30 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện mức độ 4 vận dụng cao đề số 1 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO – ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích 2018 Gọi M trung điểm AA'; N, P điểm nằm cạnh BB',CC' cho BN  BN , CP  3C P Tính thể tích khối đa diện ABCMNP A 4036 B 32288 27 C 40360 27 D 23207 18 Câu Một kẽm hình vng ABCD có cạnh 30cm Người ta gập kẽm theo hai cạnh EF GH AD BC trùng hình vẽ bên để hình lăng trụ khuyết hai đáy Giá trị x để thể tích khối lăng trụ lớn là: A x   cm  B x   cm  C x   cm  D x  10  cm  Câu Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D tích 2110 Biết AM  MA; DN  ND, CP  PC  hình vẽ Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ bằng: A 7385 18 B 5275 12 C 8440 D 5275 ASB  BSC  CSA  300 Mặt phẳng   qua Câu Cho khối chóp S ABC có SA  SB  SC  a A cắt hai cạnh SB, SC B, C  cho chu vi tam giác ABC  nhỏ Tính k  A k   B  C k  k  42 VS ABC  VS ABC D k  2   Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, I nằm cạnh SC cho IS = 2IC Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD M, N Gọi V’, V thể tích khối  chóp S AMIN S ABCD Tính giá trị nhỏ tỷ số thể tích V V A B 54 C 15 D 24 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M di động cạnh SC, đặt MC  k Mặt phẳng qua A, M song song với BD cắt SB, SD thứ tự N, P Thể tích khối chóp MS C APMN lớn A k  B k  C k  D k  Câu Cho hình chóp S ABC có SA  x, BC  y, AB  AC  SB  SC  Thể tích khối chóp S ABC lớn tổng  x  y  A B C D Câu Cho hình chóp S ABCD có SA  x , cạnh cịn lại 18 Tính giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCD ? A 648  dvtt  B 1458  dvtt  C 8748  dvtt  D 243 11  dvtt  A1B1C1D1 tứ diện với đỉnh trọng tâm tích V1 Gọi A2 B2C2 D2 tứ diện với đỉnh Câu Cho tứ diện ABCD tích V Gọi tam giác BCD, CDA, DAB, ABC B1C1 D1 , C1 D1 A1 , D1 A1 D1 B1 , A1 B1C1 tích V2 , tứ diện An BnCn Dn tích Vn với n số tự nhiên lớn Tính giá trị P  lim V1  V2   Vn  n  trọng tâm tam giác A 27 V 26 B V 27 C V D 82 V 81 Câu 10 Cho tứ diện ABCD tích V Điểm M thay đổi tam giác BCD Các đường thẳng qua M song song với AB, AC, AD cắt mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) N, P, Q Giá trị lớn thể tích khối MNPQ là: A V 27 B V C V 16 D 3V 54 Câu 11 Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O’ lấy điểm b Đặt  góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng? A tan   B tan   C tan   D tan   Câu 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh đáy Gọi M, N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC, BD cho mặt phẳng (AMN) ln vng góc với mặt phẳng (BCD) Gọi V1, V2 giá trị lớn nhỏ thể tích khối tứ diện ABMN Tính V1 + V2? A 17 B 51 16 C D 51 Câu 13 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Hai điểm M, N thuộc đoạn thẳng AB AD (M N không trùng với A) cho AB  AD  Kí hiệu AM AN thể tích khối chóp SABCD SMBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số A B C V ,V1 V1 V D 