35 bài toán biện luận nghiệm, bài toán tương giao mức độ 3+4 vận dụng + vận dụng cao đề số 2 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

Kết luận nào sau đây là đúng?. Biết và hàm số có ba điểm cực trị.. Biết rằng đường thẳng y x m  cắt đồ thị hàm số y x 33x2 tại ba điểm phân biệt sao cho có một giao điểm cách đều ha

35 BÀI TOÁN BIỆN LUẬN NGHIỆM, BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO –

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO – ĐỀ SỐ 2 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1 Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng 1 y m 1 cắt đồ thị hàm số y x 43x22 tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ) Kết luận nào sau đây là đúng?

Câu 4 Cho hàm số f x x33 x2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ?

Câu 7 Tổng các giá trị của m để đường thẳng  d :y  x m cắt  : 2 1 tại hai điểm phân

1

x

x

 



 biệt A, B sao cho AB2 2 bằng

Câu 8 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ Biết

và hàm số có ba điểm cực trị Phương trình

 2 6,  4 10

2

x

  0?

g x 

C Có đúng 3 nghiệm D Có đúng 4 nghiệm.

Câu 9 Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số y x x 2 23 và đường thẳng y2

Câu 10 Biết rằng đường thẳng y x m  cắt đồ thị hàm số y x 33x2 tại ba điểm phân biệt sao cho

có một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại Khi đó m thuộc khoảng nào?

A  2; 4 B 2;0 C  0; 2 D  4;6

Câu 11 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau

x  1 1 

y + 0 0 +

y 3

1

1 1

3

Số nghiệm của phương trình    2   là

2 f x 3f x  1 0

Câu 12 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên Số nghiệm của phương trình

là

 1 2

x  2 3 

y + 0 0 +

y 

4

2

 A 5 B 4 C 2 D 3 Câu 13 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  2 2  f x  x m 3 7; 2 2       A 1 B 4 C 2 D 3 Câu 14 Tìm m để phương trình 4 2 có 8 nghiệm thực phân biệt 2 5 4 log x  x   m A 0 m 4 2 9 B 429  m 4 2 9 C Không có m D 1 m 4 29 Câu 15 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị  C m của hàm số y x 4mx22m3 có 4 giao điểm với đường thẳng y1, có hoành độ nhỏ hơn 3 A m2;11 \ 4   B m 2;5 C m2;  \ 4 D m2;11 Câu 16 Cho hàm số y x 33x2m có đồ thị  C Biết đồ thị  C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC Phát biểu nào sau đây đúng? A m0; B m   ; 4 C m  4;0 D m   4; 2 Câu 17 Cho hàm số f x  xác định trên R\ 0  và có bảng biến thiên như hình vẽ Số nghiệm của phương trình 3 f 2x 1 10 0 là: x  0 1 

y 0 + 

y   

3



Câu 18 Đường thẳng y m 2 cắt đồ thị của hàm số y x 4x210 tại hai điểm A,B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ) Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A m2 5;7 B m2 3;5 C m2 1;3 D m2 0;1

Câu 19 Tìm m để đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị hàm số 1 tại hai điểm thuộc hai nhánh

1

x y x





của đồ thị





nghiệm phân biệt

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Phương trình f x g x  không có nghiệm thuộc khoảng ;0

B Phương trình f x g x m có nghiệm với mọi m

C Phương trình f x g x mcó 2 nghiệm với mọi m > 0

D Phương trình f x g x 1 không có nghiệm

Câu 25 Cho hàm số u x  liên tục trên đoạn [ 0;5 ] và có bảng biến thiên như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3x 10 2 x m u x   có nghiệm trên đoạn [ 0;5 ] ?

A Phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm thuộc [-3;3].

B Phương trình g x 0 có đúng một nghiệm thuộc [-3;3]

C Phương trình g x 0 không có nghiệm thuộc [-3;3]

D Phương trình g x 0 có đúng ba nghiệm thuộc [-3;3]

Câu 28 Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình 2x44x2 1 m có 8 nghiệm

phân biệt, tìm S

A S 1; 2 B S 0; 2 C S  1;1 D S 0;1

Câu 29 Cho hàm số y f x  liên tục trên và có bảng biến thiên dưới đây

x  1 0 2 3 

  f x + + 0 0 + + 

  f x 

2 2

2 2



Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x  f m  có ba nghiệm phân biệt

