Đại cương về dao động tử điều hòa

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ HOAN ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ HOAN ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Qua thời gian nghiên cứu làm việc, tơi hồn thành khóa luận Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, bảo cung cấp cho tài liệu quý báu suốt q trình tơi thực khóa luận Bên cạnh tơi nhận đƣợc góp ý chân thành thầy cô giáo khoa vật lý nói chung thầy giáo tổ vật lý lý thuyết nói riêng Ngồi ra, tơi xin gửi lời chúc tốt đẹp đến bố mẹ, gia đình bạn bè ln bên cạnh, giúp đỡ động viên tơi vƣợt qua khó khăn để hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng trình nghiên cứu nhƣng hẳn nhiều hạn chế Tơi mong nhận đƣợc góp ý q thầy bạn để đề tài đƣợc hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hoan LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp tơi hồn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo Trong q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận tơi có tham khảo tài liệu số tác giả ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu khố luận hồn tồn trung thực chƣa đƣợc cơng bố nơi khác Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hoan MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Cơ học lƣợng tử 1.2 Dao động tử điều hòa 1.3 Phƣơng trình Schrodinger 1.4 Kí hiệu ket-bra 1.5 Toán tử Hermite 1.6 Không gian Hilbert 11 CHƢƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 12 2.1 Đại số dao động tử điều hòa 12 2.2 Vector riêng, toán tử xung lƣợng hàm sóng dao động tử điều hòa 18 CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA 26 3.1 Bài tốn hàm sóng mức lƣợng dao động tử điều hòa26 3.2 Bài tốn trị trung bình đại lƣợng vật lý dao động tử điều hòa 34 KẾT LUẬN CHUNG 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ, HÌNH VẼ Hình 1.1 Dao động lắc đơn quanh vị trí cân Hình 1.2 Dao động lắc lò xo quanh vị trí cân Hình 1.3 Dao động ion xung quanh nút mạng tinh thể MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhƣ biết học lƣợng tử lý thuyết vật lý nghiên cứu vận động vật chất giới vi mô, hạt giới gọi vi hạt Vấn đề quy luật vận động vi hạt khơng tn theo quy luật cổ điển Chỉ có học lƣợng tử giải cách sâu sắc quy luật xác tƣợng Tuy nhiên, bên cạnh nội dung sở lý thuyết nhƣ tập vận dụng học lƣợng tử tƣơng đối phức tạp, có số tốn có lời giải xác cho phƣơng trình Schrodinger xác định trạng thái dừng nhƣ: Bài tốn hạt hố vng góc, dao động tử điều hòa tốn ngun tử hidro (chuyển động hạt trƣờng xuyên tâm) Nhƣng dao động tử điều hòa tốn nhất, có lời giải xác khơng cổ điển mà lƣợng tử tốn giải đƣợc xác lƣợng tử Khi tìm hiểu dao động tử điều hòa có nhiều đƣờng khác nhau, với lí trên, tơi chọn đề tài “Đại cƣơng dao động tử điều hòa” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ket-bra) số toán dao động tử điều hòa Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Cơ học lƣợng tử Phạm vi nghiên cứu: Đại cƣơng dao động tử điều hòa Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ketbra) số toán dao động tử điều