17 14 Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  3, AD  6, tam giác SAC nhọn nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết hai mặt phẳng  SAB  ,  SAC  tạo với góc  thỏa mãn tan   cạnh SC = Thể tích khối chóp S.ABCD A B C D Câu 15 Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi E,F trung điểm B'C' C'D' Mặt phẳng  AEF  chia hình hộp thành hai hình đa diện  H   H    H  hình đa diện chứa đỉnh A' Tính tỉ số thể tích đa diện  H  thể tích hình đa diện  H   A 25 47 B 25 72 C 47 25 D 72 47 Câu 16 Cho x, y số thực dương Xét hình chóp S ABC có SA  x, BC  y, cạnh lại Khi x, y thay đổi, thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn A 12 B 27 C D Câu 17 Khối chóp tam giác có độ dài cạnh xuất phát từ đỉnh a, 2a, 3a tích lớn A 4a B 2a C a D 6a Câu 18 Xét khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Gọi  góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC), tính cos  thể tích khối chóp S.ABC nhỏ A cos   B cos   C cos   D cos     600 , mặt bên  SAB  , Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD  SAD  ,  SBD  tạo với đáy góc 450 Thể tích khối chóp có giá trị lớn a3 A a3 B a3 C a3 D   90 , BC  2,  ACB  30 , hình chiếu S mặt Câu 20 Cho khối chóp S.ABC có BAC phẳng đáy trung điểm H BC Giả sử có mặt cầu tâm O, bán kính tiếp xúc với SA,SB,SC điểm A1 , B1 , C1 , A1 , B1 thuộc cạnh tương ứng SA,SB, C1 thuộc tia đối tia SC; đồng thời mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  Thể tích hình chóp S ABC A 2 B C D Câu 21 Một khối nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân đường sinh có độ dài cm Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 600 chia khối nón thành hai phần Tính thể tích phần nhỏ (Tính gần đến hàng phần trăm) A 4,36cm3 B 5,37cm3 C 5,61cm3 D 4,53cm3 Câu 22 Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  Gọi M , N , P điểm thuộc cạnh AA, BB, CC  cho AM  MA, NB  NB, PC  PC  Gọi diện ABCMNP A’B’C’MNP Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 ,V2 thể tích hai khối đa V1 V2 C V1  V2 D V1  V2 Câu 23 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD, ABC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V  2a 320 B V  2a 320 C V  a3 96 D V  2a 80 Câu 24 Cho hình chóp SABC có mặt phẳng  SAC  vng góc với mặt phẳng  ABC  , SAB tam giác cạnh a 3, BC  a 3, đường thẳng SC tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 Thể tích khối chóp SABC bằng: A a3 B a3 C a3 D 2a3 Câu 25 Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  6, AD  3, AC  mặt phẳng  AAC C  vng góc với mặt phẳng đáy Biết hai mặt phẳng  AAC C   AABB  tạo với góc A V =  thoả mãn tan   Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D B V = 12 C V = 10 D V = Câu 26 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh 2a, gọi M trung điểm BB P thuộc cạnh DD cho DP  DD Mặt phẳng  AMP  cắt CC  N Thể tích khối đa diện AMNPBCD A V  2a B V  3a 11a C V  9a D V  Câu 27 Khối chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA  SB  SC  a, cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD a3 A a3 B 3a3 C a3 D Câu 28 Cho tứ diện ABCD có M, N, Plần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD cho MA  MB, NB  NC , PC  PD Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần Gọi T tỉ số thể tích phần nhỏ chia phần lớn Giá trị T A 25 43 B 19 26 C 13 25 D 26 45 Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có AB  5cm, BC  6cm, CA  7cm Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng  ABC  nằm bên tam giác ABC Các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCA  tạo với đáy góc 600 Gọi AD, BE , CF đường phân giác tam giác ABC với D  BC , E  AC , F  AB Thể tích S.DEF gần với số sau đây? A 2,9cm3 B 4,1cm3 C 3,7cm3 D 3, 4cm3 Câu 30 Khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA  SB  SC  a, cạnh SD thay đổi Thể tích khối chóp S.ABCD lớn độ dài cạnh SD là: A a B C a D 2a HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1–D 11 - B 21 - A 2–D 12 – A 22 - C 3–D 4–B 13 – C 14 – A 23 - A 24 - C 5-C 15 – A 25 – A 6–D 16 - B 26 – B 7-C 17 – C 27 – B 8–B 18 – B 28 - B 9-A 19 – C 29 – D 10 – A 20 - B 30 – C Câu Chọn D Phương pháp: Thể tích V V khối đa diện ABCMNP tính theo cơng thức VABC ABC   AM BN CP       AA BB CC   Cách giải: Thể tích cần tìm V  2018   23207     2 4 18 Câu Chọn D Phương pháp: Tính thể tích khối lăng trụ Do chiều cao lăng trụ cố định nên để thể tích lăng trụ lớn diện tích đáy phải lớn Ta tính diện tích đáy, sau áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm giá trị lớn diện tích đáy Cách giải: Thể tích khối lăng trụ là: V  BC.S AEG  30.S AEG Theo giả thiết ta phải có x  30  x  15 Ta có AEG có độ dài cạnh AE  AG  x  cm  , EG  30  x  cm  nên diện tích S  15 15  x 15  x  15   30  x    15 15  x   x  15   cm  1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho   15  x , 15  x , x  15 ta nhận  15  x   15  x    x  15   15  x   x  15  15  x 15  x  x  15      2   3 Thay (2) vào (1) ta nhận S  15  25 Do V  30.25  750  cm3  Giá trị lớn thể tích đạt diện tích S AEG đạt giá trị lớn Khi ta phải có 15  x  x  15  x  10  cm   0  x  15 Câu Chọn D Phương pháp: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D tích V Một mặt phẳng cắt đoạn AA',BB',CC',DD' theo thứ tự M,N,P,Q thể tích V  khối đa diện ABCD.MNPQ tính theo công thức: V   V  AM CP  V  BN DQ         AA CC    BB DD  Cách giải: Thể tích khối đa diện nhỏ V  VABCD ABC D  AM CP  2110  1  5275        2  3  A A CC   Câu Chọn B Phương pháp: Trải ba mặt bên hình chóp mặt phẳng Tìm chu vi tam giác AB’C’và tìm SB’, SC’ để chu vi tam giác AB’C’ nhỏ Cách giải: Trải tam giác SAB, SBC, SAC mặt phẳng  A  A  Ta có SAC  SAC  AC   AC  Do chu vi tam giác AB’C’ AB  BC   C A  AB  BC   C A  AA Dấu “=” xảy B  E , C   F hay SB  SE , SC   SF Tam giác SAA’ có S  90 , SA  SA  a nên tam giác SAA’ vng cân S, SAA  SAA  450 Xét tam giác SAE có SEA  1800  300  450  105 Áp dụng định