30 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện mức độ 4 vận dụng cao đề số 1 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3, AD  6, tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Xét khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t

30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO – ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 1 Cho khối lăng trụ ABC A B C   có thể tích bằng 2018 Gọi M là trung điểm AA'; N, P lần lượt

là các điểm nằm trên các cạnh BB',CC' sao cho BN  2B N CP ,  3C P Tính thể tích khối đa diện

ABCMNP

3

32288 27

40360 27

23207 18

Câu 2 Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF

và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy Giá trị của để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:x

A x5 cm B x9 cm C x8 cm D x10 cm

Câu 3 Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D    có thể tích bằng 2110 Biết A M MA;

như hình vẽ Mặt phẳng chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện

8440 9

5275 6

Câu 4 Cho khối chóp S ABC có SA SB SC a   và ASB BSC CSA    30 0 Mặt phẳng    qua

A và cắt hai cạnh SB, SC tại B C  , sao cho chu vi tam giác AB C  nhỏ nhất Tính .

.

S AB C

S ABC

V k V

8 15

5 24

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Điểm M di động trên cạnh SC, đặt

Mặt phẳng qua A, M song song với BD cắt SB, SD thứ tự tại N, P Thể tích khối chóp .

có thể tích với là một số tự nhiên lớn hơn 1 Tính giá trị của

27V

9

8V

82

81V

Câu 10 Cho tứ diện ABCD có thể tích là V Điểm M thay đổi trong tam giác BCD Các đường thẳng

đi qua M và song song với AB, AC, AD lần lượt cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) tại N, P, Q Giá trị lớn nhất của thể tích khối MNPQ là:

A . B C D

27

V

16

V

8

54

V

Câu 11 Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a

Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm b Đặt  là góc giữa AB và đáy Biết rằng thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 12 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3 Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc

cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD) Gọi V1, V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN Tính V1 + V2?

.8

51 2.16

2.4

51 2.8

Câu 13 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Hai điểm M, N lần lượt thuộc các

đoạn thẳng AB và AD (M và N không trùng với A) sao cho AB 2AD 4. Kí hiệu lần lượt là

AM  AN  V V , 1các thể tích của các khối chóp SABCD và SMBCDN Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số V1

V

3

1 6

3 4

17 14

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3, AD  6, tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết hai mặt phẳng SAB , SAC tạo với nhau góc  thỏa mãn 3 và cạnh SC = 3 Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

4 3

8 3.3

Câu 15 Cho hình hộp ABCD A B C D     Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D' Mặt phẳng

chia hình hộp thành hai hình đa diện và trong đó là hình đa diện chứa đỉnh A'

47 25

72 47

Câu 16 Cho x y, là các số thực dương Xét các hình chóp S ABC có SAx BC,  y, các cạnh còn lại đều bằng 1 Khi x y, thay đổi, thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn nhất là

.12

2 3.27

3.8

1 8

Câu 17 Khối chóp tam giác có độ dài 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh là a a a, 2 ,3 có thể tích lớn nhất bằng

A 4 a3 B 2 a3 C a3 D 6 a3

Câu 18 Xét khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy,

khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), tính cos  khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất

Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a BAD, 60 ,0 các mặt bênSAB,

tạo với đáy một góc bằng Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là

SAD , SBD 45 0

3

.4

.3

.6

.2

a

Câu 20 Cho khối chóp S.ABC có BAC90 ,0 BC2 2,ACB30 ,0 hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của BC Giả sử có mặt cầu tâm O, bán kính bằng 1 tiếp xúc với SA,SB,SC lần lượt tại các điểm A B C1, , ,1 1 trong đó A B1, 1 thuộc các cạnh tương ứng SA,SB, còn C1 thuộc tia đối của tia SC; đồng thời mặt cầu tâm O đó tiếp xúc với mặt phẳng ABC Thể tích của hình chóp

3.3

2 3.3

3 2.2

Câu 21 Một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài bằng

cm Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc chia khối nón thành hai phần Tính

thể tích phần nhỏ hơn (Tính gần đúng đến hàng phần trăm)

A 4,36 cm3. B 5,37 cm3. C 5,61 cm3. D 4,53 cm3.