hòa Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc, tra cứu tổng hợp tài liệu có liên quan Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc khóa luận gồm ba chƣơng: CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CHƢƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Cơ học lƣợng tử Cơ học lƣợng tử đƣợc hình thành vào nửa đầu kỷ XX từ đề xuất nhà khoa học Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli,… Cơ học lƣợng tử lý thuyết môn vật lý Cơ học lƣợng tử phần mở rộng bổ sung cho học cổ điển (hay gọi học Newton), sở nhiều ngành vật lý nhƣ vật lý chất rắn, vật lý hạt nhân hóa học nhƣ hóa lƣợng tử Khái niệm lƣợng tử dùng để số đại lƣợng vật lý nhƣ lƣợng không liên tục mà gián đoạn Cơ học lƣợng tử lý thuyết học, nghiên cứu chuyển động đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ xung lƣợng động vật chất nhỏ bé, thể rõ lƣỡng tính sóng-hạt Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định tính chất vật chất, mà học lƣợng tử đƣợc coi học Newton học lƣợng tử cho phép mơ tả xác nhiều tƣợng vật lý mà học Newton giải thích đƣợc nhƣ nguyên tử hay nhỏ hạ nguyên tử (proton, notron, electron hạt khác) Cơ học cổ điển giải thích đƣợc nguyên tử lại bền vững khơng thể giải thích đƣợc số tƣợng nhƣ siêu dẫn, siêu chảy Hầu hết tiên đoán học lƣợng tử đƣợc thực nghiệm chứng minh sau kỷ Cơ học lƣợng tử kết hợp chặt chẽ bốn loại tƣợng mà học cổ điển khơng tính đến, là: (i) việc lƣợng tử hóa số đại lƣợng vật lý, (ii) lƣỡng tính sóng hạt, (iii) vƣớng lƣợng tử, (iv) nguyên lý bất định Trong số trƣờng hợp, định luật học lƣợng tử định luật học cổ điển mức độ xác cao Cơ học lƣợng tử đƣợc kết hợp với thuyết tƣơng đối để tạo nên học lƣợng tử tƣơng đối tính đối lập với học lƣợng tử phi tƣơng đối tính (khi bỏ qua tính tƣơng đối chuyển động) Ta dùng khái niệm học lƣợng tử để hai loại Cơ học lƣợng tử đồng nghĩa với vật lý lƣợng tử Tuy nhiên, nhiều nhà khoa học coi học lƣợng tử có ý nghĩa nhƣ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính, nhƣ hẹp vật lý lƣợng tử Một số nhà vật lý cho học lƣợng tử cho ta mơ tả xác vật lý học hầu hết điều kiện khác Dƣờng nhƣ học lƣợng tử khơng lân cận hố đen xem xét vũ trụ nhƣ tồn thể Ở phạm vi học lƣợng tử lại mâu thuẫn với lý thuyết tƣơng đối rộng, lý thuyết hấp dẫn Vấn đề học lƣợng tử thuyết tƣơng đối rộng lĩnh vực nghiên cứu sơi Ngồi ra, số vấn đề học lƣợng tử đƣợc nghiên cứu 1.2 Dao động tử điều hòa Trong học cổ điển, dao động tử điều hòa hệ thống học thực dao động mà chuyển động mơ tả hàm số điều hòa thời gian, mà cụ thể thƣờng hàm sin cosin Năng lƣợng dao động tử điều hòa nhận giá trị liên tục tần số xạ trùng với tần số dao động học dao động tử điều hòa Ví dụ nhƣ dao động lắc đơn, dao động lắc lò xo quanh vị trí cân  2 với A=        = ip  Đặt: u   x    du   dx  p   A 2     dx  e  eu 2 du   du  thay vào (3.1), ta đƣợc: A   u e  e du  2  Áp dụng tích phân Poisson ta có:    e  x dx    Suy ra, hàm sóng mơ tả trạng thái dao động tử điều hòa px -biểu diễn là: ( p ) A   e 2  p   4 2      e 2     =  2 e  p2 4 2 Bài toán 2: Trong x -biểu diễn, dao động tử