Có những cách nào để chứng minh hai tập hợp tương đương với nhau, tức là tồn tại song ánh giữa hai tập hợp đó?. Xét xem các tập hợp sau, tập hợp nào là một không gian vector trên R với p
Trang 1Bài tập ĐSTT cho K63 tuần 5
Giảng viên : TTC ducanh@hnue.edu.vn Tháng 9 năm 2013
Câu hỏi 1.1 Có những cách nào để chứng minh hai tập hợp tương đương với nhau, tức là tồn tại song ánh giữa hai tập hợp đó?
Bình luận Đương nhiên đầu tiên ta sẽ nghĩ ngay tới định nghĩa, tức là tìm cách thiết kế một song ánh cụ thể giữa hai tập hợp Tuy nhiên, việc thiết kế này nói chung là khó, hoặc nếu có thể thì rất tốn thời gian Rất may mắn là ta có một công cụ rất hữu hiệu là định lý sau đây
Định lý 1.2 (Bernstein-Cantor-Schr¨oder) Giả sử X và Y là hai tập hợp Nếu tồn tại đơn ánh f : X → Y và đơn ánh g : Y → X thì khi đó tồn tại song ánh từ X → Y
Trước khi khai thác định lý này, ta trình bày một số thuật ngữ của lý thuyết tập hợp để
dễ dàng phát biểu các kết quả hơn
Định nghĩa 1.3 Với mỗi tập hợp X, ta gắn với nó một đối tượng, gọi là bản số (hoặc lực lượng) của X, thỏa mãn hai tập hợp X và Y được gọi là có cùng bản số nếu tồn tại một song ánh f : X → Y Ký hiệu bản số của X là ]X hoặc card(X) hoặc |X| Ta nói ]X ≤ ]Y (bản số của X nhỏ hơn hoặc bằng bản số của Y ) nếu tồn tại một đơn ánh f : X → Y Ta nói ]X ≥ ]Y nếu tồn tại một toàn ánh f : X → Y
Ta có kết quả đầu tiên :
Mệnh đề 1.4 Cho X và Y là hai tập hợp Khi đó ta có ]X ≤ ]Y khi và chỉ khi ]Y ≥ ]X
Bình luận Nếu có một đơn ánh f : X → Y thì ta có thể dễ dàng xây dựng một toàn ánh
g : Y → X như sau : Cố định một phần tử x0 ∈ X Nếu y ∈ Y \f (X) thì ta đặt g(y) = x0 Nếu y ∈ f (X), do f là đơn ánh nên tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x) = y, và khi đó ta đặt g(y) = x
Tuy nhiên "chiều ngược lại" có vẻ không đơn giản, và hiện giờ tôi không biết cách nào ngoài cách dùng tiên đề chọn1 Chiều ngược lại nghĩa là : giả sử tồn tại toàn ánh f : X → Y, khi đó tồn tại đơn ánh g : Y → X Các bạn nghĩ thử xem, và các bạn sẽ hiểu khó khăn là ở đâu
Mệnh đề này kết hợp với định lý 1.2 đề xuất cho ta các cách sau để chứng minh hai tập hợp tương đương nhau Giả sử ta phải chứng minh hai tập X và Y có cùng bản số
Ta có thể thực hiện theo các cách sau :
1 Tiếng Anh là "axiom of choice", các bạn tham khảo sách của Hewitt, Stromberg.
Trang 2(1) Chứng minh tồn tại đơn ánh f : X → Y và đơn ánh g : Y → X.
(2) Chứng minh tồn tại đơn ánh f : X → Y và toàn ánh g : X → Y
(3) Chứng minh tồn tại toàn ánh f : X → Y và toàn ánh g : Y → X
Nhận xét Ta nhận thấy là ba cách làm trên có vẻ đơn giản hơn rất nhiều so với cách dùng định nghĩa, vì việc xây dựng song ánh là quá ràng buộc so với xây dựng toàn ánh hoặc đơn ánh đơn thuần
Đề nghị Hãy áp dụng lý thuyết trên để giải các bài tập về tập hợp trong file tuần 2
Nếu các bạn biết Tiên Đề Chọn, Nguyên lý tối đại Hausdorff, Bổ đề Zorn thì các bạn có thể chứng minh được các kết quả rất khó sau đây
Kết quả 2.1 Cho X và Y là hai tập hợp Khi đó hoặc ]X ≤ ]Y hoặc ]Y ≤ ]X
Kết quả 2.2 Giả sử X và Y là hai tập hợp có cùng bản số và là các tập vô hạn thỏa mãn
X ∩ Y = ∅ Khi đó X ∪ Y có cùng bản số với X
Kết quả 2.3 Giả sử X là một tập vô hạn Khi đó tích Descartes X × X có cùng bản số với X
Hệ quả 2.4 Tập C có cùng bản số với R
Trong mục này, ký hiệu K là một trường, và V là một K−không gian vector Ký hiệu 0,1 là phần tử trung lập và đơn vị của K như ở trên Ký hiệu ~O là vector không trong V
Bài tập 1 Cho ~x là một vector trong V Chứng minh rằng 0.~v = ~O
Bài tập 2 Cho c là một vô hướng khác 0 và ~x là một vector trong V Khi đó chứng minh rằng: Nếu c.~x = ~O thì ~x = ~O
Bài tập 3 Cho ~x là một vector của V và −~x là phần tử đối của ~x trong nhóm abel (V, +) Chứng minh rằng (−1).~x = −~x
Bài tập 4 Chứng minh tập số phức C là một R−không gian vector, và là một Q−không gian vector Tổng quát hơn, nếu K là trường con của trường L thì L là một K−không gian vector
Bài tập 5 Xét đoạn [0, 1] ⊂ R và khoảng (0, 1) ⊂ R Xét xem các tập hợp sau, tập hợp nào
là một không gian vector trên R với phép cộng và nhân với một số thông thường
(a) Tập tất cả các ánh xạ từ [0, 1] vào R
(b) Tập C∞((0, 1)) tất cả các hàm số thực khả vi vô hạn
(c) Tập tất cả các hàm số thực bị chặn trên (0, 1)
(d) Tập tất cả các hàm số thực không bị chặn trên (0, 1)
Trang 3(e) Tập tất cả các hàm số thực f trên (0, 1) thỏa mãn f 1
2 = 0.
