Cuoc doi su nghiep cac nha toan hoc 2

Von Neumann là một thiên tài toán học, người đã đề xướng khái niệm chương trình được lưu trữ stored-program, tác giả của thiết kế máy IAS mà sau này đã trở thành kiểu mẫu cho máy tính th

Sau đây sẽ là mục lục những nhà Toán Học có trong topic này:

- Karl Theodor Wilhem WEIERSTRASS

- John NAPIER (NEPER)

- Georg Friedrich Bernhard RIEMANN

- Danh mục các nhà Toán học đạt Giải FIELDS (1936 - 1998)

- Ngô Bảo Châu (Giải thưởng Toán học Clay 2004)

- Joseph Louis LAGRANGE

- Christian Felix KLEIN

- HYPATIE

- Henri LEBESGUE

- János BOLYAI

- Jean LEROND D'ALEMBERT

- Jean - Baptiste Joseph FOURIER

- Gabriel CRAMER

- Dòng họ BERNOULLI

- Marin MERSENNE

- Giuseppe PEANO

- William Rowan HAMILTON

- Những nữ tiến sĩ Toán đầu tiên ở các Ðại học Bắc Mỹ

- Pierre Simon LAPLACE

- Brook TAYLOR

GS Nguyễn Cảnh Toàn - Tự học thành tài

Ông được Trung tâm Tiểu sử danh nhân của Mỹ (ABI) đánh giá là một trong những trí tuệ Việt Nam lớn nhất của thế kỉ XX Vị giáo sư toán học đáng kính năm nay đã bước vào tuổi 78 (ông sinh năm 1926), nhưng rất minh mẫn và tíchcực hoạt động khoa học Trò chuyện với ông, chúng tôi không khỏi kinh ngạc vềnăng lực tự học của ông - điều mà ngày nay hầu như học sinh, sinh viên của ta không có

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn quê ở Đô Lương (Nghệ An), một vùng quê có truyềnthống trọng học Cha ông là nhà nho, thi hương mãi không đỗ, lại gặp lúc bãi

bỏ khoa cử Hán học Cụ phẫn chí vì không thoả được ước nguyện đua tranh “bia

đá bảng vàng” nên dồn hết sự trông đợi vào con cái, bởi thế, nên cụ rất quan tâm tới việc học của các con Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn kể: cụ theo riết việc học của chúng tôi, hay so sánh với con nhà hàng xóm, cứ mỗi lần học là cụ lại ngồi gần đấy “theo dõi” Hồi đó, chúng tôi xếp thứ theo từng tháng, hễ tháng nào tôi kém là phiền với cụ, cụ dầy dà suốt (Chính vì thế mà sau này, cả bốn anh em nhà ông thì hai người là GS.TSKH, một người là GS.TS, một người là TS

Tuy vậy, khi học bậc tiểu học, cậu bé Nguyễn Cảnh Toàn cũng chỉ vào loại khá chứ chưa xuất sắc, chưa

tỏ ra có năng khiếu gì, chỉ một lần duy nhất cậu được tuyên dương môn… văn Tốt nghiệp tiểu học, cậulên học ở Quốc học Vinh bậc thành chung Thời gian này, năng khiếu về môn toán của cậu bộc lộ rất

rõ, bởi tính cậu hay tò mò, muốn hiểu cặn kẽ mọi vấn đề, nên khi học, cậu là người rất hay hỏi, nhiều khi không thoả mãn cậu tìm những sách tham khảo để đọc thêm Dần dần, cậu đã xếp thứ nhất trong lớp Hồi đó, Nguyễn Cảnh Toàn trọ học cùng một anh lớp trên, thấy anh này học toán có nhiều điều màlớp dưới chưa học đến, cậu thích lắm, lân la mượn sách xem, ấy thế chẳng mấy chốc cậu giải được cả những bài toán lớp trên Một lần cậu đi tàu hoả, bỗng nảy ý tò mò muốn tính vận tốc tàu ra sao Cậu nhìn ra những cột cây số bên đường, tính toán thời gian đi tiếp sang cột cây số khác là mấy phút, thế

là biết được vận tốc tàu Nhưng có những đoạn đường không có cột cây số thì làm thế nào mà tính được? Cậu để ý thấy mỗi khi bánh sắt tàu nghiến trên thanh ray, đến khoảng nối giữa hai thanh thì phát ra một tiếng “kịch”, cậu đo độ dài một thanh ray rồi đếm tiếng động trong một phút, vậy là biết vận tốc tàu… đại khái cứ tự mày mò như vậy mà cậu học môn toán rất giỏi GS, Nguyễn Cảnh Toàn kể,tôi học giỏi được còn là do thầy giáo Đinh Thành Chương rất quý tôi (thầy Chương dạy cả 4 môn toán,

lý, hoá, sinh) hễ thầy có quyển sách mới nào cũng gọi tôi đến cho mượn (thầy thường đặt mua sách bên Pháp) Tác động của việc này, theo tôi là lớn lắm, vì thầy cho mượn sách thì buộc mình phải đọc

kỹ, kẻo khi thầy hỏi còn biết đường trả lời Thầy Chương nhiều lần tuyên dương Toàn trước lớp rằng:

“Toàn không phải thần đồng, nhưng biết cách học, các trò phải theo gương Toàn”

Tốt nghiệp xuất sắc bậc thành chung, Nguyễn Cảnh Toàn vào Huế học tiếp bậc tú tài ở Quốc học Huế Hồi đó, bậc tú tài chia làm hai phần: học xong hai năm đầu, thi đậu gọi là tú tài bán phần, sau đó học tiếp một năm, thi đậu sẽ là tú tài toàn phần Năm thứ ba này, chỉ có hai phân ban là triết và toán Nghe nói học ở phân ban toán sẽ được học tới bẩy môn toán là Hình học; Số học; Lượng giác; Đại số;

Cơ học; Hình học hoạ hình; Thiên văn, Toàn thấy lạ lắm và háo hức muốn học ngay những môn đó xem sao Thế là Toàn nảy ý định “nhảy cóc” Những ngày nghỉ, cậu tự học chương trình của năm thứ hai, cuối năm đó, cậu đăng ký dự kỳ thi tú tài bán phần (hồi ấy quy chế dự thi rất thoáng, ai đủ khả năng cứ việc đăng ký, không cần học tuần tự từng lớp) Nguyễn Cảnh Toàn đã đỗ xuất sắc và vào học phân ban toán, năm sau cậu dễ dàng đỗ tú tài toàn phần, đó là năm 1944

Lúc này, Nguyễn Cảnh Toàn phải chịu một chút phiền phức nho nhỏ, bởi cậu muốn theo học Đại học khoa học, nhưng cha mẹ lại nhất quyết bắt cậu phải học đại học Luật, bởi các cụ nghĩ rằng học đại học khoa học sau này chỉ làm thầy giáo thôi, còn học luật ra trường là làm quan Chiều lòng cha mẹ, Nguyễn Cảnh Toàn đăng ký học luật (trường này chỉ cần ghi tên là được) nhưng vẫn lén thi vào đại họckhoa học (số 5 Lê Thánh Tông bây giờ) Đại học khoa học trước kia Pháp không mở ở Đông Dương, chỉ đến thế chiến II, khi con em người Pháp ở Đông Dương về Pháp học cũng không được nên chúng mới

mở bên ta, muốn học trường này, phải thi đỗ mới được vào Nguyễn Cảnh Toàn thi đỗ, nhưng mới học được 5 tháng thì Nhật đảo chính Pháp, trường đóng cửa, ông phải về quê Cách mạng tháng Tám, ông tham gia khởi nghĩa giành chính quyền ở địa phương, tích cực dạy truyền bá quốc ngữ Đến tháng 9/1946, Chính phủ ta mở lại trường đại học, ông lên Hà Nội học tiếp, vừa hay ĐH khoa học mở cuộc thichứng chỉ toán đại cương cho những người đã học xong năm thứ nhất Tuy ông mới học được năm tháng, nhưng đã tự học chương trình cả năm, nên ông ghi tên thi và đã đỗ thủ khoa Ông học tiếp hai chứng chỉ là Cơ học thuần lý và Vi phân tích phân, nhưng vừa được một tháng thì kháng chiến toàn quốc bùng nổ, trường lại tan tác, ông lại về quê tham gia công tác tuyên truyền kháng chiến

Năm 1947, Liên khu Bốn mở trường Trung học chuyên ban Huỳnh Thúc Kháng (ở Hà Tĩnh), nhà trường mời ông làm giáo viên môn toán, ông được dạy hẳn học sinh lớp thứ hai Sang năm sau, vì thiếu người nên ông được phân công dạy luôn lớp thứ ba (cuối cấp) Nhiều giáo viên trong trường lo ông không

đảm đương nổi, vì ông mới chỉ học đại học chưa đầy một năm, họ động viên: cậu đừng sợ, cứ giở sách toán của Bờ-ra-xê (Brachet) ra mà dạy (Brachet là thạc sỹ toán học, nguyên Giám đốc Nha học chính Đông Dương Các sách giáo khoa toán dạy cho học sinh Đông Dương hồi ấy đều do Brachet viết) Nguyễn Cảnh Toàn chỉ cười, thực ra ông rất muốn nhận dạy lớp cuối cấp để thử xem trình độ của mình.Ông chuẩn bị giáo án rất cẩn thận, chỉnh lý những chỗ dở trong sách của Brachet, (sách của Brachet dạy mang tính áp đặt mà không có chứng minh giải thích, các định nghĩa đưa ra cứ như từ trên trời rơi xuống) Chỉ sau ba tháng, ông đã nổi tiếng dạy giỏi ở Liên khu bốn Thiếu giáo viên nên ông còn nhận dạy cả môn… triết học Học trò của ông hồi này có nhiều người học giỏi và thành đạt như GS Nguyễn Đình Tứ, nguyên uỷ viên Bộ Chính trị, Trưởng Ban Khoa Giáo Trung ương Ông Tứ cũng học rất giỏi, được thầy Nguyễn Cảnh Toàn cho “nhảy cóc” một năm

Dạy ở trường Huỳnh Thúc Kháng đến năm 1949 thì Bộ Giáo dục mở cuộc thi tốt nghiệp đại học cho những sinh viên đang học dở dang thì bị chiến tranh phải tạm ngừng Đó có lẽ là cuộc thi “vô tiền khoáng hậu” ở Việt Nam ta, bởi vì, cả nước chỉ có một mình Nguyễn Cảnh Toàn dự thi Ba vị giám khảo

là Đặng Phúc Thông, Nguyễn Thúc Hào và Phó Đức Tố chấm cho một thí sinh Nguyễn Cảnh Toàn đã vượt qua tất cả các nội dung thi và đỗ Năm sau, ông được tín nhiệm mời làm giám khảo kỳ thi toán đại cương Kỳ thi này cũng chỉ có hai người thi là ông Hoàng Tuỵ và ông Nguyễn Văn Bàng Cả hai đều

đỗ, riêng ông Tuỵ đỗ loại giỏi

Năm 1951, ông được điều đi dạy đại học (là giáo viên phổ thông đầu tiên lên dạy đại học) Hồi ấy, trường đại học của Việt Nam gọi là Dục tài học hiệu đóng nhờ ở Nam Ninh (Trung Quốc) Dục tài học hiệu chỉ có hai khoa là Sư phạm cao cấp và Khoa học cơ bản Cả trường chỉ có 9 giáo viên dạy 127 sinhviên Đến năm 1954 giải phóng Thủ đô, Dục tài học hiệu chuyển về Hà Nội và tổ chức thành hai

trường: ĐH sư phạm khoa học tự nhiên và ĐH sư phạm khoa học xã hội Số lượng giáo viên vẫn rất ít, bởi thế, chủ trương của ta hồi ấy là chỉ đặt mục tiêu dạy học là chính, chứ không nghiên cứu khoa học Thầy giáo Nguyễn Cảnh Toàn là người đầu tiên xông vào nghiên cứu khoa học Ông lặng lẽ làm đề tài, khi có kết quả kha khá, ông báo cáo lên ông Lê Văn Thiêm là Hiệu phó, Chủ nhiệm khoa Toán, Tiến sỹ

ở Pháp về Ông Thiêm cho đem công trình ra báo cáo trước khoa, nhưng sau rồi đề tài cũng bỏ đó, bởi không ai biết đánh giá ra sao Năm 1957, Bộ Giáo dục cho 9 thầy giáo đi thực tập sinh ở Đại học Lômônôxôp (Liên Xô) trong đó có thầy Nguyễn Cảnh Toàn Ông Toàn nảy ý định đem đề tài của mình sang Liên Xô xem người ta đánh giá thế nào Vì chưa biết tiếng Nga, ông viết bằng tiếng Pháp Ông đưa cho một vị giáo sư toán học của Đại học Lômônôxôp xem, hai tháng sau ông này gặp Nguyễn Cảnh Toàn bảo: đề tài của anh rất tốt, xứng đáng làm luận án Phó Tiến sỹ Được sự hướng dẫn của vị giáo sư đó, ông viết lại luận án bằng tiếng Nga và đi báo cáo ở các trường đại học Ngày 24/6/1958, tạiĐại học Lômônôxôp đã diễn ra buổi bảo vệ đề tài PTS của một người Việt Nam đầu tiên Buổi bảo vệ đãthành công Về nước, ông làm chủ nhiệm Khoa toán của Đại học Sư phạm Vừa dạy học, ông lại tiếp tục nghiên cứu khoa học Năm 1963, ông đã viết xong luận án tiến sỹ, nhưng cũng như lần trước, ông không biết liệu công trình của mình có giá trị không Được ông Tạ Quang Bửu động viên rằng, cứ gửi sang Liên Xô để người ta thẩm định xem sao Ông gửi, thế là được mời sang bảo vệ Từ lúc gửi đến lúc bảo vệ thành công chỉ có ba tháng