điều hòa trạng thái (n= 0) đƣợc mơ tả hàm sóng: m   m   ( x)   exp x        Tìm hàm sóng mơ tả trạng thái dao động tử điều hòa px -biểu diễn [1] Lời giải: Hàm sóng biểu diễn xung lƣợng đƣợc xác định công thức: 27  ( p )    p ( x). ( x)dx  ipx  ipx 1 * e =>  p ( x)  e đó:  p ( x)  2 2 m   m  x  Khi hạt trạng thái:  ( x)    exp      Ta có: (p)    ipx m   m  e  exp x  dx   2        ipx m   x    m     e   2     dx Đặt:  m => ( p )  ipx       x2   e dx   2        x     A = e   dx  2  (3.2)  2 với: A       ; = ip 2 Đặt  x    u => du = dx => dx = ( p ) = A 2    eu  du  Áp dụng tích phân Poisson ta có: du =     thay vào (3.2) ta đƣợc: A    u e  e du  2  e x dx    Suy ra, hàm sóng mơ tả trạng thái dao động tử điều hòa px -biểu diễn là: 28 ( p ) p A 2   4 2  e      e 2  2     =  e 2  p2 4 2 Bài tốn 3: a) Tìm hàm sóng vectơ tọa độ biểu diễn số hạt b) Tìm ma trận toán tử tọa độ xung lƣợng biểu diễn số hạt c) Tìm ma trận tốn tử Hamilton biểu diễn số hạt [3] Lời giải: a) Ta có: x  n n x n Do đó, hàm sóng tọa độ biểu diễn số hạt liên hợp phức hàm sóng số hạt biểu diễn tọa độ: nx  xn * Tuy nhiên, hàm thực, cho nên, hai hàm sóng trùng b) Cơ sở số hạt gián đoạn toán tử đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận Ví dụ: xˆ   xˆmn   m xˆ n Do toán tử tọa độ đƣợc diễn tả thơng qua tốn tử sinh hủy: xˆ   aˆ 2m   aˆ  ; pˆ  i Cho nên, ma trận chúng có dạng: 29 m  (aˆ  aˆ ) 0  1 xˆ  2m        ; pˆ  i    0  m  1 0          Tác động toán tử lên vectơ trạng thái, tích ma trận nói lên “vectơ cột” (tức hàm sóng) vectơ trạng thái đó: xˆ    n ,s 0  1 n n xˆ s s   2m                    0 0  m  1 0     pˆ    n n pˆ s s   i n,s                Do đó: n xˆ   n pˆ   i  n  n 1  n1    n  x n   n 1  m  2 m    n 1  n m   n1   n 1   i 2   m d d  n  i n d dx Điều có nghĩa toán tử tọa độ toán tử xung lƣợng biểu diễn số hạt thực chất có tác dụng giống nhƣ chúng biểu diễn tọa độ c) Tƣơng tự ta có: 1 1   m Hˆ n  m   n   n    n    mn 2 2   Nhƣ vậy, toán tử Hamilton ma trận chéo Khi đó: 30 1  n Hˆ     n   n 2  Bài toán 4: Cho hạt khối lƣợng m chuyển động trƣờng có dạng: U m k1 x  k2 y  k3 z   12 x  22 y  32 z   2 đƣợc gọi dao động tử điều hòa ba chiều Tìm phổ lƣợng hàm sóng tƣơng ứng dao động tử [3] Lời giải: Ta chọn biểu diễn tọa độ Khi đó, bảo tồn, phƣơng trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian có dạng:  2 2 2  m      12 x  22 y  32 z   E  2m  x y z  2 Tìm nghiệm dƣới dạng phân li biến số:   X  x Y  y  Z  z  Phƣơng trình trở thành: 2 X " m12   Y " m22   Z " m32     x    y    2m X   2m Y   2m Z  z   E 2       Trong phƣơng trình dấu phảy đạo hàm theo biến tƣơng ứng Do ngoặc đơn phụ thuộc vào biến, biến độc lập mà tổng số không đổi, cho nên, số hạng số E1 ,E2 , E3 , cho E1  E2  E3  E Thay số x, y, z, 1, 2, 3, hàm X ,Y, Z, đƣợc thay X i , đặt i  Ei i thay biến i  xi mi 31 đó, ta có: X i''   i  i2  X i  Nghiệm phƣơng trình là: 1/4  mi   mi   m2 x X i   n ( x)  e H x   , ni  1, 2,   n i ni !2n      i i i i i Với giá trị riêng Ei tƣơng ứng là: 1  Ei  i  ni   2  Nhƣ vậy, phổ lƣợng dao động tử điều hòa là: 1 1      E  E1  