- Biết cách xác định điểm cuối của một cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác hay một họ góc lượng giác trên đường tròn lượng giác.. Tương tự, nếu cuốn tia At’ theo đường trò
Trang 1ĐẠI SỐ LỚP 10
- Cung và góc lượng giác
- Giá trị lượng giác của 1 cung
- Công thức lượng giác
Tuần 29:
Tiết 53 + 54: Cung và góc lượng giác
Số tiết: 2
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức:
- Biết hai đơn vị đo góc và cung tròn là độ và rađian
- Hiểu khái niệm đường tròn lượng giác; góc và cung lượng giác; số đo của góc và cung lượng giác
2 Về kĩ năng:
- Biết đổi đơn vị góc từ độ sang rađian và ngược lại
- Tính được độ dài cung tròn khi biết số đo của cung
- Biết cách xác định điểm cuối của một cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác hay một họ góc lượng giác trên đường tròn lượng giác
3 Về tư duy, thái độ: - Biết quy lạ về quen; cẩn thận, chính xác;
- Biết được toán học có ứng dụng trong thực tiễn
II Chuẩn bị phương tiện dạy học:
1 Thực tiễn: Hs đã biết nửa tròn đơn vị, đường tròn, các giá trị lượng giác của góc a ,
2 Phương tiện: + GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết quả mỗi hoạt động, SGK, thước, compa, máy tính bỏ túi, + HS: Đọc SGK trước ở nhà, thước, compa, SGK, máy tính bỏ túi,
III Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy.
IV Tiến trình bài học và các hoạt động:
1 Ổn định lớp:
2 Kiểm tra bài cũ: Không trả bài
3 Bài mới:
Tiết 53:
I Khái niệm cung và góc lượng giác:
HĐ1: Giới thiệu khái niệm đường tròn định hướng và
cung lượng giác:
1 Đường tròn định hướng và cung lượng giác:
* Cắt một hình tròn bằng bìa cứng,
đánh dấu tâm O và đường kính AA’
Đính một sợi dây vào hình tròn
tại A Xem dây như một trục
số tt’, gốc tại A, đơn vị trên trục
bằng bán kính OA
Như vậy: hình tròn này có bán
kính R = 1 Cuốn dây áp sát đường
tròn, điểm 1 trên trục tt’ chuyển thành điểm M1
trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành điểm M2, … ;
điểm –1 thành điểm N1, …( hình 39)
Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với
một điểm xác định trên đường tròn
* Nhận xét:
a) Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác nhau trên
trục số có thể ứng với cùng một điểm trên đường tròn
b) Nếu ta cuốn tia At theo đường tròn như hình 39 thì
mỗi số thực dương t ứng với một điểm trên đường tròn
Khi t tăng dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn
theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ Tương
tự, nếu cuốn tia At’ theo đường tròn thì mỗi số thực âm t
ứng với một điểm M trên đường tròn và khi t giảm dần
thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều
quay của kim đồng hồ
* Gv sử dụng đồ dùng trực quan: một hình tròn + một dây
Gv thực hành
* Gv giảng:
* Chẳng hạn điểm 1 trên trục
số ứng với điểm M1, nhưng khi cuốn quanh đường tròn 1 vòng nữa thì có 1 điểm khác trên trục số cũng ứng với điểm M1
* Gv thực hành cho hs theo từng trường hợp
* Hs quan sát, nêu kết quả
* Hs nghe, hiểu
* Hs nghe, ghi
* Hs quan sát
Trang 2+ Khái niệm đường tròn định hướng:
Đường tròn định hướng là
một đường tròn trên đó ta đã
chọn một chiều chuyển động A
gọi là chiều dương, chiều
ngược lại gọi là chiều âm
Ta quy ước chọn chiều ngược
với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
+ Khái niệm cung lượng giác:
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B
Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một
chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung
lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
Hình 41 cho ta hình ảnh của 4 cung lượng giác khác
nhau có điểm đầu A, điểm cuối B
a) b) c) d)
Hình 41 Mỗi lần điểm M di động trên đường tròn định hướng
luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ điểm A và
dừng lại ở điểm B, ta được một cung lượng giác điểm
đầu A điểm cuối B Như vậy:
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng
ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B
Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là »AB.
