luận án tiến sĩ toán học hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc

Cegarra và các cộng sự đã chứngminh định lý phân lớp chính xác cho phạm trù các nhóm phạm trù phân bậc vàcác hàm tử monoidal phân bậc bởi nhóm đối đồng điều đẳng biến chiều thứ 3.Sau đó,

Đại học huế Trường đại học sư phạm

phạm thị cúc

Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62 46 05 01

luận án tiến sĩ toán học

Huế - 2014

Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học sư phạm, Đại học HuếNgười hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Nguyễn Tiến Quang

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Trung tâm học liệu - Đại học Huế

- Thư viện Trường Đại học sư phạm - Đại học Huế

là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên trong phạm trù đều là đẳng cấu) thì tathu được khái niệm nhóm phạm trù Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêmràng buộc giao hoán thì ta thu được khái niệm nhóm phạm trù đối xứng (hayphạm trù Picard.

Những tác giả đầu tiên nghiên cứu về nhóm phạm trù mà ta có thể kể đến

là N Saavedra Rivano, H X Sính, M L Laplaza, Trong luận án của mìnhnăm 1975, H X Sính đã mô tả cấu trúc của nhóm phạm trù và phạm trù Picard

và phân lớp chúng bởi nhóm đối đồng điều chiều 3 của các nhóm Kết quả này

đã cho phép xác lập mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm phạm trù, đối đồng điềunhóm và bài toán mở rộng nhóm cổ điển của Schreier - Eilenberg - Mac Lane.Sau đó, lý thuyết nhóm phạm trù với tính khái quát của nó ngày càng có nhiềuứng dụng

Các nhóm phạm trù Γ-phân bậc được giới thiệu lần đầu tiên bởi A Frohlich

và C T C Wall (1974) Vào năm 2002, A M Cegarra và các cộng sự đã chứngminh định lý phân lớp chính xác cho phạm trù các nhóm phạm trù phân bậc vàcác hàm tử monoidal phân bậc bởi nhóm đối đồng điều đẳng biến chiều thứ 3.Sau đó, các kết quả này đã được áp dụng để đưa ra lời giải thích hợp cho bàitoán mở rộng đẳng biến của nhóm với hạt nhân không aben

Nhóm phạm trù bện được xét tới lần đầu bởi A Joyal và R Street (1993)như một mở rộng của phạm trù Picard, trong đó các nhóm phạm trù bện đã

được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều aben H3

ab(M, N ) Bài toán phân lớp

đồng luân cho phạm trù các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêngcủa nó là phạm trù các phạm trù Picard phân bậc đã được A M Cegarra và E.Khmaladze giải quyết vào năm 2007

Vào năm 2010, N T Quang đã giới thiệu một cách tiếp cận khác cho bàitoán phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù Γ-phân bậc dựa trên phương pháp

hệ nhân tử (hay giả hàm tử theo nghĩa của A Grothendieck) Phương pháp này

có nhiều triển vọng trong việc áp dụng cho phạm trù các nhóm phạm trù bện

Γ-phân bậc

Nếu như nhóm phạm trù được xem như là một phiên bản phạm trù của cấutrúc nhóm thì vào năm 1988 N T Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù,xem như một phạm trù hóa của khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khảnghịch của các vật và của các mũi tên trong phạm trù nền Đặc biệt, lớp cácAnn-phạm trù chính quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id

đối với mọi vật X) đã được N T Quang phân lớp bởi nhóm đối đồng điều của

đại số kết hợp H3

Shu(R, M ) theo nghĩa của Shukla Sau đó, bài toán phân lớpcác Ann-hàm tử đã được N T Quang và D D Hanh (2009) giải quyết nhờ cácnhóm đối đồng điều chiều thấp của đối đồng điều vành Mac Lane, và chỉ ramối liên hệ giữa bài toán mở rộng vành và lý thuyết cản trở của các Ann-hàm

tử Gần đây nhất (2013), bài toán phân lớp các Ann-phạm trù trong trường hợptổng quát đã được N T Quang giải quyết trọn vẹn

Môđun chéo của các nhóm được J H C Whitehead đưa ra vào năm 1949trong công trình nghiên cứu của ông về biểu diễn 2-dạng đồng luân mà không

có sự trợ giúp của lý thuyết phạm trù Vào năm 1976, R Brown và C Spencer

đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo đều xác định một G-groupoid (nghĩa là, mộtnhóm phạm trù chặt chẽ) và ngược lại, do đó môđun chéo có thể được nghiêncứu bởi lý thuyết phạm trù Kết quả này cho phép xác lập mối liên hệ giữa lýthuyết nhóm phạm trù với môđun chéo, một khái niệm cơ bản và có nguồn gốc

từ tôpô đại số

Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, một dạng khái quát của bài toán

mở rộng nhóm cổ điển, được P Dedeker giới thiệu năm 1964 đã được R Brown

và O Mucuk giải quyết (1994), trong đó các tác giả đã giải thích và chứng minh

định lý về sự tồn tại và phân lớp các mở rộng loại này bằng cách sử dụng phươngpháp phức chéo, tương tự như phương pháp phức xích trong đại số đồng điều.Một dạng khái quát khác của bài toán mở rộng nhóm cổ điển là bài toán mởrộng nhóm đẳng biến đã được A M Cegarra và các đồng tác giả giải quyết có

