45 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện mức độ 3 vận dụng đề số 1 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SA a..

45 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG – ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 1 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc

của điểm A' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng 3 Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

4

a

3 3.6

27.4

9 34

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD đáy là hình thang ABCD vuông tại A và B có AB a AD , 3 ,a BC a Biết SA a 3, tính thể tích khối chóp S.BCD theo a

3

3.6

A V 3 cm3 B V 4 cm3 C V 6 cm3 D V 7 cm3

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại

B, tam giác SAC vuông tại C Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

3

3

.8

.12

.6

.4

a

Câu 6 Xét khối tứ diện ABCD AV, x, các cạnh còn lại bằng 2 3 Tìm để thể tích khối x

tứ diện ABCD lớn nhất

Câu 7 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích là V Gọi I,J lần lượt là trung điểm

hai cạnh AA' và BB' Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC' bằng

5V

3

4V

5

6V

2

3V

Câu 8 Cho khối chóp S.ABC có   ASB BSC CSA  60 ,0 SA a SB , 2 ,a SC4 a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

A B C D

3

8 2

.3

.3

.3

.3

a

Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA a,  và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB,N thuộc cạnh SD sao cho SN 2ND Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN

Câu 10 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều Mặt phẳng (A’BC) tạo

với đáy góc 300 và tam giác A’BC có diện tích ằng 8 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

2

13

14

16

Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc

của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng 3 Thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C’ tính theo a là:

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

đáy (ABCD) và SA a Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM k,0 k 1 Khi đó giá trị của

Câu 15 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’,

CC’ Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, V1 là thể tích của phần đa diện chứa điểm B, V2 là phần đa diện còn lại Tính tỉ số 1

2

V V

2

52

Câu 16 Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)

bằng 30 0 Điểm M nằm trên cạnh AA’ Biết cạnh AB a 3, thể tích khối đa diện MBCC’B’ bằng

Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S

lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho AHB150 ,0 BHC120 ,0

Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA là

3

4a

Câu 18 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB a ,

Mặt ên BCC’B’ là hình vuông Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho

5

AC a

A V  2a3 B V 3 2a3 C V 4a3 D V 2a3

Câu 19 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và

khoảng cách A đến mặt phẳng SBCbằng 2 Tính thể tích V của khối chóp đã cho

Câu 20 Cho hình chóp S.ABC có SAB , SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh

ên SB tạo với đáy một góc 60 ,0 đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a  Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC Tính thể tích của khối đa diện ABMNC

Câu 21 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BB' và CC' Mặt

phẳng AEF chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích V1 và V2 như hình vẽ Tỉ số 1 là

2

V V

3

14

12

Câu 22 Cho hình chóp tứ giác D S ABC có đáy là hình chữ nhật, AB a AD a ,  2 Biết

và góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng đáy bằng Thể tích khối chóp

a

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh

Tỉ số là, , ,

8

116

38

16

Câu 24 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Tính tỉ số giữa khối đa diện A’B’C’BC và

khối lăng trụ ABC.A’B’C’

3

12

56

13

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ình hành và có thể tích V Gọi E là

điểm trên cạnh SC sao cho EC2ES Gọi   là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song song với đường thẳng BD,  cắt hai cạnh , SB SD lần lượt tại hai điểm M, N Tính theo V thể tích khối chóp S.AMEN

Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

vuông góc với đáy (ABCD) Gọi M là trung điểm SC,

Câu 27 Cho lăng trụ ABC.AB'C' có AA a, góc giữa cạnh ên và mặt phẳng đáy bằng 60 0

Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC60 0 Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng

trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a

  

4

18

12

23

Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có SA a SB , 2 ,a SC 3 a Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC

3

a

Câu 30 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tỉ số thể tích giữa tứ diện CC’BD và tứ diện

BDA’C’ bằng bao nhiêu ?

2

13

14

Câu 31 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi O và O’ lần lượt là tâm

các hình vuông ABCD và A’B’C’D’ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh B’C’

và CD Tính thể tích khối tứ diện OO’MN

Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 60 ,0 gọi I

là giao điểm của AC và BD Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BI Góc giữa SC và (ABCD) bằng 45 0 Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

Câu 33 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3,BD3 a

Hình chiếu của B trên mặt phẳng (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của A’C’ Biết cosin của góc tạo bởi (ABCD) và (CDD’C’) bằng 21 Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA, ABCD và SA2 a

Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Câu 36 Cho một khối tứ diện có thể tích V Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là

trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho Tính tỉ số V

58

12

Câu 37 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng và a ABBC Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Câu 39 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt

phẳng vuông góc với nhau Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng

6

1112

23

56

Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD, ABCD là hình chữ nhật SA AD 2 a

Góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 60 0 Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC Thể tích khối chóp S.AGD là

Câu 41 Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác

ABC, ACD, ABD và BCD Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng

Câu 42 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng

Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

SC Tính theo a thể tích khối chóp H.ABCD

Câu 44 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình ình hành Hai điểm M, N lần lượt

thuộc các đoạn thẳng AB và AD (M và N không trùng với A) sao cho AB 2AD 4.Kí

hiệu V V, 1 lần lượt là thể tích của các khối chóp SABCD và SMBCDN Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số V1

V

3

16

34

1714

Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh ên SA vuông góc với đáy Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là

5

45

34

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Sử dụng tam giác đồng dạng để tính chiều cao lăng trụ

Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA' và BC

Do A'B'C' là tam giác đều có cạnh là 3 nên ta có diện tích của tam giác A'B'C' là

Hạ đường cao MH xuống AB.