Câu 22 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi M N P, , lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

sao cho Gọi lần lượt là thể tích hai khối đa , ,

AA BB CC   AM  2MA NB ,   2NB PC, PC V V1, 2

diện ABCMNP và A’B’C’MNP Tính tỉ số 1

2

V V

V

V 

Câu 23 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ABC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V Tính V

A B C D

3

9 2.320

.3

.2

.6

Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6, AD  3,

và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết hai mặt phẳng và 3

.4

.8

.2

a

Câu 28 Cho tứ diện ABCD có M, N, Plần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao choMAMB,

Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần Gọi T là tỉ số thể tích của phần

NB NC PC PD

nhỏ chia phần lớn Giá trị của T bằng

A 25. B C D

43

19 26

13 25

26 45

Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có AB 5cm BC,  6cm CA,  7cm. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC Các mặt phẳng SAB , SBC, SCAđều tạo với đáy một góc 60 0 Gọi AD BE CF, , là các đường phân giác của tam giác ABC với

Thể tích S.DEF gần nhất với số nào sau đây?

3

a

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phương pháp: Tính thể tích khối lăng trụ Do chiều cao của lăng trụ cố định nên để thể tích lăng trụ là

lớn nhất thì diện tích đáy phải lớn nhất Ta đi tính diện tích đáy, sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của diện tích đáy

Cách giải: Thể tích khối lăng trụ là: V BC S  AEG  30 SAEG.

Theo giả thiết ta phải có 2x30 x 15

Ta có AEG có độ dài các cạnh là AE AG x cm EG   , 30 2 x cm  nên diện tích là

Thay (2) vào (1) ta nhận được S  15 53 25 3 Do đó V 30.25 3 750 3  cm3

Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi và chỉ khi diện tích SAEG đạt giá trị lớn nhất Khi đó ta phải có

Phương pháp: Trải ba mặt bên của hình chóp ra cùng một mặt phẳng Tìm chu vi của tam giác

AB’C’và tìm SB’, SC’ để chu vi của tam giác AB’C’ là nhỏ nhất

Cách giải:

Trải các tam giác SAB, SBC, SAC ra cùng một mặt phẳng A A 

Ta có SAC SA C  AC A C 

Do đó chu vi tam giác AB’C’ là ABB C C A AB  B C C A A A

Dấu “=” xảy ra khi B E C,  F hay SB SE SC,  SF. Tam giác SAA’ có S90 ,0 SA SA a

nên tam giác SAA’ vuông cân tại S, do đó SAA SA A  45 0

Xét tam giác SAE có SEA 180 0  30 0  45 0  105 0

Tương tự chứng minh được SF    1 3a

Vậy chu vi tam giác AB’C’ nhỏ nhất SB SC    1 3a

Phương pháp: Dùng định lí Thalet, định lý Menelaus và phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích

khối chóp theo tham số k Khảo sát hàm số chứa biến k để tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Cách giải:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD và I SOAM

Ba điểm M, A, I thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có:

Phương pháp: ABCD là hình thoi nên SABCD  2 SABC  VS ABCD.  2 VS ABC.

Đổi đỉnh và xác định chiều cao của hình chóp S.ABC Tính thể tích khối chóp và tìm GTLN của thể tích khối chóp S.ABC

Cách giải:

Gọi AC BD  O  SBD cân tại S có SO là trung tuyến SOBD

Lại có ABCD là hình thoi nên AC BDBDSAC

Ta có SO2 SB2 BO2 AB2 BO2  AO2 SOOA OC  SAC vuông tại S

  

Bước 2: Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để tính tổng A V V Vn     1 2 Vn

Bước 3: Tính giới hạn lim n

A B C

A B C D ABCD

ABC

d D A B C S V

2727

Giả sử tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc . .

6

ABCD

AB AC AD V

- Trên (O), (O’) lần lượt lấy B’, A’ sao cho AA’//BB’//OO’

- Xác định góc  : góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

- Tính thể tích khối tứ diện OO'AB theo thể tích khối lăng trụ OAB'.O'A'B

- Tìm GTLN của khối lăng trụ suy ra số đo  AOB   900 A B AB a     2  tan 

Cách giải:

Trên (O), (O’) lần lượt lấy B’, A’ sao cho AA’//BB’//OO’.

Diện tích tam giác BMN lớn nhất khi và chỉ khi N D hoặc M C, khi đó

S S

Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, tìm các yếu tố liên quan đến

chiều cao của khối chóp suy ra thể tích khối chóp

+ Tính thể tích của H' so với thể tích hình hộp, đưa về các bài toán tính thể tích khối chóp và cộng trừ thể tích.

Cách giải:

Mặt phẳng AEF chứa EF BD/ / ABCD Giao tuyến của AEF và ABCD là đường thẳng qua A và song song với EF

Trong ABCDqua A kẻ HI//BDH BC I CD ,  

Trong BCC B  gọi LEHBB, trong CDD C  gọi M FI D D   , khi đó AEF  ALEFM

Ta có: VH VN CIH.  VN EFC.  VL ABH.  VM ADI.

