Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.2.3. Nhận thức bất biến trong Môi trường Hình học động
2.2.3.3. Nhận thức thông qua Chương trình Kéo rê Duy trì
Baccaglini – Frank và các cộng sự (2013) đã thảo luận làm thế nào sự phát triển tiềm năng của việc nhận thức điều khiển trực tiếp và gián tiếp thông qua bất biến có thể xảy ra qua trải nghiệm cảm giác – chuyển động kèm theo lý luận và tương tác biến đổi có thể được sử dụng như một phương tiện để nhận thức bất biến.
Các hình thức lý luận trên có thể kéo dài phụ thuộc vào bối cảnh của nó, đặc biệt là về mục tiêu của người học (hoặc công việc) và do đó trên phương thức kéo rê đã chọn. Cùng với việc sử dụng một chương trình được phát triển bởi một người học trong suốt một quá trình hình thành công cụ, một cách cụ thể nào đó kéo rê có thể trở thành một công cụ. Các chương trình sử dụng này được phát triển bởi người học còn được gọi là “chương trình kéo rê”, và họ tạo ra một “lý luận” đi kèm với việc sử dụng kéo rê đặc biệt (Leung và nnk., 2006).
Sự phức tạp trong một chương trình kéo rê được cấu thành bằng cách trở thành nhận thức, gây ra không chỉ trên các yếu tố của một hình DGE mà còn trên tính chất của nó (có nghĩa là mối quan hệ giữa các yếu tố) của các bước của việc xây dựng. Như vậy, không chỉ có những trải nghiệm của người học về các yếu tố điều khiển khác nhau, điều khiển trực tiếp và gián tiếp cũng có thể được thực hiện trên các bất biến. Một phương tiện cơ bản về nhận thức là nhận thức về các loại điều khiển, đặc biệt trong bối cảnh gây bất biến mới trên một hình động.
35
Chẳng hạn, Hình 2.10. cho thấy một hình động bắt nguồn từ việc dựng hình trong GSP, một môi trường hình học động học cụ thể. Nó có một tập các xây dựng bất biến (song song giữa AB và DC, vuông góc của s đến DC và r đến AB, việc s và r đi qua trung điểm lần lượt của DC và AB) và do đó, tất cả các bất biến có nguồn gốc từ chúng (ví dụ như song song giữa r và s) mà tất cả đều bảo toàn đồng thời trong thời gian kéo rê. Đặc biệt, trong xây dựng GSP, A, B, và C là các điểm cơ bản tự do có thể được di chuyển bằng cách kéo rê trực tiếp chúng; D bị hạn chế di chuyển dọc theo một đường song song với AB qua C; r và s là các đối tượng phụ thuộc di chuyển, gián tiếp, như một kết quả của sự chuyển động của các điểm cơ bản khác. Do đó, khi chúng xuất hiện đồng thời trong thời gian kéo rê bởi một người kéo rê, các bất biến khác nhau có thể có các trạng thái khác nhau theo các loại điều khiển trực tiếp hoặc gián tiếp thực hiện bởi các người kéo rê trên chúng.
Từ ví dụ vừa rồi, ta có thể cố gắng tạo ra một bất biến mới như “hai đường trung trực trùng nhau”. Điều này được gọi là một tính chất mềm (đã được mô tả ở phần trên). Một người học có thể cố gắng để duy trì tính chất thú vị như vậy bằng cách kéo rê một điểm cơ bản (kéo rê duy trì). Để minh họa, hãy chọn điểm B là điểm cơ bản. Hình 2.10. cho thấy tính chất đó có thể trở thành một bất biến mềm như là một điểm cơ bản được kéo rê. Sự chuyển động của B không thể là ngẫu nhiên mà có kiểm soát. Việc kiểm soát qua sự chuyển động của B là trực tiếp trong khi đó trên tính chất bất biến mong muốn của chúng tôi (r và s trùng nhau) là gián tiếp. Nhận thức như thế được phát triển thông qua các trải nghiệm cảm giác – chuyển động kèm theo lý luận cơ bản khi duy trì kéo rê được sử dụng như một phương tiện thăm dò (Baccaglini Frank, 2010; Mariotti & Baccaglini Frank, 2011).