Câu chuyện của chúng tôi còn dài dài Sợ ông mệt (ông vừa đi mổ mắt về), tôi xin phép ra về Ông dặn: Anh là nhà báo, phải làm sao tuyên truyền quảng bá mạnh cho sự tự học Lâu nay, chúng ta mất

sự tự học, do việc dạy thêm, học thêm tràn lan, xói mòn nội lực tự mày mò nghiên cứu Học trò bây giờ thụ động quá, đi học chỉ nhăm nhăm những nội dung thi cử, cái khác thì bỏ qua Cứ thế này thì nguy lắm, nước nhà sẽ chẳng bao giờ có đội ngũ khoa học sánh tầm với nước ngoài được

John Louis von Neumann

Von Neumann là một thiên tài toán học, người đã đề xướng khái niệm chương trình được lưu trữ

(stored-program), tác giả của thiết kế máy IAS mà sau này đã trở thành kiểu mẫu cho máy tính thế hệsau – kiến trúc von Neumann.Các máy tính thời kỳ đầu không lưu trữ chương trình bên trong bộ nhớ máy tính mà được đưa vŕo từ bên ngoài thông qua các thẻ đục lỗ

Von Neumann ngay từ nhỏ đă là một thiên tài Ông sinh ra trong một dòng họ ở Budapest, Hungary Lúc mới 6 tuổi, ông đã có thể tính nhẩm các phép chia các con số có 8 chữ số Từ nhỏ lúc ở Budapest, ông đă được giáo dục dưới sự giám sát của M Fekete lŕ người mà sau đó ông đă cùng hợp tác để công

bố bài báo đầu tiên của mình vào năm 18 tuổi Vào trường Ðại học Budapest vào năm 1921, ông nghiên cứu hóa học và nhận được văn bằng kỹ sư hóa học vŕo năm 1925 (sau hai lần dời cơ sở nghięn cứu sang Berlin và Zurich) Ông trở lại với niềm đam mê toán học ban đầu của mình sau khi hoàn tất luận văn Tiến sĩ vào năm 1928 Ông nhanh ****ng gây được danh tiếng trong lĩnh vực lý thuyết Tập hợp, Số học và Cơ lượng tử

Trong lúc tình hình chính trị tại trung Âu đang rối ren, ông được mời vŕo trường Ðại học Princeton vào năm 1930 Sau đó, vŕo năm 1933, khi Viện nghięn cứu IAS (Institute for Advanced Studies) được thŕnhlập, ông đă được bổ nhiệm lŕ một trong sáu giáo sư toán đầu tięn Sau này, khi chiến tranh thế giới thứhai kết thúc, do sự bảo trợ của Oskar Morganstern, von Neumann và KurtGudel đã trở thành công dân Hoa Kỳ vì cả hai ông đều không dính líu đến các hoạt động chiến tranh

Trong khoảng thời gian từ 1936 đến 1938, Alan Turing lŕ một sinh viên thuộc khoa Toán trường Ðại họcPrinceton và đang thực hiện luận văn tốt nghiệp của měnh dưới sự hướng dẫn của Alonzo Church Von Neumann mời Turing ở lại viện để lŕm phụ tá nhưng Turing lại thích trở lại Cambridge hơn Chuyện nàyxảy ra không lâu sau khi Turing công bố bài báo "On Computable Numbers with an Application to the Entscheidungs-problem" của ông liên quan đến bảng thiết kế logic của một chiếc máy tính công dụng chung vào năm 1934 Sự kiện nŕy đă đặt ra một câu hỏi lŕ liệu von Neumann đă từng biết đến ý tưởng của Turing vŕ áp dụng để thiết kế chiếc máy của IAS mười năm sau đó hay không

Mối quan tâm về máy tính của von Neumann tiến bộ hơn so với những người cùng thời khi ông nhanh

****ng nhận ra ứng dụng của máy tính là áp dụng toán để giải các vấn đề cụ thể, thay vě chỉ ứng dụng để phát triển các bảng tính Trong suốt thời chiến, kiến thức chuyęn gia của von Neumann về thủy động lực học, lý thuyết đạn đạo, lý thuyết trň chơi và thống kê đã giúp ích nhiều cho ông trong nhiều đề án khác nhau

Công việc này đã khiến ông xem xét đến việc sử dụng các thiết bị cơ khí để tính toán Dů những câu chuyện về von Neumann thường nói rằng chiếc máy tính đầu tięn ông tiếp xúc là ENIAC nhưng thực sự

đó lŕ chiếc máy tính Mark I của Howard Aiken tại trường Ðại học Harvard Các hoạt động của ông năm

1944 cũng cho thấy lŕ ông không chỉ quan tâm đến công việc của Aiken mŕ còn quan tâm đến các máy tính rờ-le điện từ của George Stibitz vŕ công việc của Jan Schilt tại phòng thí nghiệm máy tính tại trường Ðại học Columbia tại Watson

Những năm sau của chiến tranh thế giới thứ hai, von Neumann đóng vai trň cố vấn luật pháp, phục vụ trong một số hội đồng quốc gia, vŕ vận dụng tài năng thiên phú của mình khi ông nhanh ****ng tìm ragiải pháp của mọi vấn đề phức tạp nảy sinh trong tổ chức.Nhờ vào điều này, ông đã trở thành một mối nối quan trọng giữa các nhóm khoa học gia thời bấy giờ (hoạt động của các nhóm này được giữ tuyệt mật) Ông là người đã phối hợp được nhu cầu của phňng thí nghiệm quốc gia Los Alamos (và đề án Manhattan) với khả năng của những kỹ sư thế hệ đầu tięn tại khoa Ðiện tử của trường Ðại học Moore Chính những kỹ sư này đã xây dựng ENIAC và sau này trợ giúp chính ông xây dựng chiếc máy IAS Các

"siêu máy tính" được phòng thí nghiệm quốc gia xây dựng sau này là những bản sao của chiếc máy củaông

Sau chiến tranh, von Neumann chú tâm đến việc phát triển viện nghięn cứu máy tính IAS và các chi nhánh trên khắp thế giới Công việc của ông cùng với nhóm Los Alamos vẫn tiếp tục và ông tiếp tục nghiên cứu phát triển khả năng của máy tính nhằm đáp ứng các nhu cầu tính toán cho việc giải quyết nhiều bŕi toán năng lượng hạt nhân lięn quan đến bom hydro

Quan điểm của ông về kiến trúc máy tính đă dẫn đến kiến trúc hạ tầng máy tính rất nổi tiếng thường được gọi lŕ "kiến trúc von Neumann" Thông qua bảng báo cáo với đầu đề "First Draft of a Report on EDVAC" (năm 1945) được viết chủ yếu bởi von Neumann, ông đă giới thiệu với ngành công nghiệp lúc

đó những thành phần cơ bản của khái niệm chương trình máy tính Máy EDVAC được xem là máy tính

có chương trình đầu tiên Sau này, tại trường Ðại học Moore vào năm 1946, Maurice Wilkes cùng với phòng Thí nghiệm Toán học của trường Ðại học Cambridge đã thai nghén một thiết kế riêng của mình

về chiếc máy EDSAC, sau này trở thành một máy tính có chương trình được lưu trữ đầu tięn thực sự hoạt động hiệu quả

Vào những năm 1950, von Neumann được IBM mời lŕm tư vấn để xem xét tính khả thi của những đề

án kỹ thuật cao sắp được triển khai Cứ mỗi tuần một ngŕy, von Neumann tổ chức ra một "tòa án" tại

số 590 đường Madison Avenue, NewYork Vào năm 1954, trong một phiên làm việc, ông đã biết đến ý tưởng của ngôn ngữ FORTRAN

John Backus (tác giả FORTRAN) đă nhớ lại rằng lúc đó von Neumann không hề bị thu hút và ông hỏi

"tại sao anh lại muốn có nhiều ngôn ngữ máy?" Frank Beckman cũng có mặt lúc đó đă kể lại là von Neumann đã đề nghị hủy bỏ toàn bộ đề án vì "chẳng qua đó cũng chỉ là một ứng dụng của ý tưởng về

mã Turing rút gọn (Turing’s short code)"

Blaise Pascal (1623 - 1662) thần đồng Toán học

Máy tính Pascaline, 6 số

Blaise Pascal sinh tại Clermont Ferrand, miền Auvergne nước Pháp, ngày 19 tháng 6 năm 1623 Cha của Pascal, ông Etienne, trước kia là một luật gia tại thành phố Paris và vào lúc Pascal chào đời, ông là chánh án tòa Hộ tại Clermont Khi Pascal lên 3 tuổi, bà mẹ Antoinnette Bégan từ trần, để lại cho chồng

3 người con là Gilberte, Blaise và Jacqueline lúc đó đều còn quá nhỏ

Ngay từ khi mới tập nói, Pascal đã tỏ ra là một đứa trẻ có năng khiếu khác thường Lớn lên, Pascal thường hỏi người lớn những câu hỏi hắc búa và cậu cũng trả lời được những câu hỏi thật khó giải đáp Những điều này làm cho ông Etienne tin tưởng rằng con của ông là một thiên tài, vì vậy ông quyết địnhlấy cách giáo dục con Nguyên tắc của ông là luôn luôn khiến cho đứa trẻ làm các việc khó khăn hơn, tiến bộ hơn

Vào năm 1631, ông Etienne nhường chức vụ của mình cho người khác rồi dọn nhà lên thành phố Paris

để chăm sóc sự học vấn của con Ông tự đảm trách việc giáo huấn và vì vậy, Pascal không có thầy giáonào khác ngoài người cha thân yêu tài ba Cậu được dạy cách quan sát, suy tưởng và thường học được những kiến thức qua các cuộc đàm luận với cha Khởi đầu, ông Etienne quyết định dạy con tiếng La Tinh và Hy Lạp cho đến năm 12 tuổi, tuy nhiên trong các thời giờ nhàn rỗi, ông Etienne cũng kể cho con trai nghe các câu chuyện về Khoa Học nhưng những điều này không bao giờ làm cho Pascal thỏa mãn, cậu luôn luôn khao khát những lý lẽ cuối cùng của sự vật

Vì muốn con chuyên tâm về tiếng La Tinh và Hy Lạp là hai ngôn ngữ rất khó học, nên ông Etienne đã cất dấu tất cả những sách về Khoa Học và Toán Học Nhưng rồi một hôm, khi bước vào phòng, ông thấy con trai đang loay hoay dùng phấn chứng minh trên nền nhà định luật thứ nhất trong 32 định luậtcủa Euclide Sau khi nghe con thuật lại cách chứng minh, ông Etienne đã phải bỏ nhà, chạy sang nhà ông hàng xóm Le Pailleur để "khóc lên vì sung sướng"

Xưa nay, ông Etienne chưa từng dạy cho con học Toán bao giờ, vả lại định luật của Euclide đó là một bài toán rất khó đối với người lớn, không phải dành cho trẻ em 12 tuổi Pascal đã chứng minh được rằng tổng số các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông, đúng như Euclide đã từng phát biểu Cũng vì chưa từng học Hình Học, Pascal đã gọi đường tròn là "cái tròn" (un rond), đường thẳng là "cái thước kẻ" (une barre) Từ đây, Pascal mới được cha cho phép đọc các cuốn khái luận của Euclide Do tríthông minh sẵn có, Pascal đọc tới đâu, hiểu tới đó mà không cần một ai giảng giải Cậu còn giải được nhiều bài toán khó Sự tự tìm hiểu do ý thích đã khiến Pascal chẳng bao lâu trở thành một nhà toán học có hạng

Thời bấy giờ, ông Etienne thường gặp gỡ nhiều nhân vật danh tiếng về Khoa Học nên Pascal cũng đượctham dự vào các buổi hội thảo, cậu được làm quen với Cha Mersenne là một nhà bác học thời đó, cũng như với những nhà khoa học danh tiếng khác, chẳng hạn như Desargues, Fermat, Roberval Tại các buổi họp này, Pascal đã góp ý kiến về các tư tưởng, các lý luận, các lời phê phán những tác phẩm của các nhà bác học đương thời Cậu cũng trình bày những điều do mình khám phá

Theo phương pháp Hình Học của Desargues, Pascal đã hoàn thành cuốn "Khảo Sát về Thiết Diện Côníc"(Traité des sections coniques, 1640) khi chưa tới 16 tuổi Tác phẩm này bao gồm các công trình của Apollonius, nhưng đã được Pascal tự tìm ra và lại chứng minh bằng một phương pháp luận lý vừa đơn giản hơn, vừa tổng quát hơn Tác phẩm của Pascal đã khiến rất nhiều nhà toán học tài ba đương thời phải khâm phục, kể cả Cha Mersenne và Descartes, và ai cũng đồng ý rằng cuốn sách đó xứng đáng là

công trình của một bậc thầy chứ không phải là của một thiếu niên chưa đủ 16 tuổi Nhiều người đã thúc dục Pascal đưa in tác phẩm nhưng do lòng khiêm tốn, cậu đã từ chối vì vậy ngày ngay người ta chỉ còn lưu giữ được hai cuốn sách đầu tay của nhà thiên tài toán học Pascal.