Ta dễ chứng minh được B, D lần lượt là trung điểm của CH, CI

H N CIH N FC E L ABH M ADI N CIH

Phương pháp: Xác định thể tích khối chóp thông qua phương pháp dựng hình với các yếu tố đặc biệt,

đưa về biểu thức chứa hai biến ,xy và đánh giá thông qua bất đẳng thức, khảo sát hàm số để tìm GTLN của thể tích

Cách giải:

Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, BC

Ta có: BI SA SA BIC V, S IBC. V A IBC.

Xét khối chóp tam giác S.ABC có , 2 và là khoảng cách từ C đến

Trong tam giác vuông SAM có 3

cos sin cos

AM SM

Phương pháp: Xác định thể tích khối chóp bằng cách xác định chiều cao, với hình chiếu của đỉnh là

tâm đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác đáy

Cách giải:

Ba mặt bên SAB , SAD , SBDtạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 45 0

Chân đường cao trùng tâm đường tròn nội tiếp hoặc chân đường cao trùng với đường tròn

tâm bàng tiếp của ABD

Xét 2 trường hợp ta nhận thấy thể tích khối chóp lớn nhất  Vmax khi chân đường cao trùng tâm bàng tiếp ABDH C

Ta có: DAB 60 0  ABD là tam giác đều cạnh a 2 2 2 3 2 3

- Xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

- Lập tỉ lệ thể tích thông qua tỉ lệ diện tích đáy và tỉ lệ chiều cao

Cách giải:

Xét hình nón (H) thỏa mãn yêu cầu đề bài, có một thiết diện qua trục là tam giác SAB

Ta có: SAB cân tại S và là tam giác vuông cân  SAB vuông cân tại đỉnh S

Gọi O là trung điểm của AB 3 2 3 

Gọi I là trung điểm của MN (hiển nhiên I không trùng O), suy ra IO MN

Mà SO MN (vì SO đáy)MN  SIO    P , ABI OIS 600

Tam giác SIO vuông tại O 0 3 3 

Trong (ABD) kéo dài EM cắt AB tại G, cắt AD tại I

Trong (ABC) kéo dài GN cắt AC tại H

Khi đó thiết diện của khối tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (EMN) là tam giác GHI

(GHI) chia khối tứ diện thành hai phần là A.GHI và GHI.BCD

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BD và BC

Kéo dài GH cắt BC tại F Áp dụng định lí Menelaus:

Trong tam giác APD có 1 2 .3 1 1 3

MP ED IA   IA   IA   AD Trong tam giác ABD có: 1 2.1 1 3 3

+) Chứng minh tam giác SAC vuông tại S

Có AB BC a   3   ABC cân tại B

Gọi H là trung điểm của AC Ta có: BH  AC

Câu 25 Chọn A.

Câu 26 Chọn B.

Phương pháp: Dựa vào công thức tính nhanh tỉ số thể tích trong khối lăng trụ với đáy là tứ giác như

sau: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     với M AA N, BB P CC Q,  , DD

ABCD MNPQ ABCD A B C D

Gọi I là tâm hình thoi ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD)

Ta có SA SB SC  nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC hay HBI

Có SI2  SA IA2  2   a2 IA IB2; 2  AB2 IA2   a2 IA2   SI IB Khi đó tam giác SBD vuông tại S

Hoặc ABC ASC ADC c c c    IB IS ID   Tam giác SBD vuông tại S

Phương pháp: Gọi thể tích tứ diện ABCD là V, tính thể tích các phần theo V dựa vào tỉ số đường cao,

tỉ số diện tích đáy tương ứng

Cách giải:

Gọi E là giao điểm của NP và BD, F là giao điểm của ME và AD

Khi đó, thiết diện của (MNP) và tứ diện ABCD là tứ giác MNPF

Áp dụng định lí Menelaus trong BCDta có NB PC EB. . 1 2.2.EB 1

4

EB ED

1

19 45

MNPFBD M BNE F PDE ABCD

1 2

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì 5 6 7 9

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a SA, SBSC a Khối chóp S.ABC có:

và có thể tích bằng thể tích khối chóp S.ABCD Như vậy, để thể tích

SA SB SC BA BC a     1

2khối chóp S.ABCD lớn nhất thì thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất khi SD thay đổi

Gọi H là trung điểm của SB SAB SBC,  là 2 tam giác đều cạnh 3

Vậy, để thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi độ dài cạnh SD là: 6

2

a