lý sin ta có:   SE SA SE a     SE  1  a sin SAE sin SEA sin 45 sin105   Tương tự chứng minh SF  1  a   Vậy chu vi tam giác AB’C’ nhỏ  SB  SC   1  a Khi VS ABC  SB SC    1     k   VS ABC SB SC   Câu Chọn C Phương pháp: Tỷ lệ tích hai khối chóp nhỏ  MN / / BD Cách giải: Gọi K giao điểm AI SO  Ta có M, N, K thẳng hàng V nhỏ  MN / / BD V Khi MN // BD Gọi E trung điểm IC  OE / / AI SK SI SI IC SM SN        SO SE SI  IC IC  IC SB SD 2  VS AMI SM SI    VS ABC SB SC 15 Tương tự ta có VS ANI V    VS ADC 15 V 15 Câu Chọn D Phương pháp: Dùng định lí Thalet, định lý Menelaus phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp theo tham số k Khảo sát hàm số chứa biến k để tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ Cách giải: Gọi O tâm hình bình hành ABCD I  SO  AM Ba điểm M, A, I thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: SM CA OI OI k 1  SC CO SI SI Vì NP//BD  SP  SI  SN  SD SO SB (định lý Thalet) k 2 Và d  P;  ABCD    d  N ;  ABCD    DP d  S ;  ABCD    SD k VS ABCD 2k   VP ACD  VN ABC  Ta có: VS AMP SM SP 2    VS ANMP  V VS ACD SC SD k  k   k  1 k   S ABCD  Vậy VC ANMP  VS ABCD  VS ANMP  VP ACD  VN ABC  1    k d  S ;  ABCD   k 2  k  1 k    k   VS ABCD k   2k VS ABCD k  3k  2 Để VC ANMP max  f  k   Xét hàm số f  k   f k   k đạt giá trị lớn k  3k  2 k khoảng  0;  ta có k  3k  2 k   k  3k     k  (vì k  )  max f  k   f  0;   2  3 2 Dấu xảy k  Vậy k  thể tích khối chóp C.ANMP lớn Câu Chọn C 10 + Tính thể tích H' so với thể tích hình hộp, đưa tốn tính thể tích khối chóp cộng trừ thể tích Cách giải: Mặt phẳng  AEF  chứa EF / / BD   ABCD   Giao tuyến  AEF   ABCD  đường thẳng qua A song song với EF Trong  ABCD  qua A kẻ HI//BD  H  BC , I  CD  Trong  BCC B  gọi L  EH  BB,  CDDC   gọi M  FI  DD ,  AEF    ALEFM   AEF    BCC B   HE   HE , FI , CC  đồng quy N Ta có:  AEF    CDDC    FI   BCC B    CDDC    CC  Ta có: VH   VN CIH  VN EFC   VL ABH  VM ADI Ta dễ chứng minh B, D trung điểm CH, CI  BD  1 HI  EF  BD  HI 2  C EF  CIH theo tỉ số đồng dạng k  SC EF   SCIH 16 NC  EC  d  N ,  C FE   1 1      VN FC E  VN CIH  VN CIH NC HC 16 64 d  N ,  CIH   VLABH  VM ADI  1 VN CIH  VN CIH  VH   VN CIH  VN FC E  VL ABH  VM ADI  Ta có: 47 VN CIH 64 CC  S ABCD VABCD ABC D d  C ;  ABCD   S ABCD CC  S ABCD  ,    3   NC SCIH VS CIH NC SCIH d  N ;  CIH   SCIH 47 47 25  VS CIH  VABCD ABC D  VH   VN CIH  VABCD ABC D  VH  VABCD ABC D 64 72 72  VH 25  VH  47 Câu 16 Chọn B 18 Phương pháp: Xác định thể tích khối chóp thơng qua phương pháp dựng hình với yếu tố đặc biệt, đưa biểu thức chứa hai biến ,xy đánh giá thông qua bất đẳng thức, khảo sát hàm số để tìm GTLN thể tích Cách giải: Gọi I, H trung điểm SA, BC  BI  SA Ta có:   SA   BIC  , VS IBC  VA.IBC CI  SA BI  SB  SI   x2  x2  x2  y  x2 y , IH  IB  BH     4 Diện tích tam giác IBC S IBC  IH BC  y  x  y 2 x y xy  VS IBC  VA IBC   x2  y   x2  y 24 Khi thể tích khối chóp S.ABCD VS ABC  2VS IBC  xy  x  y 12 Ta có: xy  x2  y x2  y V   x2  