A m  1;3 \ 0; 2   B m  1;3 \ 0; 2   C m  1;3 D m  2; 2

Câu 30 Biết rằng hai đường cong y x 46x315x220x5 và y x 32x23x1 tiếp xúc nhau

tại một điểm duy nhất Tìm tọa độ điểm đó

A 2; 7  B 1; 5  C 3; 1  D (0;5)

Câu 31 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau

+) Tam giác OAB vuông tại OOA OA  0

Cách giải: PT hoành độ giao điểm là: m 1 x43x2 2 t x 2   t2 3t m 0 1 

Hai đồ thị có 2 giao điểm 1  có 2 nghiệm trái dấu t t1 2       0 m 3 0 m 3 2 

Ta có:      9 4 m 3 21 4 m

1 2

3 21 42

3 21 42

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox x: 3a10x2  x 1 0 * 

Dễ thấy x0 không là nghiệm của phương trình (*) Khi đó  * a 10 x3 2x 1

Bảng biến thiên:

x  0 1 

y 0 + 

y   

1



Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x   a 10 có nghiệm duy nhất       a 10 1 a 11

Kết hợp với a là số nguyên âm  Có 10 giá trị cần tìm

Câu 3 Chọn B.

Phương pháp: Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn

hoặc hoặc

2

A

x  x B   1 x C 1  1 x B  1 x C

Cách giải: Đồ thị hàm số y x 32m1x25m1x2m2 luôn đi qua điểm A 2;0

Xét phương trình hoành độ giao điểm x32m1x25m1x2m 2 0

2

2

x

x mx m







Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt * có 2 nghiệm phân biệt khác 2

2

2

3

m

m

     



    

Giả sử x x x B; C B x C là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*)

Để hai điểm B, C một điểm nằm trong một điểm nằm ngoài đường tròn x2y2 1

TH1: x B   1 x C 1  

 

2

3

m m



 

  

 

2

2 0

m



 

  

Kết hợp điều kiện ta có: ; 2 2; 

3

m     

Lại có  10;1000 10; 2 2;100 Có 108 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài

3

m    m    



Để phương trình g x  0 f x   m có 4 nghiệm phân biệt       4 m 0 0 m 4

Kết hợp điều kiện m   m 1; 2;3 là các giá trị cần tìm

Câu 9 Chọn D.

Phương pháp: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:

3 17

2

22

11

x

x x

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm

+) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại suy ra phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

+) Gọi 3 nghiệm của phương trình là a d a a d d , ,   0 , sử dụng định lí Vi-et của phương trình bậc ba

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm x33x2   x m x33x2  x m 0 * 

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại

có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

Xét phương trình: f x   1 1

Quan sát bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm sốy f x cắt đường thẳng y1 tại 1 điểm duy nhất Xét phương trình:   1 2

2

Quan sát bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x  cắt đường thẳng 1 tại 2 điểm phân biệt

2

y Đồng thời, nghiệm của phương trình (1) khác 2 nghiệm của phương trình (2), suy ra, số nghiệm của phương trình    2  

2 f x 3f x  1 0

Câu 12 Chọn A.

Phương pháp:

Cách 1:

+) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y f x từ đó suy ra hàm số y f x 1 và đồ thị hàm số

 1

+) Số nghiệm của pt f x 1 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x 1 và đường thẳng 2

y

Cách 2:

+) Để có đồ thị hàm số y f x 1ta tịnh tiến đồ thị hàm sốy f x  sang phải 1 đơn vị

+) Lập bảng biến thiên của hàm số y f x 1từ đó suy ra dáng điệu đồ thị hàm số y f x 1 và biện luận số nghiệm của phương trình f x 1 2

Cách giải:

Dựa vào BBT của đồ thị hàm số y f x ta suy ra BBT của đồ thị hàm số y f x 1bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo v 1;0

BBT đồ thị hàm số y f x 1

x  1 4 

y + 0 0 +

y 

4

2



Từ đó suy ra đồ thị hàm số y f x 1 có BBT như sau

x  1 4 

y + 0 0 +

y  

4 2

2 y0

 Số nghiệm của phương trình f x 1 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x 1 và đường thẳng y2 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y2 cắt đồ thị hàm số y f x 1tại 5 điểm phân biệt, do đó phương trình f x 1 2có 5 nghiệm phân biệt Câu 13 Chọn C Phương pháp: +) Đặt t x x22 ,x tìm miền giá trị của t +) Tìm điều kiện tương đương số nghiệm của phương trình f t m để phương trình f x 22xm có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7; 2 2       Cách giải: x 1

