Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

Header Page of 123 ọ ế rờ ọ s tị ú ệ tử tr ó trù tế sĩ t ọ ế Footer Page of 123 Header Page of 123 ọ ế rờ ọ s tị ú ệ tử tr ó trù số ý tết số số tế sĩ t ọ ọ P ễ ế ết ế Footer Page of 123 Header Page of 123 trì ứ ủ t ợ ết t ữ ết q ết t ợ t trí ủ t số ệ ết q ợ trì tr tr tự từ ợ ố tr t ỳ trì P ị ú Footer Page of 123 Header Page of 123 ợ t ủ P ễ ế ết t tỏ ò ết t s s t ế ỉ trề ề ứ ọ t tì ú ỡ ề ọ t ò ổ ũ ộ tr sốt q trì ọ t ứ ủ ì tr trọ t tr Pò ọ rờ ọ s ọ ế t s ọ ọ ế t tr ộ số ọ tự rờ ọ ứ ó t ọ ề ệ t ợ t ọ t ứ t trì ứ ủ ì ũ ế sỹ ễ ủ ì ữ ú ỡ t ố ù t ố tỏ ò ết s s ế ì t ì ữ ộ s ữ ó tr sốt tờ t ứ s t P ị ú Footer Page of 123 Header Page of 123 ụ ụ ột số ế tứ ị ó trù ệ ó trù ó trù t ọ t í t ó trù ó trù ệ tử t tự trù trù tử trù t ọ P tử ể (, f ) ứ ụ P ố ề tử ể (, f ) P ó trù P ó trù ệ P ó trù ệ ệ tử ụ t rộ ó ổ ể ó trù ủ ột t trừ tợ tử t rộ ó ó trù t ẽ rộ ó ể é ó trù ết ột é P é t rộ ó ể é ý tết trở ị ý ó trù t ẽ rộ ó ế ể é ý tết ố ề ó ế ủ rr Footer Page of 123 Header Page of 123 ó trù t ọ tử ể (, f ) ự ó trù t ọ t q trù ự ó trù t ọ ệ tử P tử ể é ó trù ết P é t rộ ó ế ể ị ý (, f ) é ý tết trở trù t ẽ rộ ể ệ í q ý tết ố ề ủ é ệ í q P ệ í q rộ ể ệ í q Footer Page of 123 Header Page of 123 ý ệ ý ệ ĩ ObG t t ủ trù MorG t ũ t ủ trù (0, g, d) r ộ ị ủ é ộ (1, l, r) r ộ ị ủ é = G t t ủ A = G t tự ủ t ị SG trù t ọ ủ trù Hom(,f ) [S, S ] t tử ể từ ó trù (, A, h) G G I G (, f ) S ế S ó trù ể (, A), (, A, k) G (, A) ể (, A) (F, F ) (F, F , F ) tử (H, H), (G, G) t í t (H , H ), (G , G ) t tử í t (R, M ), (R, M, h) trù ể H i (, A) ó ố ề ó Hi (, A) i HM acL (R, M ) i HShu (R, M ) ó ố ề ó ế MA s tí ủ (R, M ) ó ố ề ủ ó ố ề ủ A t t rộ ó Ext(, A, ) d M, (B, D, d, ), B D é ệ ExtBD (Q, B, ) t t rộ ó ể é ExtBD (Q, B, ) t t rộ ó ế ể Footer Page of 123 é Header Page of 123 tt ữ t ữ ế trù tr trù t ẽ strt tr trù í q rr tr trù t ọ r tr tử tr tử s tr ũ t rs t q t í t q trở strt í st ề ệ r t ệ sst ệ í q rr sst tử tr tử í q rr tr tử ố ứ str tr tử r tr tử í q rr r tr t trừ tợ strt r ệ tử tr st ệ tử í q rr tr st tử str é rss é ế qrt rss rộ ó ế qrt r ts rộ tí é rss rt ts ó trù tr r ó trù t ẽ strt tr r ó trù ệ r tr r ó trù ệ r r tr r Footer Page of 123 Header Page of 123 ó trù r tr r ó trù t ẽ strt r tr r ó trù rờ r srt tr r ó trù t ọ r tr r trù st tr trù tr trù ố ứ str tr trù Pr Pr tr r r ộ strt r ộ ệ r strt r ộ ị t strt r ộ ttt strt r ộ ết ợ sstt strt s é rss s tí tt s tí rt tt t tí tt tề í rst t trù