(Brunswick 1831 - Brunswick 1916)
Nhà Toán học Đức Richard DEDEKIND là con thứ tư của một Giáo sư Luật học. Ban đầu ông học Lý - Hoá nhưng ông nhanh chóng chuyển sang Toán học một phần lớn vì ông thích tính lý luận chặt chẽ của môn khoa học này. Ông đến Đại học Gottingen theo học các giáo trình của GAUSS và DIRICHLET. Ông được công tác ở Gottingen vào những năm 1854, 1855, rồi ở Đại học bách khoa 1858 - 1862 trước khi trở về trường kỹ thuật ở quê nhà Brunswick cho đến ngày nghỉ dạy năm 1894. Đặc điểm của gia đình ông là các anh chị em ông đều sống độc thân cũng như ông.
Công trình nghiên cứu Toán học của ông thật bao la. Cùng với các nhà Toán học KUMMER và
KRONECKER ông sáng lập nên Lý thuyết các số đại số, cùng với nhà Toán học Heinrich WEBER ông đưa ra những phương pháp hoàn toàn đại số để nghiên cứu các đường cong. Phương pháp xây dựng số thực của DEDEKIND rất gần với phương pháp của MÉRAY và CANTOR.
Ông đã từng phát hiện một số thiếu sót của các nhà Toán học khác ví dụ ông cho rằng để trình bày khái niệm giới hạn mà chỉ dựa duy nhất vào khảo sát hình học là chưa được. Ông cho rằng các định
nghĩa của GALILLÉ và LEIBNIZ về liên tục là sai: giữa hai số hữu tỷ luôn luôn có một số thứ ba hơn nữa tập hợp các số hữu tỷ không phải là một continuum. Điều này dẫn ông tới sáng tạo các số thực bằng phương pháp nhát cắt (theo DEDEKIND: Các số là những sáng tạo tự do của trí tụê loài người). Một số thực được xác định bởi sự cho trước một bộ phận của tập hợp các số hữu tỷ tạo nên bởi một lớp kết thúc và một lớp mở đầu. DEDEKIND định nghĩa trên tập hợp các số có được bằng cách lấy một số thứ tự, một phép cộng, một phép nhân mà các tính chất của chúng đặc trưng cho số thực. Năm 1871 DEDEKIND cho xuất bản tác phẩm của DIRICHLET với nhan đề Zahlentheorie kèm theo một phụ lục trong đó ông định nghĩa các số đại số bằng cách tổng quát hóa định nghĩa của KUMMER và chứng minh rằng chúng lập thành một trường. Ông đưa ra khái niệm vành nguyên đại số và lưu ý rằng sự duy nhất trong phân tích thành thừa số nguyên tố không còn giá trị trong các vành này. Để làm được việc đó, năm 1879 ông đưa ra khái niệm idéaux (để nhớ tới các số idéaux của KUMMER) và ông định nghĩa tổng, tích các idéaux đồng thờ tính duy nhất trong sự phân tích thành idéaux nguyên tố. Ông cùng với WEBER áp dụng các khái niệm mới ấy vào nghiên cứu các đường cong đại số và hai nhà Toán học này đứng tên chung một bài báo năm 1882 và đây chính là tiếp cận của lĩnh vực Hình học Đại số ngày nay nhưng thời ấy DEDEKIND và WEBER cho rằng đó là tiếp cận số học của lĩnh vực Hình học.
Từ những bức thư trao đổi giữa hai nhà Toán học DEDEKIND và CANTOR đã ra đời Lý thuyết tập hợp. Trong tác phẩm Was sind und was sollen die Zahlen DEDEKIND đã trình bày những khái niệm cơ bản của Lý thuyết tập hợp mà ông đã dùng để "tạo nên" dãy các số nguyên tự nhiên, và định nghĩa khái niệm hữu hạn là vô hạn: một tập hợp là vô hạn nếu nó có quan hệ đóng đôi (équipotent)
với một trong những bộ phận thực sự của nó ; trường hợp hữu hạn là ngược lại. Ngoài ra ông
còn xây dựng một cách chính xác lối lập luận bằng truy chứng. Ông định nghĩa khái niệm ánh xạ của một tập hợp vào trong một tập hợp một cách tổng quát và ông đã đưa ra khái niệm dây (chaine) giúp cho ZERMELO chứng minh được định lý về sắp xếp thứ tự tốt.
George BOOLE cha đẻ của Logique học
Lincoln 1815 - Balling Temple (Irlande) 1864
Ông là con trai của một nhà buôn người Anh. BOOLE là một nhà Toán học và Logique học nổi tiếng nhưng từ thuở nhỏ cho đến năm 16 tuổi ông chỉ chuyên học cổ ngữ La tinh, Hy lạp. Ông có một người em là một nhà văn - tác giả của tác phẩm Ruồi trâu nổi tiếng. Để giúp đỡ gia đình, ông đi dạy ở trường làng và năm 20 tuổi ông tự sáng lập một trường ở quê ông. Trong lúc nhàn rỗi, ông nghiền ngẫm tác phẩm của LAGRANGE và LAPLACE giảng ở Học viện Cơ học. Mặc dù là tự học nhưng với năng khiếu, sự thông minh và tinh thần say mê Toán học, ông đã đạt được một số kết quả và công bố công trình sáng tạo của mình. Nhờ đó ông được bổ nhiệm làm Giáo sư ở Queen's College ở Cork (Irlande) từ 1849 cho đến cuối đời. Chính BOOLE và DE MORGAN đã sáng lập ngành Logique Toán độc lấp với Triết học, và nhờ những Đại số (sau này người ta gọi là Đại số BOOLE) ông định nghĩ các phép tính trên các tập hợp và Logique các mệnh đề: số 1 biều diễn mệnh đề luôn đúng, 0 biểu diễn mệnh đề luôn luôn sai, x' là phủ định của x , x + y và xy lần lượt biểu diễn cho sự phân lý, và sự giao hội (danh từ của Giáo sư Hoàng Xuân Hãn) của x và y.