y 2 24 Đặt t   x  y   0; 2,  V  f  t   2 Vậy giá trị lớn VS ABC Vmax  t 4  t2  24  16 (khảo sát hàm số) 27 Câu 17 Chọn C Phương pháp: Xác định khoảng cách, biện luận góc vị trí điểm để tìm GTLN thể tích Cách giải: 19  SA  a, SB  2a Xét khối chóp tam giác S.ABC có  h khoảng cách từ C đến  SAB   SC  3a, ASB   Khi đó, thể tích khối chóp S.ABC V  d  C ;  SAB   S SAB (1) Diện tích tam giác SAB S SAB  SA.SB.sin  ASB  a sin  (2) sin   1 Từ (1)(2)  V  h.a sin  mà   V  3a.a  a 3 h  SC  3a Câu 18 Chọn B Phương pháp: Tính thể tích VS ABC  SA.S ABC theo cos  Cách giải:  BC  AM Gọi M trung điểm BC ta có:   BC   SAM   BC  SA Trong  SAM  kẻ AH  SM  AH  BC  AH   SBC   AH  20  SBC    ABC   BC  Ta có:  AM  BC    SBC  ;  ABC     AM ; SM   SMA    SM  BC   AM  AH 1   BC  AM   S ABC  AM BC   sin  sin  sin  2 sin  sin  sin  Trong tam giác vuông SAM có SM  AM  cos  sin  cos   SA  SM  AM   cos    2 sin  cos  sin  cos  cos  1 9  VS ABC  SA.S ABC   3 cos  sin  1  cos   cos  Đặt t  cos    t  1  f  t     243 f   ;f 3   27 ;f      1  t  t  2   243  f  t      18 2; f    x 0;1 10      3 f     Câu 19 Chọn C Phương pháp: Xác định thể tích khối chóp cách xác định chiều cao, với hình chiếu đỉnh tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác đáy Cách giải: Ba mặt bên  SAB  ,  SAD  ,  SBD  tạo với đáy góc 450  Chân đường cao trùng tâm đường tròn nội tiếp ABD chân đường cao trùng với đường tròn tâm bàng tiếp ABD 21 Xét trường hợp ta nhận thấy thể tích khối chóp lớn  Vmax chân đường cao trùng tâm bàng tiếp ABD  H  C Ta có: DAB  60  ABD tam giác cạnh Ta có: a  S ABCD  2S ABD   SBD  ,  ABCD     SO; OC   SOC  45 a2 a2    SOC vuông cân C a a a a3  SC  OC   Vmax   2 Câu 20 Chọn B Phương pháp: Dựng hình, xác định bán kính mặt cầu để suy chiều cao khối chóp Cách giải: Do mặt cầu tâm O tiếp xúc với ,, SA SB SC điểm A1 , B1 , C1  SA1  SB1  SC1 1 Mặt khác: OA1  OB1  OC1   Từ (1) (2)  SO   A1 B1C1 D1  Gọi C’ điểm đối xứng C qua S Ta có tam giác SAB, SAC’, SBC’ cân S  A1 B1 / / AB, A1C1 / / AC , B1C1 / / BC    A1 B1C1  / /  ABC   SH / / BC   SH / /  ABC   Vậy SO  SH  SH  d  O;  ABC    R  Vậy V  3 Câu 21 Chọn A Phương pháp: 22 - Xác định góc mặt phẳng mặt phẳng - Lập tỉ lệ thể tích thơng qua tỉ lệ diện tích đáy tỉ lệ chiều cao Cách giải: Xét hình nón (H) thỏa mãn u cầu đề bài, có thiết diện qua trục tam giác SAB Ta có: SAB cân S tam giác vuông cân  SAB vuông cân đỉnh S Gọi O trung điểm AB  SO  OA  OB  SA    cm  2 Thể tích hình nón (H): V  SO. OA2  3 32  9 3 Gọi (P) mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc giác cân SMN 600 , thiết diện (P) với mặt đáy tam Gọi I trung điểm MN (hiển nhiên I không trùng O), suy IO  MN Mà SO  MN (vì SO  đáy)  MN   SIO   Tam giác SIO vuông O  IO    P  ,  ABI    OIS  60 SO SO     cm  tan SIO tan 60 S h V0 S S Gọi V0 thể tích phần nhỏ Ta có    V0  V V S S S h *Tính diện tích đáy phần tích nhỏ hơn: 23 Diện tích hình trịn S   OA2   32  9 S0  S1    x dx Đặt x  3sin t  