E2  E3  1  n1    2  n2    3  n3    2 2      Hàm sóng tƣơng ứng là:   x, y , z   1 n1 !n2 !n3 !2n  n  n  m1   H n  x1  Hn    m3123   2m  x  x  x    3  e   1/4  m2  x2    Hn  2  m3  x3  3    Bài toán 5: Sử dụng hệ thức bất định Heisenberg để xác định lƣợng cực tiểu dao động tử điều hòa chiều [1]? Lời giải: Toán tử Hamiton dao động tử điều hòa chiều xác định: Pˆx ˆ H  m xˆ 2m Năng lƣợng trung bình dao động tử điều hòa đƣợc xác định: Px2 EH   m x 2m 32 Giả sử dao động tử điều hòa trạng thái  n có:  x    n* xˆ n dx   d   Pˆx    n*  i  n dx  dx   Mà: x   x  x   x  xx  x  x  x 2 Px   Px  Px   Px  2Px Px  Px2  Px  Px2 Nên: x  x Px  Px Mặt khác: Px2 Px2 2 E  m x  m x 2m 2m Suy ra: E   Px2 x   Px2 x Có : P x  x 2 Nên: E  Ta có: E  E  E  E  E  E  E Suy ra: 33 E  E  Vậy lƣợng cực tiểu dao động tử điều hòa chiều sử dụng hệ thức bất định Heisenberg là: Emin   Px2 P2  m x  x  2x 2m m 3.2 Bài tốn trị trung bình đại lƣợng vật lý dao động tử điều hòa Bài tốn 6: Cho dao động tử điều hòa hệ trạng thái liên kết đƣợc định nghĩa bằng:  e   /2   n 0 n n! n Trong  số phức [3] a) Chứng minh rằng, trạng thái nói có chuẩn Chỉ rằng, chúng vectơ riêng toán tử hủy với giá trị riêng  b) Hãy tính giá trị trung bình N tốn tử số hạt Nˆ độ bất định N trạng thái Chứng minh rằng, N   , tỉ số N  N c) Giả sử vào thời điểm ban đầu, t  , dao động tử điều hòa trạng thái nói Tính xác suất để hệ nằm trạng thái t  Chứng tỏ rằng, vectơ trạng thái vectơ riêng toán tử hủy 34 với giá trị riêng phụ thuộc vào thời gian Hãy chứng tỏ giá trị trung bình N N không phụ thuộc vào thời gian Lời giải: a) Ta có:   e   *m  n   m , n 0 a  e   /2   n 0 n n! m n e m!n!     n n   e  n1   n 1     n  1! n 1 1 n! n 0   /2 b) Do Nˆ  aˆ  aˆ, ta có: N  N   aˆ  aˆ    ˆ ˆ  aˆ    N   aˆ  aa  2  aˆ  aˆ     ˆ ˆ   aa  2  1 Do đó:  N   Từ suy ra: N 1     N N c) Giả sử trạng thái thời điểm ban đầu      Trạng thái tiến triển theo thời gian trở thành   t  Các vectơ đƣợc khai triển theo hàm riêng toán tử số hạt hệ thức:        Cn n ,   t    C n e n n Trong đó, hệ số khai triển Cn đƣợc tính bằng: 35 i  En t n Cn  n   e n   /2 n! 1  Do En    n   , cho nên: 2   t    n int   t   exp i  e n  2 n n !    t     e it   exp i  n  2 n n !   n Do đó, biên độ xác suất để trạng thái ban đầu là:   t   e i t     e it  n n! n 2  it   exp      e it    t  2   t   exp i    sin t    sin  2    Từ suy ra, xác suất để dao động tử trạng thái cũ là:   t  t    exp 4  sin  2  Nhận thấy rằng:  it  t     e  aˆ   t   exp i    n n!  n n n   e  it   t  Điều có nghĩa vectơ   t  vectơ riêng aˆ tƣơng ứng với giá trị riêng eit phụ thuộc vào thời gian Do giá trị riêng chứa thời gian thơng qua hàm mũ có modul 1, cho nên, tính giá trị trung bình N N ta ln có tích giá trị riêng liên hợp phức nó, cho nên, kết khơng có thay đổi 36 Bài tốn 7: Cho biết hàm sóng dao động tử điều hòa chiều thời điểm ban đầu [3]:   x,0     x    x 3 1  đó,  n  x  hàm riêng tƣơng ứng với giá trị riêng En    n   2  a) Tìm   x, t  b) Tìm tính chẵn lẻ hàm sóng   x, t  Tính chẵn lẻ có thay đổi theo thời gian khơng? c) Tìm giá trị trung bình