Tuy sinh trưởng ở đất Ý nhưng LAGRANGE là con út của một gia đình Pháp khá đông con (11 người).Ông say sưa môn Thiên văn và Toán từ lúc ông đọc tác phẩm của nhà Thiên văn người Anh Edmond HALLEY. Thân phụ của ông là Thủ quỹ của Vua xứ Sardaigne. Về sau, ông bị phá sản. Sau này, LAGRANGE từng tâm sự: nếu tôi giàu có chắc không bao giờ tôi hiến thân cho sự nghiệp Toán
học. Năm 19 tuổi LAGRANGE được cử làm giảng viên Toán trường pháo binh Turin. Tuy còn rất trẻ
nhưng LAGRANGE đã công bố những kết quả nghiên cứu Toán học đầu tiên của mình và xin trao đổi thư từ với EULER, lúc bấy giờ đã rất nổi tiếng ở Âu châu và lớn hơn LAGRANGE 29 tuổi. Năm 1764, LAGRANGE được giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Turin về một công trình nghiên cứu Mặt Trăng, lúc đó ông 28 tuổi. Năm 1766, Hoàng đế nước Phổ (Prusse) Frédéric Le Grand mời LAGRANGE sang Berlin làm việc. Ông đã nhận lời và ở Berlin cho đến 1787. Trong thời gian 21 năm này năng lực sáng tạo của ông thật ít ai sánh nổi: ông đạt nhiều kết quả rất hay ở rất nhiều lĩnh vực của Toán học. Sau khi vợ ông mất, LAGRANGE buồn phiền, thương nhớ khôn nguôi người vợ hiền, nên ông sống lầm lì, cô đơn. Cô con gái trẻ đẹp của nhà Thiên văn LEMONNIER thương cảm trước tình cảnh của nhà Toán học bèn ngỏ lời muốn bù đắp vào nỗi cô đơn của LAGRANGE. Từ đó LAGRANGE cảm thấy như được hồi sinh, vui với công việc sáng tạo Khoa học phong phú như xưa. Ông nói: trong tất cả các phần thưởng
mà tôi nhận được thì phần thưởng mà tôi nghĩ là giá trị nhất là người vợ trẻ, hiền dịu và trung thành của tôi. Nhưng sau khi Hoàng đế Frédéric Le Grand qua đời, theo lời mời của vua Louis XVI ông về
Paris làm việc cho đến khi mất. Chính tại thủ đô ánh sáng của châu Âu này, LAGRANGE cho xuất bản một tác phẩm rất nổi tiếng của mình Cơ học Giải tích. Đây là sự tổng hợp 100 năm nghiên cứu Cơ học của nhân loại và tư duy sáng tạo riêng của ông. Đặc điểm của tác phẩm này là sự tiếp cận vấn đề hoàn toàn giải tích và tuy là một quyển sách về Cơ học nhưng tuyệt nhiên không có lấy một hình vẽ nào. Trong thời kỳ Cách mạng Pháp 1789, LAGRANGE mặc dù có tham gia công tác trong Ủy ban cải cách đo lường, nhưng về chính trị ông không theo một bên nào cả, giữ thái độ trung lập. Đến khi nghe tin nhà bác học LAVOISIER bị lên máy chém vì một lý do rất mơ hồ, LAGRANGE phát biểu: chỉ cần một
thời gian ngắn là có thể làm cho đầu của LAVOISIER lìa khỏi cổ, nhưng để có một cái đầu như đầu của LAVOISIER thì có khi cả 100 năm vẫn không có được. Từ năm 1795 ông nhận nhiệm vụ điều hành và
trực tiếp giảng dạy Toán ở trường Đại học bách khoa vừa mới thành lập và sau này nổi tiếng. Hoàng đế Napoléon phong ông là Bá tước và cho tham gia Thượng Nghị viện. Giới Toán học Paris tôn vinh ông là
EULER của nước Pháp và ông là người sáng lập ra môn Phép tính biến thiên. Những công trình của ông về Lý thuyết số và phương trình Đại số được xem là những tiếng chuông báo hiệu cho sự xuất hiện ABEL, GALOIS về sau.
