiến hành chọn 09 học sinh để tiến hành -3 thực nghiệm máy tính học sinh tương tác trực tiếp với phần mềm GSP để hỗ trợ em phát suy luận ngoại suy giải tốn hình phẳng Tên học sinh viết thành HS1, HS2 trình bày mục kết phân tích liệu 2.3.3 Cơng cụ nghiên cứu Cơng cụ nghiên cứu bao gồm biểu diễn toán động thiết kế phần mềm GSP tích hợp vào phiếu học tập phiếu thăm dò ý kiến học sinh Trong khn khổ báo, chúng tơi trình bày phiếu học tập thiết kế hoạt động có khai thác dạng kéo rê để phát triển suy luận ngoại suy, với nhiệm vụ kèm theo Phiếu học tập a Giới thiệu: Trên trang hình GSP, cho đường thẳng d qua hai điểm H O Dựng đường thẳng d ' vng góc với đường thẳng d H đường trịn tâm O có bán kính OH Gọi A điểm đối xứng với O qua H Lấy điểm M cho M O nằm hai phía với đường thẳng d ' Đường thẳng MH cắt đường trịn điểm B Thay đổi vị trí điểm M cách kéo rê trang hình GSP d' A H B O d M Hình Hình toán thực nghiệm b Khảo sát tự Thay đổi vị trí điểm M cách kéo rê Hãy quan sát thay đổi đối tượng khác Để đo độ dài đoạn thẳng đó, chọn đoạn thẳng vào Measure | Length Để đo góc, chọn góc vào Measure | Angle Để tạo vết cho điểm, chọn điểm vào Display | Trace Point Để xóa vết vào Display | Erase Trace (Shiflt +Ctrl +E) Nhiệm vụ 1: Em chọn điểm M kéo rê để thay đổi vị trí mặt phẳng Hãy khảo sát để rút nhận xét yếu tố không thay đổi yếu tố thay đổi điểm M di chuyển hoàn thành bảng sau: Khi kéo rê điểm M Điểm di chuyển? Điểm không di chuyển? Tính chất bảo tồn? -4 Tính chất khơng bảo tồn? Nhiệm vụ 2: Trên trang hình GSP số 2, Em chọn điểm M kéo rê để thay đổi vị trí Hãy quan sát thay đổi tứ giác AMOB đề xuất trường hợp đặc biệt mà tứ giác AMOB trở thành, với đề xuất giải thích? Nhiệm vụ 3: Em chọn chức tạo vết cho điểm M kéo rê hình GSP Hãy khảo sát, dự đốn vị trí điểm M tứ giác AMOB loại tứ giác đặc biệt, với đốn em giải thích? 2.3.4 Thu thập liệu phân tích liệu Các liệu thu bao gồm: phiếu học tập nhóm học sinh, bảng hỏi khảo sát, liệu ghi âm trao đổi học sinh Để phân tích liệu, chúng tơi sử dụng tiếp cận học sinh học toán với biểu diễn toán động hỗ trợ giáo viên Tiếp cận thể qua mơ hình sau: Hình Mơ hình phân tích liệu thực nghiệm Dựa mơ hình này, chúng tơi phân tích khía cạnh sau: Giáo viên làm nhiệm vụ thiết kế biểu diễn động, quan sát định hướng trình tương tác học sinh với biểu diễn toán động Học sinh tương tác trực tiếp với biểu diễn tốn động, ngồi học sinh trao đổi, phản hồi với giáo viên Các biểu diễn toán động thiết kế giáo viên Các biểu diễn động thay đổi tương tác học sinh kích thích ngược lại trình tương tác học sinh 2.4 Kết phân tích liệu a Nhiệm vụ 1: Xác định bất biến Việc xác định bất biến nhiệm vụ quan trọng việc đưa giả thuyết ngoại suy kéo rê Với việc kéo rê tự do/ngẫu nhiên, học sinh tập trung quan sát thay đổi hình vẽ di chuyển điểm M Kết nhóm bạn có tên HS1, HS2 HS3 sau: -5 Đối với nhóm nhóm 3, kết tương ứng với kết “Điểm B di chuyển”, “Điểm A, H O khơng di chuyển thẳng hàng”, tính chất bảo toàn “ d d ' , đường trịn tâm O bán kính OH” cịn tính chất khơng bảo tồn “chu vi diện tích tứ giác AMOB”, “các góc tứ giác” Thơng qua việc kéo rê tự do, học sinh dễ dàng nhận thấy bất biến cấp kéo rê điểm M điểm A, H O không di chuyển Hơn nữa, theo cách dựng ta có H ln trung điểm đoạn thẳng AO hai đoạn thẳng BM AO cắt H Điều định mấu chốt đến phần dự đoán loại tứ giác đặc biệt mà AMOB trở thành b Nhiệm vụ 2: Dự đoán trường hợp đặc biệt mà tứ giác AMOB trở thành Sau quan sát yếu tố thay đổi không thay đổi kéo rê điểm M, học sinh bắt đầu kéo rê theo hướng dẫn để dự đoán trường hợp đặc biệt mà tứ giác AMOB trở thành Học sinh ba nhóm đưa giả