lƣợng trạng thái Nó có thay đổi theo thời gian khơng? Lời giải: a) Quy tắc tiến triển theo thời gian trạng thái dừng là:  n  x, t   e i  En t  n  x,0  Vì vậy: t 5 t i i 2   x, t     x  e    x  e 3 b) Do   x, t  phụ thuộc vào x thừa số ban đầu  ,  , cho nên, cho số chẵn, chúng có tính chẵn lẻ chẵn Vì vậy,   x, t  hàm chẵn Tính chẵn không phụ thuộc vào thời gian c) Giá trị trung bình lƣợng là:  E  H   *H dx Do tính trực giao hàm sóng trạng thái dừng, cho nên: 37 E 1  11      3  Giá trị không phụ thuộc vào thời gian Bài tốn 8: Hãy tính trị trung bình đại lƣợng x px dao động tử điều hòa chiều trạng thái [1]:   x  m  m  exp  x     với    x    Lời giải: Chuẩn hóa hàm   x  :  m        dx   * x x  m  exp  x  dx   Áp dụng tích phân Poisson ta có:   ax  e dx   a Suy ra: m     dx   * x x  m 1 Vậy hàm   x  đƣợc chuẩn hóa Ta sử dụng cơng thức sau để tính trị trung bình: F   *x  Fˆ  x  dx Ta có:  x   *x  xˆ  x  dx   38 m  m  x exp  x  dx     m  x  hàm lẻ nên x  Vì hàm f  x   x exp    Vậy x  p x    *x  Pˆ x   x  dx   i  im m m  m  exp x   i         d  m  exp  x  dx dx    m  m   m  exp x  x exp x  dx             m       m  x exp  x dx    m  x  hàm lẻ nên p x   Vì hàm f  x   x exp    Vậy p x   39 KẾT LUẬN CHUNG Về khóa luận hồn thành, q trình thực hiện, chúng tơi đạt đƣợc kết sau: Chúng tổng hợp đƣợc số khái niệm học lƣợng tử nhƣ học lƣợng tử, dao động tử điều hòa, phƣơng trình Schrodinger, kí hiệu ket-bra, tốn tử Hermite, khơng gian Hilbert Chúng tơi tìm hiểu đƣợc đại cƣơng dao động tử điều hòa theo ket-bra nhƣ đại số dao động tử điều hòa; vector riêng, tốn tử xung lƣợng hàm sóng dao động tử điều hòa Chúng tơi tổng hợp đƣợc số toán dao động tử điều hòa Trong q trình thực khóa luận, chúng tơi gặp số khó khăn vấn đề đọc dịch tài liệu tiếng anh với thời gian nghiên cứu hạn chế nên khóa luận đƣợc hồn thiện đƣợc góp ý, phản hồi từ thầy cô bạn sinh viên 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thái Hoa (2000), Cơ học lượng tử, NXB Đại học Sƣ phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Thị Nga (2009), Dao động tử điều hòa Các tốn dao động tử điều hòa, Khóa luận tốt nghiệp, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội [3] Phạm Thúc Tuyền (2011), Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Phạm Quý Tƣ, Đỗ Đình Thanh (2003), Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [5] Arno Bohm (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, New York 41 ... lƣợng tử 11 CHƢƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1 Đại số dao động tử điều hòa Trong phần ta đƣa dạng tốn học đại số dao động tử điều hòa Việc tìm tính chất tốn học đại số dao động tử điều hòa có... DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 12 2.1 Đại số dao động tử điều hòa 12 2.2 Vector riêng, toán tử xung lƣợng hàm sóng dao động tử điều hòa 18 CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO. .. lƣợng dao động tử điều hòa nhận giá trị liên tục tần số xạ trùng với tần số dao động học dao động tử điều hòa Ví dụ nhƣ dao động lắc đơn, dao động lắc lò xo quanh vị trí cân Hình 1.1 Dao động