Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - NGUYỄN TIẾN MẠNH NGHIÊN CỨU NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA DẦM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH HÀ HUY CƢƠNG Hải Phòng, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Mạnh LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Hà Huy Cương ý tưởng khoa học độc đáo, bảo sâu sắc phương pháp nguyên lý cực trị Gauss chia sẻ kiến thức học, toán học uyên bác Giáo sư Giáo sư tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia trường Đại học Dân lập Hải phòng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Mạnh MỞ ĐẦU Để đáp ứng nhu cầu sử dụng đa dạng người dân, giải pháp kết cấu cho nhà cao tầng kỹ sư thiết kế sử dụng Trong cơng trình kết cấu thường sử dụng khung cứng túy khung kết hợp với lõi vách cứng Với số lượng phần tử lớn dẫn đến số ẩn toán lớn, việc tìm phương pháp phù hợp để nghiên cứu nội lực chuyển vị tốn học kết cấu nói chung, có tầm quan trọng đặc biệt, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Cho đến nay, phương pháp xây dựng toán học kết cấu bao gồm: Phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm: Phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, liên hợp; Các phương pháp số gồm: Phương pháp sai phân, Phương pháp biến phân, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng gần hàm chưa biết miền xác định V Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn khơng tìm dạng xấp xỉ hàm cần tìm tồn miền V mà miền Ve (phần tử) thuộc miền xác định V Do phương pháp thích hợp với hàng loạt tốn vật lý kỹ thuật hàm cần tìm xác định miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu điều kiện biên khác Đối tƣợng, phƣơng pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn nói để xây dựng giải toán dầm đơn chịu tác dụng tải trọng tĩnh phân bố Mục đích nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu nội lực chuyển vị dầm phương pháp phần tử hữu hạn” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp xây dựng phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày Phương pháp phần tử hữu hạn Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán dầm, chịu tác dụng tải trọng tĩnh phân bố Lập chương trình máy tính điện tử cho tốn nêu CHƢƠNG CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TỐN CƠ HỌC KẾT CẤU Trong chương trình bày phương pháp truyền thống để xây dựng tốn học nói chung; giới thiệu tốn học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng Phƣơng pháp xây dựng toán học Bốn phương pháp chung để xây dựng tốn học kết cấu trình bày Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa 1.1 Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân phân tố Phương trình vi phân cân xây dựng trực tiếp từ việc xét điều kiện cân lực phân tố tách khỏi kết cấu Trong sức bền vật liệu nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng giả thiết sau: - Trục dầm không bị biến dạng nên ứng suất - Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau biến dạng phẳng thẳng góc với trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli) - Không xét lực nén thớ theo chiều cao dầm Với giả thiết thứ ba có ứng suất pháp σ x ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σz không Hai giả thiết thứ ba thứ dẫn đến trục dầm có chuyển vị thẳng đứng y(x) gọi đường độ võng hay đường đàn hồi dầm Giả thiết thứ xem chiều dài trục dầm không thay đổi bị võng đòi hỏi độ võng dầm nhỏ so với chiều cao dầm, y max / h 1/5 Với giả thiết thứ hai biến dạng trượt ứng suất tiếp gây khơng xét tính độ võng dầm trình bày Gỉả thiết tỉ lệ h/l 1/5 Chuyển vị ngang u điểm nằm độ cao z so với trục dầm Z h/2 u TTH -h/2 dy dx Biến dạng ứng suất xác định sau Hình 1.2 Phân tố dầm z d  xx Ez d y ; y dx2 dx2 Momen tác dụng lên trục dầm:  x  h/2 M   h / hay Ebz2 d y dz  Ebh3 d y dx212 dx2 (1.7) M  EJ đó: EJ  ,  d y Ebh 12 dx EJ gọi độ cứng uốn dầm;  độ cong đường đàn hồi gọi biến dạng uốn; b chiều rộng dầm Để đơn giản trình bày, dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật Cách tính nội lực momen không xét đến biến dạng trượt ứng suất tiếp gây Tổng ứng suất tiếp σzx mặt cắt cho ta lực cắt Q tác dụng h/2 Q  zxdz lên trục dầm: h / Biểu thức ứng suất tiếp σzx tích phân trình bày sau Nhờ giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất dầm, ta cần nghiên cứu phương trình cân nội lực M Q tác dụng lên trục dầm Xét phân tố dx trục dầm chịu tác dụng lực M,Q ngoại lực phân bố q, hình 1.3 Chiều dương M, Q q hình vẽ tương ứng với chiều dương độ võng hướng xuống Q q(x) M + dM M o2 Q + dQ dx Hình 1.3 Xét cân phân tố Lấy tổng momen điểm O2, bỏ qua vơ bé bậc cao ta có dM  Q  dx (1.8) Lấy tổng hình chiếu lực lên trục thẳng đứng: dQ  q  dx (1.9) Phương trình (1.8) phương trình liên hệ momen uốn lực cắt, phương trình (1.9) phương trình cân lực cắt Q ngoại lực phân bố q Đó hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) phương pháp cân phân tố Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d M q0 dx (1.10) Thay M xác định theo (1.7) vào (1.10) nhận phương trình vi phân xác định đường đàn hồi EJ d 4y  dx q (1.11) Phương trình (1.11) giải với điều kiện biên y đạo hàm đến bậc ba y (4 điều kiện), hai điều kiện biên đầu cuối Các điều kiện biên thường dùng sau a) Liên kết khớp x=0: d2y Chuyển vị không,  x0  , momen uốn M  , suy dx2 0 x0 b) Liên kết ngàm x=0: dy Chuyển vị khơng, y x0 0, góc xoay khơng, dx 0 x0 c) khơng có gối tựa x=0:  ; lực cắt Q=0, suy d y dx3 d2y Momen uốn M  , suy dx2 0 x0 x0 Các điều kiện x=l lấy tương tự Bây tìm hiểu phân bố ứng suất tiếp σzx chiều dày h dầm Trước tiên viết phương trình cân ứng suất trục x sau     xx x xz    hay z xz z Tích phân phương trình theo z:  xz Hàm    Ez d y xx x d x  Ez d y  Cx dx3 xác định từ điều kiện ứng suất tiếp không mặt mặt  x Cx  Eh8 ddx y h dầm, z  Ta có: 2 Ứng suất tiếp phân bố mặt cắt dầm có dạng   E d y 4 z dx xz  h  Đó hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn trục dầm (z=0) có giá trị  xz z 0  Eh d y dx Tích phân hàm ứng suất chiều cao dầm nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phần trái dầm d 3y Ebh Q 12 dx Ứng suất tiếp trung bình chiều cao dầm bằng:  tb  Eh2 d y 12 dx3xz Tỉ lệ ứng suất tiếp max trục dầm ứng suất trung bình α=1.5 1.2 Phƣơng pháp lƣợng Năng lượng hệ bao gồm động T П Động xác định theo khối lượng vận tốc chuyển động, П bao gồm biến dạng công trường lực, phụ thuộc vào chuyển vị Trường lực lực lực trọng trường Các lực tác dụng lên hệ lực khơng Đối với hệ bảo tồn, lượng khơng đổi T+ П = const (1.12) Do tốc độ thay đổi lượng phải không ( ) ( ) Giải phương trình (e) ta nhận được:  K 1F Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K \ F Kết chuyển vị, góc xoay nút:  1     2   0.0000    0.0015   0.0078 W       W  W 0.0026 x q       0.0000  ;      x ql3 3       W   0.0015  l   4   4    5  0.0000      Mômen uốn dầm:  M1   - 0.0781  M   0.0156  2       M  M3   0.0469 x ql  M   0.0156  4   M   0.0781  5   Ta thấy kết trên:       - Về mômen gần trùng khớp với kết giải xác theo phương pháp giải tích: + Tại hai đầu ngàm: x 10 - 0.0078 -3 -0.5 -1 -1.5 -2 X: Y: -0.002604 -2.5 -3 10 12 14 16 + Tại dầm: Hình 3.6b Đường độ võng - Về chuyển vị nhịp trùng khớp với kết giải xác theo phương pháp giải tích: Biểu đồ mơmen uốn lực cắt dầm nhƣ hình 3.6: Hình 3.6b Biểu đồ M Q 52 Nhận xét: Nếu ta rời rạc hóa dầm thành 16 phần tử kết trùng khớp với kết xác nhận phương pháp giải tích Ví dụ 3.3: Dầm đầu ngàm - đầu tự Xác định nội lực chuyển vị dầm đầu ngàm - đầu tự chiều dài nhịp l , độ cứng uốn EJ, 1 2 33 chịu tải phân bố q, hình 3.7a n cv 10 11 12 n gx Hình 3.7 Dầm đầu ngàm - đầu tự Rời rạc hóa kết cấu dầm thành npt phần tử Các nút phần tử phải trùng với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi tiết diện, chiều dài phần tử  npt phần tử rời rạc tổng cộng khác Mỗi phần tử có ẩn có npt ẩn Nhưng cần đảm bảo liên tục chuyển vị chuyển vị nút cuối phần tử thứ e chuyển vị nút đầu phầntử thứ e 1 nên số bậc tự nhỏ npt Khi giải ta cần đảm bảo điều kiện liên tục chuyển vị điều kiện liên tục góc xoay xét cách