Năm 1638, khi chính phủ Pháp ra lệnh giảm bớt lợi tức của Tòa Đô Chính Paris, một nhóm người đã đứng lên phản đối trong đó có người cha của Pascal Vì vậy ông Etienne bị Thủ Tướng Richelieu cho người theo dõi và phải trốn về miền Auvergne Lúc bấy giờ, Pascal 15 tuổi và cô em gái Jacqueline 13 Giống như anh trai, Jacqueline cũng nổi tiếng là một thần đồng về thơ văn Khi lên 11 tuổi, Jacqueline

đã sáng tác được một kịch thơ 5 hồi và tác phẩm thơ này đã được giới văn nghệ Paris ưa chuộng Rất nhiều người và ngay cả Thi Hào Corneille đều ưa thích đọc thơ của Jacqueline

Nhờ tài năng về Thơ Phú, Jacqueline được phép đóng kịch trước Hồng Y Giáo Chủ Richelieu Vị Thủ Tướng này đã không tiếc lời khen ngợi cô bé và hỏi thăm về gia cảnh Nhân lúc này, Jacqueline liền ngâm một bài thơ xin ân xá cho cha và Thủ Tướng đã nhận lời Ông Etienne nhờ vậy được phép trở lại Paris và lại được cử giữ chức vụ Giám Đốc Thuế Vụ miền Rouen Nhưng trách nhiệm này làm ông Etienne mệt mỏi vì sổ sách kế toán quá nhiều Để giúp đỡ cha, Pascal đã sáng chế ra một chiếc máy tính mà nguyên tắc của nó còn được áp dụng cho các loại máy tính tối tân ngày nay Phát minh này đã làm dang tiếng của Pascal vang lừng

Vào các năm trước, gia đình Pascal tuy ngoan đạo nhưng tôn giáo chưa được coi là quan trọng cho tới năm 1646, dòng tu khổ hạnh (Jansenism) của Cơ Đốc Giáo đã ảnh hưởng tới vùng Pascal cư ngụ Đây

là nhóm tôn giáo chủ trương do ông Cornelis Jansen, một giáo sư thần học gốc Hòa Lan, sống tại Louvain Các niềm tin của giáo phái này khác hẳn với các lời rao giảng của các giáo sĩ Dòng Tên (the Jesuites) Ông Etienne Pascal, do không ưa thích tôn giáo, nên đã mang gia đình dọn lên thành phố Paris Tới khi ông Etienne qua đời vào năm 1651, cô em gái Jacqueline của Pascal liền vào nhà tu tại Port Royal Do ảnh hưởng này, Pascal đã để tâm tới tôn giáo cũng như tới các vấn đề thần học

Cũng vào năm biết tới dòng tu Khổ Hạnh, Pascal đã thực hiện lại các thí nghiệm của Torricelli và phổ biến các điều khám phá của mình trong tác phẩm "Các thí nghiệm mới liên quan tới khoảng chân không" (Nouvelles expériences touchant le vide, 1647) Pascal đã dựa vào thí nghiệm rồi dùng lý luận, đánh đổ các quan niệm cổ xưa của Aristotle về chân không và ông cũng đưa ra những khám phá mới

về áp suất không khí Pascal đã tìm thấy kết luận rằng càng lên cao, áp suất của không khí càng giảm

đi Để kiểm chứng điều này, Pascal đã nhờ người anh rể là Florin Perier lên ngọn núi Puy-de-Dome thựchiện nhiều thí nghiệm cần thiết Các kết quả của Perier đã xác nhận lời tiên đoán của Pascal Do khám phá này của Pascal, các nhà khoa học đã chế tạo được các phong vũ biểu và các cao độ kế

Trong khi nghiên cứu các thí nghiệm của Torricelli, Pascal còn tìm cách tổng quát hóa những ý niệm về chất lỏng Ông đã thiết lập nhiều định luật về áp suất của chất lỏng để rồi phổ biến qua tác

phẩm :"Khảo sát sự cân bằng chất lỏng" (Traité de l 'équilibre des liqueurs) Cuốn sách này được hoàn thành vào năm 1651 nhưng mãi tới năm 1663 mới được xuất bản và căn cứ vào đó, nhiều nhà khoa học đã coi Pascal là một trong những người sáng lập ra môn Thủy Động Học (Hydrodynamics)

Sau khi người cha thân yêu qua đời, Pascal không chuyên tâm nhiều vào việc khảo cứu khoa học Ông thường giao du với nhiều người, nhất là Hầu Tước trẻ tuổi De Roannez và Hiệp Sĩ De Mere Chính trongthời kỳ này, ông đã chuyên đọc về Epictète và Montaigne Do sự đi lại với De Mere, Pascal đã lưu tâm tới lý thuyết toán học của cách đánh bài Ông bắt đầu nghiên cứu phép tính Sác Xuất (Probability) rồi vào năm 1654, đã phổ biến các kết quả qua các bức thư viết cho Fermat và qua cuốn "Khảo Sát về Tam Giác Số Học" (Traité du triangle arithmétique)

Cũng vào năm 1654, Pascal tới Port Royal thăm cô em gái Jacqueline đang sống trong tu viện Cuộc đi thăm này khiến cho Pascal cảm thấy "ghê tởm cực độ các sự giả dối của đời người" Sự bất toại nguyệncàng tăng thêm cho tới khi "đêm lửa" xẩy đến, làm thay đổi hẳn cuộc sống cũ của Pascal Chính vào đêm 23 tháng 11 năm 1654 đó, trong khi đang khảo cứu Toán Học, Pascal cảm thấy như được đối thoại cùng Thượng Đế trong hai tiếng đồng hồ Pascal thấy mình đã nhận lãnh một chức vụ thiêng liêng, rồi vì quá xúc động, ông nguyện hiến cả đời mình cho Thượng Đế và quyết tâm làm tỏ đức tin nơi Đấng Chí Tôn

Vào năm 1655, Antoine Arnauld, nhà thần học chính thức của Port Royal bị các nhà thần học Sorbone kết án, nhất là về lối tu khổ hạnh (Jansenism) đối với Chúa Cứu Thế Có lẽ do chính Arnauld khuyến

dụ, Pascal đã viết ra các bức thư Provinciales Lối hành văn cũng như cách tranh luận của Pascal qua tác phẩm này đã quyến rũ được dân chúng Paris, nhất là trong khoảng thời gian từ tháng Giêng năm

1656 tới tháng 4 năm 1657 Khi sống tại Port Royal, Pascal được mời viết cho nhà trường các bài giảng

về Hình Học, có lẽ vì lý do này, Pascal đã viết nên cuốn "Phương Pháp chứng minh Hình Học" (On Geometrial Demonstrations).

Thời còn thơ ấu, thể chất của Pascal rất mỏng manh, nên khi lớn lên, tình trạng sức khỏe của ông cũngkhông được khá Vào năm 1658, Pascal lại bị chứng đau răng hành hạ và vì muốn tìm quên nỗi đau nhức, Pascal quay ra làm Toán Ông nghiên cứu hình học Cycloide, là thứ hình học đang được Roberval

và các nhà toán học đương thời khảo sát Pascal đã tìm ra được nhiều tính chất quan trọng nhưng vì muốn chứng tỏ các điều khám phá của mình có thể giải đáp được nhiều bài toán hắc búa, Pascal đề nghị một cuộc thách đố vói các nhà toán học Nhiều người đã nhận lời trong đó có Wallis và Laouère, nhưng rồi chỉ có Pascal cho ra các kết quả hoàn toàn

Càng về cuối đời, Pascal càng sống khổ hạnh Sau khi đứa cháu của ông được cứu khỏi tại Port Royal

và được mọi người coi là một sự huyền diệu, Pascal chuyên tâm đọc sách và kiếm tài liệu để viết nên cuốn sách "Biện hộ cho Thiên Chúa Giáo" (Apology for the Christian Religion) mà sau này, tác phẩm đóđược phổ biến sau khi ông qua đời dưới tên là "Tư Tưởng" (Pensées)

Tháng 6 năm 1662, Pascal đem nốt căn nhà ở tặng cho một gia đình nghèo đang mắc bệnh đậu mùa Ông dọn tới ở nhờ người chị gái Gilberte Tại nơi này, Pascal bị ốm nặng và cơn bệnh còn hành hạ ông trong hai tháng Pascal qua đời vào ngày 19 tháng 8 năm đó, hưởng thọ 39 tuổi

Năm 1962, cả nước Pháp đã làm lễ kỷ niệm 300 năm ngày húy kỵ của Blaise Pascal, nhà bác học kiêm triết gia kiêm văn sĩ Để ghi nhớ bậc Vĩ Nhân Khoa Học này, người ta đã phát hành tem thư, tổ chức các buổi thuyết trình về Triết Học, Toán Học và Văn Chương Nhiều phòng triển lãm đã trưng bày các tác phẩm của Pascal cùng chiếc máy tính, phát minh lừng danh của ông Qua các bài diễn văn, các Viện Sĩ Louis de Broglie, Francois Mauriac đã ca ngợi Blaise Pascal là một thiên tài của Nhân Loại, đã mang cả cuộc đời phụng sự cho Khoa Học và Triết Học

Nha Hinh Hoc Euclide

Chúng ta biết rất ít về đời sống của Euclide Hình như ông dạy Toán ở Alexandrie thời Ptolémée 1er Ông là người sáng lập ra Trường Alexandrie đã ảnh hưởng đến những công trình của Archimède

Bù lại với sự hiểu biết ít ỏi về ông, lý thuyết của ông được biết và lập thành một phương hướng cho lịch

sử Toán học

Tác phẩm chính là quyển Những nguyên lý (Les éléments) Công trình này tượng trưng cho sự tổng hợp của những kết quả về Toán học Sách gồm 13 quyển Bốn quyển đầu giảng về Hình học phẳng với những khái niệm về các điểm, đường thẳng, và diện tích Ngoài ra cũng những bài diện tích các đa giácQuyển V nói về những khái niệm về phân tích Quyển VI bàn về sư giống nhau giữa các hình và đưa ra cách giải phương trình bậc hai nhờ hình học Các quyển VII, VIII và XI nói về Số học Quyển X giảng

về số vô tỉ (nombres irrationnels) và ba quyển cuối cùng giảng về hình học không gian

Quyển hệ luận Porismes được chia thành hai nhóm: nhóm các giả thiết (hypothèses) và nhóm các tiên

đề (axiomes) Trong số năm tiên đề có định đề (postulat) Euclide nổi tiếng: Trong mặt phẳng, qua mộtđiểm ngoài đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó mà thôi

Alan Mathison Turing

Alan Mathison Turing (1912-1954) nhà Toán học cha đẻ máy computer Colossus, phát minh

software

Turing là một trong những nhà khoa học lớn bị lãng quên của thế kỷ XX, cho dù ông là cha đẻ của các máy tính, hay ít nhất cũng là một phần lý thuyết của nó Sự đóng góp to lớn của ông quyết định cho sựchiến thắng của phe Đồng Minh trong Thế chiến thứ hai Nhưng có thể nhà cầm quyền nước Anh khuyến khích ông tự vận, vì những lý do tối mật, đã giấu tên ông?

Alan Turing sinh ngày 23 tháng 6 năm 1912 tại London Cha làm trong ngành thu thuế tại Ấn độ và mẹ

đi theo cha năm 1913, để lại bé Alan từ người giám hộ này tới người giám hộ khác trong các nội trú Alan không phải là một học trò giỏi Các giáo sư phê bình ông là học trò lơ đễnh Năm 15 tuổi, ông gặpChristopher Morton, và hai người bạn này đã cùng nhau trao đổi đam mê khoa học Sự liên hệ này hơi mập mờ giữa tình bạn và tình yêu Nhưng Christopher mất vào tháng hai năm 1930 đã làm Turing bối rối

Tuy vậy, ông cũng thi đậu vô trường King's College tại Cambridge Tại đây ông phát triển tài năng vì nhờ nơi này không ai chế nhạo sự đồng tính luyến ái và bề ngoài khác biệt của ông Tại trường, mỗi người giữ cá tính của riêng mình, ai sao mặc ai Alan tóc tai quần áo bê bối và thường không cạo râu, thích đạp xe đạp và đeo cái đồng hồ nơi thắt lưng để coi thời gian đạp xe và với một mặt nạ phòng khí độc đeo trên mặt để phòng dị ứng phấn hoa (hay fever) Ngoài việc chơi thể thao cấp cao (chạy bộ), Alan còn thích những công trình về cơ học lượng tử của John Von Neumann

Cho dù ông lập dị, nhưng khả năng toán học rực rỡ và những việc làm của ông thật đặc sắc Năm 1924Turing in một bài báo chứng tỏ rằng toán luôn chứa những trạng thái mà không thể chứng minh hay bị bắt bẻ Ngoài lý luận trên, ông dự tính một cái máy có thể tính bất cứ con số nào Cái máy đó bao gồmmột bộ phận điều khiển (control unit) và một bộ nhớ, có thể hoàn thiện nhiều thao tác cơ bản: đọc, viết hay xóa những ký hiệu trên băng (tape), và cho băng chạy tới hay chạy lui "Máy Turing" đơn giản này dùng làm mẫu cho các máy tính số sau này

Ông cũng thích môn sinh học, đặc biệt là mạng nối giữa các dây thần kinh Ông tự hỏi: "Tại sao các máy quá tài tình trong việc tính toán mà lại hạn chế sự mô phỏng những hành động tự nhiên giản dị nhất của người như đi, cầm cái ly )?"