sử dụng kết quả của lý thuyết nhóm phạm trù phân bậc

Khái niệm môđun chéo của các nhóm của J H C Whitehead (1949) cũng

đã được tổng quát hóa theo nhiều cách khác nhau Vào năm 2002, H -J Baues

đã giới thiệu khái niệm môđun chéo trên các k-đại số (k là trường) Sau đó,

H -J Baues và T Pirashvili (2004) đã thay thế trường k bởi vành giao hoán K

và gọi các môđun chéo trên các K-đại số là song môđun chéo Đặc biệt, với

K = Z thì thu được khái niệm song môđun chéo trên các vành

Khái niệm môđun chéo trên các nhóm có thể được xác định trên vành theomột cách khác, mà chúng tôi gọi là E-hệ Trường hợp đặc biệt của E-hệ, E-hệchính quy, trùng với khái niệm song môđun chéo trên vành, và do đó khái niệmE-hệ là yếu hơn khái niệm song môđun chéo trên vành Tương tự như môđunchéo trên các nhóm, chúng tôi biểu diễn các E-hệ chính quy thông qua cácAnn-phạm trù chặt chẽ, và từ đó phân lớp phạm trù các E-hệ chính quy Đồngthời, chúng tôi đưa ra và giải quyết bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chínhquy, xem như là một ứng dụng của khái niệm E-hệ cũng như của lý thuyếtAnn-phạm trù

Một phiên bản khác của khái niệm môđun chéo trên các nhóm là khái niệmmôđun chéo Γ-đẳng biến (hay Γ-môđun chéo) Khái niệm này đã được B.Noohi đưa ra vào năm 2011 khi so sánh các phương pháp khác nhau để địnhnghĩa đối đồng điều nhóm với các hệ tử trong một môđun chéo Với khái niệmnày, chúng tôi giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để biểudiễn các Γ-môđun chéo, phát biểu và giải bài toán mở rộng nhóm đẳng biếnkiểu Γ-môđun chéo

Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 5 chương như sau

Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị, trình bày một số khái niệm và kếtquả đã biết của lý thuyết phạm trù với cấu trúc sẽ được sử dụng cho các chươngsau

Chương 2, Phân lớp các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) và ứng dụng, bao gồmmột số nội dung sau Trước hết, chúng tôi mô tả về các hàm tử monoidal giữacác nhóm phạm trù kiểu (Π, A), trình bày lý thuyết cản trở và định lý phân lớpcho các hàm tử loại này Từ đó chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù cácnhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện, đồng thời giới thiệu mộtứng dụng đại số của lý thuyết cản trở của các hàm tử monoidal liên quan đếnbài toán mở rộng nhóm Cũng trong Chương 2 này, chúng tôi chứng minh định

lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù bện phân bậc bằng phương pháp

hệ nhân tử

Chương 3, Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo,nghiên cứu về mối liên hệ giữa môđun chéo, nhóm phạm trù chặt chẽ và bài

toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo Chúng tôi chỉ ra mối liên hệ giữa các

đồng cấu môđun chéo với các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù chặtchẽ liên kết với các môđun chéo đó, từ đó thu được định lý phân lớp cho phạmtrù các môđun chéo là mở rộng một kết quả đã biết của R Brown và C Spencer.Chúng tôi cũng sử dụng lý thuyết nhóm phạm trù chặt chẽ để thu lại được kếtquả của bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R Brown và các cộngsự

Chương 4, Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biếnkiểu Γ-môđun chéo, trình bày lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđunchéo, một khái quát chung cho cả hai lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chéocủa R Brown và lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến của A M Cegarra Chúngtôi cũng biểu diễn các Γ-môđun chéo qua các nhóm phạm trù phân bậc chặtchẽ để từ đó phân lớp các Γ-môđun chéo

Chương 5, Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy,nghiên cứu về E-hệ, mối liên hệ của chúng với một số khái niệm liên quan đãbiết và tìm kiếm ứng dụng liên quan đến bài toán mở rộng Chúng tôi giới thiệukhái niệm E-hệ và E-hệ chính quy như là một phiên bản của môđun chéo trêncác nhóm cho vành, trong đó các E-hệ chính quy được biểu diễn thông quacác Ann-phạm trù chặt chẽ, đồng thời các E-hệ chính quy chính là các songmôđun chéo trên vành Chúng tôi đưa ra và giải quyết bài toán mở rộng vànhkiểu E-hệ chính quy, xem như là một ứng dụng của khái niệm E-hệ cũng nhưcủa lý thuyết Ann-phạm trù

Việc đánh số các chương, mục, định lý, mệnh đề, trong bản tóm tắt này

được giữ nguyên như ở trong luận án

Các kết quả của luận án được viết thành 5 bài báo, trong đó có 4 bài đã

được đăng (với 3 bài trên 3 tạp chí quốc tế thuộc danh mục MathSciNet), 1 bài

ở dạng tiền công bố

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bảnnhất liên quan đến nhóm phạm trù, nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trùbện phân bậc và Ann-phạm trù

1.1 Nhóm phạm trù (bện) phân bậc

1.1.1 Nhóm phạm trù

Một nhóm phạm trù (G, ⊗, I, a, l, r) là một phạm trù monoidal trong đótất cả các vật đều khả nghịch (theo nghĩa với mỗi vật X đều tồn tại một vật Ysao cho X ⊗ Y ' I ' Y ⊗ X) và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tấtcả các mũi tên đều là đẳng cấu

Nếu với mỗi vật X đều tồn tại một vật Y sao cho X ⊗ Y = I = Y ⊗ X vàcác ràng buộc kết hợp a, các ràng buộc đơn vị l, r đều là các phép đồng nhấtthì G là một nhóm phạm trù chặt chẽ