Chú ý:
Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B
thì :
+ Kí hiệu »AB chỉ 1 cung hình học (cung lớn hoặc
cung bé) hoàn toàn xác định
+ Kí hiệu »AB chỉ 1 cung lượng giác điểm đầu A,
điểm cuối B
⇒Đưa ra định nghĩa đường tròn định hướng.
Gọi hs nhắc lại định nghĩa
* Gv đưa ra khái niệm cung lượng giác
* Điểm M di động trên đường tròn từ A đến B theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, nó lần lượt tạo nên các cung đậm (hình 41) Nếu dừng lại ngay sau khi gặp B lần đầu thì tạo nên cung đậm hình 41a), nếu dừng lại sau khi quay một vòng rồi đi tiếp gặp
B lần hai thì tạo nên cung đậm hình 41b), …
Khi M di động theo chiều ngược lại, nó tạo nên cung tô đậm hình 41d) nếu nó dừng lại khi gặp B lần đầu, …
* Vậy nếu cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng thì
có bao nhiêu cung lượng giác?
* Phân biệt »AB và »AB
* Hs nghe, Hs định nghĩa như SGK
* Hs ghi nhận kiến thức
* Hs nghe, hiểu Học sinh trả lời
* Có vô số cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B
* Hs ghi nhận kiến thức
HĐ2: Giới thiệu khái niệm góc lượng giác:
2 Góc lượng giác:
Trên đường tròn định hướng
Cho một cung lượng giác »CD
Một điểm M chuyển động trên
đường tròn từ C đến D tạo nên
một cung lượng giác »CD nói trên Khi đó, tia OM quay
xung quanh gốc O từ vị trí OC đến vị trí OD Ta nói tia
OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC, tia cuối
là OD
Kí hiệu: (OC, OD)
* Tia OM quay từ tia OC đến tia OD tạo thành một góc lượng giác
* Hs ghi nhận kiến thức
HĐ3: Giới thiệu khái niệm đường tròn lượng giác:
3 Đường tròn lượng giác:
Trong mặt phẳng Oxy vẽ
đường tròn định hướng tâm O,
bán kính R = 1 Đường tròn này
cắt hai trục toạ độ tại 4 điểm
A(1; 0), A’(-1; 0), B(0; 1),
B’(0; -1) Ta lấy A(1; 0) làm
điểm gốc của đường tròn đó
Đường tròn xác định như trên gọi là đường tròn lượng
giác (gốc A).
* Nhắc lại khái niệm nửa đường tròn lượng giác?
⇒Giáo viên đưa ra khái niệm đường tròn đơn vị, đường tròn lượng giác
* Hs phát biểu
Hs ghi nhận kiến thức
Trang 3II Số đo của cung và gĩc lượng giác:
1 Độ và rađian:
HĐ4: Giới thiệu khái niệm đơn vị đo gĩc và cung:
rad, mối quan hệ giữa độ và rađian.
a) Đơn vị rađian:
Trên đường trịn tuỳ ý, cung cĩ độ dài bằng bán kính
được gọi là cung cĩ số đo 1 rad.
b) Quan hệ giữa độ và rađian:
Ta cĩ: 1800 = π rad
và
Với π ≈ 3,14 thì:
10≈0,01745 rad và 1 rad ≈57017’45”
Chú ý: Khi viết số đo của 1 gĩc (hay cung) theo đơn vị
rad, người ta thường khơng viết chữ rad sau số đo
Chẳng hạn, cung
2
π hiểu là cung
2
π rad
Bảng chuyển đổi thơng dụng:
Độ 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0
rad
6
π
4
π 3
π 2
π
3
2π
4
3π 6
5π π
* Ta thường sử dung đơn vị đo gĩc là gì?
