Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.2.2. Sự hình thành phỏng đoán trong Môi trường Hình học động
2.2.2.4. Bất biến trong môi trường Hình học động
Việc xác định bất biến là một hoạt động quan trọng trong tư duy toán học.
Bất biến liên quan đến các khía cạnh khác nhau của một hiện tượng thay đổi và một khía cạnh nào đó của nhận thức bất biến để cảm nhận chúng trực quan. DGE xoay quanh sự thay đổi trực quan, và thông qua kéo rê, nó đưa người sử dụng đến việc mô phỏng một giả thiết. Trong DGE, khi một hình được dựng, nó thay đổi (thông qua kéo rê) trong khi vẫn giữ tất cả các tính chất hình vẽ không thay đổi cùng với tất cả các tính chất hệ quả của nó theo hình học Euclide. Điều này mở ra một ngữ cảnh, nơi tính chất hình học (hiểu là bất biến) có thể được cảm nhận trực quan và do đó liên quan đến những lý thuyết phía sau nó.
Môi trường Hình học động làm phát sinh một hiện tượng, nơi chuyển động và thay đổi cùng với các phản hồi trực quan và cảm giác vận động có thể dẫn đến việc nhận thức các đặc tính hình học của hình. Đặc biệt, phương thức kéo rê trong DGE đã được nghiên cứu trong các thiết lập sư phạm và dần dần hiểu như là một công cụ sư phạm có lợi cho lập luận toán học, đặc biệt là trong quá trình hình thành giả thuyết hình học. Các tiềm năng tri thức của phương thức kéo rê trong DGE nằm trong mối quan hệ của nó với sự nhận thức bất biến. Dựa trên một quan điểm kết hợp đặt trong cùng lăng kính biến đổi và các phương thức kéo rê duy trì được phát triển như phần trên, Allen Leung đã nghiên cứu về nhận thức và lý luận trong DGE dựa trên các quan điểm kết hợp với nhau từ các học thuyết về sự biến đổi và Chương trình Kéo rê Duy trì. Leung (2010) mô tả trải nghiệm toán học là “sự nhận thức mô hình bất biến về các hình hoặc các hình dạng, tái tạo hoặc biểu diễn mô hình đó”. Bất biến là những gì thay đổi, những gì không thay đổi.
Một tính năng quan trọng của DGE là khả năng biểu diễn trực quan giữa các bất biến hình học thay đổi cùng một lúc gây ra bởi hoạt động kéo rê. Kéo rê trong DGE bao gồm việc lựa chọn một yếu tố của một hình động (một hình được dựng theo một tập các tính chất trong một DGE) với một thiết bị chuột và di chuyển nó theo các kết quả “di chuyển” các đối tượng được chọn (và có thể là các đối tượng có liên quan khác) trên màn hình. Các biến đổi của hình ảnh động được nhìn nhận trái ngược với những gì đồng thời vẫn bất biến. Các chuyển động và việc xác định các
26
bất biến nằm ở trung tâm của các hoạt động nhằm khai thác các tiềm năng tri thức của DGE (vớ dụ, Laborde, 1995; Hửlzl, 1996; Healy, 2000; Arzarello và nnk., 2002;
Olivero, 2002; Leung, 2008; Baccaglini – Frank và Mariotti, 2010). Hửlzl (2001) xem xét kéo rê như “một công cụ để tìm kiếm các biểu diễn khác nhau của cùng một hình tương tự trong quá trình biến đổi liên tục”.
Kéo rê trong DGE bao gồm việc lựa chọn một yếu tố của một hình động (một hình được xây dựng theo một tập các tính chất trong một DGE) với một điểm và di chuyển điểm cùng với việc thay đổi vị trí của các đối tượng được chọn (và do đó có thể những đối tượng khác) trên màn hình. Những thay đổi của hình ảnh trên màn hình thu được bằng cách xây dựng lại một cách liên tiếp, nhanh chóng hình tạo ra bởi DGE và nó được nhận thức trái ngược với những bất biến, và điều này là cơ sở của sự nhận thức về “hình ảnh động” (Mariotti, 2010). Sự chuyển động và việc xác định các bất biến là những gì nằm ở trung tâm của các hoạt động nhằm khai thỏc tiềm năng của DGE (vớ dụ, Laborde & Laborde, 1995; Hửlzl, 1996; Healy &
Hoyles, 2001; Healy, 2000; Arzarello, Olivero, Paola & Robutti, 2002; Olivero, 2002; Leung, 2008; Baccaglini – Frank & Mariotti, 2010). Một hình động có thể được xem xột, núi theo cỏch của Hửlzl, như “biểu diễn vật chất của một hỡnh hỡnh học lý tưởng chỉ đặc trưng bởi các mối quan hệ bên trong của nó” (2001, tr.83).