1.1.2 Nhóm phạm trù thu gọn và các tương đương chính tắc

Mỗi nhóm phạm trù G xác định hoàn toàn ba bất biến: một nhóm Π, một

Π-môđun trái A và một 3-đối chu trình k ∈ Z3(Π, A) Khi đó, ta xây dựng

được một nhóm phạm trù SG tương đương monoidal với nhóm phạm trù G nhờcác tương đương monoidal chính tắc, và SG được gọi là một thu gọn của nhómphạm trù G Ta nói SG có kiểu (Π, A, k), hoặc đơn giản là kiểu (Π, A)

1.1.3 Nhóm phạm trù phân bậc

Một phạm trù monoidal Γ-phân bậc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao gồm:i) một phạm trù Γ-phân bậc ổn định (G, gr), các hàm tử Γ-phân bậc ⊗ :

G ìΓ G → G và I : Γ → G,

ii) các đẳng cấu tự nhiên bậc 1 aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), l∼ X :

I ⊗ X → X, r∼ X : X ⊗ I → X∼ thỏa mãn các điều kiện khớp của một phạm trùmonoidal

Một nhóm phạm trù phân bậc là một phạm trù monoidal phân bậc G trong

đó mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều là đẳng cấu

1.1.4 Nhóm phạm trù bện phân bậc

Một nhóm phạm trù bện G là một nhóm phạm trù được trang bị thêm mộtràng buộc bện tương thích với các ràng buộc đơn vị và kết hợp

⊕, ⊗ : A ì A → A thỏa mãn một số tiên đề tương tự như đối với một vành

Đặc biệt, khi tất cả các ràng buộc đối với hai phép toán ⊕, ⊗ đều là đồng nhấtthì ta thu được khái niệm Ann-phạm trù chặt chẽ

1.2.2 Ann-hàm tử

Một Ann-hàm tử là một hàm tử F giữa hai Ann-phạm trù sao cho F vừa

là một hàm tử monodial đối xứng đối với phép toán ⊕, vừa là một hàm tửmonoidal đối với phép toán ⊗ và tương thích với các ràng buộc phân phối.1.2.3 Ann-phạm trù thu gọn

N T Quang đã chỉ ra rằng mỗi Ann-phạm trù xác định hoàn toàn ba bấtbiến: một vành R, một R-song môđun M và một phần tử h ∈ Z3

M acL(R, M )

Từ đó, xây dựng được một Ann-phạm trù thu gọn SA = (R, M, h) tương đươngvới A, gọi là Ann-phạm trù kiểu (R, M)

2.1 Phân lớp đối đồng điều các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f)

Mệnh đề dưới đây được đưa ra bởi H X Sính (1975)

Mệnh đề 2.1 Giả sử (F,F ) : G → Ge 0 là một hàm tử monoidal Khi đó (F,F )ecảm sinh cặp đồng cấu nhóm

F0 : π0G → π0G0, [X] 7→ [F X],

F1 : π1G → π1G0, u 7→ γF I−1(F u),thoả mãn điều kiện F1(su) = F0(s)F1(u), trong đó đẳng cấu γX(u) được chobởi: γX(u) = lX ◦ (u ⊗ id) ◦ l−1X

Trước hết, chúng tôi làm mạnh Mệnh đề 2.1 bởi Mệnh đề 2.4 khi khẳng địnhrằng mỗi hàm tử monoidal (F,F ) : G → Ge 0 cảm sinh một hàm tử monoidal

SG → SG0 Chúng tôi cần tới hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.2 Cho hai ⊗-phạm trù G, G0 với các ràng buộc tương ứng là (I, l, r)

và (I0, l0, r0) Giả sử (F,F , Fe ∗) : G → G0 là một ⊗-hàm tử tương thích với cácràng buộc đơn vị Khi đó, γ−1

F I(F u) = F∗−1F (u)F∗

Bổ đề 2.3 Với các giả thiết của Bổ đề 2.2, ta có F γX(u) = γF X(γF I−1F u).Cho S, S0 lần lượt là các nhóm phạm trù kiểu (Π, A, h) và (Π, A, h0) Mộthàm tử F : S → S0 được gọi là hàm tử kiểu (ϕ, f) nếu

F (x) = ϕ(x), F (x, a) = (ϕ(x), f (a)),

với ϕ : Π → Π0, f : A → A0 là một cặp đồng cấu nhóm thỏa mãn f(xa) =ϕ(x)f (a) với x ∈ Π, a ∈ A.

Mệnh đề 2.4 Mỗi hàm tử monoidal (F,F ) : G → Ge 0 cảm sinh một hàm

tử monoidal SF : SG → SG0 kiểu (ϕ, f), với ϕ = F0, f = F1 Hơn nữa,

SF = G0F H, với H, G0 là những tương đương chính tắc

Mệnh đề 2.5 Mỗi hàm tử monoidal (F,F ) : S → Se 0 là một hàm tử kiểu (ϕ, f)

Ký hiệu Hom(ϕ,f )[S, S0] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidalkiểu (ϕ, f) từ S = (Π, A, h) vào S0 = (Π, A0, h0) Ta gọi hàm k = ϕ∗h0 − f∗h

là một cản trở của hàm tử F kiểu (ϕ, f)

Định lý 2.6 Hàm tử F : S → S0 kiểu (ϕ, f) là một hàm tử monoidal nếu vàchỉ nếu cái cản trở k triệt tiêu trong H3(Π, A0) Khi đó tồn tại các song ánh:i) Hom(ϕ,f )[S, S0] ↔ H2(Π, A0),

ii) Aut(F ) ↔ Z1(Π, A0)

