Bài tập thống kê khoa học ra quyết định

Như được tóm tắt trong Bảng dưới đây, mỗi kiểu thiết bị này đòi hỏi các số lượng khác nhau về bảng mạch in PC Board, điện trở Resistors, chip nhớ Memory Chips, và công lắp ráp Assembly L

Bài tập thống kê khoa học ra quyết định

Valu-Com Electronics sản xuất 5 kiểu card viễn thông (TEC) khác nhau cho máy tính cá nhân và laptop Như được tóm tắt trong Bảng dưới đây, mỗi kiểu thiết bị này đòi hỏi các số lượng khác nhau về bảng mạch in (PC Board), điện trở (Resistors), chip nhớ (Memory Chips), và công lắp ráp (Assembly Labor)

Per Unit Requirements Hyperlink Fastlink Speedlink Microlink Etherlink

PC Board

(inch vuông)

Memory

Chips

Assembly

Labor (giờ)

Mức giá bán sỉ đơn vị và giá thành cho mỗi kiểu TEC như sau:

Per unit revenues and costs ($) Hyperlink Fastlink Speedlink Microlink Etherlink

Whole sale

price

Trong kỳ sản xuất kế tiếp, Valu-Com có sẵn 80,000 inch vuông PC Board, 100,000 Resistors, 30,000 Memory Chips và 5,000 giờ Assembly Labor Công ty có thể bán tất cả các sản phẩm mà nó làm ra, tuy nhiên, bộ phận marketing muốn chắc chắn rằng Công ty phải sản xuất ít nhất 500 sản phẩm mỗi loại và số card Fastlink nhiều ít nhất gấp đôi số card Hyperlink và Công ty muốn tối đa hóa lợi nhuận

a Hãy xây dựng một mô hình LP cho bài toán này

b Tạo một mô hình trên bảng tính cho bài toán này và giải nó bằng Solver

c Phương án tối ưu là gì?

d Liệu Valu-Com có thể kiếm được nhiều tiền hơn nếu nó sắp xếp cho lao động lắp ráp làm việc thêm ngoài giờ?

Bây giờ hãy dùng Solver để tạo ra Báo cáo phân tích độ nhạy (Sensitivity Analysis Report) cho bài toán trên và trả lời các câu hỏi tiếp theo

e Nguồn lực (Điều kiện khống chế) nào trong bài toán trên là được sử dụng hết?

f Nếu Công ty muốn loại bớt một sản phẩm, nó nên loại bỏ sản phẩm nào?

g Nếu Công ty có thể mua thêm 1,000 Memory Chips nữa với mức chi phí như cũ, liệu nó có nên làm vậy không, nếu có lợi nhuận tăng thêm sẽ là bao nhiêu?

Valu-Com Electronics produces 5 types of different telecommunication cards (TEC) for personal computers and laptops As summarized in the below Table, each type of device requires different number of PC Board, Resistors, Memory Chips, and Assembly Labor

Per Unit Requirements Hyperlink Fastlink Speedlink Microlink Etherlink

PC Board

(square inches)

Memory

Chips

Assembly

Labor (hours)

The unit whole sale price and cost for each TEC are as follows:

Per unit revenues and costs ($) Hyperlink Fastlink Speedlink Microlink Etherlink

Whole sale

price

For the upcoming production term, Valu-Com had already had 80,000 square inches PC Board, 100,000 Resistors, 30,000 Memory Chips, and 5,000 hours Assembly Labor The Company could sell everything it can produce; however, the Marketing Department wanted the Company to manufacture at least 500 products and the number of Fastlink cards were at least twice as much as the Hyperlink cards The profit is expected to be maximized

a Setting the LP model for the problem

b Creating a model on spreadsheet and having the problem solved by Solver

c What is the best-case?

d Can Valu-Com earn more profit by allocating extra-working hours?

Use Solver to creat Sensitivity Analysis Report for the above problem and answer the following questions

e Which resources (constraints) are all used in the problem?

2

f Which product should be eliminated?

g If the Company can purchase 1,000 Memory Chips more of the former price, should the Company implement the case? If yes, where would the profit increase to?