Hơn nữa, trong DGE, bất biến theo các mối quan hệ hình học được xác định bởi các lệnh được sử dụng để xây dựng các hình động, và các mối quan hệ phụ thuộc giữa các mối quan hệ ban đầu của việc xây dựng và chúng có nguồn gốc như một hệ quả trong lý thuyết của hình học Euclide (Laborde & Strasser, 1990). Tuy nhiên, sự phụ thuộc logic như vậy không thể được nhìn thấy khi các hình được dựng, bởi vì tất cả các bất biến xuất hiện đồng thời trong thời gian kéo rê.
Để minh họa điều này, chúng ta hãy xem xét xây dựng sau: Cho ABC là một tam giác, E và F lần lượt là trung điểm của AC và CB (Hình 2.9.).
A, B, và C là các điểm cơ bản, dựng E là trung điểm của AC, và F là trung điểm của BC. Kéo rê A, B, hoặc C thì EF vẫn song song với AB.
27
Hình 2.9. Tam giác ABC được dựng theo giả thiết.
Trung điểm E và F được dựng vẫn là trung điểm trong lúc kéo rê, có nghĩa là tính chất “AE bằng EC” và “CF bằng với FB” được bảo toàn. Tuy nhiên, tính chất
“EF song song với AB” cũng được bảo toàn vì nó là một hệ quả logic trong lý thuyết của Euclid (theo đó DGS này đã được lập trình). Việc nhận thức thông qua các mối quan hệ trên có thể dẫn đến phỏng đoán sau đây: “nếu một đoạn thẳng được xây dựng với điểm đầu và điểm cuối là trung điểm của hai cạnh của một tam giác, thì nó song song với các cạnh thứ ba của tam giác”.
Hơn nữa, bất biến có thể xuất hiện là “chặt chẽ” (robust) hay “mềm” (soft).
Ví dụ, việc xây dựng trên đưa đến ba bất biến, “AE bằng EC”, “CF bằng FB” và
“EF song song với AB”, là “chặt chẽ”, được thể hiện khi kéo rê ngẫu nhiên các điểm cơ bản. Mặt khác, một bất biến như “EF vuông góc với AC” có thể được gây ra bởi nhũng cách thức cụ thể khi kéo rê các điểm cơ bản, nhưng đối với một điểm cơ bản nhất định, nó không phải luôn luôn là một bất biến của hình động. Đây là một ví dụ về bất biến “mềm”. Bất biến mềm đặc biệt hữu ích trong các hoạt động có liên quan đến việc hình thành phỏng đoán thông qua kéo rê duy trì. Do đó, khi chúng xuất hiện đồng thời trong thời gian kéo rê bởi một người kéo rê, các bất biến khác nhau có thể có các trạng thái khác nhau theo các loại điều khiển trực tiếp hoặc gián tiếp thực hiện bởi người kéo rê trên chúng. Khi một hình vẽ được dựng, có một mối quan hệ phụ thuộc giữa các bất biến xây dựng và bất cứ điều gì được bắt nguồn theo hình học Euclide. Điều đó có thể gây ra một mối quan hệ giữa các bất biến như là một bất biến của chính nó, và một mối quan hệ như vậy có thể giúp xác định bất
28
biến trong việc kéo rê. Từ đó, Allen Leung và các cộng sự đã đưa ra các thuật ngữ sau:
Bất biến cấp 1: các khía cạnh của một hình động được coi là không đổi trong quá trình biến đổi của hình thông qua kéo rê. Ví dụ, “AE bằng EC” và “CF bằng FB”
là bất biến cấp 1 của hình động.
Bất biến cấp 2: các mối quan hệ bất biến giữa bất biến cấp 1. Ví dụ, “AE bằng EC, CF bằng FB khiến (hoặc dẫn đến) EF song song với AB”.