2.2 Phân lớp các nhóm phạm trù

Ký hiệu CG là phạm trù có vật là các nhóm phạm trù, các mũi tên là cáchàm tử monoidal giữa chúng Ký hiệu H3

Gr là phạm trù có vật là bộ ba (Π, A, h)với h ∈ H3(Π, A), mũi tên (ϕ, f) : (Π, A, h) → (Π0, A0, h0) là cặp (ϕ, f) saocho tồn tại g : Π2 → A0 để (ϕ, f, g) là một hàm tử monoidal (Π, A, h) →(Π0, A0, h0)

Định lý 2.7 (Định lý phân lớp) Tồn tại một hàm tử phân lớp:

G 7→ (π0G, π1G, hG)(F, eF ) 7→ (F0, F1)

Cho nhóm Π và Π-môđun A Ta nói nhóm phạm trù G có tiền đính kiểu(Π, A) nếu tồn tại cặp đẳng cấu nhóm p : Π → π0G, q : A → π1G tương thíchvới tác động của môđun q(su) = p(s)q(u), với s ∈ Π, u ∈ A.

Ký hiệu CG[Π, A] là tập các lớp tương đương của các nhóm phạm trù tiền

đính kiểu (Π, A) Ta thu được kết quả sau

là hàm được cảm sinh bởi ràng buộc bện)

Hệ quả 2.9 Mỗi hàm tử monoidal bện (F,F ) : S → Se 0 là một bộ ba (ϕ, f, g),trong đó ϕ∗(h0, η0) − f∗(h, η) = ∂ab(g)

Ký hiệu H3

BGr là phạm trù mà vật của nó là các bộ ba (M, N, (h, η)), với(h, η) ∈ Hab3 (M, N ), và BCG là phạm trù có vật là các nhóm phạm trù bện

Định lý 2.10 [Định lý phân lớp] Tồn tại một hàm tử phân lớp

B 7→ (π0B, π1B, (h, η)B)(F, eF ) 7→ (F0, F1)

(ϕ,f )[B, B0] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidalbện từ B đến B0 cảm sinh cặp (ϕ, f)

Ký hiệu BCG[M, N] là tập các lớp tương đương của các nhóm phạm trù bệntiền đính kiểu (M, N) Ta thu được kết quả tương tự như Định lý 2.8

Khái niệm hệ nhân tử được A Grothendieck đưa ra vào năm 1971 sau đó

đã được nhiều tác giả phát triển (A M Cegarra, N T Quang, )

Với mỗi nhóm Γ và một phạm trù C, ta gọi Psd(Γ, C) là phạm trù của các

hệ nhân tử (chuẩn tắc) từ Γ đến C, và gọi ΓBCG là phạm trù các nhóm phạmtrù bện Γ-phân bậc

Định lý 2.13 Với mỗi nhóm Γ, tồn tại một đẳng cấu: ΓBCG ' Psd(Γ, BCG)

2.5 áp dụng vào bài toán mở rộng nhóm cổ điển

2.5.1 Nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng

Một hạt nhân trừu tượng là một bộ ba (Π, G, ψ), với ψ : Π → AutG/InG làmột đồng cấu nhóm Cái cản trở của (Π, G, ψ) là một phần tử k ∈ H3(Π, ZG).Chúng ta xây dựng được một nhóm phạm trù chặt chẽ AutG, mà các vật làcác phần tử của nhóm các tự đẳng cấu AutG và các mũi tên được cho bởiHom(α, β) = {c ∈ G|α = àc◦ β} Nhóm phạm trù này có ba bất biến lần lượtlà: Aut G/InG, ZG và ψ∗h, trong đó ψ∗h cùng lớp đối đồng điều với k

Sử dụng kết quả này ta chứng minh được rằng mỗi nhóm phạm trù đều tương

đương với một nhóm phạm trù chặt chẽ Đây là phương pháp chứng minh hoàntoàn khác với phép chứng minh của H X Sính (1978)

2.5.2 Hàm tử monoidal và bài toán mở rộng nhóm

Trong tiểu mục này, chúng tôi đã sử dụng các kết quả của lý thuyết nhómphạm trù để thu lại được các kết quả về bài toán mở rộng nhóm cổ điển

Chương 3

Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng

nhóm kiểu môđun chéo

Trong chương này, chúng tôi biểu diễn kết quả về sự tương đương của phạmtrù các môđun chéo và phạm trù các G-groupoid qua ngôn ngữ của nhóm phạmtrù chặt chẽ, và do đó thu được định lý phân lớp các môđun chéo là mở rộngmột kết quả đã biết của R Brown và C Spencer (1976)

3.1 Nhóm phạm trù liên kết với một môđun chéo

Định nghĩa Một môđun chéo là một bộ bốn M = (B, D, d, θ) (hay B → Dd ,

B → D), trong đó d : B → D, θ : D → AutB là các đồng cấu nhóm thỏamãn các hệ thức sau:

C1 θd = à,

C2 d(θx(b)) = àx(d(b)), x ∈ D, b ∈ B,

trong đó àx là tự đẳng cấu trong sinh bởi x

Mệnh đề 3.1 Cho môđun chéo M = (B, D, d, θ) Khi đó:

i) Kerd ⊂ Z(B),

ii) Imd là nhóm con chuẩn tắc trong D,

iii) đồng cấu θ cảm sinh đồng cấu ϕ : D → Aut(Kerd) cho bởi

ϕx = θx|Kerd,iv) Kerd là Cokerd-môđun trái với tác động

sa = ϕx(a), a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd

Với mỗi môđun chéo (B, D, d, θ) chúng tôi xây dựng được một nhóm phạmtrù chặt chẽ PB→D := P gọi là nhóm phạm trù liên kết với môđun chéo, và ngượclại