Trước tuổi 30, ông đã tưởng tượng những căn bản cho một máy tính số (digital computer) tân kỳ và dẫn đầu về lý thuyết cơ bản cho thông minh nhân tạo (artificial intelligence)

Là người phát minh tư tưởng một cái máy vạn năng (universal machine) , tìm ra lý do quan trọng tại sao một máy tính có thể làm rất nhiều chuyện Tiếc thay Turing không còn sống để thấy sự tiến triển khổng lồ của ngành thông tin, máy tính Nhà toán học người Anh này sống trong hai thế giới khác nhau

Máy ColossusTrước công chúng, ông là một nhà toán học tài ba, đã giúp Thế giới đại chiến lần II thắng nhờ giải được các mã số của phe Đức Còn bên trong, Turing là một người nhát gan, hay mắc cỡ, lập dị

và bị đối xử tàn bạo do cách sống riêng biệt của ông đã đưa ông đến cái chết đau thương lúc 41 tuổi

Năm 1935, ông hiệu chính khái niệm một máy vạn năng để hình thức hóa khái niệm toán giải bằng algorithme Máy của Turing có khả năng cả một quá trình algorithme Những máy tính hiện đại là những thực hiện cụ thể máy của Turing

John von NeumannNăm 1936, Turing đến Princeton University, nơi này ông lấy bằng PhD Toán học và làm việc với nhà toán học người Mỹ gốc Hongrie là John von Neumann (1903-1957), nổi tiếng nhờ Cơ học Lượng tử Nhờ đó Turing học thêm về xác suất và logique

Turing trở về Anh quốc năm 1938 Liền sau đó ông vào quân đội Anh cho cuộc chiến tranh sắp đến Đầu Thế chiến thứ hai, quân đội Đức thắng nhiều trận vinh quang trên biển Một trong những chìa khóa của các chiến thắng đó là máy viết mật mã Enigma, một máy mã hóa điện từ, để giúp bộ tham mưu Đức truyền những thông điệp cho các tàu ngầm, những thông điệp mà phe các nước Đồng Minh không thể giải được Do đó quân đội Anh nhóm họp trong một nơi tối mật: cơ quan "bẻ mật mã" chuyên giải mật mã của máy Enigme của Đức Họ gồm 10.000 người thư ký, các nhà nghiên cứu và

ngay cả những người chơi đánh bài, nghĩa là làm tất cả mọi việc để hiểu cơ chế của máy Egnima Khối Đồng Minh cĩ được những sơ đồ của máy này từ đầu chiến tranh và muốn hiểu tin mật mã của Đức, nhưng họ khơng thành cơng.

Gordon Welchman Turing đến gặp của quân đội Anh tại Bletchley Park và đã giúp họ thiết kế máy tính Bombe, một máy tính rất nhanh cĩ thể giải mã nhanh chĩng bằng cách thử hàng ngàn code khác nhau Turing làm việc với một nhà tốn học khác, Gordon Welchman Trước khi chiến tranh chấm dứt, ơng đã cho ra đời một máy điện tử, máy Kolossus, dùng để giải mã tất cả những thơng điệp Đức

Sau chiến tranh, ơng trở về làm việc tại Automatic Digital Machine, một computer lớn tại University of Manchester và tin rằng giữa người và máy chỉ khác tí xíu về xử lý tín hiệu Ơng sáng chế ra máy TuringTest để đo khả năng nhận thức cảm nghĩ Turing đề nghị rằng một cái máy cĩ thể xem như nhận thức đuợc nếu như nĩ lừa được những người hỏi nĩ nếu như nĩ ở một phịng và nĩi chuyện với một người đĩ

ở phịng khác

Thiên tài của Turing được Churchill cơng nhận Churchill đã giao cho Turing nhiệm vụ làm một hệ thốngthơng tin tối mật để ơng liên lạc với tổng thống Roosevelt Nhân cơ hội đĩ, Turing qua Hoa kỳ và gặp Claude Shannon, người sáng lập ra thuyết Tin học và là người phát minh ra bit, 0-1

Cũng trong thời kỳ chiến tranh mà ơng hỏi cưới duy nhất một người: cơ Joan Clarke Cơ Joan dạy Turing đan áo Turing tặng cơ quyển Tess of Uberville, tác giả Thomas Hardy và thú thật rằng ơng cĩ biệt nhãn với người cùng phái Họ trở thành bạn của nhau từ đĩ Turing khơng muốn những người láng giềng thấy mặt và sợ dị ứng với phấn hoa nên thường đi xe đạp và mang mặt nạ chống khí độc của chiến tranh Cĩ khi ơng từ chối khơng ký tên lên thẻ kiểm tra chỉ vì trong hồ sơ cĩ ghi câu "Tất cả mọi hình thức viết tay đều bị cấm" Ơng viết: "Cái mà tơi thích khơng phải tạo ra bộ ĩc tài ba, mà chỉ cần một bộ ĩc ngu ngốc cỡ bộ ĩc của ơng chủ tịch hãng điện thoại American Telephone và hãng điện báo Telegraph Company"

Vì thất vọng, ơng đã ăn một trái táo cĩ tẩm cyanur và mất đúng ngày lễ Pentecơte 7 tháng 6 năm

1954 tại Wilmslow, England

Pierre de Fermat

Pierre de Ferma (1601-1665) nhà tốn học Pháp đã thách đố những bộ ĩc nhân loại trong

358 năm bằng định lý cuối cùng của ơng

1/ Tiểu sử:

Pierre Fermat sinh ngày 17 tháng 8, 1601 tại Beaumont-de-Lomagne thuộc Tarn-et-Garonne Xuất thân từ một gia đình thương gia khá giả, ơngtheo học ở Toulouse và cĩ cử nhân luật dân sự

Nguyên văn tờ khai sinh của Pierre:

« Pierre, fils de Dominique Fermat, Bourgoys et segont consul de la ville

de Beamont, a esté baptisé le 20 aỏt 1601, parrin Pierre Fermat, marchant et frère dudit Dominique, marrine Jeanne Cazeneuve, par moy Dumas vicaire »

Năm 1630 ơng làm cố vấn cho vua tại Phịng thỉnh cầu (Chambre des requêtes) tại Pháp viện

(Parlement) Toulouse và kể từ năm 1648 ơng được giữ những chức vụ quan trọng hơn tại Phịng hình

sự (Chambre criminelle) và Grand' Chambre Từ năm 1648 ơng trở thành hội viên Phịng Khiếu nại tại Castres (Chambre de l'Edit de Castres) mà vai trị là giải quyết những tranh chấp giữa những người Hồigiáo và Thiên chúa giáo

Andrew Wiles, người đã giải đáp định lý cuối cùng của Fermat, một thách đố đã làm bối rối biết bao bộ ĩc vĩ đại nhất của nhân loại trong suốt 358 năm

Chức vụ chánh án (magistrat) bảo đảm cho ông lương bổng dồi dào cùng với miếng đất 140 mẫu tây

để trồng trọt Và cũng nhờ chức vụ cao ở Pháp viện mà họ ông được thêm chữ "de" quí tộc và tên ông

từ đó là Pierre de Fermat

2/ Fermat không phải là nhà toán học chuyên nghiệp

Người ta đã biết nhiều đến Fermat qua việc làm cùng các công trình nghiên cứu của ông và sự giao dịch giữa ông với những nhà trí thức đồng thời với ông Vào thế kỷ thứ 17, đã có một sự phát triển nhanh chóng về khoa học và văn hóa, đưa đến nhiều phát minh trong đó có những khám phá của Fermat Tuy nhiên thế giới khoa học lúc đó chưa được tổ chức, và chưa có nghề chuyên về toán học Fermat cũng như những nhà thông thái đồng thời với ông khi đó, không phải là một nhà toán học chuyên nghiệp Phần lớn những người say mê toán học là những người ở trong ngành luật : Viète là một luật sư, Despagnet là nghị viên trong Nghị viện thành phố Bordeaux Còn Carcavi, con một chủ ngân hàng, đang mới vào làm nghị viên trong Nghị viện thành phố Toulouse Tại đây, Carvani đã làm quen với Fermat, và hai người đã trở thành bạn tâm giao suốt cuộc đời của họ Chỉ riêng có Roberval làngoại lệ mà thôi

Năm 1632, lần đầu tiên Fermat gặp Pierre de Carcavi, một cố vấn khác của Pháp viện Toulouse mà ông

đã chia sẻ niềm say mê tóan học Fermat đã cùng với Carvani và Mersenne giải những bài toán về sự rơi các vật mà Galilée đã đưa ra

Không phải lúc nào Fermat cũng luôn luôn đồng ý với René Descartes: Descartes giải bằng hình học còn Fermat đi trực tiếp bằng phương trình đại số để vẽ đường cong

Fermat đã có những công trình về toán giải tích dựa trên căn bản toán vi phân mà Isaac Newton (1643

; 1727) và Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) đã tiếp nối sau đó

Fermat đi sát tới khái niệm về đạo hàm để tìm điểm cực tiểu và cực đại cho những hàm số đa thức và phát triển phương pháp tích phân gần giống như cái mà chúng ta đang dùng hiện tại

Những hoạt động khoa học không chuyên nghiệp của ông làm ông được xem như một thiên tài lúc bấy giờ Ông yêu toán, thích chứng minh và đề nghị nhiều phương pháp mới mẻ Tuy nhiên ông chỉ trao đổithư từ với các nhà khoa học khác như Galilée (1564 ; 1642), René Descartes (1596 ; 1650), Blaise Pascal (1623 ; 1662) ou Marin Mersenne (1588 ; 1648)

Nhưng cái làm cho Fermat đam mê là những bài toán thời cổ đại Ông trình bày và phát triển các công trình số học của Pythagore thành Samos (-569 ; -475), Euclide thành Alexandrie (-320 ; -260),

Archimède thành Syracuse (-287 ; -212), Eudoxe thành Cnide (-408 ; -355) và Diophante của

Alexandrie (thế kỷ thứ 3 niên đại chúng ta) Chính trong tác phẩm của ông này mà Số học của Fermat chất chứa mọi nghiên cứu trên lý tghuyết các số Ông để lại nhiều đề toán chưa chưa chứng minh mà nhà toán học Leonhard Euler (1707 ; 1783) sẽ giải sau này Đặc biệt là giả định Fermat: Phương trình

xn + yn = zn không có nghiệm số với x, y, z >0 và n>2

Tác phẩm này Fermat viết và con trai ông đã in ra ngay sau khi ông mất

Tóm lại, Fermat là nhà đại toán học không chuyên nghiệp nhưng đã để lại cho nhân loại rất nhiều:

3/ Những công trình của Fermat

*** Tổng quát

Ông phát minh ra rất nhiều thuyết

Chúng ta chỉ biết về các công trình và những ý tưởng của ông nhờ những lời dẫn giải trong các tác phẩm của ông và rất nhiều thư từ ông đã viết cho các nhà bác học đồng thời với ông May thay,

Samuel-Clément Fermat đã ráng tìm giữ lại được những tài liệu đó Nên một phần tác phẩm của

Fermat đã được in ra vào cuối thế kỷ thứ 17, rồi tái bản vào thế kỷ thứ 19 Và đang dần dần tái bản trởlại

Khơng cĩ tác phẩm nào được in ra trong lúc Fermat cịn sống Người ta tìm lại được bài viết về hình học được ra mắt năm 1660, phụ bản của quyển viết về cyclọde và ký những chữ cái đứng đầu của tên ơng, do cha đạo Antoine de Laloubère in tại Toulouse.

Năm 1670, năm năm sau khi cha mất, Samuel Fermat cho ra mắt quyển Diophante của Bachet de Méziriac chính tay Pierre Fermat chú giải cùng với một số thư từ của ơng

Năm 1675 các kết quả của nghiên cứu của học được Christiaan Huygens (1629 ; 1695) in ra trong tác phẩm "De ratiociniis in ludo aleae"

Năm 1679, Samuel in ra dưới tựa đề Varia Opera Mathématica, những tác phẩm của cha mà ơng đã gom gĩp lại

Đầu thế kỷ thứ 19, người ta chép lại những bài viết của Fermat đã giữ lại được từ thời Marin Mersenne (1588 ; 1648) đem cất tại tu viện Minimes Paris Phải đợi cuối thế kỷ 19, hơn 230 năm sau khi ơng mất người ta mới tìm thất tất cả những tác phẩm của Fermat Mặc dù từ khi được tin ơng mất, những người cùng thời đã cĩ ý quan tâm đến sự lưu trữ những cơng trình nghiên cứu của ơng Như thư của Christiaan Huygens (1629 ; 1695) viết cho Pierre de Carcavi (1600-1684): "J'espère cependant qu'on

ne laissera pas perdre ce qu'il reste de ses écrits, et puis que vous avez toujours esté de ses intimes amis, je ne doute pas que vostre intervention auprès de ses héritiers ne soit de grande efficace pour tirer de l'obscurité de si excellentes reliques"

Năm 1843, bộ trưởng bộ văn hĩa cho ra một dự án in tồn bộ tác phẩm của Fermat bằng ngân quỹ nhà nước

Năm 1844, Guillaume Libri loan tin cĩ đọc thấy một bài báo trong tờ Journal des Savants ra năm 1839 viết rằng đã tìm thấy được một số thư từ của Fermat chưa từng xuất bản được bán tại Metz Guillaume Libri giao cho Théodore Despeyrous, một nhà tốn học trẻ tuổi đầy hứa hẹn, gốc tại Beaumont de Lomagne lo dự án in ấn các tác phẩm của Fermat Guillaume Libri đã kéo dài dự án cho tới năm 1848 người ta mới khám phá ra là ơng ta đã biển thủ, bán các tác phẩm và bản thảo viết tay của Fermat

1879, Charles Henry in ra một tác phẩm tựa đề "Nghiên cứu các bản thảo của Pierre de Fermat"

(Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat) Liền sau đĩ ơng nhận thư của ơng Hồng

Baldassare Boncompagni báo tin là ơng ta cĩ giữ hai bản thảo chứa những bài viết chưa hề được in củaFermat mà ơng sẵn sàng in ra

16 tháng 2, 1882, một đề nghị cho ra luật mới: các tác phẩm chuẩn bị in sẽ được giao phĩ cho Paul Tannery và Charles Henry, in ấn sẽ do nhà xuất bản Gauthier Villars

Năm 1896, cuối cùng các tác phẩm của Fermat đã được in ra thành 4 cuốn, nhờ đĩ mà các thế hệ sau tìm hiểu phần nào các cơng trình của ơng

http://www.cdg82.fr/beaumont/histoire/fermat/genie.htm

Như đã nĩi trên, Fermat đã viết rất nhiều Sau đây là một vài lý thuyết tượng trưng của ơng:

a) Lý thuyết số - Ơng cĩ sự đĩng gĩp thiết yếu cho Lý thuyết số

Fermat để lại nhiều định lý khơng chứng minh; Euler đã chứng minh một số lớn

Ơng nghiên cứu số học thâm cứu (arithmétiques approfondies)

b) Xác suất - Ơng là người tiên phong, trao đổi nhau qua thư từ với Blaise Pascal về Phép tính xác suất

"Trong trị chơi súc sắc, phải thảy bao nhiêu lần với 2 con súc sắc mới hy vọng cĩ hai mặt sáu?"

c) Hình học giải tích - Ơng xây dựng cùng lúc với Descartes ngành Hình học giải tích

* Sáng chế phương pháp toạ độ để định vị trí một điểm trong một mặt phẳng

* Quan niệm các đường cong như những quỹ tích các điểm (nghĩa là tổng hợp các điểm để xác định một đẳng thức.)

