ma tran nghich dao1

§ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Các nội dung chính: Ma trận nghịch đảo a Khái niệm ma trận nghịch đảo b Các tính chất ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo a Ma trận phụ hợp ma trận vng b Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo c.Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi ma trận Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận Ma trận nghịch đảo a Khái niệm ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: = = Chú ý: ∘ Khái niệm ma trận nghịch đảo áp dụng cho ma trận vuông ∘ Ma trận nghịch đảo ma trận vng (nếu có) Chứng minh: Giả sử X, Y hai ma trận nghịch đảo A: AX = XA = E AY = YA = E ⟹ = = = = = ∎ Vì vậy: Ký hiệu ma trận nghịch đảo A ⟹ ⟹ = = = ⟹ = b Một vài tính chất ma trận nghịch đảo Tính chất 1: = , = Tính chất 2: = Hãy chứng minh tính chất định nghĩa? Câu hỏi 1: Khi ma trận A có ma trận nghịch đảo? Câu hỏi 2: Khi tìm ma trận nghịch đảo nào? Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo a Ma trận phụ hợp ma trận vuông (Chỉ áp dụng cho ma trận vuông) Định nghĩa: Cho ma trận vuông = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ × Ma trận phụ hợp ma trận A ma trận vng có cấp với A, ký hiệu xác định sau: ∗ = Chú ý: ⋯ ∗ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ × Liên hệ A ∗ Định lý: Với A vuông, E ma trận đơn vị cấp với A, ta ln có: ∗ = ∗ = ( = | |) Để chứng minh định lý ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề: Với ma trận = × Ta có: ∘ + + ⋯+ = = ế = = ( ) ế ≠ ∘ + + ⋯+ = = ế = = ( ) ế ≠ Ta chứng minh (1): ∘ Với = (1) công thức khai triển định thức cấp n ∘ Với ≠ xét định thức sau đây: Dòng i Dòng j … … = ⋯ ⋯ … … ⋯ … … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ … … … Thay dòng j dịng i ∘ Định thức = (có hai dịng nhau) ∘ Khai triển định thức theo dòng thứ j: + = + ⋯+ = ∎ Chú ý rằng: Vế trái (1) tích vơ hướng: + + ⋯+ = × ∗ Bây ta sử dụng bổ đề để chứng minh định lý trên: Ta chứng minh: thức lại minh tương tự ∗ = ∗ = , đẳng chứng • Phần tử thuộc dòng i cột j ⋯ = = + + ⋯+ = ế = = ế ≠ ⋮ = ∗ là: • Từ suy ra: Một ma trận vng có định thức ≠= ∗ gọi = ma ∎ trận không suy biến c) Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo Định lý: Ma trận vng A có ma trận nghịch đảo (khả nghịch) ⟺ = ( )≠ Khi đó, ma trận nghịch đảo xác định theo công thức: = ∗ ( ) Chứng minh: + Nếu A có ma trận nghịch đảo, tức tồn ⟹ ⟹ ⟹ = = = ⟹ = ≠ ≠ ∎ + Nếu = Định lý: ∗ ≠ Nhân hai vế = ∗ = với : ∗ ∗ ⟹ ⟹ ∗ = = = = ∗ ( ) = ∗∎ Như vậy, = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ × ⟹ Phần tử thuộc dòng i cột j ma trận là: = Ví dụ 1: Cho − = − Ma trận A có ma trận nghịch đảo =? khơng Tìm Đs: = ≠ − ⟹∃ = − − − Ví dụ 2: Cho ma trận: − = Tìm m để B khả nghịch, Khi tìm phần tử thuộc dịng cột Giải:  B khả nghịch ⟺ = ≠ = − ≠  Vậy B khả nghịch ⟺ ≠ ∎  Ta có = ≠ ………… 27+1 ………… ⟺ Ví dụ 3: Cho: − = − − − − Phần tử thuộc dòng cột ma trận nghịch đảo ma trận A là: 50:50 A: B: – 36 C: D: – ... nào? Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo a Ma trận phụ hợp ma trận vuông (Chỉ áp dụng cho ma trận vuông) Định nghĩa: Cho ma trận vuông = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ × Ma trận phụ hợp ma trận A ma trận vng có cấp... trình ma trận Ma trận nghịch đảo a Khái niệm ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: = = Chú ý: ∘ Khái niệm ma trận... Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo a Ma trận phụ hợp ma trận vuông b Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo c.Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi ma trận Ứng dụng ma trận nghịch