(f) Tập tất cả các hàm số thực f trên (0, 1) thỏa mãn f 1
2
= 2013
Bài tập 6 Chứng minh các vector sau là độc lập tuyến tính cả trên R và C
(a) (1,1,1) và (0,1,-1)
(b) (-1,1,0) và (0,1,2)
(c) (π, 0) và (0,1)
(d) (1,1,0), (1,1,1) và (0,1,-1)
(e) (0,1,1), (0,2,1) và (1,5,3)
Bài tập 7 Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính của hai vector A và B Viết tọa độ tương ứng của X đối với A và B
(a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1)
(b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1)
(c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0)
Bài tập 8 Cho (a, b) và (c, d) là hai vector trong mặt phẳng Chứng minh rằng nếu ad−bc = 0 thì hai vector phụ thuộc tuyến tính Nếu ad − bc 6= 0 thì hai vector này độc lập tuyến tính Bài tập 9 Xét trong không gian vector C[1, 2] các hàm số thực liên tục trên đoạn [1, 2], hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?
(a) (t − 1)2, (t − 2)2, (t − 3)2
(b) 1, et, e−t
(c) sin x, sin 2x, , sin kx với k là số nguyên dương nào đó
(d) t, 1/t
(e) et, log t
Bài tập 10 Trong không gian vector thực R4, tìm hạng của các hệ vector sau
(a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1)
(b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1)
Bài tập 11 Trong C[0, 1], tìm hạng của các hệ vector sau đây
(a) t2− 2t, t2− 3t, t2− 4t, t2− 5t
(b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x
Bài tập 12 Giả sử α1, , αn và β1, , βm là hai hệ vector của một không gian vector V nào đó Chứng minh rằng hạng của hệ vector
α1, , αn, β1, , βm không vượt quá tổng hạng của hai hệ vector α1, , αn và β1, , βm
Trang 4Bài tập 13 Cho V là một K-không gian vector và X ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector (a) Chứng minh rằng tồn tại một hệ con độc lập tuyến tính tối đại trong X
(b) Chứng minh rằng : mọi hệ con của X mà độc lập tuyến tính đều nằm trong một hệ con tuyến tính độc lập tối đại Nghĩa là ta có thể bổ sung thêm các vector trong X để hệ đã cho trở thành hệ độc lập tuyến tính tối đại
(c) Giả sử Y ⊂ V là một hệ vector hữu hạn khác Ký hiệu rank(Y ) là hạng của Y Giả sử mỗi vector của X đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong Y Khi đó chứng minh rank(X) ≤ rank(Y )
Hệ quả : Nếu mỗi vector của X đều có thể biểu thị thành tổ hợp tuyến tính của các vector trong Y và ngược lại, thì rank(X) = rank(Y )
Áp dụng bài tập trên, ta có thể giải quyết bài tập "Tìm hạng của một hệ vector cho trước" bằng cách biến đổihệ vector trở thành hệ vector khác dễ xử lý hơn, nhưng hạng không thay đổi
Bài tập 14 Cho V là K−không gian vector và {x1, , xk} ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector nào đó Giả sử λ2, λ3, , λk∈ K là các vô hướng nào đó Khi đó chứng minh
rank{x1, , xk} = rank{x1, x2+ λ2x1, , xk+ λkx1}
Bài tập 15 (khó) Hãy đề xuất một thuật toán tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn vector bất kỳ, và chứng minh thuật toán của bạn là đúng
Bài tập 16 Cho V là một K-không gian vector và X ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector Ký hiệu span(X) là không gian vector con của V sinh bởi tập X Chứng minh rằng
dimKspan(X) = rank(X)
Bài tập 17 Cho U, V1, V2 là các không gian vector con của V Chứng minh rằng
(U ∩ V1) + (U ∩ V2) ⊂ U ∩ (V1 + V2)
Tìm ví dụ để bao hàm thức xảy ra thực sự (nghĩa là vế trái là tập con thực sự của vế phải) Bài tập 18 Cho U là một không gian vector con của V Chứng minh rằng tồn tại không gian con W của V sao cho V = U ⊕ W Hỏi rằng W có duy nhất không?
Bài tập 19 (Định lý đánh tráo Steinitz) Mọi cơ sở của một không gian vector V hữu hạn sinh có số vector như nhau Số này được gọi là chiều của V
Bài tập 20 Trong các hệ sau đây, hệ nào lập thành một cơ sở của R3?
(a) (2,4,-4), (3,5,-2)
(b) (1,0,-1), (3,2,0), (0,4,-3), (-2,1,3)
(c) (1,1,1), (1,2,3), (3,-2,1)
(d) (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4)