cách đưa vào điều kiện ràng buộc Ví dụ dầm (ví dụ 3.1a) ta chia thành phần tử (hình 3.1b) Như vậy, tổng cộng số ẩn 11 ẩn < 4x4=16 ẩn Gọi ma trận n chuyển vị có kích thước n w n pt w ma trận , 2 ma trận có npt hàng cột chứa ẩn số chuyển vị nút phần tử (hình 3.1) nw (1,:)  0 1; nw (2,:)  12; nw (3,:)  2 3; nw (4,:)  3 4 nw  0 1 2 3 4 Gọi ma trận n  ma trận chuyển vị có kích thước n  n pt , 2 ma trận có npt hàng cột chứa ẩn số góc xoay nút phần tử (hình 3.5) ngx (1,:)  5 6; nw (2,:)  7 8; nw (3,:)  9 10; nw (4,:)  11 12 53 n gx  5 10 11 12 Sau biết ẩn số thực ta xây dựng độ cứng tổng thể (có nhiều cách ghép nối phần tử khác nhau, tùy vào trình độ lập trình người nên tác giả khơng trình bày chi tiết cách ghép nối phần tử lại để ma trận độ cứng tồn dầm xem code mơ đun chương trình tác giả) Nếu tốn có n cv ẩn số chuyển vị ngx ẩn số góc xoay ma trận độ cứng dầm K có kích thước (nxn), K n,n với n   n cv  ngx  Như ví dụ 3.1, n 11 Bây xét điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện liên tục góc xoay phần tử viết sau: dy  dy 0 i i 1 dx nut2 dx nut1  dy 1  dy  dx nut2 hay:  dy 2  dx nut2  dx dy dx dy (a)     nut1         nut1  (b)  dy     0   dx nut2 dx   nut1   Trong i ẩn số tốn (có k ẩn số), tổng số ẩn số tốn lúc (n+k) ma trận độ cứng phần tử lúc phải thêm k dòng k cột kích thước ma trận độ cứng K n  k,n  k  Gọi k1 góc xoay nút phần tử trước, k góc xoay nút phần tử sau ta có hệ số ma trận độ cứng K: k n  i, k1   ; k n  i, k2   (i   k) (c) x x (d) k k , n  i   ; k k , n  i   (i   k) x x Nếu có hai phần tử có điều kiện góc xoay, có n pt phần tử có điều  1 2n pt kiện liên tục góc xoay phần tử Như cuối ta thiết lập phương trình: 54   F K (e)    1   1      F   1  so  hang  n    F    n  đó: F  n  ;   ẩn số toán  0    1        so  hang  k   2    0        k  55 Trong ví dụ 3.1 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke], nhƣ sau: ,- [ ] - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu sau:             K                 1536 - 768 0 - 768 1536 - 768 - 768 1536 - 76 0 - 768 - 96 - 96 96 96 0 - 96 - 96 0 96 96 0 0 0 0 0 0 0 0 768 0 0 - 96 - 96 96 0 96 - 96 - 96 0 0 0 - 96 - 768 96 76 - 96 - 96 96 0 - 96 0 0 0 16 8 16 0 16 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 96 0 - 96 96 96 - 96 - 96 0 0 0 0 0 16 0 16 8 16 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 96 96 0 0 0 - 96 - 768 96 768 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 - - 96 0 0 0 - 16 - 96 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 96 - 96 0 0 0 0 0 0 16 8 16 0 0 -1 0 - - 16 - 96 - 96 0 0                0              56 - Véc tơ lực nút* +: 0.2500   0.2500    0.2500   0.1250     0  0    0   0     F  0    0  0    0   0   0    0  0    0   Giải phương trình (e) ta nhận được:  K 1F Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K \ F Kết chuyển vị, góc xoay nút: 2   W W  W  W  4  W  5  0.0133    0.0449   q   0.0850  x l ;    0.1270   Mômen uốn dầm: M1   M  M    M 3  M     5 M    0.0000  0.0977    3   0.1484 x ql3    0.1680   4  0.1680  5              - 0.5000     1     2    -   0.2813 - 0.1250     - 0.0313   x ql  - 0.0007    57 Ta thấy kết trên: - Về mômen trùng khớp với kết giải xác theo phương pháp giải tích: + Tại hai đầu ngàm: -0.02 -0.04 -0.06 + Tại dầm: -0.08 -0.1 X: 16 - Về chuyển vị nhịp trùng khớp với kết giải xác theo phương pháp giải tích: -0.12 -0.14 Y: -0.1252 10 12 14 16 Hình 3.8a Đường độ võng Biểu đồ mơmen uốn lực cắt dầm nhƣ hình 3.8: Hình 3.8b Biểu đồ M Nhận xét: Nếu ta rời rạc hóa dầm thành 16 phần tử kết trùng khớp với kết xác nhận phương pháp giải tích 58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán dầm chịu uốn chịu tác dụng tải trọng tĩnh phân bố Tác giả rút kết luận sau: Trình bày đường lối xây dựng toán học nói chung có tốn học kết cấu Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn toán học kết cấu Sử dụng Phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss tác giả xây dựng toán dầm chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli Xây dựng phương trình