* Người đầu tiên khởi xướng phương pháp tổng quát để xác định các tiếp tuyến tới một đường cong phẳng

* Hợp nhất hai lãnh vực đại số và hình học

La nguoi mo dau cho phep tinh vi phan , ong co su dong

gop thiet yeu cho Ly thuyet so Sau cung , voi

Pascal , ong la nguoi xuat su cua Phep tinh xac suat

d) Toán vi phân - Là người mở đầu cho phép tính vi phân

e) Định lý nhỏ của Fermat

f) Định lý cuối cùng của Fermat:

Năm 1840, tất cả các giả định đều được chứng minh hay không đúng

Trừ một : giả định gọi là định lý lớn của Fermat đã được Andrew Wiles giải tháng 9 năm 1994

Bất cứ số nguyên tố nào có dạng 4n+1 là tổng của hai số bình phương (Được chứng minh bởi Euler)

Bất cứ số nào cũng tự phân tích ra thành 3 theo hình tam giác, 4 theo hình vuông, 5 theo hình ngũ giác

http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/Image926.gif

Thay vi tong so cac luy thua 4 , nen viet : tong cua

nhung luy thua bac 4

j) Tổng của những lũy thừa bậc 4

Đẳng thức s4 + t4 = 1 không có nghiệm số nguyên

2 Tất cả mọi người đều phải chết

Dùng lối phản chứng để chứng minh là "Socrate phải chết."

Muốn vậy, chúng ta giả sử ngược lại: "Socrate bất tử"

Mà bởi vì "Tất cả mọi người đều phải chết", như vậy "Socrate không phải là người" Nhưng điều này tráingược với giả thiết đầu là "Socrate là người"

Vậy thì giả sử khởi đầu "Socrate bất tử" là sai, ngược lại sẽ đúng: "Socrate phải chết"

http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/

5/ Sách dịch tiếng Việt về Định lý cuối cùng của Fermat được Andrew Wiles giải

Định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện về một thách đố đã từng làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại trong suốt 358 năm Một đề tài thu hút sự chú ý của người học Toán và mê Toán nay đã có câu trả lời Bạn sẽ càng thấy thú vị hơn vì được cùng tác giả quay ngược về lịch sử và đắm mình theo những dẫn dắt của sự tìm tòi, khám phá bí ẩn của lời giải, cũng như cuộc đời và sự nghiệp của các nhà toán học vĩ đại trên thế giới từ xưa đến nay

Đêmôcrit - nhà bác học toàn năng

Đêmôcrit sinh trưởng ở Apđerơ, một thành phố thực dân địa của Hi Lạp ở xứ Tơraxia, ven bờ phía Bắc của biển Êgiê.

Đêmôcrit là người đầu tiên giải thích cơ cấu của tự nhiên là nguyên tử Theo ông đó là những hạt nhỏ

mà mắt người không thấy được, không thể phân chia được nữa và sự vận động của các hạt là sự vận động của tự nhiên Ông nói rằng mọi hiện tượng trong vũ trụ đều là kết quả do sức hấp dẫn của các nguyên tử ảnh hưởng lẫn nhau mà sinh ra Ông cho rằng mọi biến động trong thế giới vật chất đều là những hiện tượng tự nhiên và hợp với quy luật

Đêmôcrit đã áp dụng học thuyết nguyên tử của mình vào toán học Ông cho rằng mọi đại lượng hình học đều gồm những đại lượng - ban đầu là những "nguyên tử hình học" Cống hiến của Đêmôcrit trong lịch sử toán học: ông là một trong những người đầu tiên nghiên cứu vấn đề thể tích và chủ trương sử dụng một phương pháp nghiên cứu toán học, mà sự phát triển tiếp theo của nó đã đưa đến việc sáng lập lý thuyết các đại lượng vô cùng bé

Đêmôcrit đã có nhiều công trình về khoa học tự nhiên Luận văn "Về bản chất con người của ông" có những kiến thức giải phẫu sinh lý con người rất có giá trị Ông đã thu nhập được những tài liệu phong

phú về động vật học và thực vật học Các Mác đánh giá Đêmôcrit là "trí thuệ vạn năng đầu tiên trong những người Hi Lạp".

Đêmôcrit là người không tin có thần thánh Ông bác bỏ nguồn gốc thần thánh của vũ trụ Ông cho bản chất của vạn vật là các nguyên tử và các khoảng chân không Ông cho nguồn gốc của những quan niệm tôn giáo là sự sợ hãi và dốt nát của con người Đêmôcrit đã giải quyết được những thiếu sót của các nhà duy vật trước ông và đã căn bản phê phán được học thuyết duy tâm cổ đại

Colin MACLAURIN

(Kilmodan 1698 - Edimbourg 1746)

Nhà Toán học người Scotland này từ thủơ nhỏ đã nổi tiếng thông minh: 11 tuổi đã là sinh viên Đại học Glasgow Tốt nghiệp Đại học khi mới 15 tuổi và đã bảo vệ Tiểu luận về Lý thuyết Trọng trường.Năm 19

tuổi MACLAURIN được bổ nhiệm làm giảng viên Marischall College ở Aberdeen, năm 21 tuổi ông cho xuất bản công trình nghiên cứu khoa học đầu tiên và được bầu vào Royal Society (Viện Hàn lâm Khoa học Anh) và chính trong thời kỳ này, MACLAURIN gặp được NEWTON Nam 27 tuổi MACLAURIN là cán

bộ giảng dạy Đại học Edimbourg và nhờ NEWTON giới thiệu, ông đươc hưởng lương chính thức rồi hai năm sau ông chính thức là Giáo sư bộ môn Thời bấy giờ tình hình chính trị ở Scotland rối ren, quân chống đối muốn chiếm thành phố, MACLAURIN tham gia chống lại, đào hào đắp luỹ, và khi thành phố lọt vào quân chống đối, ong bỏ trốn sang Anh và khi tình hình ổn định ông lại quay về quê cũ nhưng lúc bấy giờ sức khoẻ cạn kiệt dần nên ông qua đời năm ông 48 tuổi

Ông để lại tác phẩm nổi tiếng "Phép tính vi phân", trả lời đanh thép cho những ai chống đối phép tính

vi phân thời bấy giờ, nhất là Giám mục đồng thời là nhà Triết học người Ái Nhĩ Lan tên George

BERKELEY Nhung cũng giống như NEWTON, ông gắn bó chặt chẽ lý thuyết giải tích với cách biểu diễn bằng hình học, và nhờ đó mà hình thành khái niệm giới hạn Cũng chính trong tác phẩm

này ,MACLAURIN lần đầu tiên phát biểu công thức nổi tiếng, về sau mang tên ông và khẳng định rằng đây là một trường hợp đặc biệt của công thức TAYLOR (STIRLING đã phát biểu công thức này từ 1717).Ông cũng để lại nhiều kết quả về Hình học, nghiên cứu về các giao điểm của các đường cong đài

số, vì vậy cho nên người đời sau tôn vinh ông cùng BEZOUT là những người lát đường cho môn Hình học Đại số sau này Năm 1740, MACLAURIN cùng đứng tên với EULER và Daniel BERNOULLI trong một công trình nghiên cứu chung về hiện tượng thuỷ triều được giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học

CÔNG TRÌNH

-Geometrica organica, sive descriptio linearum curvarum universalis(1720)

-Treatise of Fluxions (1742)

* Công thức MACLAURIN: là công thức TAYLOR tại điểm 0

[Sơ lược về công thức TAYLOR]:

f(a+h)=k+hk'+(h²/2)k''+ trong đó k,k',k'' chỉ f'(a),f''(a)

TAYLOR tìm ra công thức này năm 1715 và dùng nó từ 1717 để tìm giá trị gần đúng của phương trình f(x) = 0 bằng cách chỉ dùng các số hạng có bậc bé hơn hay bằng 2, nhưng ông không quan tâm đến phần dư cũng như sự hội tụ của nó Tầm quan trọng của công thức TAYLOR được nhà Toán học nổi tiếng người Pháp LAGRANGE đánh giá cao năm 1772 và LAGRANGE cho rằng công thức TAYLOR là: nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân

* Định lý MACLAURIN-BEZOUT:

Hai đường cong đại số bậc n cắt nhau, nói chung tại n2 điểm

PYTHAGORE

1/ Số hoàn hảo (hay còn gọi là số hoàn chỉnh) là số bằng tổng các ước số của nó trừ chính nó

Có 2 công thức tìm số hoàn hảo :

- Khi tổng: 1 + 2 + 22 + + 2n = p là một số nguyên tố thì 2n.p là một số hoàn hảo (đây là quy tắc

do trường phái PYTHAGORE tìm ra)

- Một số nguyên tố có dạng 2n-1.(2n - 1) là một số hoàn hảo nếu như 2n - 1 là số nguyên tố (EUCLIDE

đã chứng minh quy tắc này và ghi lại nó trong tác phẩm nổi tiếng của mình Elements (Những

nguyên lý cơ bản) trong mệnh đề số 36 của tập IX)

VD: Các số hoàn hảo đầu tiên là 6, 28, 496, 8128

2/ Số bè bạn là hai số mà các ước số của số này có tổng bằng số kia và ngược lại

Một nhà thông thái thời cổ đại là Abu al Hassan THABIT IBN QURRA(826 - 901) đã khẳng định nếu a,

b, c là những số nguyên tố có dạng a = 3.2n - 1 ; b = 3.2n-1 - 1 ; c = 9.22n-1 - 1 thì 2nab va 2nc là hai số

bè bạn

Ông cho ngay ví dụ là hai số 284 và 220: 220 có các ước là 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 nhưng 1 +

2 + 4 + 5 + 1 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 220 và tương tự ngược lại

FERMAT theo công thức trên cũng cho hai số là 18416 = 24.1151 va 17296 = 24.23.47

DESCARTES cũng tìm ra 9437056 = 27.73727 va 9363584 = 27.191.383

DAVID HILBERT Nhà Toán học lớn của Đức

Konigsberg 1862 - Gottingen 1943

Nhà Toán học Đức David HILBERT đã từng sống qua thời niên thiếu ở Konigsberg,kết bạn với MINKOWSKI từ lúc còn ngồi ghế nhà

trường,và cũng chính ở thành phố quê hương này ông được bổ nhiệm dạy Đại học từ năm 22 tuổi rồi nhanh chóng nổi tiếng.Từ năm 1895 ông dạy ở Đại học Gottingen cho đến 1930 nhưng vẫn giữ đều liên lạc với thế giới toán học.Nhưng thời bấy giờ chủ nghĩa phát xít Hitler đã là một đám mây đen phủ lên bầu trời nước Đức.Các nhà Khoa học bạn bè của ông có nguồn gốc Do Thái,một số bị giết hại,một số bị chết dần ở trại tập trung,một số lánh nạn sang Hoa Kỳ hoặc một nơi nào đó.