Đơn vị độ đã được sử dụng rất lâu đời Trong Tốn và Vật lí người ta cịn dùng một đơn vị nữa để đo gĩc và cung, đĩ là rađian
* Trên hình 39, ¼AM bằng 1 1 đơn vị tức là bằng độ dài bán kính, Ta nĩi số đo cung ¼AM 1 bằng 1 rađian (viết tắt 1 rad)
* Nhắc lại độ dài cung nửa đường trịn bán kính R?
Ta cĩ độ dài cung nửa đường trịn là πR nên trong hình 43,
số đo cung ¼AA' bằng π rad (vì R = 1)
Mà: ·AOA' = 1800 (gĩc bẹt)
⇒1800 = π (rad).
* Gọi hs chuyển đổi
1800 ®π rad
300 ® ? rad
* Độ
* Nghe, hiểu
* πR
) ( 180
10 = π rad
0
)
180 ( 1
π
=
rad
* Hs tính vài giá trị HĐ5: Rèn luyện kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi để đổi
từ độ sang rađian và ngược lại.
VD(HĐ1/SGK): Sử dụng máy tính bỏ túi để đổi từ độ
sang rađian và ngược lại
a) Đổi 35047’25” sang rad
b) Đổi 3 rad ra độ
Gv hướng dẫn a) Ấn Mode/2 /3/ 5/ ‘’’/ 4 /7 /
‘’’/2/ 5/ ‘’’/shift/DRG/1/= Þ Kq: 0,6247
b) Ấn Mode /1-D/3/shift/
DRG/ 2 / = / shift /‘’’
Þ Kq:171053’14”
Hs thực hành
a) 35047’25” ≈ 0,6427
b) 3 rad ≈
171053’14”
HĐ6: Giới thiệu cơng thức tính độ dài một cung trịn:
c) Độ dài của một cung trịn:
Cung cĩ số đo là α rad của đường tròn bán kính
R có độ dài:
Trên đường trịn bán kính R, cung nửa đường trịn cĩ số đo
là π và cĩ độ dài là πR
Cung cĩ sđπ ® l =πR
Cung cĩ sđ α ® l = ? l.⇔π = l = Rα πα R.
Tiết 54:
HĐ1:Giới thiệu khái niệm số đo của một cung lượng
giác:
2 Số đo của một cung lượng giác:
VD: Xét cung lượng giác »AB trong hình 44a) Một
điểm M di dộng trên đường trịn theo chiều dương
+ Khi M di động từ A đến B tạo nên cung
4
1 đường trịn, ta nĩi cung này cĩ số đo
2
π , + Sau đĩ đi tiếp 1 vịng trịn nữa (thêm 2π) ta được:
cung lượng giác AB cĩ số đo là:
2
π + 2π =
2
5π + Tương tự, cung lượng giác »AB (44b) cĩ số đo:
2
π
+ 2π + 2π =
2
9π + Cung lượng giác »AC (44c) cĩ số đo là:
-4
π
- 2π - 2π- 2π =
4
25π
−
* Một đường trịn thì cĩ số đo
2π, vậy
4
1 đường trịn là?
* Dán bảng phụ hình vẽ
* Tìm số đo cung »AB, »AC ?
2
π
* Hs quan sát
* Sđ »AB = 92π
Sđ »AC = −254π
) ( 180
10 = π rad
l = Rα
0
)
180 ( 1
π
=
rad
Trang 4a) b) hình 44 c)
Từ VD trên ta cĩ:
Số đo của 1 cung lượng giác ¼ AM (A≠M) là một số
thực âm hay dương.
Kí hiệu: số đo của cung ¼ AM là sđ ¼AM.
VD(HĐ2/SGK): Cung lượng giác »AD cĩ số đo bằng
bao nhiêu?
Ghi nhớ:
+ Số đo các cung lượng giác cĩ cùng điểm đầu và điểm
cuối sai khác một bội của 2π Ta viết:
Trong đĩ, α : số đo của một cung lượng giác tuỳ ý cĩ
điểm đầu A và điểm cuối B
Khi điểm cuối M trùng với điểm đầu A, ta cĩ:
Sđ ¼AM = k2π, k∈Z.