Phép tính biến thiên giải quyết bài toán như sau: Cho trước hàm g, hãy tìm hàm y của x sao cho tích
phân ∫g(x,y)dx (a → b) là cực đại.
Lúc mới 19 tuổi, LAGRANGE viết thư cho EULER trình bày cách giải bài toán đẳng chu (isopérimètre). EULER rất thích thú và đánh giá rất cao công trình của anh thanh niên này vì cách của LAGRANGE tổng quát hơn cách của nhà Toán học lớn của châu Âu thời bấy giờ. Từ đó nảy sinh một chuyên đề mới của Toán học: phép tính biến thiên (calcul des variations). Tên của chuyên ngành này cũng do
LAGRANGE đặt.
Năm 1767, LAGRANGE cho công bố một công trình về xấp xỉ nghiệm của một phương trình đại số bằng phân số liên tục. Năm 1770, ông tìm cách làm sáng tỏ thêm những lý do vì sao nghiệm của một
phương trình đại số bậc ba được biểu diễn qua căn thức. Lý do ở tính chất bất biến khi hoán vị các nghiệm, điều này đưa LAGRANGE đến kết quả tìm ra tính chất các nhóm hoán vị. Ông đã từng phát biểu rằng một phương trình đại số bậc 5 không giải được bằng căn thức nhưng chưa chứng minh được mặc dù ông tiên đoán đúng nhưng dù sao thì LAGRANGE cũng là người mở đường cho ABEL và GALOIS hình thành Lý thuyết các Nhóm.
LAGRANGE góp phần phát triển Lý thuyết Hàm. Ông quan tam đến việc khai triển một hàm thành chuỗi nguyên, và nhận xét rằng người ta có thể dừng ở bậc n rồi đưa vào một số hạng phụ thuộc và đạo hàm bậc n, nghĩa là ông muốn đưa vào khai triển một số dư xác định với độ chính xác. Trong những công trình của LAGRANGE thì những kết quả về phương trình vi phân chiếm một vị trí quan trọng, vì nó được ứng dụng trong nghiên cứu Cơ học. Kỹ thuật mà LAGRANGE đưa vào phương trình vi phân được lưu lại đời sau là phương pháp biến thiên hàm số. Ông cũng quan tâm đặc biệt đến việc giải phương trình đạo hàm riêng, và ngày nay nói đến nhân tử LAGRANGE thì những ai học phương trình vi phân không mấy ai là không biết đến. Năm 1768, khi nghiên cứu về Lý thuyết số, ông say sưa chứng minh rằng phương trình P(x) ≡ 0 (mod p) trong đó p là một số nguyên tố, P là một đa thức bậc n có hệ số nguyên, có nhiều nhất là n nghiệm trừ trường hợp p chia hết cho tất cả hề số của P. Năm 1770 ông chứng minh định lý BACHET và định lý WILSON.
Về Vật lý, LAGRANGE đã có những kết quả rất quan trọng về truyền âm và Lý thuyết dây rung. Nhưng đáng chú ý hơn cả là về Cơ học các thiên thể ông đã có những công trình nghiên cứu có giá trị về Mặt Trăng (1764), về các vệ tinh của Sao Mộc (1766) và những quỹ đạo của các Sao Chổi (1780). Ngoài ra LAGRANGE còn nghiên cứu chuyển động quay tròn của một cố thể, và điều này đưa
LAGRANGE đến phát minh kỹ thuật tính toán về ma trận.
Thật đáng tiếc, tuy sức sáng tạo của LAGRANGE vĩ đại như thế nhưng tác phẩm, công trình của ông có lúc bị đánh giá sai lệch. Mặc dù vậy, các thế hệ Toán học hậu sinh đánh giá rằng toàn bộ sự nghiệp Khoa học của ông là một sự đóng góp to lớn cho Toán học vào những năm đầu thế kỷ XIX cũng như mãi mãi sau này.