3.2 Phân lớp các môđun chéo

Chúng tôi thu được các kết quả dưới đây về mối liên hệ giữa các đồng cấumôđun chéo và các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù liên kết tươngứng

Bổ đề 3.2 Cho đồng cấu giữa các môđun chéo (f1, f0) : (B, D, d, θ) →(B0, D0, d0, θ0) Gọi P, P0 là hai nhóm phạm trù liên kết lần lượt với các môđunchéo (B, D, d, θ) và (B0, D0, d0, θ0) Khi đó:

i) Tồn tại một hàm tử F : P → P0 xác định bởi F (x) = f0(x), F (b) = f1(b),với x ∈ ObP, b ∈ MorP

ii) Đẳng cấu tự nhiên Fex,y : F (x)F (y) → F (xy) cùng với F là một hàm tửmonoidal khi và chỉ khi Fex,y = ϕ(x, y) với ϕ ∈ Z2(Coker d, Ker d0)

Ký hiệu Cross là phạm trù có vật là các môđun chéo, còn mũi tên làcác bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó (f1, f0) là một đồng cấu môđun chéo và ϕ ∈

Z2(Cokerd, Kerd0)

Hàm tử monoidal (F,F ) : P → Pe 0 được gọi là chính quy nếu:

S1 F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y), với x, y ∈ ObP

S2 F (b) ⊗ F (c) = F (b ⊗ c), với b, c ∈ MorP

Bổ đề 3.3 Giả sử P và P0 là hai nhóm phạm trù chặt chẽ lần lượt liên kết vớicác môđun chéo (B, D, d, θ) và (B0, D0, d0, θ0), (F,F ) : P → Pe 0 là một hàm tửmonoidal chính quy Khi đó, bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó

f1(b) = F (b), f0(x) = F (x), ϕ(x, y) = eFx,y,

với b ∈ B, x ∈ D, x ∈ Coker d, là một mũi tên trong phạm trù Cross

Ký hiệu Grstr là phạm trù có các vật là các nhóm phạm trù chặt chẽ vàmũi tên là các hàm tử monoidal chính quy Ta thu được định lý sau đây về sựphân lớp phạm trù các môđun chéo

3.3 Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo: lý thuyết cản

Mỗi mở rộng như vậy cảm sinh một đồng cấu ψ : Q → Coker d Mục đíchcủa chúng tôi là nghiên cứu tập ExtB→D(Q, B, ψ)các lớp tương đương các mởrộng của B bởi Q kiểu môđun chéo B → D, cảm sinh ψ : Q → Cokerd

Ký hiệu Dis Q là nhóm phạm trù kiểu (Q, 0, 0) (và cũng chính là nhómphạm trù liên kết với môđun chéo (0, Q, 0, 0)) Bổ đề dưới đây cho chúng tathấy các hàm tử monoidal Dis Q → P là hệ dữ liệu phù hợp để xây dựng các

mở rộng nhóm kiểu môđun chéo

Bổ đề 3.5 Cho môđun chéo B → D và đồng cấu nhóm ψ : Q → Coker d Vớimỗi hàm tử monoidal (F,F ) : Dis Q → P thỏa mãn F (1) = 1 và cảm sinhecặp (ψ, 0) : (Q, 0) → (Cokerd, Kerd), tồn tại mở rộng EF của B bởi Q kiểumôđun chéo B → D cảm sinh ψ

Định lý 3.6 (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo) Cómột song ánh Ω : Hom(ψ,0)[DisQ, PB→D] → ExtB→D(Q, B, ψ)

Giả sử P = PB→D là nhóm phạm trù chặt chẽ liên kết với môđun chéo

B → D Do π0P = Coker d và π1P = Ker d nên nhóm phạm trù thu gọn SP

có dạng SP = (Cokerd, Kerd, k), k ∈ H3(Cokerd, Kerd) Khi đó, đồng cấu

ψ : Q → Cokerd cảm sinh một cản trở ψ∗k ∈ Z3(Q, Kerd) Và ta thu được

định lý về sự tồn tại và phân lớp các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo

Định lý 3.7 Cho môđun chéo (B, D, d, θ) và đồng cấu nhóm ψ : Q → Cokerd.Khi đó sự triệt tiêu của ψ∗k trong H3(Q, Kerd) là điều kiện cần và đủ để tồntại mở rộng nhóm của B bởi Q kiểu môđun chéo B → D cảm sinh ψ Hơnnữa, khi ψ∗k triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các mở rộng như vậy làsong ánh với H2(Q, Kerd)

Chương 4

Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù chặt chẽ

để biểu diễn khái niệm Γ-môđun chéo, từ đó phân lớp các Γ-môđun chéo vàtrình bày lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo

4.1 Lý thuyết đối đồng điều nhóm đẳng biến của Cegarra

Lý thuyết đối đồng điều nhóm đẳng biến của A M Cegarra và các đồng tácgiả (2002) sẽ được chúng tôi sử dụng để chứng minh kết quả phân lớp các hàm

tử monoidal Γ-phân bậc kiểu (ϕ, f) và phân lớp các mở rộng đẳng biến kiểu

Γ-môđun chéo Các nhóm đối đồng điều đẳng biến được ký hiệu bởi Hi

định (không chứng minh) rằng nó tương đương monoidal với G Chúng tôi đãchứng minh kết quả này bằng mệnh đề dưới đây.