HILBERT quan tâm đến hầu như tất cả các lĩnh vực của Toán học,lý thuyết cũng như ứng dụng.Nhưng ông chú ý nhieu đến Lý thuyết Số,Cơ sở Toán học,Lý thuyết Phương trình vi phân,Hình học,ngoài raông còn quan tâm đến Vật lý-Toán,đến bài toán ba vật thể.Nhưng đặc biệt là ông đã trình bày tại Hội nghị Toán học ở Paris(1900) 23 bài toán nổi tiếng,mà theo ông là những hướng nghiên cứu Toán học

lý thú cho các nhà Toán học thế giới ở thế kỷ XX.Hơn 100 năm trôi qua đã minh chứng cho ý kiến của HILBERT là đúng và một số những bài toán còn lại chưa có người giải được vẫn còn là nguồn "cảm hứng" cho các nhà Toán học thế

kỷ XXI! Nhưng HILBERT mở đầu cho sự nghiệp Toán học của đời mình bằng "Lý thuyết các bất biến" và

đó cũng là nội dung Luận án của ông.Trước HILBERT,các nhà Toán học CAYLEY và GORDAN cũng đã nhận xét rằng:trong mọi trường hợp,các bất biến là những đa thức của một số hữu hạn của

chúng.HILBERT tìm cách hình thức hoá kết quả này và đưa đến một bài toán về sự hữu hạn(problème

de finitude) trong các vành đa thức.HILBERT chứng tỏ rằng người ta có thể tìm được một số p các bất biến sao cho mọi bất biến là một đa thức của các bất biến nói trên.Tập các đa thức thích hợp tạo thànhmột idéal của vành cac đa thức có p bất định.Vấn đề còn lại là chứng tỏ rằng mọi idéal của một vành

đa thức trên một trường là có dạng hữu hạn.Lý thuyết các bất biến không còn nữa và trở nên một trường hợp riêng của việc khảo sát các vành đa thức.Có lần,HILBERT chứng minh lại những kết quả màGORDAN đã làm nhưng đơn giản và hay hơn đến nỗi GORDAN phải thốt lên:"Đây không còn là Toán học nữa mà là 'Thần học'",có lần GORDAN khoái chí:"Tôi hoàn toàn bị chinh phục rằng 'Thần học' đôi lúc cũng có lợi đấy chứ",và vì vốn khâm phục HILBERT từ trước nên GORDAN tiếp tục những công việc của HILBERT.HILBERT quay về Lý thuyết số.Năm 1893,ông đã đưa ra một chứng minh đơn giản rằng

cơ số e của logarithe Neper và π(pi) là 2 số siêu việt(số siêu việt là số mà nó không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào)dù rằng trước đó nhà Toán học người Pháp Charles HERMITE(1822-1901) đã chứng minh e là số siêu việt và Ferdinand LINDEMANN(1852-1939)người Đức đã chứng minh được đối với π(và từ kết quả này LINDEMANN chứng minh việc cầu phương một hình tròn là không làm được bằng thước và compas).Sau đó,HILBERT cũng chứng minh được conjecture(phỏng đoán) của WARING.Người ta còn biết ơn HILBERT về các conjectures(bài toán 7 và 9 trong 23 bài toán của

HILBERT đề xướng)đã mở đường cho TAKAGI,ARTIN,CHEVALLEY

HILBERT còn tổng quát hoá bài toán của DIRICHLET(bài toán 20).Phương pháp mà ông dùng năm

1900 đã mở đường cho một cách tiếp cận mới loại bài toán mới này,và chính COURANT là một trong những ngươi biết tận dụng.Năm 1901 HILBERT quay về Lý thuyết Phương trình tích phân và quan tâm nghiên cứu đến bài toán mà POINCARÉ đã đặt ra(bài toán 20) Ngay ở đó người ta cũng thấy manh nha nhiều phương pháp mới.HILBERT còn chứng minh lại những kết quả của FREDHOLM nhờ sự trực giao hoá các hệ phương trình.Ông đã tìm cách hình thức hoá cách tiến hành và nhờ Hình học Phi EUCLIDE gợi ý,ông đã đưa ra "những dạng toàn phương" có vô số số hạng.Điều này cần cho sự hội tụ của các bình phương của các thành phần.Ông còn có sáng kiến đưa ra khái niệm về sự "đầy đủ

hoá"(complétude) và để ý đến phổ các toán tử.Chính vì thế mà SCHMIDT và VON NEUMANN lấy lại ý kiến của ông để lâp nên Lý thuyết về các không gian HILBERT

Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học,HILBERT được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán học xây dựng Lý thuyết trên cơ sở Tiên đề,áp dụng vào các đối tượng và ý nghĩa được xem la thứ yếu(PEANO được xem là đồng minh tích cực của ông trong lĩnh vực này).Chính vì vậy mà HILBERT đã lập ra Hình học bằng một hệ Tiên đề.Ông đã bổ sung cho Hình học EUCLIDE những Tiên đề ẩn tàng(implicite).Để chứng minh cho sự cách biệt giữa thực tế vật lý của thế giới và sự Tiên đề hóa này,ông đưa ra ý nghĩ độc đáo rằng theo cách suy nghĩ và cách làm của ông thì ta có thể nghĩ:điểm có thể là một ly bia hay đường thẳng là một cái bàn; và như vậy thì khi Tiên đề được nghiệm đúng thí kết luận cũng sẽ đúng.Những định lý của GODEL đã cho một cú quyết định vào hy vọng của ông sáng tạo một lý thuyết mới bằng cách chứng tỏ sự phi mâu thuẫn của nó.Cả cuộc đời,HILBERT luôn quan tâm đến sự tổng quát hoá và không ngừng tìm ra phương pháp mới

để đưa thế giới Toán học tiến lên,vì vậy ông được giới Toán học tôn vinh là nhà Toán học của thế kỷ,có vai trò cơ bản trong sự nghiệp phát triển Toán học thế giới.

Hai mươi ba bài toán của David HILBERT(Bài toán đã có lời giải được đánh dấu * )

Ta nói gì về tính siêu việt của ab với a là đại số,b là vô tỷ khác 0?

- Bài toán 8:giả thiết RIEMANN

Tất cả các zéros ảo của hàm dzeta có một phần ảo là ½

- *Bài toán 9:

Cho A là vành các số nguyên của một trường đại số và J là một idéal nguyên tố của A.Với a thuộc A,ta

ký hiệu L(J/a) là số nghiệm của phương trình x²≡a(mod j) trừ đi 1.Đây là bài toán về tính nghịch đảo toàn phương,nghĩa là dáng điệu của L(J/a) phụ thuộc vào J

- *Bài toán 14:

Cho K là một trường,L là một sự nới rộng của K va M=K(X1 Xn).Ta giả sử rằng L con M.Giao

L∩K[X1 Xn] có phải là một Đại số hữu hạn không?

- *Bài toán 15:

Hãy cho một cơ sở chặt chẽ vào kết quả dùng tính liên tục trong những bài toán Hình có dạng: Tìm số đường thẳng của không gian gặp 4 đường thẳng cho trước? (Bài toán này ngày nay được nghiên cứu trong khuôn khổ của Hình học-Đại số)

Albert Einstein - Tôi học Toán để học Vật lí cho tốt

Ngày 29/5/1919, nhà vật lí học lỗi lạc của thế kỉ XX Albert Enstein dậy sớm hơn thường lệ Ông để đầu trần bước ra khu vườn yên tĩnh phía trước nhà Ông đi bách bộ khá lâu, chốc chốc lại đưa mắt nhìn lên trời và lẩm nhẩm điều gì.

Nhà bác học còn trẻ, mới bốn mươi tuổi nhưng tiếng tăm của ông đã vang dội khắp thế giới Ông là người đầu tiên xây dựng những cơ sở cho thuyết tương đối -một lí thuyết mở ra chân trời tươi sáng cho vật lí học hiện đại Tuy nhiên, những điều Enstein đã công bố không phải ai cũng tin Nhiều nhà vật lí nổi tiếng vẫn thường đặt những dấu hỏi lớn trên các trang báo của Enstein

Trước đó 6 năm Enstein viết về một công trình nhan đề "Về ảnh hưởng của trọngtrường đối với ánh sáng" Từ một vài giả thuyết ban đầu, bằng phương pháp tư duy toán học chặt chẽ, ông đã đi đến kết luận rằng khi ánh sáng đi ngang qua một thiên thể nào đó thì do sức hút của thiên thể đó, tia sáng sẽ bị cong đi Đối với Mặt Trới, Enstein cũng đã tính trước được góc lệch của tia sáng là 1,75 giây Nhưng tất cả những cái đó mới chỉ là lí thuyết, còn phải qua khâu kiểm tra bằng thực nghiệm nữa Việc kiểm tra giả thuyết này sẽ xác minh tính đúng đắn của những luận điểm cơ bản nhất của Enstein trong thuyết tương đối - một lí thuyết đang là trung tâm của các cuộc tranh luận trong giới khoa học thời đó Muốn kiểm tra được điều trên, người ta phải chờ đến lúc có nhật thực toàn phần, tức là lúc mà Mặt Trăng hoàn toàn che lấp Mặt Trời Và hôm nay 25/9/1919 sẽ có nhật thực toàn phần Hội khoa học Hoàng gia Anh đã cửhai đoàn khảo sát đi xác minh vấn đề này Một đoàn nhổ neo hướng về thành phố Xô-bran ở Brazil, đoàn thứ hai sẽ tiến hành đo góc lệch của ánh sáng trên đảo Pơ-ri-chip thuộc Tây Phi

Chưa hết, năm 1952, các nhà bác học Xô-viết đã tiến hành đo đạc lại với các dụng cụ tinh vi hơn, kết quả thu được lại càng gần với tính toán lí thuyết: 1,7 giây.

*************

Câu chuyện trên cho chúng ta thấy rằng toán học và vật lí học là hai người bạn đường Vật lí học nêu

ra những bài toán cho các nhà toán học giải quyết Và sau đó, những đáp số của các bài toán này lại được các nhà vật lí kiểm nghiệm qua thực tế, qua các thí nghiệm tinh vi Nhiều khi toán học cống hiến cho vật lí những kết quả rất bất ngờ, nó mở ra cả một hướng nghiên cứu mới cho vật lí Năm 1928 nhàvật lí học người Anh Đi-rắc đã giải một phương trình toán lí và tìm ra những "điện tử mang năng lượng âm" mà xưa nay các nhà vật lí cho rằng không thể có được Đi-rắc cũng cảm thấy băn khoăn Ông giải phương trình sai chăng? Không, ông đã kiểm tra lại nhiều lần rồi Lời giải của ông hoàn toàn đúng Chỉ còn một cách là thừa nhận rằng có tồn tại những "điện tử mang năng lượng âm" mà thôi Sau 7 năm lao động gian khổ, các nhà vật lí đã tìm ra được điện tử mang năng lượng âm này qua thực nghiệm -

đó chính là những hạt pô-di-tơ-rông Kết quả này đã giúp các nhà vật lí đi đến quan niệm phản vật chất - một quan niệm mới mẻ trong vật lí học hiện đại

Như vậy, muốn giỏi vật lí phải giỏi toán, thật giỏi là đằng khác Những nhà vật lí học lừng danh đều để lại những trang vẻ vang trong lịch sử toán học Nếu chúng ta nói rằng Ác-si-mét, Pascal, Newton, Enstein là những nhà vật lí học vĩ đại thì mới đúng có một nửa, họ còn là những nhà toán học xuất sắc nữa Pascal đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển lí thuyết tính toán Ông là ông

tổ của các máy tính số học Newton được coi là một trong hai người đầu tiên xây dựng các phép tính vi tích phân - một công cụ toán học có giá trị hết sức đặc biệt đối với các ngành khoa học khác

Nếu các bạn yêu mến môn vật lí thì ngay từ bây giờ các bạn hãy gắn bó với toán học, nó sẽ chẳng phụ công bạn đâu Còn nếu như toán học là sở thích, là niềm say mê của bạn thì bạn hãy cùng tham gia vớicác nhà vật lí học trẻ tuổi giải quyết các bài toán học búa của ngành đó

Tại sao không có giải NOBEL cho ngành Toán ?

Ở Thụy Điển nhiều người biết rằng, Alfred NOBEL và MITTAG-LEFFLER Magnus Gosta, có một thời hai nhà khoa học này cùng yêu say đắm một cô gái Nhưng không rõ vì lý do gì (vì hai chàng trai tài ba này đều là những nhà khoa học có tiếng tăm và NOBEL lại giàu nữa) mà

"người đẹp" lại dâng trọn quả tim mình cho nhà Toán học Khi viết di chúc để lại cho đời sau, lập Giải NOBEL để tuyên dương những nhà khoa học giỏi có ích cho đời, NOBEL nghĩ rằng nếu

có giải NOBEL về Toán thì chắc chắn MITTAG-LEFFLER sẽ đoạt giải Vì vậy NOBEL "lờ" đi không ghi Toán học vào danh mục các ngành Khoa học sẽ được nhận giải (mặc dù Toán học được tôn vinh là "Nữ hoàng của Khoa học") Tôn trọng tuyệt đối di chúc, nên ngày nay, không có giải NOBEL cho Toán học Để đền bù phần nào cho sự thiệt thòi này, người ta đã lập giải FIELDS (lấy tên nhà Toán học người Canada là John Charles FIELDS) tương đương với giải NOBEL Giải FIELDS được trao bắt đầu từ năm 1936.

Câu chuyện về việc giải phương trình bậc ba

Thời bấy giờ (khoảng thế kỷ XV-XVI), ở châu Âu và có lẽ trên thế giới, phương trình bậc ba đều được làm một cách mò mẫm, chưa có công thức giải tổng quát Nhưng có nguồn tin cho rằng một Giáo sư Toán trường Đại học Bologne (Ý) tên là Scipione del FERRO (1465-1526) đã biết cách giải phương trình

x3 + px = q, nhưng ông không hề công bố, người ta nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học trò ông là một nhà Toán học ít tài năng tên là Antonio Maria FIOR

Dù rằng có nguồn tin như vậy, Niccolo Fontana TARTAGLIA (1499-1557) vẫn tìm ra cách giải một cách độc lập Nhưng FIOR không tin, tìm cách giảm uy tín của TARTAGLIA bèn thách thức TARTAGLIA giải

30 phương trình bậc ba có dạng x3 + px = q Ngược lại, FIOR cũng nhận thách thức của TARTAGLIA là

sẽ giải những phương trình bậc ba do TARTAGLIA đề ra

Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng 2 năm 1535 là hạn cuối cùng của cuộc thi giữa TARTAGLIA và FIOR thì TARTAGLIA đã giải trọn vẹn 30 phương trình, trong khi đó FIOR chỉ giải được một phương trình thôi,

vì vậy chỉ sau vài giờ là TARTAGLIA đã thắng và lãnh giải thưởng là 30 bữa tiệc liên tiếp Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thưởng

Jerome CARDAN (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc ba trong trường hợptổng quát nhất Khi nghe tin TARTAGLIA thắng FIOR, CARDAN muốn gặp ngay TARTAGLIA

Tháng 3 năm 1539 nhân gặp TARTAGLIA ở Milan, CARDAN bèn nhờ TARTAGLIA bày cho mình cách giảitổng quát phương trình bậc ba CARDAN phải thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai "bí mật" và không công bố trên sách, báo chí Nhưng sau đó, CARDAN nghe loáng thoáng rằng Giáo sư Scipione del FERRO đã tìm ra cách giải trước TARTAGLIA nên CARDAN đã không giữ lời hứa của mình và cho

công bố trong tác phẩm của ông là Ars Magna (1545)