vi phân cân dầm chịu tải trọng phân bố Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả xác định nội lực chuyển vị dầm đơn chịu tải trọng phân bố có điều kiện biên khác Kết nội lực chuyển vị trùng khớp với kết nhận giải phương pháp có Khi rời rạc hóa kết cấu với số phần tử nhiều kết tiệm cận tới kết xác nhận từ phương pháp giải tích Đối với tốn dầm chịu tải trọng phân bố để đạt chuyển vị xác cần chia dầm thành từ đến phần tử, để tìm nội lực xác cần chia dầm thành từ đến 16 phần tử KIẾN NGHỊ Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán khác như: Dầm, khung, dàn, tấm, vỏ 59 Danh mục tài liệu tham khảo I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp m i Tính tốn hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [4] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [5] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi n chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [6] Đoàn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss đ i v i toán ổn định cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [7] Đồn Văn Duẩn (2010), Phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Công nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30-Tr36) [8] Đoàn Văn Duẩn (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, [9] Đoàn Văn Duẩn (2012), Phương pháp tính tốn dây mềm, Tạp chí kết cấu công nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [10] Đoàn Văn Duẩn (2014), Phương pháp chuyển vị cưỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [11] Đồn Văn Duẩn (2015), Bài tốn học kết cấu dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [12] Đoàn Văn Duẩn (2015), Phương pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [13] Đồn Văn Duẩn (2015), Tính tốn kết cấu khung chịu uốn phương pháp so sánh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) 60 [14] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss đ i v i toán học k t c u, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [15] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss đ i v i tốn động lực học cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [16] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), T m Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIẾNG PHÁP [17] Robert L‟Hermite (1974), Flambage et Stabilité – Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris III TIẾNG ANH [18] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [19] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [20] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [21] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [22] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [23] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [24] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) 61 [25] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [26] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [27] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements, J „Computers @ Structures‟,84, trg 476-484 [28] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng [29] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [30] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [31] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [32] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [33] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London [34] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London 62 [35] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall 63 ... Nghiên cứu nội lực chuyển vị dầm phương pháp phần tử hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp xây dựng phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày Phương pháp phần tử hữu. .. phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị Sau luận văn trình nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị 3.1.1 Nội. .. - biến phân phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng gần hàm chưa biết miền xác định V Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn khơng tìm