r ⊗X s,với σr = s, là một tương đương monoidal Γ-phân bậc

Kết quả về sự tồn tại và phân lớp các hàm tử monoidal phân bậc kiểu (ϕ, f)

được tổng kết trong mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 4.5 Cho G, G0, S = (Π, A, h), S0 = (Π0, A0, h0) là các nhóm phạmtrù Γ-phân bậc Khi đó:

i) Mỗi Γ-hàm tử monoidal (F,F ) : G → Ge 0 thể hiện một Γ-hàm tử monoidal

SF : SG → SG0 kiểu (ϕ, f), với ϕ = F0, f = F1 được cho bởi

và chỉ nếu cái cản trở ξ triệt tiêu trong H3

Γ(Π, A0) Khi đó tồn tại song ánhHom(ϕ,f )[S, S0] ↔ HΓ2(Π, A0) (4.1)

4.3 Γ-môđun chéo và nhóm phạm trù phân bậc liên kết

Định nghĩa Cho B, D là các Γ-nhóm Một Γ-môđun chéo là một bộ bốn

M = (B, D, d, θ) trong đó d : B → D, θ : D → AutB là các Γ-đồng cấuthỏa mãn các điều kiện sau:

C1 θd = à,

C2 d(θx(b)) = àx(d(b)),

C3 σ(θx(b)) = θσx(σb),

trong đó σ ∈ Γ, x ∈ D, b ∈ B, àx là tự đẳng cấu trong sinh bởi x

Khái niệm nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ được định nghĩa dưới đâynhằm biểu diễn các Γ-môđun chéo

Trước hết, một hệ nhân tử F = (G, Fσ, ησ,τ)trên Γ với các hệ tử trong nhómphạm trù G được gọi là chính quy nếu ησ,τ = id và Fσ là hàm tử monoidalchính quy, với mọi σ, τ ∈ Γ

Định nghĩa Nhóm phạm trù phân bậc (P, gr) được gọi là chặt chẽ nếu:

Các bổ đề dưới đây nói lên mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo

và các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù Γ-phân bậc liên kết

Bổ đề 4.7 Cho đồng cấu (f1, f0) : M → M0 của các Γ-môđun chéo Khi

đó, tồn tại một Γ-hàm tử monoidal (F,F ) : Pe M → PM 0 sao cho F (x) =

f0(x), F (b, 1) = (f1(b), 1) nếu và chỉ nếu f = p∗ϕ, với ϕ ∈ Z2

Γ(Coker d,Ker d0), và p : D → Coker d là phép chiếu chính tắc

Ký hiệu ΓCross là phạm trù có vật là các Γ-môđun chéo, còn mũi tên làcác bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó (f1, f0) : M → M0 là một đồng cấu Γ-môđunchéo và ϕ ∈ Z2

Γ(Coker d, Ker d0).Hàm tử monoidal Γ-phân bậc (F,F ) : P → Pe 0 giữa hai nhóm phạm trù

Γ-phân bậc chặt chẽ được gọi là chính quy nếu:

S1 F (x ⊗ y) = F (x) ⊗ F (y),

S2 F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c),

S3 F (σb) = σF (b),

S4 F (σx) = σF (x),

với x, y ∈ Ob P, và b, c là những mũi tên bậc 1 trong P

Ký hiệu p : D → Coker d là phép chiếu chính tắc, ta có:

Bổ đề 4.8 Giả sử P, P0 là hai nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ, lần lượtliên kết với các Γ-môđun chéo M, M0, và (F,F ) : P → Pe 0 là một hàm tửmonoidal Γ-phân bậc chính quy Khi đó, bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó

F (x (0,σ)→ σx) = (ϕ(px, σ), σ), eFx,y = (ϕ(px, py), 1),với x, y ∈ D, b ∈ B, σ ∈ Γ

4.5 Bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo:

lý thuyết cản trở và định lý phân lớp

Trong phần này, chúng tôi trình bày lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến kiểu

Γ-môđun chéo, là mở rộng của cả hai lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chéocủa P Dedeker - R Brown và lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến của A M.Cegarra

Định nghĩa Cho Γ-môđun chéo B d

→ D và một Γ-nhóm Q Một mở rộng

đẳng biến của nhóm B bởi nhóm Q kiểu Γ-môđun chéo B d

−

→ D là một biểu

Mỗi mở rộng như vậy cảm sinh một Γ-đồng cấu ψ : Q → Cokerd Mụctiêu của chúng tôi là nghiên cứu tập ExtΓ

B→D(Q, B, ψ) các lớp tương đươngcác mở rộng đẳng biến của B bởi Q kiểu Γ-môđun chéo B → D cảm sinh

ψ : Q → Cokerd

Gọi DisΓQ là nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ liên kết với Γ-môđunchéo (0, Q, 0, 0) Bổ đề dưới đây cho thấy các hàm tử monoidal Γ-phân bậcDisΓQ → PB→D là hệ dữ liệu phù hợp để xây dựng các mở rộng như vậy

Bổ đề 4.10 Cho B d

→ D là một Γ-môđun chéo và ψ : Q → Coker d là một

Γ-đồng cấu Cho hàm tử monoidal Γ-phân bậc (F,F ) : Dise ΓQ → PB→D, saocho F (1) = 1 và cảm sinh cặp Γ-đồng cấu (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d).Khi đó, tồn tại mở rộng đẳng biến EF của B bởi Q kiểu Γ-môđun chéo B → Dcảm sinh ψ

Định lý 4.11 [Lý thuyết Schreier cho các mở rộng đẳng biến kiểu Γ-môđunchéo] Có một song ánh