Khi k = 0 thì Sđ ¼AM = 0
+ Số đo các cung lượng giác cĩ cĩ số đo bằng độ được
viết theo cơng thức
* Cung »AD cĩ số đo bằng bao nhiêu? D quay mấy vịng?
* M≡A ⇒α = ?
k = 0 thì sđ ¼AM ?
* Chuyển 2πsang đơn vị độ?
* Hs trả lời:
Sđ »AD= π 2π
4
3 + =
4
11π
α
⇒ = 0
sđ ¼AM = 0
2π= 3600
HĐ2: Giới thiệu khái niệm số đo của một gĩc lượng
giác:
3 Số đo của một gĩc lượng giác:
Định nghĩa: Số đo của một gĩc lượng giác (OA,OC) là
số đo của cung lượng giác »AC tương ứng
VD (HĐ3/SGK):Tìm số đo của các cung lượng giác
(OA,OE), (OA,OP)
trên hình 46 (điểm E là
điểm chính giữa cung ¼A'B',
»AP=31 »AB Viết số đo này
theo đơn vị Ral và theo đơn
vị độ
Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một gĩc lượng
giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và gĩc
lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau
khi ta nĩi về cung thì điều đĩ cũng đúng cho gĩc và
ngược lại
* GV đưa ra định nghĩa
* Gọi HS trả lời HĐ3
* HS nghe ghi
* HS lên bảng
Tính theo Rad
Sđ (OA,OP)=Sđ »AP
= -π -2
π -3
π
= 6
11π
− Sđ(OA,OE)=Sđ »AE
=π+ 4
π +2π=
4
13π
Tính theo độ
Sđ(OA,OP)= Sđ »AP
= -180 0 -90 0 -60 0
= - 3300
Sđ(OA,OE) =Sđ »AE
= 1800 + 450 + 3600
= 5850 HĐ3: Hướng dẫn học sinh biểu diễn cung lượng giác
trên đường trịn lượng giác:
4 Biểu diễn cung lượng giác trên đường trịn lượng giác
Chọn điểm gốc A(1,0) làm điểm đầu cho tất cả các
cung lượng giác trên đường trịn lượng giác Để biểu
diễn cung lượng giác cĩ số đo α trên đường trịn lượng
giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này Điểm cuối
M được xác định bởi hệ thức Sđ ¼AM =α
VD: Biểu diễn trên đường trịn lượng giác các cung
lượng giác cĩ số đo:
* Gv giảng
Để xác định điểm cuối M thì ta đưa sđ ¼AM về dạng
α + k2π khi đĩ ta sử dụng hệ thức Sđ ¼AM = α
* Hs nghe, hiểu
Sđ ¼AM = α + k2π, k
Z
Trang 54
25π
b) – 7650
Giải:
a) Ta có:
π π
π 3.2
4
4
Vậy: điểm cuối của cung
4
25π
là điểm chính giữa M của cung nhỏ »AB
b) Ta có: -7650 = -450 + (-2)3600
Vậy: điểm cuối của cung -7650 là điểm chính giữa N
của cung nhỏ ¼AB'
* Phân tích
4
25π
về dạng α + k2π?
Xác định điểm M?
* Tương tự cung –7650?
*Hs phát biểu
π π
π 3.2 4 4
M là điểm giữa cung nhỏ »AB
N là điểm giữa AB’
* Hs phát biểu như cột nd
4 Củng cố:
- Nắm vững công thức đổi đơn vị góc từ độ sang rađian và ngược lại
- Nắm vững công thức tính được độ dài cung tròn khi biết số đo của cung
- Nắm vững cách xác định điểm cuối của một cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác hay một họ góc lượng giác trên đường tròn lượng giác
5 Dặn dò:
- Giải bài tập 1,2,3,4,5,6,7 tr 140 SGK - Xem trước bài: Giá trị lượng giác của 1 cung