dx  3cos tdt Đổi cận: x   t  arcsin  ,x 3t     S0    x dx    9sin t 3cos t.dt  18  arcsin cos t.dt  arcsin  arcsin   18  cos t  2 9   dt   9t  sin 2t    arcsin  sin  arcsin  2   arcsin  3 9    arcsin  sin  arcsin  S  3  0 S 9 9    arcsin  sin  arcsin  S0  3  V0  V  9  4,36  cm3  S 9  Câu 22 Chọn C Phương pháp: Chia thành khối đa diện nhỏ để tính thể tích Cách giải: 24 Đặt V  VABC ABC  Ta có: VABCMNP  VP ABNM  VP ABC  , mặt khác: VP ABC  1 V d  P;  ABC   S ABC  d  C ;  ABC   S ABC  6 AA  BB S ABNM AM  BN 1     VP ABNM  VC ABBA S ABBA AA  BB AA  BB 2 Mà VC ABBA  V  VP ABNM  V  V 3 Khi VABCMNP  V  V  V Vậy V1 V V  : 1 V2 2 Câu 23 Chọn A Phương pháp: Xác định thiết diện, sử dụng cơng thức tỉ số thể tích Cách giải: 25 Trong (ABD) kéo dài EM cắt AB G, cắt AD I Trong (ABC) kéo dài GN cắt AC H Khi thiết diện khối tứ diện cắt mặt phẳng (EMN) tam giác GHI (GHI) chia khối tứ diện thành hai phần A.GHI GHI.BCD Gọi P, Q trung điểm BD BC Kéo dài GH cắt BC F Áp dụng định lí Menelaus: Trong tam giác APD có MA EP ID   ID   ID   AI  MP ED IA IA IA AD Trong tam giác ABD có: GA EB ID   GA   GA   AG  GB ED IA Trong tam giác ABQ có: GB GB AB GA FB NQ FB FB BQ BC 1 1      GB FQ NA FQ 2 FQ BF BF  C trung điểm BF  CD//EF  GHI    BCD   EF  AH AI    GHI    ACD   HI  EF / / HI / / CD  AC AD  BCD  ACD  CD      Vậy VA.GHI AG AH AI 3 27    VA.BCD AB AC AD 4 80 Thể tích tứ diện cạnh a: VA.BCD a 12 9a   VA.GHI  12 320 Câu 24 Chọn C Phương pháp: +) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh Chóp S.ABC có đỉnh B đáy SAC 26 +) Chứng minh tam giác SAC vuông S +) Xác định góc SC (ABC) +) Sử dụng cơng thức tính thể tích V  Bh Cách giải: Có AB  BC  a  ABC cân B Gọi H trung điểm AC Ta có: BH  AC  ABC    SAC    ABC    SAC   AC  BH   SAC   BH  SA 1   ABC   BH  AC Gọi K trung điểm SC, tam giác SAB  BK  SA   Từ (1), (2)  SA   BHK   SA  HK Lại có HK đường trung bình tam giác SAC  HK / / SC  SA  SC  SAC vuông S   Trong (SAC) kẻ SI  AC , tương tự SI   ABC   SC ;  ABC    SC ; IC   SCI  60 Xét tam giác vng SAC có SC  AC.cot 60  a  a  AC  a  3a  2a 1 a2  S SAC  SA.SC  a 3.a  2 H trung điểm AC  AH  AC  a  BH  BA2  AH  3a  a  a 2 3 Vậy VS ABC  BH S SAC  a a2 a2  27 Câu 25 Chọn A Câu 26 Chọn B Phương pháp: Dựa vào cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối lăng trụ với đáy tứ giác sau: Cho hình lăng trụ ABCD ABC D với M  AA, N  BB, P  CC , Q  DD  V  AM CN   BP DQ  AM CN BP DQ ABCD.MNPQ           VABCD ABC D  AA CC    BB DD  AA CC  BB DD Cách giải: Áp dụng cơng thức tính nhanh: VAMNPBCD  BM DP  3       AMNPBCD  3a   VABCD ABC D  BB DD  Câu 27 Chọn B Phương pháp: Dựng hình, xác định chiều cao khối chóp, đưa thể tích hàm ẩn khảo sát hàm số tìm max Cách giải: Hình vẽ tham khảo Gọi I tâm hình thoi ABCD, H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) Ta có SA  SB  SC nên hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC hay H  BI Có S SI  SA2  IA2  a  IA2 ; IB  AB  IA2  a  IA2  SI  IB