thuyết “tứ giác AMOB hình bình hành” d' B m MAB = 90o d' B d A H d A O H M O M Hình Các trường hợp đặc biệt tứ giác AMOB Đoạn Trao đổi học sinh nhóm (HS1, HS2, HS3) cho thấy ngồi trường hợp tứ giác AMOB hình bình hành, học sinh cịn xuất trường hợp đặc biệt hơn: AMOB hình chữ nhật (cũng trường hợp đặc biệt hình bình hành) AMOB suy biến thành đoạn thẳng -6 Trao đổi (các học sinh nhóm 1) 15:5 HS1: Tứ giác AMOB hình bình hành 15:6 HS2: Tứ giác AMOB hình chữ nhật đó, HA=HO=HB=HM HS3: Là hình chữ nhật BM =AO HS1: Là hình chữ nhật đâu phải hình vng, thử đo góc xem sao, góc M AB 90o đó, hình chữ nhật 15:8 GV: Kéo rê tiếp vị trí M để kiểm tra xem cịn trường hợp khơng? 15:9 HS1: Có thể tam giác cân M GV: Em kiểm tra lại giả thiết điểm M ? HS2: Điểm M không thuộc đường thẳng d’ đâu, nên bỏ trường hợp tam giác cân 15:10 HS3: Điểm M thuộc vào đường thẳng d điểm thẳng hàng GV: M phải thuộc đường thẳng hay sao? HS1: M thuộc tia AH 15:12 HS3: Tứ giác AMOB đoạn thẳng HS1: Hình thang khơng? vừa hình bình hành hình thang cân 15:14 GV: Cịn trường hợp không? (cả ba học sinh trả lời không nữa) Kết thể phiếu học tập nhóm sau: c Nhiệm vụ 3: Dự đốn vết M tứ giác AMOB ln hình bình hành Trong nhiệm vụ này, chúng tơi muốn em dự đốn xem điểm M có dấu vết tứ giác AMOB hình bình hành Sau đoạn Trao đổi nhóm (HS1, HS2, HS3) em bắt đầu kéo rê trì điểm M để đưa giả thuyết: Trao đổi (các học sinh nhóm 3) 15:30 GV: em phải kéo rê cho AMOB hình bình hành 15:31 HS2: [Đang tiếp tục cố gắng để kéo rê M theo đề xuất GV] 15:32 GV: Theo em vết M gì? 15:33: HS1: Vết đường trịn ah -7 GV: Là đường tròn hay cung tròn? 15:34: HS3: Là cung trịn ah! HS2 [Ngay tức thì, trả lời]: Là đường trịn ạ! HS3: Là hình trịn ý 15:35 GV: Các em xoá vết kéo rê trì M lại cho rõ HS2: Dạ, [thực thao tác xoá vết, kéo rê lại] 15:36 GV: Nếu vết đường trịn, đường trịn có tâm bán kính gì? HS2: Đường trịn tâm A, bán kính AM, bán kính AH HS3: Đúng đường trịn tâm A, bán kính AH 15:37 HS2: [Dựng đường trịn kéo rê trì M đường tròn để kiểm tra lại khẳng định] d' d' B M d A H d A H O O M B Hình Quỹ tích điểm M kéo rê trì Sau lời giả thích nhóm 3: Trong q trình thực nghiệm, học sinh gặp số khó khăn việc khảo sát tốn hình học phẳng mơi trường hình học động, chẳng hạn như: Việc lần tiếp xúc tương tác với phần mềm GSP làm cho em tốn thời gian để khám phá cách sử dụng thao tác phần mềm Ngoài ra, số học sinh chưa thực nghiêm túc tập trung trình khảo sát phần mềm GSP, chẳng hạn em tò mị -8 phần mềm nên kích hoạt dấu vết lộn xộn, khơng đọc kĩ u cầu tốn nhiệm vụ nên sai hướng 2.5 Trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Về câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, trước hết, từ kết thực nghiệm thấy em tiếp thu nhanh, sử dụng tương đối thành thạo chức GSP Chính vậy, em nhanh chóng tập trung vào việc kéo rê để quan sát bất biến hình học hay vết điểm kéo rê Dựa vào việc kéo rê tự do/ ngẫu nhiên điểm bản, điểm cố định giả thuyết ngoại suy bất biến em tìm cách nhanh chóng Từ bất biến cấp tốn nhận thức thông qua áp dụng dạng kéo rê khác bất biến cấp phát mối quan hệ phụ thuộc bất biến cấp Vị trí điểm M yêu cầu toán giới hạn nằm phía bên trái đường thẳng d’, thực tế, M dựng tuỳ ý mặt phẳng nên em kéo rê qua phía bên phải cho M nằm d’ Việc xây dựng tốn quỹ tích có điều kiện nhờ vào biểu diễn tốn động u cầu người giáo viên cần có khảo sát kỹ lưỡng biểu diễn, nắm bắt trường hợp xảy học sinh thực thao tác kéo rê Đối với câu hỏi nghiên cứu thứ hai, trình thực nghiệm, chúng tơi phân tích rõ từ liệu phiếu học tập, trình hoạt động tương tác theo mơ hình phân tích trên, giáo viên với học sinh, học sinh