40 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện mức độ 3 vận dụng đề số 2 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

40 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN –CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG - ĐỀ SỐ 2 CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 1: Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam

40 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN –

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG - ĐỀ SỐ 2 CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 1: Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Hình chiếu C’ trên

(ABC) là O Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC’ là a và 2 mặt bên (ACC’A’) và (BCC’B’) hợp với nhau góc 90 0

4

.8

.8

.8

a

Câu 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A’

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng 3 Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

.2

.12

a

Câu 3: Một hình hộp chữ nhật có kích thước a(cm) x b(cm) x c(cm), trong đó a, b, c là các số nguyên và

Gọi và lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp Biết V = S,

a

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD Mặt phẳng cắt

.2

.4

a

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2 Xét hình đa diện lồi H có các

đỉnh là trung điểm của tất cả các cạnh của hình chóp đó Tính thể tích của H

5.12

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có AB3,BC4,AC5 Tính thể tích khối chópS.ABC biết rằng các mặt bên tạo với đáy một góc 300 và hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) nằm trong tam giác ABC

3

2 3.3

8 3

Câu 13: Cho một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 10m16 m Người ta cắt bỏ 4 góc của tấm tôn 4 miếng hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Để thể tích của hộp đó lớn nhất thì độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SB và G là trọng

tâm của tam giác SBC Gọi V V, ' lần lượt là thể tích củacác khối chóp M.ABC và G.ABD Tính tỉ số V

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy SA a 2 Gọi

B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng cắt SC tại C' Thể tích khối chóp S AB C D ' ' ' là:

Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác

vuông, AB BC a  Biết góc giữa hai mặt phẳng ACC' và AB C' '

bằng 600 (tham khảo hình vẽ bên) Thể tích của khối chóp B'.ACC'A'

V

2

49.144

V

2

95.144

V

2

49.95

V

V 

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đường cao SO Biết rằng trong các thiết diện của hình chóp cắt

bởi các mặt phẳng chứa SO, thiết diện có diện tích lớn nhất là tam giác đều cạnh bằng a, tính thể tích khối chóp đã cho

6

.4

.4

.12

a

Câu 19: Cho hình trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng 3 Tính thể tích V của khối lăng trụ

Câu 20: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các

cạnh SB, SC Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các

tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V, khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là

.8

.2

Câu 24: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, BC = 2, AA’ = 3 Mặt phẳng (P) thay đổi và

luôn đi qua C’, mặt phẳng (P) cắt các tia AB, AD, AA’ lần lượt tại E, F, G (khác A) Tính tổng

sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất

T AE AF AG  

Câu 25: Cho tam giác SOA vuông tại O có MN // SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình vẽ

bên Đặt SO h không đổi Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R OA Tìm độ dài MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất

Câu 26: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E

là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V?

18

.216

.216

.216

a

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,

Gọi M, N tương ứng là trung điểm của

12

3.8

3

1.4

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt

bên SCD là tam giác vuông cân tại S Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA Tính thể tích V của khối chóp S.BDM

Câu 29: Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD, BC

Thể tích khối tứ diện AMNPQ là:

6

V

.3

V

.4

.3

V

Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B AB a BC,  , 2 a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (SAG) tạo với đáy một góc 60 0 Tính thể tích tứ diện ACGS bằng

Câu 31: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A’

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng 3 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Câu 32: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc

bằng 600 Kí hiệu V V1 2, lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho Tính tỉ số 1

2

V V

2

32.9

V

2

32.27

V

2

1.2

V

2

9.8

V

V 

Câu 33: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, M là trung điểm của SA Biết mặt phẳng

(MCD) vuông góc với mặt phẳng (SAB) Thể tích khối chóp S.ABCD là:

3

.6

.2

.6

a

Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3, BC = 4, đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 4 Gọi AM, AN lần lượt là chiều cao của các tam giác SAB và SAC Tính thể tích khối tứ diện AMNC?

41

256.41

768.41

381.41

Câu 35: Cho khối chóp tứ giác SABCD Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB, SAC, SAD chia

khối chóp này thành hai phần có thể tích là V1 và V2 (V1 < V2) Tính tỉ lệ 1

2

V V

27

16.81

8.19

16.75

Câu 36: Cho hình hộp có độ dài các cạnh là 3, 4, 5 Nối tâm 6 mặt của hình hộp chữ nhật ta được khối 8

mặt Thể tích khối 8 mặt đó là:

12

Câu 37: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC Thiết

diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp S.ABCD chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Gọi

là tỷ số thể tích giữa hai khối đa diện đó Tính k?

Câu 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lấy hai điểm M và N trên hai cạnh SB,

SD sao cho SM = 2MB, SN = 2ND, đường thẳng SC cắt mặt phẳng (AMN) tại C' Tính tỉ số SC'?

k SC

Câu 39: Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng a, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với

nhau Lấy điểm H trên đoạn DE sao cho HD = 3HE Gọi S là điểm đối xứng với điểm B qua điểm H Tính theo a thể tích của khối đa diện ABCD.AEF

6

.3

.3

.8

a

Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 5a; BC = 6a và các mặt bên cùng tạo với đáy mội góc 60 0Biết hình chiếu của S lên đáy là H và thuộc miền trong tam giác ABC Tính thể tích V của khối chóp đã cho theo a.

