Dusseldorf 1849 - Gottingen 1925
Thiên tư Toán học của Felix KLEIN phát triển khá sớm. Năm 16 tuổi chàng thanh niên Felix đã là sinh viên trường Đại học Bonn và là học trò yêu của Giáo sư Toán PLUCKER. Năm 19 tuổi Felix KLEIN bảo vệ thành công Luận án Tiến sĩ. Sau đó KLEIN sang Paris để học hỏi thêm. Ở Paris KLEIN đã gặp
JORDAN và DARBOUX, kết bạn thân với Sophus LIE. Năm 1872, KLEIN được bổ nhiệm làm Giáo sư Đại học Erlangen. Nhân ngày nhậm chức, KLEIN đã đọc một diễn văn nổi tiếng gọi là Chương trình
ERLANGEN trong đó ông định hướng nghiên cứu Toán học cho đến hết thế kỷ XIX. Năm 1875, KLEIN
tính định sư ở Munich và dạy tại trường Đại học bách khoa ở đó. Nhưng 5 năm sau (1880) ông lại dạy Đại học Leipzig, rồi qua 1886 ông chuyển về Đại học Gottingen và ở đó khá lâu cho đến khi ông nghỉ hưu năm 1913. Có thể nói cuộc đời của Giáo sư KLEIN là dành cho các trường đại học Đức và tạp chí Toán học Đức nổi tiếng trong nước và châu Âu (Tạp chí Mathematische Annalen). Từ năm 1876 và trong suốt 40 năm liền KLEIN là tổng biên tập của tạp chí. Ông còn là nhân vật quan trọng của Ban biên tập Bộ bách khoa từ điển Toán học ENZYKLOPADIE DER MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN. KLEIN còn là nhà sư phạm Toán học lỗi lạc. Ông luôn tìm cách kết nối Lý thuyết Nhóm và Hình học. Ông góp phần phát triển Hình học Phi EUCLIDE, nhưng ông cũng đạt nhiều kết quả về Lý thuyết các phương trình Đại số, các Hàm elliptiques, và các Hàm tự đẳng cấu (fonctions
automorphes). Thừa kế các quan điểm hình học của PLUCKER và bị hấp dẫn bởi những giây phút thú vị trong thời gian ở Paris cùng bạn bè nghiên cứu Hình học thông qua Lý thuyết Nhóm và KLEIN không hết lời ngưỡng mộ nó, chính vốn sống đó đã giúp cho KLEIN viết Chương trình ERLANGEN nổi tiếng
vào độ tuổi 23. Hơn một thế kỷ đã qua đi kể từ ngày KLEIN đọc Chương trình ERLANGEN trước Hội đồng Khoa học Đại học Erlangen nhưng những ý tưởng xây dựng Một Hình học mà KLEIN đã nêu trong đó vẫn còn sắc sảo cho đến tận ngày nay. Cái mới trong tư duy của KLEIN ở chỗ, theo KLEIN, điều đặc trưng cho một Hình học không phải là một không gian có chứa một số tính chất nào đấy mà là: cho một tập hợp E và một nhóm G, với một song ánh của E. Đối tượng của Hình học là nghiên cứu các phần tử của tập hợp E về phương diện tính chất mà không làm sai lệch (altérer) chúng do các phép biến đổi nhóm. Ông đưa ra rất nhiều ví dụ, nhất là trong Hình học xạ ảnh nhờ khái niệm mà ngày nay ta gọi là Nhóm cổ điển mà KLEIN là một trong những người phát hiện. Những nhà Toán học sau KLEIN đã kế tục công việc của KLEIN nhờ những khái niệm Nhóm tác động lên một tập hợp.
KLEIN cũng quan tâm nhiều đến sự phát triển của Hình học Phi EUCLIDE. Chính ông đã gán cái tên
Hình học Hyperbolique cho Hình học của góc nhọn và Hình học Elliptique cho Hình học của góc tù.
KLEIN còn đưa ra khái niệm Hình học elliptique đơn trong đó hai điểm xác định một và chỉ một
đường thẳng và Hình học elliptique kép trong đó hai điểm xác định nhiều đường thẳng.
Để lấy ví dụ về Hình học elliptique đơn, KLEIN đưa ra một bán cầu với biên của nó là đường tròn lớn của hình cầu. Hai điểm bất kỳ diamétralement opposés (tức là hai điểm A và B bất kỳ trên đường tròn và đồng thời là hai mút của đường kính của đường tròn biên ấy của bán cầu) là một ví dụ. Hình học
cầu là một ví dụ về Hình học elliptique kép.
HYPATIE Nhà nữ Khoa học đầu tiên của nhân loại
Alexandrie 370 - Alexandrie 415
Bà là nhà nữ Toán học và Triết học thời cổ đại, con gái của nhà Toán học và Thiên văn học THÉON ở Alexandrie.
Bà được gia đình chăm lo đào tạo để có một nên học vấn cao. Bà nổi tiếng vì trình độ thông thái và sắc đẹp, được mời giảng dạy tại Viện bảo tàng là một loại trường học thành lập từ đời vua PTOLÉMÉE I. Vào năm 400 bà lãnh đạo trường phái PLATON mới và bị xem như là mối nguy cơ cho tư tưởng Công giáo La Mã nên Hồng y ở Alexandrie là CYRILLE cho lệnh sát hại bà.
HYPATIE cùng cha mình viét lời bình về bộ Éléments của EUCLIDE. Ngoài ra bà còn bình luận Số học của DIOPHANTE. Các tiết diện conique của APOLLONIUS và những bảng tính của PTOLÉMÉE III (các tư
liệu này rút ra từ SUIDAS, nhà Sử học ở thế kỷ X, người ta nghĩ nó có thể được thần thoại hóa). Đời
sau xem bà là nhà bình luận Toán học thời Hy Lạp cổ đại. Tuy bà không sáng tạo cái gì mới nhưng bà được ái mộ là nhà nữ Khoa học (Toán học nói riêng) của nhân loại và cái chết thê thảm của bà có nguồn gốc tôn giáo: sự hủy diệt lẫn nhau giữa những người theo tôn giáo thờ nhiều thần (Hy Lạp) và những người theo tôn giáo thờ một thần (Nhà thờ La Mã). Nhưng có lẽ đó chỉ là thần thoại.
Henri LEBESGUEBeauvais 1875 - Paris 1941