Bài làm

a Xây dựng mô hình LP cho bài toán

Bước 1 Ta biết lợi nhuận bằng tổng doanh thu trừ tổng chi phí, hoặc bằng lợi nhuận

của từng đơn vị sản phẩm nhân với tổng số đơn vị sản phẩm Trong trường hợp của Valu-Com Electronics, ta sẽ xác định tối đa hóa lợi nhuận theo cách thứ hai

Bước 2 Gọi các biến quyết định ứng với 5 kiểu card viễn thông (TEC) như sau:

- X 1 là số lượng card Hyperlink

- X 2 là số lượng card Fastlink

- X 3 là số lượng card Speedlink

- X 4 là số lượng card Microlink

- X 5 là số lượng card Etherlink

Bước 3 Hàm mục tiêu trong trường hợp của Valu-Com Electronics có dạng như sau:

Max: C1X1 + C2X2 + C3X3+ C4X4 + C5X5

Với Ci = pi - ri

Trong đó: - Ci là lợi nhuận đơn vị của mỗi kiểu TEC

- pi là mức giá bán sĩ đơn vị của mỗi kiểu TEC

- ri là giá thành đơn vị của từng mỗi kiểu TEC

Từ các số liệu của đề bài, ta có hàm mục tiêu cụ thể như sau:

Max: (189-136) X 1 + (149-101) X 2 + (129-96) X 3 + (169-137) X 4 + (139-101) X 5

Bước 4 Các điều kiện khống chế của hàm mục tiêu là:

- Các điều kiện về thị trường (phải sản xuất ít nhất 500 sản phẩm mỗi loại, số card Fastlink nhiều ít nhất gấp đôi số card Hyperlink):

X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 500

X2 ≥ 2X1

- Các điều kiện về nguồn lực:

+ PC board : 20X1 + 15X2 + 10X3 + 8X4 + 5X5 ≤ 80,000

+ Resistors : 28X1 + 24X2 + 18X3 + 12X4 + 16X5 ≤ 100,000

+ Memory Chips: 8X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 6X5 ≤ 30,000

+ Labor : 0.75X1 + 0.6X2 + 0.5X3 + 0.65X4 + X5 ≤ 5,000

Bước 5 Do điều kiện thị trường của các biến quyết định là đã lớn (≥ 500) nên ta không cần xác định các giới hạn trên và giới hạn dưới của các biến quyết định (≥ 0)

b Tạo một mô hình trên bảng tính cho bài toán và giải bằng Solver

Nhập dữ liệu của bài toán hàm mục tiêu nêu trên vào bảng tính Excel và giải bằng Solver, ta có mô hình trên bảng tính như sau:

c Phương án tối ưu

Từ mô hình bảng tính nêu trên, phương án tối ưu để Valu-Com Electronics thực hiện tối đa hóa lợi nhuận (trên cơ sở đáp ứng các điều kiện khống chế) là sản xuất các sản phẩm TEC với số lượng như sau:

Hyperlink Fastlink Speedlink Microlink Etherlink

4

Và lợi nhuận tối đa trong trường hợp này là $215,000.

d Từ mô hình bảng tính nêu trên, ta thấy điều kiện về nguồn lực lao động vẫn chưa

được sử dụng hết (chỉ sử dụng 3,687.5 giờ so với nguồn lực có sẵn là 5,000 giờ), nhưng các nguồn lực khác như điện trở (Resistors) và chip nhớ (Memory chips) đã được sử dụng hết

Do đó, nếu Valu-Com sắp xếp cho lao động lắp ráp làm việc thêm ngoài giờ thì không thể kiếm được nhiều tiền hơn vì các nguồn lực khác như điện trở (Resistors) và chip nhớ (Memory chips) đã được sử dụng hết nên không đủ nguồn lực để sản xuất thêm sản phẩm

Dùng Solver tạo ra các báo cáo phân tích độ nhạy cho bài toán hàm mục tiêu, ta có kết quả như sau:

e Các nguồn lực (điều kiện khống chế) được sử dụng hết

Qua các kết quả của mô hình trên bảng tính (tại câu b) và của Answer Report nêu trên, tại cột Status của phần Contrainst ta thấy Status của các nguồn lực như sau:

Name Status

PC Board Used Not Binding

Resistors Used Binding

Memory chips Used Binding

Assembly labor Used Not Binding

Status Binding cho biết một nguồn lực đã được sử dụng hết

Như vậy trong bài toán nêu trên thì các nguồn lực điện trở (Resistors) và chip nhớ (Memory chips) đã được sử dụng hết

f Loại sản phẩm mà Valu-Com Electronics nên loại bỏ

Muốn loại bỏ một sản phẩm, ta phải xét xem sản phẩm nào tiêu hao nguồn lực nhiều nhất và có lợi nhuận thấp nhất Điều này có nghĩa là Công ty nên loại bỏ sản phẩm nào đem lại lợi nhuận ít nhất

Để thực hiện điều này, ta tính giá thành của từng sản phẩm theo giá mờ (shadow price) theo số liệu trên báo cáo phân tích độ nhạy (Sensitivity Report) Sau đó, lấy lợi nhuận

đơn vị của từng sản phẩm trừ đi giá thành này Sản phẩm nào có giá trị chênh lệch thấp nhất sẽ bị loại bỏ

Ta có công thức: C i - ∑q i * s i

trong đó:

C i là lợi nhuận đơn vị của sản phẩm thứ i

q i là lượng tiêu hao hiện tại của nguồn lực để sản xuất được sản phẩm thứ i

s i là giá mờ (shadow price) của sản phẩm thứ i

Thay thế các số liệu về nguồn lực (từ dữ liệu của đề bài) và số liệu giá mờ (từ báo cáo phân tích độ nhạy - Sensitivity Report) theo công thức nêu trên, ta có giá trị chênh lệch giữa lợi nhuận đơn vị và giá thành của từng sản phẩm theo giá mờ là:

- Hyperlink : 53 - (20*0 + 28*0.166 + 8*7.5 + 0.75*0) = -11.648

- Fastlink : 48 - (15*0 + 24*0.166 + 8*7.5 + 0.6 * 0) = -15.984

- Speedlink : 33 - (10*0 + 18*0.166 + 4*7.5 + 0.5 * 0) = 0.012

- Microlink : 32 - ( 8 *0 + 12*0.166 + 4*7.5 + 0.65*0) = 0.008

- Etherlink : 38 - (5*0 + 16*0.166 +6*7.5 + 1*0) = - 9.656

Ta thấy giá trị chênh lệch giữa lợi nhuận đơn vị và giá thành theo giá mờ của sản phẩm Fastlink là thấp nhất Như vậy, nếu Công ty muốn loại bớt một sản phẩm thì sản phẩm

đó là Fastlink

g Lợi nhuận tăng thêm khi Công ty mua thêm 1,000 Memory Chips

Nếu Công ty có thể mua thêm 1,000 Memory Chips nữa với mức chi phí như cũ, ta tạo lại mô hình trên bảng tính với nguồn lực Memory Chips là 31,000 và giải nó bằng Solver Ta có kết quả như sau:

8

Qua kết quả tại bảng nêu trên, ta thấy nếu Công ty có thể mua thêm 1,000 Memory Chips nữa với mức chi phí như cũ thì bài toán vẫn cho ra phương án tối ưu với lợi nhuận tối đa

là $222,500 Và nguồn lực 1,000 Memory Chips mua thêm vẫn được sử dụng hết.

Như vậy, Công ty nên mua thêm 1,000 Memory Chips (với mức chi phí như cũ) để sản xuất thì lợi nhuận tăng thêm sẽ là $7,500./

Answer

a Setting the LP model for the problem

Step 1 The profit is considered to be equal to the difference between gross revenue

and total costs, or the same with profit of a unit multiplied with total number of

produced units In the case of Valu-Com Electronics, we can determine the maximum profit by the second approach

Step 2 Decision variables of 5 telecom-cards are:

- X 1 : the number of Hyperlink cards

- X 2 : the number of Fastlink cards

- X 3 : the number of Speedlink cards

- X 4 : the number of Microlink cards

- X 5 : the number of Etherlink cards

Step 3 Objective function in the case of Valu-Com Electronics can be formulated as:

Max: C1X1 + C2X2 + C3X3+ C4X4 + C5X5

Ci = pi - ri, in which:

- Ci : unit profit of each TEC type

- pi : unit whole sale price of each TEC type

- ri : unit cost of each TEC type

From the data of the topic, we have the objective function as follows:

Max: (189-136) X 1 + (149-101) X 2 + (129-96) X 3 + (169-137) X 4 + (139-101) X 5

Step 4 Constraints of the objective function are:

- Demand constraints (at least 500 products each type, the number of Fastlink cards is

at least twice as much as the number of Hyperlink cards):

+ X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 500

+ X2 ≥ 2X1

- Resource constraints:

+ PC board : 20X1 + 15X2 + 10X3 + 8X4 + 5X5 ≤ 80,000

+ Resistors : 28X1 + 24X2 + 18X3 + 12X4 + 16X5 ≤ 100,000

+ Memory Chips: 8X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 6X5 ≤ 30,000

+ Labor : 0.75X1 + 0.6X2 + 0.5X3 + 0.65X4 + X5 ≤ 5,000

Step 5 Nonnegative conditions

10

For the demand constraints of the decision variables are already equal or greater than

500 units, we do not have to define the ceiling and floor limits of the decision variables (equal or greater than 0)

b Creating a model on spreadsheet and having the problem solved by Solver

To input data of the above target function into Excel spreadsheet and find the answer

by using Solver, we conclude the model as follows:

c The best-case

Due to the above spreadsheet, the best solution for Valu-Com Electronics to optimize its profit (on the basis of satisfying the constraints) is to manufacture TEC products by the number of:

Hyperlink Fastlink Speedlink Microlink Etherlink

The best profit of this case is $215,000

d In terms of the spreadsheet model suggested, it can be seen that the labor resources

has not yet taken full advantages of (only been used 3,687.3 hours in comparison with 5,000 hours available), while others sources as Resistors or Memory Chips have all been exploited

Therefore, if Valu-Com allocated its personnel to work extra-working hour, it would not be possile to earn more profit As other resources as Resistors and Memory Chips have already been used up, there cannot be enough resources to produce more

Using Solver to create Sensitivity Analysis Report for the target function, we have the results as follows:

12

e The resources (constraints) are all used

To the results of the spreadsheet (section b) and of the above Answer Report, the Status column of Constraint showed that:

Name Status

PC Board Used Not Binding

Resistors Used Binding

Memory chips Used Binding

Assembly labor Used Not Binding

Binding Status expressed the resources have been fully used

Therefore, the Resistors and Memory Chips of the above problem have been all used up

f To eliminate the products that Valu-Com Electronics should do

In order to eliminate a product, it has to be taken into consideration that the most consuming products that gain least profit shall be excluded That means the Company should terminate the least productive goods

To this end, we calculate the cost price of each unit by shadow price generated from the Sensitivity Report Then, we take subtract the cost price from the profit of each unit The unit with lowest difference shall be eliminated

There goes a formula: C i - ∑q i * s i

In which:

C i: unit profit of i

q i : current resources consumed in order to produce i

s i : shadow price of i

To replace the data of resources (from the topic) and the shadow price (from the Sensitivity Report) as following the above formula, we can conclude the difference between the unit profit and cost price of each unit based on shadow price, specifically:

- Hyperlink : 53 - (20*0 + 28*0.166 + 8*7.5 + 0.75*0) = -11.648

- Fastlink : 48 - (15*0 + 24*0.166 + 8*7.5 + 0.6 * 0) = -15.984

- Speedlink : 33 - (10*0 + 18*0.166 + 4*7.5 + 0.5 * 0) = 0.012

- Microlink : 32 - ( 8 *0 + 12*0.166 + 4*7.5 + 0.65*0) = 0.008

- Etherlink : 38 - (5*0 + 16*0.166 +6*7.5 + 1*0) = - 9.656

Such difference of Fastlink is the lowest Therefore, if the Company wanted to eliminate any product, that would be Fastlink

g The profit increases when the Company purchases another 1,000 Memory Chips

If the Company could purchase 1,000 Memory Chips more of the former price, we may recreate the spreadsheet model using the resources as Memory Chips of 31,000, and solve the problem with Solver The result is:

14

It can be seen that when the Company can purchase another 1,000 Memory Chips of the former price, the problem results to the best-case for maximum profit of $222,500 Those 1,000 Memory Chips will be fully used again

Therefore, the Company should buy 1,000 Memory Chips more (of the former price) in order to produce for the higher profit of $7,500./