Đề thi chọn HSG cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT UBND Huyện Hoài Nhơn

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn Đề thi chọn HSG cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT UBND Huyện Hoài Nhơn để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi!

UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Đề thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018 – 2019 Mơn: TỐN Ngày thi: 01/12/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (4.0 điểm) a) Thu gọn biểu thức: A  b) Cho x     4 2 3 2  1  Tính giá trị biểu thức B  1  x  x  x  x  2018 1 1 c) Cho x  3  2  3  2 y  17  12  17 12 Tính giá trị biểu thức: C  x  y   x  y   2018 Bài (4.0 điểm) a) Tìm số ngun dương có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số số  1 1  b) Chứng minh số tự nhiên A  1.2.3 2017.2018.1       chia hết cho  2017 2018  2019 Bài (5.0 điểm) 2 3.1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  a  b   b  c   c  a  a) Tính a  b  c , biết ab  bc  ca  b) Chứng minh rằng: Nếu c  a, c  b c  a  b 3.2 Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn x 2019  y 2019  z 2019  Tìm giá trị lớn biểu thức: E  x  y2  z2 Bài (4.0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M , N di động AM AN  Đặt AM  x AN  y Chứng minh rằng:  hai đoạn thẳng AB, AC cho MB NC a) MN  x  y  xy b) MN  a  x  y c) MN ln tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O  , gọi M trung điểm cạnh BC , H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A cạnh KM AM  30 cm BC Tính diện tích tam giác ABC , biết OM  HK   HẾT  ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài (4.0 điểm)    4 2 3 a) Thu gọn biểu thức: A  Lời giải 2 3    2 3    4   1 2 3 2 3 2018 b) Cho x  Tính giá trị biểu thức B  1  x  x  x  x  1  1 1  1 Ta có: A  Ta có: x   1   1 1  thức, ta được: B  1  2   Lời giải 2     1          Thay x  vào biểu 2018 1 1   1 2   2   2018  1 2018 1 c) Cho x  3  2  3  2 y  17  12  17 12 Tính giá trị biểu thức: C  x  y   x  y   2018 Lời giải   2   2    2  3.x   2   3x   17  12  17  22   17  12  y  17 12  34  y ● Ta có x  3 3 y 3 ● Cộng vế theo vế, ta được: x  y  40  x  y  x  y   x  y   2018  2058  Vậy C  2058 x  3  2  3  2 y  17  12  17 12 Bài (4.0 điểm) a) Tìm số nguyên dương có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số số Lời giải Gọi số cần tìm ab , theo đề, ta có 10a  b  k.a.b (Trong đó:  a, b  a, b, k   ) 10 10 10 10 Suy b  Vì  b    9   k   10  k.a 1 a k k a a a 10   k   10  5 9  a  Từ   k    ;2; ;5;10  a    10 : k    a  a  a     a.3k  5   ab  36 ● Nếu k       k  (không thỏa) k  (thỏa)    a b  b   b  a    a.k  2         k   ab  15 ● Nếu k  (thỏa)     a  b      b  a    a.2 k  5  ● Nếu k       k  (không thỏa)  a b   b   a    ab  24 k  (thỏa)   b  a   a.k  5  1   k  (thỏa)   ab  12 ● Nếu k        a b   b  a   a.k 10  1   k  11 (thỏa)   ab  11 ● Nếu k   10      a  b    b  Vậy ab  11;12;15;24;36  1 1  b) Chứng minh số tự nhiên A  1.2.3 2017.2018.1       chia hết cho  2017 2018  2019 Lời giải  1 1 Ta có B  1.2.3 n.1       số tự nhiên Thật  n   ● Với n  B       ● Với n  B      1 1 ● Giả sử  n  k , nghĩa B  1.2.3 k.1         k  1  ● Cần chứng minh  n  k  , nghĩa B  1.2.3 k  1.1        k  1  1  1  1 Ta có 1.2.3 k  1.1       1.2.3 1     .k  1  1.2.3 k   k k  1    1.2.3 1          k   Có k     B   1.2.3 k      1 1 Vậy 1.2.3 n.1      số tự nhiên  n  1  1 1 Suy ra, với n  k 1.2.3 k.1      1.2 k.1     số tự nhiên   k 2k   1 1      .k  1k  2 k số tự nhiên   k  k  2k  ● Áp dụng chứng minh ta có:  1  1.2 1009.1      1009   1      .1010.1011 2018 số tự nhiên 1010 1011 2018  1011  Ta có   1010.1011 1342 2018  2019 1342 673  1    1.2 1009.1    .1010.1011 1342 2018 2019  1009  3 Và   1.2.3 673 1009  2019 673 673  1    1.2 1009.    .1010.1011 2018 2019 1010 1011 2018   1 1   Vậy số tự nhiên A  1.2.3 2017.2018.1       chia hết cho 2019  2017 2018  Bài (5.0 điểm) 2 3.1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  a  b   b  c   c  a  a) Tính a  b  c , biết ab  bc  ca  Lời giải 2 2 2  a  b  c  ab  bc  ca   ab  bc  ca  Từ a  b  c  a  b   b  c   c  a   a , b , c 0  a  b  c  Mà ab  bc  ca  nên a  b  c   36  b) Chứng minh rằng: Nếu c  a, c  b c  a  b Lời giải Ta có a  b  c  a  b   b  c   c  a   c  a  b   ab 2 Khơng tính tổng qt, giả sử: c  a  b Khi đó, ta có: c  a  b  2b 1 c  a  b   ab  4b   c  a  b  2b 2  c  a b ● 1  c  a  b   ● 1  c  a  b  2b  c  a  b   , mà c  a  suy  vô lí  Vậy: c  a, c  b c  a  b 3.2 Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn x 2019  y 2019  z 2019  Tìm giá trị lớn biểu thức: E  x  y2  z2 Lời giải Cách ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có đánh giá sau:  x 2019  x 2019  1     1  2019 x Dấu "  " xảy x  2017 so  y 2019  y 2019  1     1  2019 y Dấu "  " xảy y  2017 so  z 2019 z 2019  1     1  2019 z Dấu "  " xảy z  2017 so ● Khi đó:  x 2019 y 2019 x y z 3  z 2019   6051  2019  x  y  z        x  y2  z  Dấu "  " xảy x  y  z   Vậy E đạt giá trị lớn x  y  z  Cách ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có đánh giá sau: 2019 2019 2019  x 2019  1     1  673 x ; y 2019  1     1  673 y z 2019  1     1  673 z 672 so  x 2019 672 so  1     1  2019 x ; y 2019  1     1  2019 y z 2018 so ● Khi đó:  x 2019 y 672 so 2019     1  2019 z  1 2018 so 2019 z 2019 2018 so  2016  673  x  y  z 3 x       x 2019  y 2019  z 2019 3  y3  z  Dấu "  " xảy x  y  z  x y z 3  x 2019  y 2019  z 2019  6054  2019  x  y  z       x  yz 3 2019 2019 2019 Dấu "  " xảy x  y  z  COSI  x  y2  z  ● Suy  x  x  y  y  z  z   x  y  z     x3  x    x  y  z  Dấu "  " xảy   y  y      z  z  Vậy E đạt giá trị lớn x  y  z  Cách (Sử dụng BĐT HOLDER) ● Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có  x 2019  y 2019  z 2019  x 2019  y 2019  z 2019  32017   x  y  z  2019 x y z 3      32019   x  y  z   3  x  y2  z 2019 2019 2019 2019 Dấu xảy x  y  z   Vậy E đạt giá trị lớn x  y  z  Bài (4.0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M , N di động AM AN   Đặt AM  x AN  y Chứng minh rằng: hai đoạn thẳng AB, AC cho MB NC a) MN  x  y  xy b) MN  a  x  y c) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải  AM AN a  AN    1 1  x   x a x    AM AN  MB  NC  NC  ● Vì  1       x  y a MB NC  AN   AM  AM   y  a  y  y  a  MB  MB  NC Khơng tính tổng qt ta giả sử AM  AN Kẻ MH  AC hình vẽ bên AM Khi đó, ta có AH  AM cos 60  a) Áp dụng định lí PYTAGO, ta có:  MN  MH  HN  AM  AH   AN  AH   AM  AN  AN AH  AM  AN  AM AN  x  y  xy   x  y   xy  Vậy MN  x  y  xy   x  y   xy 1 b) Theo đề, ta có: AM AN AB AC  1 1  1   MB NC MB NC  a a  a  2a  x  y   3xy 2    a  a  x  y   a  3a  3a  x  y   xy  ax ay Thay 2 vào 1 ta được: MN   x  y   2a  x  y   a   x  y   2a  x  y   a  a  x  y  2  Vậy MN  a  x  y  a  x  y (vì x  y  a ) c) Gọi K , E trung điểm AB, AC D tâm đường tròn nội tiếp ABC Kẻ DI  MN  I  MN  Khi ta dễ dàng tính được: DK  DE  a a a ; MK   x ; NE   y 2 a a Ta có KM  NE   x   y  MN 2  ax  ay  xy  a a  x  y  2 KD.MK KE NE AH AN   ● SDMN  2SAKD  SMKD  SNED  SAMN  DK AK  2 2 DK MN AH AN a a x 3y a  x  y    DK AK     12 12 3   ax  ay  xy   a a  x  y   DK MN   a a  x  y  xy a     12 12  12 DI MN DK MN    DI  DK Suy DI bán kính đường tròn nội tiếp, mà  Do 2  MN tiếp tuyến đường tròn MN  DI  Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O  , gọi M trung điểm cạnh BC , H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A cạnh KM BC Tính diện tích tam giác ABC , biết OM  HK  AM  30 cm Lời giải ● Gọi D trung điểm AC Ta chứng minh AHB  MOD (3 cặp cạnh song song) AH AB      HG  2OG OM MD ● Gọi G giao điểm AM OH Ta chứng minh AGH  MGO  g  g  AG HG AH      AH  2OM GM GO OM ● Dễ dàng chứng minh tứ giác IMKH hình chữ nhật (hình bình hành có góc vng)  HO  KM   HO  4OM , suy 3OG  4OM  ● Áp dụng định lý PYTAGO tam giác vng OGM , ta có: AM 16 OM  OG  GM  OM  OM   5OM  AM   OM  cm 9 Khi OH  24 cm; AH  12 cm; AK  18 cm Ta có OC  OA  OH  AH  12 , từ tính BC  MC  OC OM  12 19  Vậy SABC  AK BC 18.12 19   108 19 cm  2 ... HOLDER, ta có  x 20 19  y 20 19  z 20 19  x 20 19  y 20 19  z 20 19  32017   x  y  z  20 19 x y z 3      320 19   x  y  z   3  x  y2  z 20 19 20 19 20 19 20 19 Dấu xảy...    x 20 19  y 20 19  z 20 19 3  y3  z  Dấu "  " xảy x  y  z  x y z 3  x 20 19  y 20 19  z 20 19  6054  20 19  x  y  z       x  yz 3 20 19 20 19 20 19 Dấu "  " xảy... 1     1  20 19 x ; y 20 19  1     1  20 19 y z 2018 so ● Khi đó:  x 20 19 y 672 so 20 19     1  20 19 z  1 2018 so 20 19 z 20 19 2018 so  2016 