với biểu diễn toán động mục trước Các giả thuyết ngoại suy hình thành q trình khảo sát biểu diễn tốn động, đề xuất thông qua trao đổi học sinh nhóm Những giả thuyết tiếp tục củng cố nhờ các hoạt động kéo rê trì, kéo rê thử nghiệm Trong tốn thực nghiệm mình, chúng tơi thấy giả thuyết ngoại suy em đề xuất, thay đổi nhiều Nhưng kết luận cuối nhóm học sinh dấu vết điểm kéo rê giữ cho điểm thỏa mãn tính chất Kết luận Khi học sinh tương tác với biểu diễn toán động với toán quỹ tích có điều kiện mà nhóm nghiên cứu đặt ra, giả thuyết mà em đề xuất phong phú, hình thành, phát triển, tinh chỉnh đến giả thuyết có tính chắn cao, tạo niềm tin vững để tiến hành chứng minh hình thức nhằm khẳng định giả thuyết Các dạng kéo rê em sử dụng cách đầy đủ, có hiệu q trình làm việc với biểu diễn tốn động thơng qua tốn quỹ tích có điều kiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Arzarello F., Olivero F., Paola D & Robutti, O (2002), A cognitive analysis of dragging practices in Cabri environments, Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik/International Reviews on Mathematical Education, 34(3), p 66-72 [2] Baccaglini–Frank A, Mariotti MA (2010), Generating Conjectures in Dynamic Geometry: the Maintaining Dragging Model International Journal of Computers for Mathematical Learning [3] Erkki P (2006) Role of abductive reasoning in digital interaction, Doctoral Dissertation, Abo Akademi University, Finland, p.74-78 -9 [4] Finzer W & Jackiw N (1998) Dynamic manipulation of mathematics objects, Key Curriculum Press, USA [5] Huỳnh Thị Ái Hằng (2015) Khảo sát tốn quỹ tích có điều kiện mơi trường hình học động, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế [6] Kordaki M (2006) Multiple representation systems and Inter-individual learning differences in students In E Pearson & P Bohman (Eds.), Proceedings of World Conference on Educational Multimedia, Hypermedia and Telecommunications 2006 (p.2127-2134) Chesapeake, VA: AACE [7] Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010) Phát triển suy luận ngoại suy thông qua mơ hình tốn thao tác động điện tử, Tạp chí khoa học, Đại học Vinh, ISSN 1859 – 2228, Tập 39, 2A, tháng – 2010, trang 51 – 59 [8] Phạm Thị Hòa Nhi (2016), Các dạng kéo rê mơi trường hình học động ứng dụng, Khóa luận tốt nghiệp Đại học, Trường Đại Học Sư phạm, Đại học Huế [9] Trương Thị Khánh Phương (2011) Phản ánh suy luận ngoại suy quy nạp qua thao tác kéo rê mơi trường hình học động, Tạp chí Khoa học, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Title Exploiting dragging modalities in developing abductive reasoning for students through conditional locus mathematics problems Abstract: Dragging modalities performed on dynamic mathematical representations are effective in supporting students to conduct investigations to produce abductive conjectures This study exploited dragging modalities to support students in exploring on dynamic mathematical representations to develop abductive reasoning through the conditional locus mathematics problem Research results showed that abductive reasoning to forming conjectures have been made during the investigation and collaboration processes among students, which are optimized and reinforced by dragging manipulations THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ Nguyễn Đăng Minh Phúc, TS Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ĐT: 0979-555-375, Email: phucndm@gmail.com Cao Thanh Hoàn, HV Cao học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Nơi công tác: Trường THCS-THPT Bàu Hàm, tỉnh Đồng Nai ĐT: 0166-551-1368, Email: caohoan86@gmail.com -10