tr q t tự tr q t t Footer Page of 123 Header Page 10 of 123 s ố ệ ữ ệ tt ữ ó trù trù ó trù ó trù ó trù t ẽ é rộ ó ó trù rộ ó ể é ó trù t ẽ é trù rộ ó ế rộ ó ế ể é trù t ẽ ệ í q rộ rộ ể ệ í q Footer Page 10 of 123 Header Page 102 of 123 (B, E, j, ) ột ệ í q é s tr ó ò tr ệ tí (id, ) ột ủ ệ í q rộ ủ B Q ể ệ í q (B, D, d, ) ợ ọ t ế ể s / j B / E p / Q / 0, E Q / 0, E / D / j B /  E p / / D = ể ột r ể E: / B B j d / / E  D p / Q / 0,  q / rd q é ế í t ò tr q j = q d = ó ột : Q rd s ì tứ ữ ỉ ụ tộ t ủ rộ E ụ t ủ ú t sử ụ ý tết trở ủ tử ể ứ t t rộ ủ ể ệ í q B Q B D s ExtBD (Q, B, ) r ú t tế tụ rộ ỹ tt ệ tử ố t rộ ó ể é s t rộ ể ệ í q r ổ ề tử Dis Q ABD ệ ữ ệ ù ợ ể ự rộ ổ ề ệ í q tử (B, D, d, ) : Q Coker d ỗ (F, F , F ) : Dis Q A s (, 0) ề tồ t ột rộ EF Q ể ệ B D rộ ứ s ủ B : Q Coker d EF ợ ọ rộ tí é ết tử F ệ ề (F, F , F ) s tử K : sQ SA ể H) tử í t SA A ị í (xs , ix ) ó (, 0) ọ (H, H, t t ó s,r = ixs xr , Hs,r = ixs ãxr H(s) = xs , H(s, b) = b, H Footer Page 102 of 123 Header Page 103 of 123 ũ t ệ ề (F, F , F ) ợ t sQ K H SA A, , F ) í ợ t ó t ị ủ HK, HK ó ó tể (F, F t ó Fu,v = f (u, v) = f (u, v) ixs +xr , Fu,v = g(u, v) = g (u, v) ixs ãxr B, u,v , g (u, v) = Ku,v tí t tí u, v Q, s = (u), r = (v), f (u, v) = K , F ) r ộ t ẽ ủ sQ A f, g ữ t ủ (F, F tỏ tứ f (u, v + t) + f (v, t) f (u, v) f (u + v, t) = 0, f (u, v) = f (v, u), F (u) g(v, t) g(uv, t) + g(u, vt) g(u, v)F (t) = 0, g(u, v + t) g(u, v) g(u, t) + F (u) f (v, t) f (uv, ut) = 0, g(u + v, t) g(u, t) g(v, t) + f (u, v)F (t) f (ut, vt) = : Q MB ị (u) = F (u) = xs (s = (u)) tỏ ệ tứ (u) + (v) = àf (u,v) + (u + v), (u)(v) = àg(u,v) + (uv) t t ứ ệ tứ ò ệ tứ ợ s r t tự từ ệ tứ t tì u,v Ker d t ệ ề t ó f (u, v) CB ó f (u, v) = K àf (u,v) = à(ixs +xr ) (u) + (v) = xs + xr = xs +xr = [d(ixs +xr ) + xs+r ] = [d(ixs +xr )] + xs+r = à(ixs +xr ) + (u + v) = àf (u,v) + (u + v) ọ ự tí é (, f, g) tỏ ệ tứ t t ó tể E0 = [B, , f, g, Q], ĩ E0 = B ì Q ù é t (b, u) + (b , u ) = (b + b + f (u, u ), u + u ), Footer Page 103 of 123 Header Page 104 of 123 (b, u).(b , u ) = (b.b + b(u ) + (u)b + g(u, u ), uu ) E0 tỏ t ề ủ ệ tứ tr r ó ú ý tí ết ợ ủ é tr E0 ó ợ ỉ ệ (B D) í q t t ó tí [(b, u)(b , u )](b , u ) = ((bb )b + b(u )(u ) + [(u)b ](u ) + g(u, u )(u ) + (uu )b + g(uu , u ), (uu )u ), (b, u)[(b , u )(b , u )] = (b(b b ) + b(u u ) + (u)[b (u )] + (u)(u )b + (u)g(u, u ) + g(u, u u ), u(u u )) t ết ợ ố tí tr tr B, Q, t ố tổ B, ệt ệ tứ [(u)b ](u ) = (u)[b (u )], t t ợ t ết ợ ố tí tr E0 