TARTAGLIA vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt CARDAN Và cuộc cãi vã này gần như không đến hồi kết thúc, mãi đến khi xuất hiện công trình nghiên cứu của Rafaele BOMBELLI (1526-1573) mới làm cho người ta quên đi cuộc đấu khẩu này vì lúc đó cả CARDAN và TARTAGLIA đều chưa biết số ảo là

gì Về sau, học trò của CARDAN là Ludovico FERRARI (1522-1560) đã tìm ra cách giải phương trình bậcbốn

Bây giờ, ta gọi công thức giải phương trình bậc ba là Công thức CARDAN-TARTAGLIA :

Ba nghiệm phức của phương trình x3 + px = q là x1 = u + v ; x2 = ju + j2v và x3 = j2u + jv trong đó j =

ei.2π = -½ + i√3/2 với u và v là 2 số phức có dạng :

sư phạm khi còn dạy Trung học

Những công trình đầu tiên của ông thuộc về các Tích phân elliptiques và Hàm ABEL Ông nghiên cứu một phương pháp xây dựng chặt chẽ các số thực từ năm 1863 nhưng mãi đến năm 1872 mới công bố

và người ta nghĩ rằng ông tranh thủ những ý tưởng của MÉRAY, CANTOR, DEDEKIND Ông xây dựng nhiều hàm số thực và phức mới từ các chuỗi nguyên và các tích vô tận (produits infinis) Muốn thực hiện ý tưởng đó ông đưa ra khái niệm hội tụ đều năm 1842 Năm 1846 ông đưa ra một ví dụ về hàm liên tục nhưng không khả vi Năm 1885, ông công bố định lý nổi tiếng của ông về xấp xỉ đa thức đều (approximation polynominale uniforme) cho một hàm số liên tục trên một đoạn, định lý này được một nhà Toán học Mỹ Marshall STONE tổng quát hoá năm 1937 trong trường hợp Hàm lấy giá trị thực hay phức liên tục trên một compact Karl WEIERSTRASS còn quan tâm đến Đại số tuyến tính là một ngành Toán học khá phát triển vào cuối thế kỷ XIX Chính ông là người đầu tiên đã định nghĩa định thức của một ma trận được xem như một đa thức đồng nhất (homogène), tuyến tính đối với mỗi hàng, mỗi cột, đổi dấu khi ta hoán vị hai cột và bằng 1 đối với hằng đẳng thức

Karl WEIERSTRASS được mệnh danh là cha đẻ của Giải tích hiện đại có lẽ vì ông yêu cầu tính chặt

chẽ rất cao Chính ongo là người đầu tiên định nghĩa sự liên tục bằng các epsilon WEIERSTRASS

thường ít công bố kết quả nghiên cứu của mình, nhưng người ta biết đến những kết quả ấy nhờ thông qua những bài giảng của ông do học trò ghi lại, và trong số học trò ông có những nhà Toán học xuất sắc sau này như LINDEMANN, HEINE

John NAPIER người phát minh ra logarithme

Edimbourg 1550 - Merchiston Castle 1617

Nhà Toán học và Thần học người Anh này được giới Toán học Pháp biết đến với cái tên là NEPER Năm lên 13 tuổi, NEPER đã được nhận vào trường Đại học Saint-Andrews nhưng ông không đậu được một

bằng cấp nào Sau đó ông đi chu du khắp nơi, rồi quay về xứ Ecosse và mất ở đó NEPER là một con

chiên ngoan đạo Tin Lành Ông có viết một tác phẩm nhan đề A plaine discovery of the whole

revelation of Saint John (1954) trong đó ông công kích Thiên Chúa giáo và cảnh tỉnh Nhà vua

JACQUES IV lúc đó là vua xứ Ecosse đang lăm le dựa vào sự ủng hộ của PHILIPPE II - lúc đó là vua TâyBan Nha, để giành ngôi Hoàng đế nước Anh Tác phẩm này được tái bản đến hơn 30 lần, và người ta nói rằng NEPER được nổi tiếng không phải nhờ Toán học mà chính là nhờ tác phẩm này

NEPER cũng có một số kết quả nghiên cứu về Lượng giác cầu Tuy vậy, điều làm chúng ta chú ý nhất làNEPER đã để lại cho đời sau một gia tài đáng kính nể: sự phát minh ra Logarithme nổi tiếng của ông Đây là kết quả miệt mài suy nghĩ của ông gần 20 năm Cái gì đã đưa đường cho ông đến phát minh kỳ diệu này ? Đó là một bài toán về Động học trong Vật Lý Ông tưởng tượng một chất điểm M chuyển động từ một điểm A và đoạn đường đi là AB mà ông chọn có độ dài là 107

Và vận tốc chất điểm đo bằng độ dài y = MB Một chất điểm thứ hai N chuyển động cùng lúc từ C với vận tốc đều và đi được độ dài cũng bằng 107 Gọi x là khoảng cách từ C đến N, NEPER gọi x là

logarithme của y Tính toán thì ta thấy x = -107ln(y/107) Về sau, NEPER nhận thấy nếu thời gian được lặp lại đều nhau, x sẽ tăng theo cấp số cộng và y sẽ tăng theo cấp số nhân NEPER công bố phát minh của mình năm 1614 và cho một bảng logarithme của sin các góc tăng từng phút một Nhà Toán học người Anh Henri BRIGGS phát hiện ngay tầm quan trọng của phát minh này: việc tính các số lớn từ nay sẽ dễ dàng nhờ bảng logarithme Ông bèn tìm gặp NEPER, gợi ý thay đổi chút ít thang số để chuyển về như ngày nay ta gọi là logarithme cơ số 10 Từ xưa đến nay chưa có phát minh Toán học nào được thế giới hưởng ứng nhanh như vậy và không biết bao nhiên bảng logarithme đã được hoàn chỉnh ngay sau khi NEPER mất Chính nhờ bảng logarithme mà việc nhân chia, khai căn đã tiến những bước dài Người ta nói rằng sự ra đời của logarithme đã "kéo dài tuổi thọ cho các nhà Toán học"

Georg Friedrich Bernhard RIEMANN

Hanovre 1826 - Selasca 1866

Ông là người Đức Cha ông là mục sư phái LUTHER, mặc dù đời sống đạm bạc nhưng vẫn cố gắng cho con ăn học tử tế Từ nhỏ cậu bé Bernhard RIEMANN rất dút dát, kém sức khoẻ, nhưng học rất giỏi Ban đầu RIEMANN học ở Đại học Berlin, về sau ông học ở Gottingen là trường Đại học nổi tiếng nhất nước Đức và là một trong những trung tâm nghiên cứu Khoa học lớn nhất loài người thời bấy giờ Ông bảo vệ Luận

án Tiến sĩ ở đó về Hàm biến phức Chính trong Luận án này người ta tìm

thấy các phương trình vi phân mà ngày nay người ta gọi là phương trình

CAUCHY - RIEMANN và các khái niệm về mặt RIEMANN Năm

1854 ông trở thành Phụ giáo không chính thức (Privatdozent) là một học hàm được Nhà nước công nhận nhưng không ăn lương tại Đại học Gottingen Ba năm sau thì ông được phong Phó Giáo sư và năm 1859 thì ông thay DIRICHLET để làm chủ nhiệm bộ môn mà trước đây GAUSS

đã phụ trách Nhưng thật đáng tiếc, ông bị lao màng phổi, phải sang điều trị tại miền Bắc nước Ý nhưng cũng không bớt, ông qua đời năm 40 tuổi.

Mặc dù sống không thọ nhưng ông đã để lại cho đời sau một gia tài kết quả nghiên cứu Toán học của ông thật đồ sộ thuộc nhiều ngành của Toán học Nhưng kết quả chính và rực rỡ của ông là về nghiên cứu các Mặt của Hình học vi phân và những Hình học Phi EUCLIDE Về Giải tích, ông góp phần định nghĩa Tích phân, xây dựng cơ sở của Giải tích, ông đạt nhiều kết quả về Phương trình vi phân, Lý thuyết số, Topo và các chuỗi Lượng giác

Người ta còn nhắc lại rằng trong Luận án của ông được bảo vệ năm 1851, RIEMANN nghiên cứu các hàm đa trị có biến phức (ví dụ f(z) = √z : với mỗi số phức trừ 0 có hai ảnh) Ông xác định một không

gian gồm nhiều mẩu (portions) chồng lên nhau của mặt phẳng phức nối liền nhau tại điểm mà các giá

trị của f trùng nhau (ở ví dụ trên là điểm 0) ; những điểm ấy được gọi là những điểm rẻ nhánh

(points de ramification) Trên mỗi mẫu ông xác định một ảnh duy nhất, ta gọi đó là một mặt

RIEMANN Để đơn giản việc nghiên cứu, ông dùng một quả cầu RIEMANN thay cho mặt phẳng phức Cũng trong Luận án của mình, RIEMANN nghiên cứu các hàm điều hoà, chứng minh công thức mà sau này ta gọi là công thức GREEN - RIEMANN, ông cũng quan tâm đến bài toán DIRICHLET và dùng mấy trang để chứng minh nguyên lý cực đại và nguyên lý thác triển Giải tích Ông còn chứng minh rằng nếucho trước hai mặt RIEMANN đơn liên thì bao giờ cũng tồn tại một phép biểu diễn bảo giác của mặt này

lên mặt kia Năm 1857, ông tổng quát hoá phép dựng các mặt RIEMANN qua các hệ thức P(z,z') = 0

trong đó P là một đa thức tối giản, điều này dẫn đến một hàm mà ta gọi là hàm đại số và ông nghiên

cứu các tích phân ABEL gắn liền với các hàm ấy

Vào thời đó, muốn trở thành Privatdozent ở Đại học gottingen, ứng cử viên (đã qua Tiến sĩ) phải trình thêm một hay nhiều kết quả nghiên cứu gọi là Habilitationsvortrag trước Hội đồng Khoa học Tuân

thủ quy chế đó, RIEMANN đã trình bày vào năm 1854 một nghiên cứu có tựa đề Những giả thiết

dùng làm cơ sở cho Hình học được Hội đồng Khoa học (GAUSS là Chủ Khảo) đánh giá có lẽ là hay nhất trong Lịch sử Toán học Vì sao vậy ? Thông thường, muốn xây dựng những Hình học Phi

EUCLIDE thì người ta phủ định Tiên đề 5 của EUCLIDE RIEMANN không theo đường mòn ấy mà đưa ra

ý kiến rất táo bạo, thời đó người ta tôn vinh rằng những ý kiến đó là rất cách mạng RIEMANN đã đưa

ra một metrique địa phương (métrique locale) bằng biểu thức của biến thiên cực nhỏ (variation

infinitésimale) của khoảng cách phụ thuộc hàm số vào biến thiên của tọa độ dưới dạng ds2 =

Σgijdxidxj trong đó (gij) là ma trận của một dạng toàn phương xác định dương, điều này tổng quát hoákhoảng cách EUCLIDE ds2 = Σdxi2 như mọi người đã quen RIEMANN tổng quát hoá khái niệm độ cong GAUSS và chứng tỏ rằng sự tồn tại của một nhóm dời hình tương ứng với một độ cong hằng Chính khái niệm mới này về Hình học đã giúp cho EINSTEIN tìm ra một khuôn khổ cho Lý thuyết Tươngđối sau này

Trong Habilitationsvortrag của mình ở Đại học Gottingen, RIEMANN nêu lên 3 vấn đề trong đó có

một vấn đề rất hay là khả năng thác triển một hàm tuần hoàn thành chuỗi Lượng giác Điều này dẫn ông đến việc khẳng định khái niệm hàm khả tích và tổng quát cho những hàm không liên tục

RIEMANN phát biểu rằng một hàm bị chặn là khả tích, nếu các tổng RIEMANN (nói theo ngôn ngữ ngàynay) của nó có một giới hạn khi những khoảng cách chia tiến đến 0, và giới hạn này chính là tích phân của hàm Ông đã chứng tỏ rằng các hàm đơn điệu là khả tích và cho một ví dụ về hàm khả tích có vô

số điểm gián đoạn RIEMANN cũng cho định nghĩa về tích phân suy rộng như chúng ta ngày nay hay dùng Ông còn chứng minh rằng các hệ số FOURIER của một hàm khả tích tiến về 0 (bổ đề RIEMANN -

LEBESGUE) và cho một điều kiện cần và đủ để cho một chuỗi Lượng giác Σ(ancos nx + bnsin nx) hội

tụ khi các dãy (an) , (bn) hội tụ về 0 Ông đã chỉ ra một ví dụ minh họa rằng một hàm khả tích có thể không có thác triển theo chuỗi FOURIER nhưng ông chưa tìm ra được điều kiện cần và đủ để tồn tại một thác triển như thế

Trong những công trình đã hoàn thành năm 1859, người ta thấy RIEMANN có quan tâm đến Lý thuyết

số EULER đã từng nhận xét những mối quan hệ giữa các hàm dzeta và các số nguyên tố RIEMANN đã tổng quát hóa hàm số này cho biến phức, và có ý muốn chứng minh một phỏng đoán (conjecture) của TCHEBYCHEV về sự phân bố các số nguyên tố Để thực hiện việc đó RIEMANN nghiên cứu các zéros phức của hàm nói trên, ông đưa ra giả thiết mà ngày nay người ta gọi là giả thiết RIEMANN (conjectureRIEMANN)- được David HILBERT lấy lại để đưa vào bài toán số 8 trong số 23 bài toán của mình (hiện nay hình như vẫn chưa ai giải được, trước 1996 thì chưa ai giải được, cho đến nay thì chưa thấy ở đâu công bố chính xác cả), và RIEMANN cũng chưa có ý kiến gì thêm về conjecture của TCHEBYCHEV Nhìnvào những kết quả ông đạt được người ta dễ nghĩ sai rằng ông là nhà Toán học thuần túy Thực ra nguồn cảm hứng của ông đưa ông đến những phát minh nổi tiếng về Hình học thường do bắt nguồn từ thế giới Vật Lý Cho nên chúng ta cũng sẽ không lấy làm lạ khi biết ông bên cạnh Toán học còn nghiên cứu về Lý thuyết Nhiệt, Ánh sáng, các chất khí, Từ học và Động học chất lỏng

Francois VIÈTE

(Fontenay-le-Comte 1540 - Paris 1603)

Nhà Toán học Pháp này nguyên là sinh viên Khoa Luật trường Đại học Poitiers và tốt nghiệp vào năm

1560 Nhưng ông lại quan tâm đến môn Thiên văn và đã viết một quyển sách có tựa đề Những

nguyên lý Vũ trụ học Ông hành nghề Pháp lý, ban đầu là Cố vấn cho Hội đồng Quản hạt Bretagne,

rồi làm Luật sư ở Paris Năm 1589, vua Henri III gọi ông về làm Cố vấn cho Hội đồng Quản hạt Tours Năm 1594 ông về lại Paris, phò tá cho vua Henri IV rồi năm 1597 ông lại về Fontenay-le-Comte.