Gaspard MONGE Ông tổ ngành Hình học họa hình
Beaune 1746 - Paris 1818
Ông là nhà Toán học Pháp đồng thời cũng là một chính khách, nhưng xuất thân từ một gia đình bậc trung. Ông học trung học ở quê nhà, về sau theo học ở thành phố Lyon, một thành phố về hàng thứ 3 ở Pháp về Kinh tế - Thương mại - Văn hóa. Năm ông 16 tuổi, ông được tín nhiệm làm giáo viên Vật lý. Nhưng MONGE còn có tài hội họa, ông mơ ước có ngày dựng thành công bức tranh quê hương. Đoán được ý nguyện đó, người ta đã mời ông làm họa viên cho trường quân sự Mézières. Đó là đất dụng võ của ông: chính từ nơi đây hình thành môn Hình học họa hình mà ông là người sáng lập. Từ năm 1768, MONGE được bổ nhiệm chính thức là Giáo sư Toán và Giáo sư Vật lý từ năm 1771. Năm 1780, ông từ giã Mézières để về Paris nhận nhiệm vụ Chủ nhiệm bộ môn Thủy lực. Cách mạng Pháp 1789 bùng nổ, MONGE được cử tham gia cải cách đo lường. Ông rời Paris 2 năm để đảm nhận chức thanh tra hải quân Pháp và từ năm 1792, ông được cử làm Bộ trưởng Bộ hàng hải.
Chính ông là người thay mặt Nhà nước Cách mạng Pháp tuyên án tử hình vua Louis XVI. Trước những thiếu thốn phương tiện làm việc ở bộ do ông phụ trách, ông cảm thấy có lỗi bèn xin từ nhiệm và theo yêu cầu của Nhà nước, ông nghiên cứu cách chế tạo súng đại bác và đã viết sách về vấn đề này. Nhưng đứng trước nhu cầu đào tạo nhân tài cho đất nước, Gaspard MONGE đề xuất việc mở hai trường Đại học mới và sau này trở thành hai trường Đại học nổi tiếng nhất nước Pháp, đó là trường Cao học sư phạm và Đại học bách khoa. MONGE đã thể hiện khả năng trong công tác lãnh đạo và quản lý về Khoa
học và Giáo dục. Ông có quan hệ thân thiết với NAPOLÉON, vì thế từ năm 1798 đến 1801 NAPOLÉON đưa ông theo chiến dịch Ai Cập. Lúc trở về Pháp, ông không làm công tác quản lý nữa mà được mời dạy ở Đại học bách khoa. Ông viết không nhiều, nhưng ông đã có công truyền bá sự ham thích môn Hình học vào cả một thế hệ nhà Toán học Pháp rất nổi tiếng sau này như PONCELET, MEUSNIER và RODRIGUES. Học trò của Gaspard MONGE không phụ công lao truyền nghề của thầy. Ngành Hình học của Pháp bị bỏ quên từ thế kỷ XVIII đã bắt đầu lấy lại phong độ và phát triển, đó là nhờ công lao của MONGE. Nhân dịp kỷ niệm 200 năm Cách mạng Pháp, tro của ông được chuyển về Điện Panthéon là nơi nhân dân Pháp tôn vinh đời đời những người con có công lao với đất nước.
Tác phẩm Hình học của MONGE vừa nhiều, đa dạng và vừa có chiều sâu. Ngoài công lao sáng tạo môn Hình học họa hình rất cần cho ngành xây dựng, MONGE được xem như người đặt nền móng cho môn Hình học vi phân. Ông nghiên cứu về các mặt trong tác phẩm của ông có tựa đề Áp dụng Giải tích
vào Hình học. Ông đưa ra khái niệm đường biểu diễn độ cong, các từ như ellipsoide, hyperboloide,
paraboloide cũng đều do ông đưa ra đầu tiên. Từ năm 1801, ông là người đầu tiên đã dùng phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu các mặt. Trong lĩnh vực mà ông quen gọi là Hình học tổng hợp ông nghiên cứu và đạt nhiều kết quả về các quadriques (mặt bậc hai) và hình tứ diện. Ông viết phương trình của đường thẳng xem như giao của hai mặt phẳng (trong tọa độ DESCARTES). MONGE đã để lại cho đời sau nhiều định lý nhưng trong đó có hai định lý mang tên ông. Có thể nói thêm ông là một nhà Sư phạm giỏi, nhưng giới Toán học Pháp, nhất là các nhà Hình học, biết ơn ông vì ong đã góp nhiều công sức làm cho ngành này tiến những bước dài ở thế kỷ XIX.