ợ j0 p0 EF : B E0 Q j0 (b) = (b, 0); p0 (b, u) = u, b B, u Q j0 (B) í tr E0 j0 : B E0 ột ệ í q : E0 MB é s tí : E0 D ợ ị (b, u) = db + x(u) , (b, u) E0 , tr ó x(u) ệ ủ (u) tr D ứ tỏ (idB , ) tỏ ệ tứ ễ t r j0 = d ữ ọ (b, u) E0 , c B t ó (b,u) c = j01 [(b, u)(c, 0)] = bc + (u)c, (b,u) c = db+x(u) c = bc + (u)c ó (b,u) c = (b,u) c tự c(b,u) = c(b,u) ì (idB , ) ột ủ ệ í q ĩ t ó rộ ể ệ í q tr ó E ợ t E0 ọ u Q t ó q(0, u) = q(x(u) ) = (u) rộ EF s : Q r d r ổ ề tr ộ (, f, g) t ột tử từ Dis Q tớ A ột ệ tử ố rộ ể ệ (B D) ó rộ ủ ệ ệ tử ố rộ ó ể é ợ ét s trờ ợ é t ị ý ủ ý tết rr rộ ể ệ í q Footer Page 104 of 123 Header Page 105 of 123 ị ý ý tết rr rộ ể ệ í q ó ột s : HomAnn (,0) [DisQ, A] ExtBD (Q, B, ) ứ tử EF , EF rộ ết t ứ sử (F, F , F ) (F , F , F ) ỉ t F, F : sQ A tử : F F ó t ị ĩ ủ ũ t ể s Fu,v F (u + v) u+v F (u) + F (v) F (uv) F u v F (u) + F (v), F (uv) u,v ị ĩ é t F (u)F (v) F (u + v) uv u +v Fu,v F F (u)F (v) u,v tr A t ó u v = u v + u F (v) + F (u) v ó f (u, v) = Fu,v , f (u, v) = F u,v , g(u, v) = Fu,v , g (u, v) = Fu,v t ó f (u, v) f (u, v) = u u+v + v , g (u, v) g(u, v) = u v + u F (v) + F (u) v uv t t : EF EF (b, u) (b u , u) ú ý r F (u) ợ = àu + F (u) sử ụ ệ tứ t ứ ột ữ ể tr ó E E ợt ợ t EF EF ò ỉ r = : F F ột F (u) = x(u) = F (u) x(u) = d(u ) + x(u) d(u ) = ó (b, u) = (b u , u) = d(b u ) + x(u) = d(b) d(u ) + x(u) = d(b) + x(u) = (b, u) rộ EF EF t ợ ế rộ EF EF t tì tồ t (b, u) (b u , u) từ EF ế EF ợ từ t t ợ :F F Footer Page 105 of 123 Header Page 106 of 123 sử t E ột rộ E ủ B Q ể ệ í q (B, D, d, ) s : Q Coker d tr ể ứ tỏ r E ó ột ệ tử ết ĩ t ột rộ tí é tử EF ết ột (F, F , F ) : DisQ A ó ọ A = ABE trù t ẽ ết ệ í q (B, E, j, ) ó t ệ ề (idB , ) tr ể ị ột tử K) : A A (K, K, A = Q, A = trù t ọ SA í trù Dis Q r A t ọ í (eu , ie ), e E, u Q ĩ {eu } ột ệ ệ ủ Q tr E ó t tử í t (H , H , H ) : DisQ A ợ H (u) = eu , H ó ợ t u,v = ieu +ev = g (u, v), Hu,v = ieu ev = h (u, v) F = K H ị ột tử DisQ A F (u) = (eu ), Fu,v = H u,v = g (u, v), Fu,v = Hu,v = h (u, v) é ứ ị ý t ị ợ rộ EF ủ tí é E0 = [B, , g , h , Q] ết (F, F , F ) t ứ tỏ E EF t tứ ó ể s / EF : B j0 / E0 p0 / Q / 0, E0 p / Q / 0, E / D / D / E: B j  /E = ỗ tử ủ E ết ợ t b + eu , b B, t ó tể ị ột : E0 E, (b, u) b + eu ể ỉ r ột trớ ết t t r ệ ệ {eu } ó ột số tí t s (u)c = eu (c), c(u) = ceu , c B, eu + ev = ieu +ev + eu+v = g (u, v) + eu+v , eu ev = ieu ev + eu.v = h (u, v) + euv tứ ó ợ (idB , ) é tứ ó ợ ị ĩ ủ ũ t tr A ì t ó [(b, u) + (c, v)] = (b + c + g (u, v), u + v) = b + c + g (u, v) + eu+v (5.34) = b + c + eu + ev = (b + eu ) + (c + ev ) = (b, u) + (c, v) Footer Page 106 of 123 Header Page 107 of 123 [(b, u)(c, v)] = (bc + b(v) + (u)c + h (u, v), uv) = bc + b(v) + (u)c + h (u, v) + euv (5.33),(5.35) bc + bev + eu c + eu ev = = bc + b.ev + eu c + eu ev = (b + eu ).