Khi đó 1  1 vuông tại D

Phương pháp: Lấy K là trung điểm của AB Lấy H là trung điểm của SA Chứng minh góc

giữa ABC và SAB bằng HKC

Từ H kẻ HOCK Kéo dài AO và hạ SO  AO Tính độ dài SO' Tính thể tích bằng công thức . 1

3

S ABC SBC

Cách giải:

Lấy K là trung điểm của AB

Do ABC đều nên CK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao CK  AB

Lấy H là trung điểm của SA

Khi đó KH là đường trung bình của SAB Kéo theo HK//SB

Khi đó SO’//HO Do H là trung điểm AS, SO’//HO nên HO là đường trung bình của

vuông tại C,

1.2

Kết hợp với CH  AB AB KCH CH SABCH KH

Vậy KHC vuông tại H

Ta chứng minh được O là trọng tâm ABC

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của cạnh AB, do ABC cân tại C nên CH là đường cao Tam giác ABD

có AB DB 2 3 nên là tam giác cân tại D Do đó HD là đường cao

Hạ đường cao CK xuống HD khi đó CK  AB Do đó CK ABD

Vậy CK là đường cao của tứ diện

Ta có: Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác HBC ta có:

2

482

x

Đặt y KD

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác CHK và CKD ta có

x



Diện tích tam giác ABD là 1 1 1 48 2 48 2

Vì I,J là trung điểm của AA',BB' nên V ABCIJ V A B C IJ   2V AIJC

Vì SICC 2SAIC V JICC2V JAIC

Gọi B’ C’ lần lượt là điểm thuộc SB,SC sao cho SBSCa

Ta có:   ASB BSC CSA  60 ,0 SA SB SC a   nên S.A’B’C’ là tứ diện đều cạnh a Do

đó thể tích tứ diện này là

3

212

Phương pháp: Sử dụng thể tích phần bù: Chia thể tích chóp S.ABCD thành nhiều phần và

tính thể tích các phần còn lại, sau đó lấy thể tích chóp trừ đi

ACMN S ABCD MABC NACD SMAN SMCN S ABCD

+) Góc giữa hai mặt phẳng   và   là góc giữa 2 đường thẳng a, b với a  ;b 

sao cho ac b, c, c là giao tuyến của   và  

+) Công thức tính thể tích lăng trụ: V S h d

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của BC Đáy ABC là tam giác đềuAM BC 1

2

a AM

Thể tích khối hộp V=Sh với S là diện tích đáy và h là chiều cao

Sử dụng phương pháp cộng, trừ thể tích các khối đa diện

Cách giải:

Ta có: V ACB D V ABCD A B C D.    V A A B D.   V D ACD. V C B C D.   V B ABC.

A A B D D ACD C B C D B ABC ABCD A B C D

Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng để tính AA’

Chứng minh khoảng cách từ M đến (BCC’B’) bằng khoảng cách từ A đến (BCC’B’)

Cách giải:

Gọi I là trung điểm BCAI BCBCAIA

Góc giữa (A’BC) và (ABC) là góc AIA300

Gọi R R R1, 2, 3 lần lượt là án kính đường tròn ngoại tiếp AHB BHC CHA, ,

Theo định lý sin, ta có 2 sin1 1 2

Gọi r r r1, ,2 3 lần lượt là án kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SAHB, SBHC, SCHA

Ta chứng minh được và 2 đẳng thức tương tự

Đường cao lăng trụ đứng BB BC2a (tính chất hình vuông)

Vậy thể tích lăng trụ là : V S ABC.BB2a3 (đơn vị thể tích)

AEF A B C ABC A B C A BCFE ABC A B C

Dễ thấy: SC ABC,  SCA450

Lại có SCA vuông tại A 2  2

3

Phương pháp: Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích trong khối chóp tam giác:

Mặt phẳng  P cắt ba mặt ên của khối chóp tam giác theo thiết diện là tam giác A'B'C' với

Theo dãy tỉ số bằng nhau: . .

18

S AEMF S AME S AMF S ABCD

Ta có:

3

S S

d A B C B C S

Hay SA vuông góc với mặt (SBC) và SBC là tam giác vuông tại S Và do đó SA SB SC, ,đôi một vuông góc với nhau.

A;E, O là tâm hình thoi A’B’C’D’

OF là đường trung bình của tam giác A’C’E ta có OF//C’E và 1 3

Tương tự chứng minh được ADSCSCAB C D   ACSC

Xét tam giác vuông SAB ta có

+) Tính BO

+) Tính V ABCD A B C D.     BO S A B C D   

Cách giải:

Gọi O là trung điểm của AC ta có BOA B C D   

Xét tam giác ABD có :  2 2 2 3 2 3 2 9 2 1

37

+) Từ giả thiết ABBC ta suy ra AB BM với M là trung điểm của A’B’

+) Gọi AB BM tại I Đặt BB x rồi từ tỉ lệ các cạnh và hệ thức lượng ta tính được x.+) Thể tích lăng trụ V BB S A B C  

 Vậy

Phương pháp: Xác định thiết diện của mặt phẳng G G G1 2 3 với tứ diện ABCD Sử dụng các

tỉ số và chiều cao và diện tích đáy để suy ra tỉ số thể tích của các khối chóp

Vì S đối xứng với B qua DEd B DCEF ;  d S DCEF ;  

Gọi M là trung điểm của CEBM DCEF

Gọi E,F,K là trung điểm của AB,AC,BC

Khi đó theo tính chất trọng tâm tam giác ta có 2

+) Xác định chiều cao của lăng trụ dựa vào dữ kiện A A A B   A C a 

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là 2 3

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC Vì A A A B    A C a  nên A H ABC

Gọi M là trung điểm cạnh AB

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên đường trung tuyến 3

S S

2xy 4

4

V max