Ω : Hom(ψ,0)[DisΓQ, PB→D] → ExtΓB→D(Q, B, ψ)

Ta thu được hệ quả sau đối với các mở rộng nhóm đẳng biến

Hệ quả 4.12 Đối với các Γ-nhóm B, Q, tồn tại một song ánh

HomΓ[DisΓQ, HolΓB] → ExtΓ(Q, B)

Do nhóm phạm trù phân bậc thu gọn của PB→D là SP = (Cokerd, Kerd, h),

h ∈ ZΓ3(Cokerd, Kerd), nên Γ-đồng cấu ψ : Q → Cokerd cảm sinh một cảntrở ψ∗h ∈ ZΓ3(Q, Kerd) Với khái niệm cản trở này, ta có:

Định lý 4.13 Cho Γ-môđun chéo (B, D, d, θ) và Γ-đồng cấu ψ : Q → Cokerd.Khi đó sự triệt tiêu của ψ∗h trong H3

Γ(Q, Kerd) là điều kiện cần và đủ để tồntại mở rộng đẳng biến của B bởi Q kiểu Γ-môđun chéo B → D cảm sinh ψ.Hơn nữa, khi ψ∗h triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các mở rộng nhưvậy là song ánh với H2

Γ(Q, Kerd)

Chương 5

Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một phiên bản môđun chéo trênnhóm của Whitehead cho các vành, gọi là E-hệ, phân lớp các E-hệ chính quy

và giải bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy

5.1 Lý thuyết đối đồng điều vành của Mac Lane và Shukla

Nhóm đối đồng điều H3

Shu(R, M ) theo nghĩa của Shukla (trong đó vành

R được xem như là Z-đại số) đã được N T Quang sử dụng để phân lớp cácAnn-phạm trù chính quy (1988) Sau đó, nhóm đối đồng điều H2

M acL(R, M )của vành theo nghĩa Mac Lane đã được N T Quang và D D Hanh sử dụng

để phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù (2009), và mới đây nhóm

HM acL3 (R, M ) đã được N T Quang sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trùtổng quát (2013)

5.2 Song môđun chéo và E-hệ chính quy

Định nghĩa i) Một song môđun chéo là một bộ ba (B, D, d), trong đó D làK-đại số kết hợp, B là D-song môđun và d : B → D là đồng cấu của các

D-song môđun sao cho

d(b)b0 = bd(b0), b, b0 ∈ B

ii) Một đồng cấu (k1, k0) : (B, D, d) → (B0, D0, d0) giữa hai song môđun chéobao gồm cặp đồng cấu k1 : B → B0, k0 : D → D0, trong đó k1 là đồng cấunhóm, k0 là đồng cấu K-đại số sao cho với mọi x ∈ D, b ∈ B thì

k0d = d0k1,

Định nghĩa Một E-hệ là một bộ bốn M = (B, D, d, θ) trong đó d : B →

D, θ : D → MB là các đồng cấu vành thỏa mãn các điều kiện sau với mọi

x ∈ D, b ∈ B:

θ ◦ d = à,

d(θxb) = x.d(b), d(bθx) = d(b).x

E-hệ (B, D, d, θ) được gọi là chính quy nếu θ là 1-đồng cấu (đồng cấu biến

đơn vị thành đơn vị) và các phần tử thuộc θ(D) là giao hoán

Một đồng cấu (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B0, D0, d0, θ0) giữa hai E-hệ baogồm các đồng cấu vành f1 : B → B0, f0 : D → D0 sao cho:

Các bổ đề dưới đây nói lên mối liên hệ giữa các đồng cấu E-hệ chính quy

và các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù liên kết

Bổ đề 5.3 Cho đồng cấu (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B0, D0, d0, θ0) giữa các E-hệchính quy Khi đó:

i) Tồn tại một hàm tử F : AB→D → AB 0 →D 0 xác định bởi

F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), x ∈ Ob A, b ∈ Mor A

ii) Các đẳng cấu tự nhiên ˘Fx,y : F (x + y) → F x + F y, Fex,y : F (xy) → F xF ycùng với F là một Ann-hàm tử nếu ˘F và Fe là các hằng thuộc Ker d0 sao chovới mọi x, y ∈ D,

θF x0 ( eF ) = ( eF )θ0F y = eF ,

θF x0 ( ˘F ) = ( ˘F )θF y0 = ˘F + eF Khi đó, ta nói rằng F là một Ann-hàm tử dạng (f1, f0)

Ann-hàm tử (F, ˘F , eF ) được gọi là đơn nếu F (0) = 0, F (1) = 1 và ˘F , eF lànhững hằng Với khái niệm này chúng tôi phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đềtrên

Bổ đề 5.4 Cho Ann-hàm tử đơn (F, ˘F , eF ) : AB→D → AB 0 →D 0 Khi đó có một

đồng cấu (f1, f0) : (B → D) → (B0 → D0) giữa các E-hệ chính quy, đượcxác định bởi f1(b) = F (b), f0(x) = F (x), với mỗi b ∈ B, x ∈ D

HomHoAnnstr(A, A0) = HomAnnstr(A, A0)

đồng luân mạnh .