A.V8 a3 B V6 3 a3 C V 3 a3 D 2 3

3

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Suy ra SAB ; SAC  SBC ; ABCSMH SNH 60 0

là trung điểm của AC

Tam giác AID vuông tại I

Và nối AI cắt SC tại C’ suy ra mp AB D ' '0 cắt SC tại C'.

Tam giác SAC vuông tại A, có SC2SA2AC2 6a2SC a 6

Gọi M, N, P, Q, E, F, G, H là trung điểm tất cả các cạnh (hình vẽ)

Khi đó V MNPQ.EFGH V S ABCD. V S.EFGHV F MBQ. V N QCP. V G PDN. V E MAN. 

Với .EFGH 1 1 .1 1 và các khối chóp còn lại cùng chiều cao, diện

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABCSI ABC

Dễ thấy ABC vuông tại B 1 1.3.4 6 , nửa chu vi

ABC

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy

+) Xác định khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên

Gọi H là tâm tam hình vuông ABCDSHABCD

Gọi E là trung điểm của BC ta có:

Các mặt bên của hình chóp cụt ABCD A B C D ' ' ' ' là các hình thang cân có diện tích bằng nhau.

Gọi O O, ' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD A B C D ' ' ' '

Nối OO' cắt AA' tại S, khi đó 2 2    2 2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC).

Gọi E, F, J lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC, CA

Khi đó SEH SFH 600HE HF HJ  H là tâm đường

tròn nội tiếp ABC

Diện tích tam giác ABC là S p p a p b p c      6a 6

Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là 2 6

Gọi x là độ dài cạnh của miếng tôn bị cắt bỏ x là chiều cao của hộp chữ nhật

Kích thước 2 cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là 10 2 x và 16 2 x m 

4'

Phương pháp:

với V là thể tích khối lăng trụ

' ' ' '.BAC 2

,3

Dựng thiết diện, xác định hai phần cần tính thể tích

Sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Cách giải:

Gọi E MN B C' '

Kéo dài MP cắt AB tại D, cắt AA' tại F

Nối NF, cắt AC tại G

Do đó thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) là NEPDG

Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A’ ta có: V1V F A MN ' V F ADG. V P B EM '

' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' '

PB S V

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SOABCD

Gọi   là mặt phẳng chứa SO, cắt đáy tại M, N  SMN đều

Gọi K là trung điểm của BC và I SK EF.

Từ gt 1 ,EF/ / BC I là trung điểm của SK và EF

a

Ta có SAB SAC Hai trung tuyến tương ứng AE = AF

Tam giác AEF cân tại A

Tam giác BCC' vuông tại C, có CC' BC'2BC2 2a 2.

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' là ' S 2 2 2 3 3 6

(P) cắt các tia AB, AD, AA’ lần lượt tại E, F, G (khác A) Gọi E a ;0;0 , F 0; ;0 ,b  G 0;0; , , ,c a b c 0Phương trình mặt phẳng (P): x y z 1

Khi quay hình bên quanh cạnh SO ta được khối trụ đường cao MN, bán kính đáy OM nội tiếp khối nón đỉnh

S, đường cao SO, bán kính đáy R = OA

Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai

khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V

Gọi thể tích của phần đa diện còn lại là V'

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD

Tam giác SAB đều, tam giác SCD cân tại S nên SIAB SJ, CD

Mà AB CD/ / AB CD,  SIJ

Dựng SHIJ H IJ,  SHANCD (do SHIJvà SH SIJ CD)

Trong (ABCD), kẻ BMAH M CD AH,  , BM T  Khi đó, điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài

+) SAB đều, cạnh a 3

2

a SI

+) SCD vuông cân tại S, CD = a

3

22

a SH

S

S

Suy ra SAG ; ABC  HK SK; SKH 60 0

Tam giác SHK vuông tại H, có tan 600 6

+) Gọi O là trọng tâm tam giác ABC A O' ABC

+) Xác định khoảng cách giữa AA’ và BC bằng cách dựng đường vuông góc chung

trung điểm của BC ta có:  ' 

Gọi M là trung điểm của SA, qua M kẻ đường thẳng vuông góc

với SA cắt SO tại I ta có I là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD

Xét tam giác vuông SAO có

Hình nón ngoại tiếp chóp có chiều cao tan 60 2 3 6 và bán kính đáy

3 2

8 6

3227

96

12

a V

Dễ thấy ABCADM c g c CN DM MNCD là hình

thang cân Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN và CD ta có

Vậy yheer tích khối chóp là . 1 1 3 2 3 3.

Gọi G G G1; 2; 3 lần lượt là trực tâm tam giác SAB, SAC và SAD

Gọi E, F, G làn lượt là trung điểm của AB, AC và AD ta có:

Thiết điện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng là chia khối chóp thành hai phần:

Gọi V V1 2; theo thứ tự là thể tích của hai khối đa diện mà mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD, trong

đó V1 là thể tích của khối đa diện chứa điểm C