(c + ev ) = (b, u).(c, v) ố ù t ọ ệ eu s t ó (eu ) = x(u) ề ó tể tự ệ ợ từ q((eu )) = p(eu ) = (u) ó (b, u) = (b + eu ) = (b) + (eu ) = d(b) + x(u) = (b, u), ĩ E EF rộ t sử A = ABD trù t ẽ ết ệ í q B D A = Coker d A = Ker d trù t ọ SA ó SA = (Cokerd, Kerd, k), tr ó k HShu (Cokerd, Kerd) A SA ữ trù í q ó : Q Cokerd s ột trở k HShu (Q, Kerd) ú t t ể ết q í ủ ụ ột rộ ủ ị ý ữ ỗ ột í q rộ ợ ét tr tự r trờ ợ r ủ ệ Q = Cokerd, = idCokerd ết q ủ ú t ứ ị ý ị ý ệ í q t ủ ủ B Q k tr ể ệ (B, D, d, ) : Q Cokerd ó HShu (Q, Kerd) B D ề ệ ủ ể tồ t rộ s ữ k t tì tồ t ột s ExtBD (Q, B, ) HShu (Q, Kerd) k = tì t ị ý tồ t ột tử (, ) : Dis Q H) : SA A t ợ ột SA ợ t tử í t (H, H, , F ) : Dis Q A t ổ ề t ợ rộ ết EF tử (F, F ứ ế ợ sử ó rộ ể ệ í q tỏ ể ọ trù t ẽ ết ệ B E ế tì t ệ ề tồ t ột Footer Page 107 of 123 A Header Page 108 of 123 tử ề F : A A ì trù t ọ ủ A Dis Q t ệ F s ột tử ể (, 0) từ Dis Q tớ (Coker d, Ker d, k) t ị ý trở ủ (Q, Ker d), ĩ (, 0) t tr HShu k = s ó tr ị ý ợ s r s rớ ết ó ột s tự Hom[DisQ, A] Hom[DisQ, SA ] ó (DisQ) = Q, (SA ) = Kerd t ị ý ị ý t ó s ExtBD (Q, B, ) HShu (Q, Kerd) ết ủ r ú t t ợ ột số ết q í s r ệ ệ ệ í q ỉ r t ữ ệ í q s é tr ể ễ ệ í q q ữ ủ trù t ẽ Pt ể ố ệ ữ ệ í q tử ữ trù ết P ệ í q Pt ể t rộ ể ệ í q ết q ủ ý tết trù Footer Page 108 of 123 Header Page 109 of 123 ết é ó trù ột ộ ợ sử ụ rộ r tr ề ết q ề ó trù ủ í ợ ó trù rr ộ trờ ợ trù trù ó r r ỉ r r é ó tể ợ ứ ó trù t ẽ ề ợ ý ú t r ó tể ứ trù ứ t ó trù t ẽ trù t ẽ ể từ ó ứ trú é é ế ệ qết ề ữ ết q í s ị ể ủ ột tử ữ ó trù ý tết trở ủ ột tử ó r ị ý í trù ó trù trù ó trù ệ P é ự ý tết rr rộ ó ể é ự tr ết q ủ ý tết ó trù t ẽ ết q t ợ rộ ết q ủ r t ứ ó trù t ẽ từ ó ự ý tết rr rộ ó ế ể é é ết q t ợ ý tết rộ ó ế ủ rr rís rt ý tết rộ ó ể é ủ r ứ trù t ẽ từ ó ệ í q rộ ể ệ í q P trù ó trù ệ ệ tử tr ó trù ệ ể (M, N ) Footer Page 109 of 123 ệ tử tr Header Page 110 of 123 ụ trì ủ t ó q ế P trs t r rtrs tr ts stst tts P rss s r rs t P sst r r tr rs s trs r rst P rss s strt rtrs ts r tt t P qrt rss s rs t rtrs r t ết q tr ợ t t ộ t ọ ề ột số ứ tr t ọ ệ ứ ụ ó rờ ọ ứ ệ ọ ệt rờ ọ s ộ ố ợ tổ ứ ộ ị t qố ề số ì ọ ộ ọ ệt tứ r r ộ số ì ọ rờ ọ s ọ ế r ộ số