Việc gây ra bất biến mềm trên một hình động có thể được thực hiện thông qua các phương thức kéo rê duy trì. Khi phương thức này được sử dụng để tìm kiếm các phỏng đoán mới, đó có thể là mối quan hệ giữa các bất biến (bất biến cấp 2), nó được gọi là Chương trình Kéo rê Duy trì (Baccaglini Frank 2010; Baccaglini Frank
& Mariotti 2010). Chương trình này được mô tả thông qua một tập (có thể ẩn) nhiệm vụ cho người học trong việc tạo ra phỏng đoán.
36
Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau: Cho một điểm P và đường thẳng r qua P. Dựng đường thẳng vuông góc với r qua P và chọn một điểm C trên đó. Dựng điểm A đối xứng với C qua P. Trên nửa mặt phẳng xác định bởi r chứa A, vẽ điểm D. Dựng đường thẳng qua D và P. Dựng đường tròn tâm C và bán kính CP. Lấy B là giao điểm thứ hai của đường thẳng đi qua P và D với đường tròn.
Hình 2.13.
Nhiệm vụ 1: Nhận ra một hình dạng được khám phá bằng cách kéo rê có chủ ý để duy trì sự xuất hiện của hình dạng mong muốn, do đó kết luận nó như là một bất biến mềm. Hình dạng được nhận ra này được gọi là một bất biến có chủ ý gây ra.
Trong ví dụ của chúng tôi, giả sử chúng ta tiến hành kéo điểm cơ bản D (Hình 2.13.). Trong lúc kéo rê, anh/cô ấy thấy rằng nó có thể làm cho tứ giác ABCD trở thành cái gì đó trông giống như “một hình bình hành” (Hình 2.14.). Tiếp tục kéo rê thăm dò “khi” các hình GSP trở thành một loại hình hình học (chẳng hạn là một
“hình bình hành” trong ví dụ của chúng tôi) người giải quyết có thể quyết định áp dụng phương thức duy trì kéo rê. Các bất biến anh/cô ấy sẽ cố gắng duy trì, bất biến có chủ ý, có thể là một loại hình hình học được tìm thấy. Trong khi kéo một điểm cơ bản của hình GSP, những người giải quyết sẽ tập trung vào việc duy trì tính chất bất biến có chủ ý đó theo một cách trực quan. Điều này có nghĩa là tại thời điểm này, duy trì cho ABCD là hình bình hành là một tính chất mềm của hình GSP. Duy trì tính chất đó khi kéo rê liên tục một điểm cơ bản có thể không phải là một nhiệm vụ đơn giản: nó có thể phụ thuộc nhiều vào kỹ năng của người giải quyết, và đôi khi nó có thể không thể tồn tại.
37
Hình 2.14. ABCD trông giống như “một hình bình hành”.
Nhiệm vụ 2: Hãy tìm một điều kiện làm cho bất biến chủ ý gây ra được xác nhận trực quan thông qua việc duy trì kéo rê. Điều này có thể xảy ra hoặc thông qua
một giải thích hình học về sự chuyển động của các điểm kéo rê cơ bản hoặc,
một giải thích hình học của việc đánh dấu dấu vết (con đường) của các điểm kéo rê cơ bản.
Đề xuất một mô tả hình học của chuyển động hoặc những con đường quan sát được.
Trong khi kéo rê các điểm cơ bản, cố gắng để duy trì tính chất bất biến có chủ ý, sự chú ý của người giải quyết có thể thay đổi (và tiếp tục chạy qua chạy lại) chuyển động của điểm cơ bản được kéo rê. Sự kết hợp giữa thị giác và cảm nhận xúc giác có thể hướng dẫn người giải quyết giải thích về một số quy luật trong sự chuyển động của các điểm cơ bản. Hơn nữa, một người giải quyết có thể sử dụng kéo rê duy trì với mục đích tìm kiếm một quy luật như vậy. Để làm được điều này, người giải quyết phải tin chắc rằng kéo rê liên tục điểm cơ bản để xem xét và duy trì sự lựa chọn tính chất bất biến có chủ ý là có thể.
Người giải quyết có thể tham khảo các quy luật rõ ràng như để tìm “cái gì”.
