Ông là người Pháp, con một người thợ in. Cha ông mất sớm và mẹ ông phải làm thuê để nuôi con. Henri LEBESGUE lúc lên 10 tuổi là học sinh trường làng. Một hôm, thầy ra một bài toán và bảo học sinh giải ngay ở lớp. Cậu bé Henri làm xong đem lên nạp cho thầy. Thầy nhìn qua rồi bảo: sai, làm lại. Henri quay về chỗ, làm lại, và thấy kết quả vẫn như trước, đem lên nạp cho thầy. Thầy lại bảo: vẫn sai, cần chú ý thêm. Nói xong ông thầy bước ra ngoài. Henri, tranh thủ lúc thầy đi ra, nhìn vào vở soạn bài của thầy thì phát hiện ngay bài giải của thầy là sai. Henri LEBESGUE học rất giỏi và được vào học trường Cao học sư phạm Paris là một trong những trường nổi tiếng ở châu Âu. Ở đó, ông theo học say sưa các bài giảng của Giáo sư Emile BOREL và chịu ảnh hưởng sâu đậm hướng nghiên cứu của thầy. Ra trường, LEBESGUE về dạy Đại học Rennes cho đến 1906, sau đó ông về dạy Đại học Poitiers đến năm 1912 thì được bổ nhiệm làm Giáo sư tại Collège de France (Học viện nghiên cứu cao cấp Pháp).
Mặc dù sinh hoạt ở môi trường trí thức Paris, nhưng LEBESGUE bao giờ cũng giản dị và cảm thấy không thoải mái giữa chốn đông người. Một hôm, ở khách sạn, ông khoác nhầm áo của người khác, nhưng sau đó thì phát hiện ra ngay bèn quay lại trả và xin lỗi. Người chủ của chiếc áo, kiêu ngạo hỏi
LEBESGUE: có lẽ Ngài chưa hề thấy chiếc Bắc đẩu bội tinh bao giờ nên không phát hiện nó trên chiếc áo của tôi để biết rằng mình mặc nhầm áo. LEBESGUE im lặng không nói gì. Ở Paris, trong giới thượng lưu trí thức ai cũng biết rằng nhà Toán học lừng danh LEBESGUE từ lâu đã được thưởng Bắc đẩu bội tinh rồi, có lẽ chỉ có ông bạn kiêu ngạo kia là chưa biết mà thôi.
Năm 1922 ông được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học. Henri LEBESGUE nổi tiếng trong giới Toán học vì đã xây dựng một Lý thuyết Tích phân mới, tổng quát hơn Lý thuyết Tích phân đã có từ trước. Cũng trong khuôn khổ đó LEBESGUE nghiên cứu Hàm nhiều biến và các chuỗi hàm.
Những công trình của JORDAN, PEANO và nhất là của BOREL đã tác động mạnh mẽ đến LEBESGUE, vì thế từ năm 1901 trong Luận án Tiến sĩ Tích phân, Độ dài, Diện tích, ông đã đưa ra Lý thuyết mới về độ đo, cải thiện những kết quả của thầy mình. Năm sau, ông xây dựng Lý thuyết mới về Tích phân, tổng quát hóa kết quả của RIEMANN, đời sau lấy tên ông đặt tên cho tích phân mới này Tích phân
LEBESGUE. Năm 1904, LEBESGUE chứng minh rằng một hàm bị chặn là khả tích theo nghĩa RIEMANN
khi và chỉ khi tập các điểm gián đoạn có độ đo là không. Sức mạnh của Lý thuyết tích phân LEBESGUE
ở định lý về sự hội tụ áp đảo, chỉ cần một sự hội tụ đơn thuần, chứ không cần phải hội tụ đều như ở tích phân RIEMANN. Henri LEBESGUE dùng định nghĩa mới này của tích phân để nghiên cứu các chuỗi FOURIER là lĩnh vực mà ông đóng góp khá nhiều. Ông mở rộng kết quả ra trường hợp tích phân bội. Nhà Toán học người Ý Guido FUBINI đã bổ sung cho công trình của LEBESGUE bằng một định lý cơ bản quan trọng về đảo lộn thứ tự lấy tích phân (interversion des intégrations). LEBESGUE còn mở rộng ra cho trường hợp hàm nhiều biến của tích phân không xác định. Công trình của LEBESGUE tuy đã kết thúc về căn bản bài toán định nghĩa tích phân của một hàm số (fonction numérique) nhưng lại mở ra một chân trời mới về nghiên cứu tích phân trừu tượng sau này mà RADON là một trong những người có công và còn ảnh hưởng lớn đến Lý thuyết xác suất được tiên đề hóa nhờ công lao của nhà Toán học Nga KOLMOGOROV.
János BOLYAI Hình học Phi EUCLIDE (Hình học LOBATCHEVSKI - BOLYAI)
Kolozsvár 1802 - Marosvásárhely 1860
Ông là người Hung, nhưng nơi sinh của ông giờ đây có tên là Cluj-Napoca thuộc lãnh thổ Rumani, và nơi ông qua đời bấy giờ có tên là Tirgu Mures và thuộc đất Rumani. Cha ông lấy tên là Farkas, vốn là bạn học của GAUSS ở Gottingen, nhưng Farkas dạy cả Toán, Lý, Hóa. Những lúc rảnh rỗi, ông tìm cách chứng minh Tiên đề về đường thẳng song song của EUCLIDE. Cho đến năm 13 tuổi, BOLYAI vẫn chưa được cha cho học hành gì, về sau BOLYAI mới được vào học trường Dòng, nơi cha ông dạy. Gia đình BOLYAI muốn theo con Khoa học như cha nhưng BOLYAI chọn con đường binh nghiệp. Sau khi du học ở Vienne từ 1818 đến 1822, ông vào quân đội và nhanh chóng bộc lộ tài năng đấu gươm. Nhưng vì sức khỏe kém, lại bị hậu quả của những cơn sốt rét nên ông phải về hưu non năm 1833. Ông theo cha ở Marosvásárhly một năm rồi quay về quản lý đất đai của gia đình ở Transylvanie. BOLYAI kế thừa niềm say mê của cha trong việc tìm cách chứng minh Tiên đề 5 của EUCLIDE. Ông đã thử chứng minh Tiên đề về đường thẳng song song (bằng cách dựa vào 4 tiên đề EUCLIDE trước đó) vào các năm 1820 - 1823 nhưng thất bại. Năm 1823 ông bỏ hẳn con đường đã theo và nghiên cứu những hệ quả của một Tiên đề mới do ông nghĩ ra: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có ít nhất 2 đưởng thẳng
song song với đường thẳng đó.
Và ông rất ngạc nhiên về sáng kiến của mình: một Hình học mới đã xuất hiện. Và thái độ phản ứng của GAUSS đã làm ông thất vọng. Nhưng ông vẫn công bố kết quả tìm ra dưới dạng phụ lục của lần tái bản tác phẩm Testamen của cha ông, rồi ông chia tay với Toán học. Tác phẩm của ông dần đi vào sự quên lãng của mọi người. Tám năm sau ngày ông mất, mô hình của BELTRAMI đã chứng minh rằng suy nghĩ của ông là đúng, nhưng đáng tiếc ông không còn nữa.
Jean LEROND D'ALEMBERTParis 1717 - Paris 1783