3 2  7 2 y 0 +

y 21/ 4 21/4 1

Xét hàm số t x x22xtrên 3 7; ta có:

2 2

 

2 2

t x  x     x  

BBT 1;21

4

   

Với t 1 thì ứng với mỗi giá trị của t thì có 1 nghiệm x và với 1;21 thì ứng với mỗi giá trị

4

của t có 2 nghiệm x phân biệt

Do đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 7; thì phương trình

2 2

 

có 2 nghiệm phân biệt 1;21

4

4 9 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm x4mx22m  3 1 x4mx2 2m 4 0 * 

Để để đồ thị  C m của hàm số y x 4mx22m4 có 4 giao điểm với đường thẳng y1, có hoành

+) Ba nghiệm của phương trình x33x2 m 0 lập thành 1 CSC

+) Sử dụng định lí Vi-et phương trình bậc ba

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm x33x2 m 0(1)

Vì đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 CSC Gọi 3 nghiệm đó lần lượt là x0d x x; ;0 0d d 0

Theo Viet ta có: x0 d x0 x0 d b 3 3x0 3 x0 1 là 1 nghiệm của phương trình

a



            (1)

Số nghiệm của phương trình   10 là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng

Phương pháp: Viết phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ hai điểm A, B và sử dụng điều kiện

tam giác vuông

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và  d là x4x2m210 0 *  

Đặt tx2 0 khi đó *   t2 t m210 0 có ac m210 0  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt t t1, 2 trái dấu

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

11

96 96 18 0

14

TXD: D Ta có   3 2

12

1 5

2

1 52

Vẽ đường thẳng y x 1 trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f x  (như hình vẽ bên).

Từ đồ thị ta thấy: g x  f x       x 1 0, x  3;1 (do đường cong nằm phía trên đường thẳng),

(do đường cong nằm phía dưới đường thẳng)

Cách giải: Số nghiệm của phương trình f x  f m  là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x  và

song song với trục hoành

 

y f m

+) Tìm số cực trị tối đa của hàm số h x  f x m  

+) Hàm số h x  f x m  có tối đa n cực trị thì phương trình h x  f x m  = 0 có tối đa n1nghiệm

2

22

x x

+ h x không xác định

0 10

Phương trình (1) có nhiều nhất 2 nghiệm, phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó hàm số

có nhiều nhất 5 cực trị Do đó phương trình có nhiều nhất 6 nghiệm

Phương pháp: Vẽ đồ thị hàm số y x33x2 dựa vào đồ thị hàm số y x 33x2

Đánh giá vị trí của đường thẳng y2m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y2mtại 3 điểm phân biệt Kết luận giá trị của m

Cách giải:

Vẽ đồ thị hàm số y x33x2 dựa vào đồ thị hàm số y x 33x2

Cho hàm số y f x  liên tục trên R Ta dựng

+) Đồ thị hàm số y f x  bằng cách bỏ toàn bộ phần đồ thị y f x ở phần bên trái trục tung và lấy đối xứng phần bên phải Như vậy nếu đồ thị hàm số y f x có n điểm cực trị ở phần bên phải trục tung thì đồ thị hàm số y f x sẽ có 2n + 1 điểm cực trị (do lấy đối xứng + 1 điểm cực trị nằm ở trục tung

+) Đồ thị hàm số y f x bằng cách bỏ toàn bộ phần đồ thịy f x nằm bên dưới trục hoành, lấy đối xứng phần bỏ đi đó qua trục hoành Vậy nếu đồ thị hàm số y f x có n điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x sẽ có n + p điểm cực trị với p là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục

Ox

Cách giải:

Xét đồ thị y f x m khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục Oy Từ bảng biến thiên ta thấyy f x đồ thị hàm số đã có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục Oy.Vậy nếu giả sử

cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương thì đồ thị hàm số sẽ có 5 điểm cực

 

trị (theo lí thuyết phần phương pháp) , suy ra đồ thị hàm số y f x m sẽ có 11 điểm cực trị ( theo lí thuyết phần phương pháp ) Như vậy ta tìm điều kiện của m để phương trình f x  m 0 có 3 nghiệm dương phân biệt Từ bảng biến thiên dễ thấy với 0 < m < 1 thỏa mãn