Chúng tôi gọi “cái gì” ở đây là một con đường và định nghĩa nó như là một tập hợp các điểm liên tục trên mặt phẳng với các tính chất như sau: khi điểm cơ bản được
38
kéo rê trùng với bất kỳ điểm nào của con đường, thì tính chất bất biến được xác nhận trực quan.
Các điểm cơ bản được kéo rê để xác định một con đường quan sát được trong quá trình kéo rê chưa cần được biểu diễn như một tính chất hình học. Điều này có thể được thực hiện bằng cách dự đoán một mô tả hình học của con đường, đó là một mô tả của con đường về một đối tượng hình học được biết đến có liên quan đến các hình vẽ GSP. Trong ví dụ của chúng tôi, các dấu vết có thể được hiểu như là một cái gì đó giống như một đường tròn, và những người giải quyết có thể đưa ra một lập luận như: “khi chúng ta kéo rê, chúng ta còn phải di chuyển qua lại và di chuyển như thể B chạy trên một đường tròn” để đạt được một mô tả của con đường như một đường tròn. Vì vậy, dự đoán của người kéo rê sẽ là: “D nằm trên đường tròn tâm A và bán kính AP” (Hình 2.15).
Hình 2.15.
Chúng tôi lưu ý, tính chất bất biến có chủ ý là một tính chất của hình, có thể chỉ được gây ra “gián tiếp” thông qua việc kéo rê một điểm cơ bản. Với ý nghĩa này, tính chất bất biến có chủ ý sẽ được hình thành như là một bất biến gián tiếp. Mặt khác, chuyển động gây ra trên các điểm kéo rê cơ bản là một hình thức của chuyển động “trực tiếp” quan sát được trong quá trình kéo rê.
39
Thông qua nhận thức của mình, người giải quyết có thể giải thích việc gây ra bất biến có chủ ý là “do” quan sát bất biến trong quá trình kéo rê. Sự giải thích này hướng dẫn việc tìm kiếm các “điều kiện” mà theo đó tính chất bất biến có chủ ý có thể được duy trì (gián tiếp), và những điều kiện này có thể được điều khiển (trực tiếp) bởi người giải quyết.
Tại thời điểm này người giải quyết đã xác định được hai bất biến, bất biến có chủ ý và bất biến quan sát được trong quá trình kéo rê, xảy ra cùng một lúc. Để tin tưởng hơn về sự tồn tại mối liên hệ giữa các tính chất này, người giải quyết có thể thực hiện một thử nghiệm kéo rê mềm hoặc chặt chẽ. Các người giải quyết có thể lựa chọn thêm các bất biến quan sát được trong quá trình kéo rê là một tính chất chặt chẽ mới của hình GSP (Hình 2.1).
Hình 2.16.
Nhiệm vụ 3: Xác định các điều kiện liên kết thông qua các thử nghiệm kéo rê.
Một liên kết có điều kiện là một mối quan hệ phụ thuộc logic giữa các tính chất hình học. Điều này đòi hỏi việc hoàn thành ít nhất một số các nhiệm vụ nhỏ sau đây:
biểu diễn các bất biến quan sát được trong quá trình kéo rê thông qua một xây dựng các mô tả hình học được dự đoán của con đường;
40
thực hiện kiểm tra kéo rê mềm bằng cách kéo rê các điểm cơ bản dọc theo xây dựng mô tả hình học của con đường;
thực hiện một thử nghiệm kéo rê chặt chẽ bằng cách cung cấp (và xây dựng) mô tả hình học của các con đường không phụ thuộc vào sự kéo rê các điểm cơ bản và xác định lại các điểm cơ bản để có một bất biến chặt chẽ, sau đó thực hiện các thử nghiệm kéo rê.
Các tính chất mới bao gồm kéo rê điểm cơ bản hiện đang được liên kết một cách chặt chẽ với các đối tượng thể hiện cho việc quan sát bất biến trong lúc kéo rê (trong ví dụ của chúng tôi, D có thể được liên kết với đường tròn với tâm A và bán kính PA): tính chất đó không còn là một khả năng, mà là “sự thật”. Tại thời điểm này, người giải quyết đã thay đổi cả trong nhận thức và logic khi quan sát bất biến trong quá trình kéo rê. Sau khi xác định lại các điểm cơ bản, nếu bất biến có chủ ý cũng trực quan, nó sẽ trở thành một bất biến chặt chẽ. Các thử nghiệm kéo rê chặt chẽ là rất thuyết phục, không chỉ là bất biến quan sát được trong quá trình kéo rê và bất biến có chủ ý xảy ra cùng một lúc, những cũng có một mối quan hệ có điều kiện giữa chúng. Xây dựng một tính chất chặt chẽ dẫn đến sự chặt chẽ của tính chất khác.