Khi tam giác SBD vuông Hoặc ABC  ASC  ADC  c  c  c   IB  IS  ID  Tam giác SBD vuông S Giả sử SD  x Ta có SB.SD  SH SD  a.x  SH SD  SH  a.x BD Ta có: VS ABCD  SH AC.BD  a.x AC.BD  ax AC 3 BD 28 2 2 2 Lại có: BD  SB  SD  a  x  IB  a2  x2 a  x 3a  x  IA2  a   4 3a  x  AC  IA   3a  x  VS ABCD a x  3a  x a 2  ax 3a  x   6 Vậy thể tích lớn khối chóp SABCD a3 Câu 28 Chọn B Phương pháp: Gọi thể tích tứ diện ABCD V, tính thể tích phần theo V dựa vào tỉ số đường cao, tỉ số diện tích đáy tương ứng Cách giải: Gọi E giao điểm NP BD, F giao điểm ME AD Khi đó, thiết diện (MNP) tứ diện ABCD tứ giác MNPF Áp dụng định lí Menelaus BCD ta có  BE  NB PC EB EB   2.2 1 NC PD ED ED  EB  ED 4 BD Áp dụng định lí Menelaus ABD ta có: MA EB FD   FD   FD  MB ED FA  FA AD S BNE NB BE VM BNE MB S BNE        VM BNE  VABCD S BCD CB BD 3 VABCD AB S BCD 9 S PDE PD DE 1 VF PDE FD S PDE 1        VF PDE  VABCD S BCD CD BD 3 VABCD AD S BCD 45 45 29  VMNPFBD  VM BNE  VF PDE   V2  19 VABCD  V1 45 V 19 26 VABCD   45 V2 26 Câu 29 Chọn D Cách giải: Vì mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCA  tạo với đáy góc 600 hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) nằm bên tam giác ABC nên ta có hình chiếu S xuống mặt phẳng (ABC) tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC Gọi p nửa chu vi tam giác ABC p     Ta có: S ABC          6 r  S 6   p Chiều cao hình chóp h  r tan 60  2 Kí hiệu BC  a, AC  b, AB  c Ta có: BE phân giác góc B nên AE  BA Tương tự: FA  CA , DB  AB CE Khi BC FB CB DC AC S AEF AE AF AB AC   S ABC AC AB AB  BC AC  BC Tương tự: SCED S CA CB BC BA  , BFD  S ABC CA  CB CB  AB S ABC BC  CA BA  CA  Do S DEF  S ABC 1    ab bc ac     a  c  b  c   b  a  c  a   a  b  c  b   30  2abc 210 S ABC  143  a  b  b  c  c  a  210 280  VS DE F  2  cm3   3,  cm3   143 143 Câu 30 Chọn C Cách giải: Khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA  SB  SC  a  Khối chóp S.ABC có: SA  SB  SC  BA  BC  a tích thể tích khối chóp S.ABCD Như vậy, để thể tích khối chóp S.ABCD lớn thể tích khối chóp S.ABC lớn SD thay đổi Gọi H trung điểm SB SAB, SBC tam giác cạnh a  AH  CH  AH  SB, CH  SB  SB   AHC   VS ABC  a 1 SB.S AHC  a.S AHC 3 Mặt khác: S AHC 1 a 3  AH C sin SHC    sin AHC 2    V S ABC lớn  AHC  900  AH  HC  AHC vuông cân H a AH a a  HO     2 2 OH đương trung bình SBD  SD  2.OH  a a  2 31 Vậy, để thể tích khối chóp S.ABCD lớn độ dài cạnh SD là: a 32 ... , A1C1  2   d  B1 , A1C1   d  B1, A1C1  d  B1, A1C1  3 S A1B1C1  S A1B1C1 d  A1 ; B1C1  B1C1 2 4    S A1B1C1  S A1B1C1 d  A1; B1C1  B1C1 3 9 Mà S ABC  ... Cho tứ diện ABCD tích V Gọi tam giác BCD, CDA, DAB, ABC B1C1 D1 , C1 D1 A1 , D1 A1 D1 B1 , A1 B1C1 tích V2 , tứ diện An BnCn Dn tích Vn với n số tự nhiên lớn Tính giá trị P  lim V1  V2 ... GIẢI CHI TIẾT 1? ??D 11 - B 21 - A 2–D 12 – A 22 - C 3–D 4? ??B 13 – C 14 – A 23 - A 24 - C 5-C 15 – A 25 – A 6–D 16 - B 26 – B 7-C 17 – C 27 – B 8–B 18 – B 28 - B 9-A 19 – C 29 – D 10 – A 20 - B 30