Ký hiệu ESyst là phạm trù có các vật là các E-hệ chính quy và mũi tên là các

đồng cấu E-hệ chính quy, ta có kết quả sau

Định lý 5.7 [Định lý phân lớp] Tồn tại một tương đương phạm trù

Φ : ESyst → HoAnnstr,

(f1, f0) 7→ [F ]trong đó F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), với x ∈ ObA, b ∈ MorA

5.4 Mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy

Định nghĩa Cho E-hệ chính quy (B, D, d, θ) Một mở rộng của vành B bởivành Q kiểu E-hệ B → D là một biểu đồ các đồng cấu vành

Mỗi mở rộng như vậy cảm sinh một đồng cấu vành ψ : Q → Coker d Mụctiêu của chúng tôi là sử dụng lý thuyết cản trở của các Ann-hàm tử để nghiêncứu tập ExtB→D(Q, B, ψ)các lớp tương đương các mở rộng của B bởi Q kiểuE-hệ chính quy B → D cảm sinh ψ

Bổ đề dưới đây cho thấy các Ann-hàm tử Dis Q → AB→D là hệ dữ liệu phùhợp để xây dựng các mở rộng như vậy

Bổ đề 5.8 Cho E-hệ chính quy (B, D, d, θ) và đồng cấu vành ψ : Q → Coker d.Với mỗi Ann-hàm tử (F, ˘F , eF ) : Dis Q → A cảm sinh cặp (ψ, 0) đều tồntại một mở rộng EF của B bởi Q kiểu E-hệ B → D cảm sinh đồng cấu

Ω : HomAnn(ψ,0)[DisQ, A] → ExtB→D(Q, B, ψ)

Do Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trù liên kết AB→D có dạng SA =(Cokerd, Kerd, k), trong đó k ∈ H3

Shu(Cokerd, Kerd), nên đồng cấu ψ : Q →Cokerd cảm sinh một cản trở ψ∗k ∈ HShu3 (Q, Kerd)

Định lý 5.10 Cho E-hệ chính quy (B, D, d, θ) và đồng cấu vành ψ : Q →Cokerd Khi đó sự triệt tiêu của ψ∗k trong H3

Shu(Q, Kerd) là điều kiện cần và

đủ để tồn tại mở rộng vành của B bởi Q, kiểu E-hệ B → D cảm sinh ψ Hơnnữa, khi ψ∗k triệt tiêu thì tồn tại một song ánh:

ExtB→D(Q, B, ψ) ↔ HShu2 (Q, Kerd)

Kết luận

Môđun chéo và nhóm phạm trù, một cách độc lập, đã được sử dụng rộng rãitrong nhiều khung cảnh khác nhau Các kết quả về nhóm phạm trù của H X.Sính (1975) đã được nâng lên cho nhóm phạm trù phân bậc bởi A M Cegarra

và các cộng sự, và cho trường hợp vành phạm trù (hay Ann-phạm trù) bởi N

T Quang Bên cạnh đó, R Brown và C Spencer (1976) đã chỉ ra rằng môđunchéo có thể được nghiên cứu bởi các nhóm phạm trù chặt chẽ Điều này gợi ýcho chúng tôi rằng có thể nghiên cứu các lớp phạm trù phức tạp hơn như: nhómphạm trù phân bậc chặt chẽ, Ann-phạm trù chặt chẽ, để từ đó nghiên cứu cáccấu trúc gần với môđun chéo như: môđun chéo đẳng biến, E-hệ Luận án đãgiải quyết vấn đề này với những kết quả chính như sau:

1 Xác định kiểu của một hàm tử monoidal giữa hai nhóm phạm trù và lýthuyết cản trở của một hàm tử Từ đó đưa ra định lý phân lớp chính xác chophạm trù các nhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện

2 Phân lớp các môđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mởrộng nhóm kiểu môđun chéo dựa trên các kết quả của lý thuyết nhóm phạm trùchặt chẽ Các kết quả thu được là mở rộng các kết quả của R Brown và các

đồng tác giả

3 Nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, và từ đó phân lớp các

Γ-môđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm đẳngbiến kiểu Γ-môđun chéo Các kết quả thu được là phủ lên lý thuyết mở rộngnhóm đẳng biến của A M Cegarra - J M García-Calcines - J A Ortega và

lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R Brown - O Mucuk

4 Nghiên cứu Ann-phạm trù chặt chẽ, từ đó phân lớp các E-hệ chính quy

và các mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy

5 Phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc nhờ các hệ nhân

tử trên Γ với hệ tử trong nhóm phạm trù bện kiểu (M, N)

Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đếnluận án

1 N T Quang, N T Thuy, P T Cuc, Monoidal functors between (braided)Gr-categories and their applications, East-West J of Mathematics, 13, No 2(2011), 163-186

2 N T Quang, P T Cuc, Crossed bimodules over rings and Shukla ogy, Math Commun., 17 No 2 (2012), 575-598

cohomol-3 N T Quang, P T Cuc, Classification of graded braided categorical groups

by pseudo-functors, Journal of Science, Hue University, Vol 77, No 8 (2012),59-68

4 N T Quang, P T Cuc, N T Thuy, Strict Gr-categories and crossed modules,Communications of Korean Mathematical Society, Vol 29, No.1 (2014), 9-22

5 N T Quang, P T Cuc, Equivariant crossed bimodules and cohomology ofgroups with operators, arXiv: 1302.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảoluận tại:

- Hội thảo khoa học về Một số hướng nghiên cứu mới trong toán học hiện

đại và ứng dụng, Thanh Hóa (do Trường Đại học Hồng Đức, Viện Toán họcViệt Nam và Trường Đại học sư phạm Hà Nội phối hợp tổ chức), 5/2011

- Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tôpô, Thái Nguyên, 11/2011

- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 8/2013

- Xeminar Bộ môn Đại số - Hình học, Khoa Toán, Trường Đại học sư phạm,

Đại học Huế

- Xeminar Bộ môn Đại số, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hồng

Đức, Thanh Hóa