phep toan voi ma tran

§ CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN I Phép cộng ma trận nhân ma trận với số Định nghĩa phép tốn Các tính chất II Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa phép tốn Các tính chất I Phép cộng ma trận nhân ma trận với số Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cấp × : = × , = × Tổng hai ma trận A B ma trận cấp × Ký hiệu A + B xác định sau: + = + Định nghĩa2: Cho ma trận × = × số thực Tích trận A số thực trận cấp × ma Ký hiệu xác định sau: = × Nhận xét: + Phép cộng ma trận áp dụng cho ma trận cấp + Việc thực phép cộng hai ma trận nhân ma trận với số thực tương tự vectơ: Cụ thể: Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cấp ta cộng phần tử vị trí tương ứng với nhau.” Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân ma trận với số ta nhân số phần tử ma trận đó.” với tất Ví dụ: Cho hai ma trận A= −3 , −1 = −3 −4 Hãy lập: A + B, 2A, 3B, 2A + 3B Giải: + (−1) (−3) + A+B= 4+0 2+2 −2 = 4 −2 −4 + (−3) + (−4) A= −3 , 2A = −3 = + = −1 = −6 −9 −12 −3 −7 10 −12 −3 −4 Các tính chất phép cộng nhân ma trận với số: (8 tính chất) Với A, B, C ma trận cấp × ; số bất kỳ, ta có: Giao hoán: Kết hợp: + + = + + = +( + ) Cộng với ma trận 0: A + = + A = A Cộng với ma trận đối: A + (–A) = Nhân với 1: 1.A = A.1 =A Phân phối: Phân phối: + + = + = + Kết hợp với phép nhân: = ( ) Chú ý: Ta có phép trừ hai ma trận: A – B = A + (–B) Như vậy, Nếu A B hai ma trận cấp × : Thì: − = = × − , × = × Ở đó: ⋯ = ⋮ Phần tử thuộc dòng i cột j AB = + + ⋯+ Chẳng hạn: = 3 = 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 = + 12 + 21 + 32 = 70 Chú ý: Tích AB có nghĩa (thực được) số cột ma trận đứng trước (A) số dòng ma trận đứng sau (B) Cấp ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng số dòng ma trận đứng trước số cột số cột ma trận đứng sau Các phần tử AB tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm dòng i, cột j AB) tích vơ hướng dòng i (của ma trận đứng trước) cột j (của ma trận đứng sau) d i cij  A  B c j Ví dụ 1: Cho hai ma trận  3  A ;   4  23  3 B   2     1  32  8  AB    số cột A = số dòng B = 27 13   22 1 c11   3    2  5   c12  9    8 c 21    10  27 c 22  27  12   13  3   10  Hãy lập ma trận BA (A, B Ví dụ 1) B32 A 23  BA 33  24 11    BA  33 14    24    Nhận xét: Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn Ví dụ 2: Cho hai ma trận:  4   2      A    ; B   m 1  3  2       42 4m  36 42 50    AB  2m  18 10 2    22 5m  17 12 20    Lập ’ =? Ví dụ 3: Cho ma trận:  2  1 A    6 1  2  3 3 ; B    3 3   5  1 2 4  3  1 Phần tử nằm dòng 2, cột ma trận A'B là: 50:50 A: 13 B: - 23 C: 25 D: - 25 Ví dụ 4: Cho ma trận:  3  1   2        A   6  ;B   4  ;C   2   2   2  5        a) Tìm phần tử nằm dòng 2, cột ma trận: 3A C − BC + A b) Tìm phần tử nằm dòng 3, cột ma trận: BA C Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính: Xét hệ phương trình tuyến tính:  a11x1 a x  21    a m1x1   a12 x a 22 x   a m2 x       a1n x n a 2n x n      a mn x n   b1 b2   bm Ta có: Ma trận hệ số  a11 a12 a a 22 21 A     a m1 a m2 Cột ẩn số Cột số hạng tự dosố  a1n   x1   b1   x  b   a 2n ; X   ; B              a mn   xn   bm   a11x1  a12 x    a1n x n   b1   a x  a x  a x   b  21 21 2n n     AX   B            a m1x1  a m x    a mn x n   b m  Vậy, hệ viết dạng đơn giản: AX = B Dạng ma trận hệ pttt Các tính chất phép nhân: 1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) =ABC 2) Tính phân phối phép cộng: + = + ,( + ) = + 3) = = Tính chất cho ta qua tắc: “Khi nhân số với tích hai ma trận ta nhân số với hai ma trận tích” 4) Mọi ma trận khơng thay đổi nhân với ma trận đơn vị: = , = Đặc biệt A vuông: 5) = = = ′ Mở rộng: … = … ′ Chú ý: Đối với ma trận vng ta sử dụng ký hiệu lũy thừa: = = Tổng quát: = … m lần ……………… ………………