Tại thời điểm này chúng ta có thể xây dựng một giả thuyết, chúng tôi quan sát thấy bất biến trong kéo rê làm giả thiết và bất biến có chủ ý làm kết luận. Tức là bất biến quan sát được “D nằm trên đường tròn được dựng” và bất biến có chủ ý là “hình bình hành ABCD”, chúng ta sẽ có được dự đoán sau đây: Nếu D nằm trên đường tròn tâm A bán kính AP, thì ABCD là một hình bình hành.
Trong thực tế, sau khi phát hiện các bất biến quan sát được trong quá trình kéo rê, người học có thể trực tiếp tác động lên các điểm cơ bản để duy trì bất biến quan sát được trong quá trình kéo rê, cảm nhận sự đồng thời và quan sát việc duy trì chủ ý gây ra bất biến gián tiếp. Vì vậy, nó cho thấy một cầu nối giữa các trải nghiệm (trong hình học động) và thế giới của Euclid được cung cấp bởi các giải thích sau đây:
Khi người học nhận thức bất biến trong một DGE, các loại điều khiển mà người học trải nghiệm qua những bất biến giúp nhận định một trạng thái đối xứng giữa chúng bất chấp thực tế rằng chúng xuất hiện cùng một lúc. Điều
41
này có thể dẫn dắt người học giải thích các mối quan hệ “động” giữa bất biến như một mối quan hệ có điều kiện (Nếu ... thì ...) giữa các tính chất hình học.
Giả thiết nhận định này được tóm tắt như sau:
Điều khiển Đồng thời + Trực tiếp qua Duy trì Kéo rê theo một bất biến mềm
Giả thiết của một phỏng đoán có thể xảy ra (NẾU)
Điều khiển Đồng thời + Gián tiếp qua Duy trì Kéo rê theo một bất biến mềm
Kết luận của một phỏng đoán có thể xảy ra (THÌ)
Khi phát triển các chương trình như vậy, vai trò của con đường rất quan trọng. Các khái niệm về con đường đã được giới thiệu bởi Baccaglini Frank và Mariotti (2009) và phù hợp với Leung và Lopez Real (2002) về quan niệm quỹ tích.
Một con đường là một quỹ đạo sao cho khi một thời điểm nào đó, một hình dạng dấu vết của điểm đang được kéo dọc theo nó, hình dạng sẽ đáp ứng một điều kiện quy định nhất định. Đặc biệt, trong việc nhận thức vai trò quan trọng của bất biến cấp 2 có thể được phát sinh bởi những quan niệm về một con đường. Khi tiến hành khám phá các biểu diễn của con đường, người kéo rê sẽ đi qua một chuỗi các bước để nắm bắt được một quá trình tiến triển, đó là sự thể hiện nhận thức đã được thảo luận ở trên. Trước hết con đường được dự kiến (con đường dự kiến), tiếp theo là một con đường có dấu vết đại khái (dấu vết con đường), sau đó là một con đường được xây dựng và theo một điểm cơ bản có thể được kéo rê (kéo rê – theo con đường), cuối cùng, nếu có thể, một đường chặt chẽ tổng quát được xây dựng (con đường chặt chẽ tổng quát).
Tóm tắt chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu về lịch sử của vấn đề nghiên cứu, giới thiệu sơ lược về các bài toán quỹ tích có điều kiện để người đọc có thể hiểu rõ hơn về các bài toán này, ngoài ra, chúng tôi trình bày nền tảng lý thuyết của một số vấn đề nghiên cứu. Chúng tôi cũng đã trình bài qua về các kết quả nghiên cứu liên quan đến đề. Từ đó, chúng tôi lấy đó làm tiền đề, đề ra mục tiêu nghiên cứu cũng như thiết kế quá trình nghiên cứu của mình.
42 Chương 3