ọ tự rờ ọ ứ ó Footer Page 110 of 123 Header Page 111 of 123 ệ t trù ế sĩ ộ ế rs r ă s O rrss s t r s r rs r t s r t tr sqr t rt s rss tss rs s t s Prs t tr trs r t r rs rss ts r t t r r t r G rs rss s t t r Pr t r r rs t t rs rst t Pr P r Prtr t rr tr tss rsts tts Pr rs r P s r r t tr ss rss s t rs rts tts s st rr r s s r tr Footer Page 111 of 123 Header Page 112 of 123 rr ró rt r tss trs r rr rí s rt r tr rs qrt r tss t rr rí s rt rs t rtrs t rr ró r ts r tr r tr r ts trs rr t sst r r tr rs Pr r rr t sst r Pr trs t r t rs H(, n) t ro ă r trs st tt trt r trs qr tts rt r trt r tsr trs t sr rts trs r r r trs t r strtr trt r r tr rs Pr trt rss tts tr sstt ttt rst sts r r rttr tss strts r rs s tts ts rs rs rss s t r t ts rss r t sttt tts ss ss r Footer Page 112 of 123 Header Page 113 of 123 Prs r r tt r r t Prtr tss rss s tr trs trs rs t rts Pr t trtr trs st st r tts tr sts rtrs t t (, A) trt r r sst trs stst tts P trs t r rtrs tr ts stst tts sst trs t P rss s r rs t P qrt rss s rs t rtrs r t P rss s strt rtrs ts r tt t P sst r r tr rs s trs r rst r r tss rs r t t tr t r t ế P é térs tt Prs é s rsés éérsés r Pr P r s trs Ext H2 t H2 Footer Page 113 of 123 és Prs Header Page 114 of 123 rt térs rés t ést sé tr ts t rr r s t s s q érq r térs s tr ts t rrr r r rtérs s trt rsté Prs rtérs strts t tt t s rs ssts r ế ứ rr Uă r rtr r Footer Page 114 of 123 ts t Ps Header Page 115 of 123 ỉ số Hn (, A) ủ tử HoAnnstr ủ tử é ết trú ủ trù ết ó ệ í q Hom(,f ) [S, S ] ợ ế (, A, h) tử Annstr tử ESyst ể Psd(, Brg) í q tử tử ệ (f1 , f0 ) ũ t trù í q t trừ tợ ệ tử í q t ẽ í q ể (, f ) tử Psd(, C) BCG é (R, M ) tự ết ết t ọ ế t rộ í t rộ ó trở ủ tử tí é ể é t Footer Page 115 of 123 Header Page 116 of 123 rộ tí é s tí rộ ể ệ tr t rộ ể ệ í q rộ ế t ề ũ tí é rộ ế ể t ó trù t tí é t ề t tề í ể (, A) t t í t ệ t ệ t ọ t í t ể t tự (, A) ết ệ t ẽ ể (, A) t ị ết í t ọ rờ r é t ọ ệ ố ứ é s é ổ ị trù t tử t ẽ trù ệ trù Pr r ộ ệ r ộ ết ợ r ộ ị s é s t Footer Page 116 of 123 ... tử tr ó trù ể qết ề tr ụ í ủ trớ ết ứ ề tử ữ ó trù ể (, A) ể từ ó trù ó trù trù ó trù ệ ó trù ệ ệ tử ứ ột số ủ é tr ó ủ t ể ễ ủ ú q trù ó ọ trù. .. trù tr trù t ẽ strt tr trù í q rr tr trù t ọ r tr tử tr tử s tr ũ t rs t q t í t q trở strt í st ề ệ r t ệ sst ệ í q rr sst tử tr tử í q rr tr tử ố ứ str tr tử r tr tử. .. é ó tử ữ trù ết t ứ sử ụ ết q ủ ý tết trù ù ể qết t rộ ể é t ứ ột ứ ụ ủ ý tết ố tợ ứ ủ trớ ết ột số trù trú ứ ụ ủ ú ó trù ó trù ệ ó trù ó trù ệ trù ố tợ tế