Lợi dụng những lúc nhàn rỗi, ông nghiên cứu Toán học, tuy vậy người đương thời xem ông là nhà Toán học lớn vì ông đã có công cải cách, sáng tạo nhiều trong lĩnh vực Toán học Ông là người đầu tiên đề raviệc dùng các nguyên âm để chỉ lượng chưa biết và dùng phụ âm để chỉ lượng đã biết Thời ấy việc dùng ký hiệu Toán học còn nặng nề lôi thôi Lấy ví dụ: ngày nay người ta viết bx2 + dx = c Nhưng nhờVIÈTE cải cách, nên thời đó người ta viết BA2 + DA = C Nếu không thì viết B in A Quadratum plus D

plano in A aequari C solido VIÈTE đã biết dùng các dấu + và - Ông còn phản đối việc dùng hệ lục

thập phân Ông còn đưa ra một phương pháp giải các phương trình bậc 3 và ông thiết lập được mối quan hệ giữa hệ số và nghiệm, nhưng phương pháp của ông còn hạn chế ở chỗ ông chỉ xét những nghiệm dương mà thôi Ngày nay, học sinh hay sinh viên Việt Nam và trên thế giới không ai mà không

biết đến định lý nổi tiếng của ông về tổng và tích các nghiệm phương trình - định lý VIÈTE Năm

1593, nhà Toán học Hà Lan Adriaen VAN ROOME (1561 - 1615) thường được giới Toán học biết đến dưới cái tên ROMANUS đã thách thức các nhà Toán học đương thời hãy giải phương trình sau : x45 - 45x43 + 945x41 + - 3795x3 + 45x = K Đại sứ Hà Lan bên cạnh vua Pháp Henri IV nghĩ rằng không một nhà Toán học Pháp nào giải nổi VIÈTE được tiến cử là nhà Toán học Pháp có thể bảo vệ được danh

dự cho đất nước VIÈTE đã tìm ra được 23 nghiệm dương khi đặt K = sin(45t) và x = 2sint Rất khâm phục tài trí của nhà Toán học Pháp, ROMANUS xin gặp bằng được VIÈTE, từ đó họ thành đôi bạn tâm giao Ngoài ra VIÈTE còn đạt được một số kết quả về Lượng giác (ví dụ ông tìm được biểu thức của cos(nx) và sin(nx) như là những đa thức của cosx và sinx Để có được kết quả này ông đã dùng nhữngphương pháp dựng rất phức tạp trên các tam giác chữ nhật

Augustin - Louis CAUCHY

16 tuổi Khi đã trở thành kỹ sư quân sự, CAUCHY làm việc ở pháo đài cảng Cherbourg thời nước Pháp

bị phong tỏa Tuy vậy, CAUCHY vẫn dành thì giờ nghiên cứu Toán Ông vẫn trao đổi với LAGRANGE về vấn đề hình đa diện (số cạnh, số mặt, số đỉnh) Khi CAUCHY trở về Paris, LAGRANGE khuyên ông nên

đi hẳn về Toán Năm 1816 ông được bổ nhiệm làm Giáo sư trường Đại học Khoa học Paris, trường Đại học Bách khoa và Collège de France (Học viện cao cấp của nước Pháp) Cùng năm ấy ông được cử vào Viện hàn lâm Khoa học Pháp thay cho MONGE bị thôi việc vì lý do chính trị Thời bấy giờ có sự biến động trong cung đình vua chúa nước Pháp Có sự tranh giành ngôi thứ Dòng chính Bourbons bị phế vàDòng Orléans lên thay, vua Louis-Philippe không được xem là chính thống nên bị những người theo phái chính thống không phục CAUCHY là môn đồ trung thành của phái chính thống nên bị bắt buộc phải trung thành với vua Louis-Philippe vừa lên ngôi Trường Đại học Turin của Ý nhân dịp này mời ôngđảm nhiệm chức Chủ nhiệm Bộ môn Vật lý - Toán của trường (là bộ môn lập nên cho riêng CAUCHY dạy) Nhưng ông nhậm chức không lâu Năm 1833 ông từ biệt nó để sang Prague (Tiệp) gặp Bá tước CHAMBORD, cũng là một môn đồ của phái chính thống bị lưu đày ở đó Ông giúp Bá tước chăm lo việc giáo dục Năm 1838 ông được phục hồi chức Giáo sư trường Đại học Bách khoa và ông dạy ở đó cho đến khi mất Bạn bè thường phật ý vì ông quá bên vực cho ý tưởng chính thông của ông Công trình

nghiên cứu của CAUCHY thật đồ sộ, nhất là về Giải tích Chính ông là một trong những người góp

phần quan trọng làm cho môn Giải tích Toán học có bộ mặt đẹp đẽ như ngày nay Nhưng thực ra trong

các lĩnh vực của Toán học, gần như ở đâu cũng có sự đóng góp quan trọng của ông, đặc biệt là Hàm

chỉnh hình, Phương trình vi phân, Lý thuyết nhóm và Đại số tuyến tính Về Vật lý, ông đặt cơ sở

Toán học cho Lý thuyết đàn hồi và ông có công trình đang còn ở dạng mới phác thảo, chưa chắc chắn

Do RUFFINI và LAGRANGE gợi ý, nên năm 1815, trong một công trình quan trọng của ông về các

nhóm thế (groupes de substitutions) ông chứng minh rằng chỉ số của một nhóm con của nhóm đối

xứng ζn là 1 hoặc 2, hoặc bằng số nguyên tố lớn nhất bé hơn hay bằng n Năm 1846, ông trở lại Lý thuyết phương trình mà những kết quả của GALOIS chưa được biết đến Ông chứng minh rằng mọi nhóm con của phép thế mà chỉ số chia hết cho một số nguyên tố p chứa ít nhất một nhóm con bậc p Ông còn đưa ra một định nghĩa của trường các số phức bằng các lớp tương đương của các đa thức có

hệ số thực modulo X2 + 1

CAUCHY là người đầu tiên đưa ra Lý thuyết về Định thức một cách có hệ thống và khá hiện đại Ông cảitiến phương pháp của LAPLACE về phép tính các định thức Ông cũng quan tâm đến viẹc giản ước các dạng toàn phương 3 biến (1826) và chứng tỏ rằng phương trình đặc trưng (ngày nay ta gọi là đa thức đặc trưng) phối hợp là bất biến qua phép thay đổi cơ sở trực chuẩn (base orthonormale) và chứng tỏ

rằng mọi định thức thực đối xứng có nghiệm đặc trưng hực Năm 1826 CAUCHY đưa ra định nghĩa định thức đồng dạng và chứng tỏ rằng chúng có cùng nghiệm đặc trưng Ông cũng có công trình về chùm dạng toàn phương Nhưng cuối cùng thì ở lĩnh vực Giải tích Toán học ông vẫn nổi tiếng hơn cả Luôn luôn quan tâm đến vấn đề chặt chẽ hóa trong môn học này, ông đưa ra khái niệm chính xác về liên tục

và tích phân Mặc dù ông luôn tìm cách chính xác hóa khái niệm hội tụ nhưng ông vẫn chưa để ý đến khái niệm liên tục và hội tụ đều Phải chờ đến Karl Theodor Wilhelm WEIERSTRASS (1815 - 1897) với việc xây dựng trường số thực thành công tốt đẹp thì Giải tích Toán học mới được công nhận là hoàn toàn chặt chẽ được

Giữa những năm 1820 - 1830, CAUCHY nghiên cứu Phương trình vi phân Ông là người đầu tiên chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm Để làm việc này ông dùng hai phương pháp: phương pháp xấp xỉ liên tiếp (cách này cần đến tính hội tụ) và phương pháp hàm tăng (majorant)

Bằng cách đặt z = x + ij ông nghiên cứu cách tính tích phân của hàm phức, biến phức Ông dùng một đường nối hai cực và chứng tỏ rằng kết quả không phụ thuộc và cách chọn đường (1825) Ông để ý đến trường hợp hàm gián đoạn, đặc biệt là hàm có một cực, và điều này đưa ông tới kết quả là chứng

minh được định lý về thặng dư (théorème de résidus) Năm 1846, CAUCHY chứng minh lại sự

không phụ thuộc vào con đường chọn khi tính tích phân, nhưng lần này ông dùng công thức mà bây

giờ ta gọi là công thức CAUCHY - RIEMANN.

Công trình của CAUCHY rất cơ bản và phong phú đến nỗi muốn xuất bản toàn bộ phải dùng đến 27 tập lớn Nói cơ bản là vì những vấn đề ông nghiên cứu đều là những vấn đề được xem là những điểm xuất phát quan trọng Chẳng những về Giải tích, Đại số là sở trường chính của ông, mà còn về Vật lý nữa

Cơ sở Toán học trong Lý thuyết đàn hồi các vật rắn dùng để nghiên cứu sức bền vật liệu đã được giới Vật lý và Toán học đánh giá cao Ông còn được giải thưởng về công trình truyền sóng trên

chất lỏng Ông còn phát minh cách tính mới về chuyển động của các hành tinh Vì vậy các nhà

Khoa học thuộc thế hệ sau đã suy tôn ông là vạch nối giữa Toán học ở cuối thế kỷ XVIII (còn pha lẫn thực tế của Vật lý) và nửa sau của thế kỷ XIX là giai đoạn mà người ta muốn xây dựng một nền Toán

học tự thân nó, chặt chẽ và chính xác Ông là nhà bác học đã chứng minh hùng hồn rằng sức mạnh

của Toán học là không có giới hạn để nghiên cứu thiên nhiên

Leonhard EULER

(Bâle 1707 - Saint Pétersbourg 1783)

Ông có nguồn gốc Thụy Sĩ và là con trai của một Mục sư Tin Lành Ông nội ông cũng là Mục sư Cha

mẹ ông nghèo khổ sống ở trong một ngôi nhà nhỏ gần Bâle (Thụy Sĩ) Và chính ở thành phố này ông theo học trung học và thời bấy giờ ở nhà trường ông học người ta không dạy Toán, nhưng ông nhờ mộtsinh viên kèm ông học thêm Toán là môn ông thấy có nhiều điều thú vị Năm 13 tuổi ông được vào Đạihọc thành phố Bâle Ban đầu ông theo học Triết học và Luật học Nhưng Giáo sư Jean BERNOULLI, lúc

đó đang dạy ở Đại học Bâle đã sớm phát hiện khả năng đặc biệt của chàng sinh viên còn quá trẻ này, nên ông khuyên EULER chóng chuyển qua ngành Toán Giáo sư J.BERNOULLI, hàng tuần cứ đến thứ 7

là gọi EULER đến để dạy thêm

Tốt nghiệp Triết học năm 16 tuổi, ông xin học khoa Thần học theo nguyện vọng của cha và ông nội ôngmuốn ông kế tục "sự nghiệp làm Mục sư" Nhưng lòng ham mê Toán học đã không ngừng thôi thúc ông, nhưng thật đáng tiếc, thời ấy Thụy Sĩ không phải là đất "hứa" của những người yêu Toán Nhờ sự can thiệp của Nicolas BERNOULLI và Daniel BERNOULLI, ông được làm việc tại Viện Hàn lâm Khoa học Nga hoàng ở Saint Pétersbourg từ năm 1727

Năm 1733 là một bước ngoặt trong cuộc đời của ông Giáo sư Daniel BERNOULLI chuyển công tác sangmột nước khác và thế là EULER được tiến cử thay Giáo sư D.BERNOULLI làm Giáo sư Toán học trong Viện Hàn lâm kiêm chức chủ nhiệm khoa Địa lý để lãnh đạo việc dựng bản đồ nước Nga theo lệnh của Nga hoàng Cùng năm ấy EULER thành hôn với con gái một nhà hoạ sĩ Nga Cuộc sống gia đình hạnh phúc ấy đem lại cho EULER 13 người con Thật hiếm thấy một nhà bác học nào đông con như vậy, nhưng đó là một nguồn vui đối với ông Học trò ông thường chứng kiến một cảnh tượng khá lạ lùng nhưng thật ấm cúng: EULER viết báo cáo Khoa học cho Viện Hàn lâm hay nghiên cứu Khoa học hoặc hướng dẫn sinh viên với một bầy con vây quanh đàu nghịch náo nhiệt Nhưng một cơn sốt ác tính đã làm ông mù mắt bên phải

Vua nước Phổ muốn cải tổ Viện Hàn lâm nên mời EULER sang giúp Ông nhận lời và tạm biệt nước Nga

Trong thời gian này ông cho in một số công trình Khoa học như Nhập môn Giải tích Toán học