TUYEN TAP CAC BAI HINH HAY THI VAO 10

Bi Cho im A ngoi ng trũn tõm O K hai tip tuyn AB, AC vi ng trũn (B, C l tip im) M l im bt kỡ trờn cung nh BC (M B, M C) Gi D, E, F tng ng l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn cỏc ng thng AB, AC, BC; H l giao im ca MB v DF; K l giao im ca MC v EF 1) Chng minh: a) MECF l t giỏc ni tip b) MF vuụng gúc vi HK 2) Tỡm v trớ ca im M trờn cung nh BC tớch MD.ME ln nht HD: 1) MFC = MEC = 90o 2) Gúc HCK + HDK = HCK + CAB + CBA = 180o => CKI = CBD ( = EAC) => HK //AB 3) MEF : MFD(g g) MD.ME = MF2 MI , vi I l trung im BC => (MD.ME)max = MI2, I trựng vi F Khi ú MBC cõn nờn M l im chớnh gia cung BC Bi Cho hỡnh vuụng ABCD cú di cnh bng a, M l im thay i trờn cnh BC( M khc B ) v N l ã im trờn CD ( N khỏc C ) cho MAN = 45o ng chộo BD ct AM v AN ln lt ti P v Q a) Chng minh rng ABMQ l t giỏc ni tip b) Gi H l giao im ca MQ v NP Chng minh rng AH vuụng gúc vi MN c) Xỏc nh v trớ im M v im N tam giỏc AMN cú din tớch ln nht HD 1) QAM = QBM = 45o; 2)Cỏc t giỏc ABMQ v ADNP ni tip => AQM = APN = 90o 3)M l im thay i trờn cnh BC (M khỏc B) nờn TH A B TH 1.M khụng trựng vi C AI MN MAI = MAB AI = AB = a, IM = BM Tng t NAI = NAD IN = DN T ú 1 S = AI MN = a.MN 2 MN < MC + NC = a BM + a DN = 2a ( IM + IN ) 1 D Vy MN < 2a MN hay MN < a S = a.MN < a 2 P Gi I l giao im ca AH v MN=> S = M H Q TH M trựng vi C, ú N trựng vi D v AMN = ACD nờn S = I N C 1 AD.DC = a 2 Vy AMN cú din tớch ln nht M C v N D Bi Cho ng trũn (O ; R) v dõy AC c nh khụng i qua tõm B l mt im bt kỡ trờn ng trũn (O ; R) (B khụng trựng vi A v C) K ng kớnh BB Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC 1) Chng minh AH // BC 2) Chng minh rng HB i qua trung im ca AC 3) Khi im B chy trờn ng trũn (O ; R) (B khụng trựng vi A v C) Chng minh rng im H luụn nm trờn mt cung trũn c nh Gii 1) AH //B/C vỡ cựng vuụng gúc vi BC 2) AHCB/ l hỡnh bỡnh hnh Gi E, F l chõn cỏc ng cao h t A v C T giỏc HEBF ni tip => AHC = EHF = 180o ABC = khụng i Bi Cho ng trũn (O), dõy AB khụng i qua tõm Trờn cung nh Ab ly im M (M khụng trựng vi A, B) K dõy MN vuụng gúc vi AB ti H K MK vuụng gúc vi AN (KAN) Chng minh: Bn im A, M, H, K thuc mt ng trũn Chng minh: MN l tia phõn giỏc ca gúc BMK Khi M di chuyn trờn cung nh AB Gi E l giao im ca HK v BN Xỏc nh v trớ ca im M (MK.AN + ME.NB) cú giỏ tr ln nht ã ã T giỏc AHMK ni tip vỡ ãAKM = ãAHM = 900 KMN ( = gúc HAN) = NMB ã ã ã ã ã AMBN ni tip => KAM => MBN => MHEB ni tip = MBN = KHM = EHN ã ã => MNE =>HBN ng dng EMN (g-g) =>ME.BN = HB MN (1) = HBN Ta cú AHN ng dng MKN => MK.AN = AH.MN (2) (1) v (2) => MK.AN + ME.BN = MN.AH + MN.HB = MN(HB+AH) = MN.AB => MK.AN + ME.BN ln nht MN ln nht => MN l ng kớnh ca ng trũn tõm O.=> M l im chớnh gia cung AB Bài Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (C thuộc cung AD) cho CD = R Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB M Tiếp tuyến (O;R) A B cắt CD lần lợt E F, AC cắt BD K a Chứng minh tứ giác AECM nội tiếp tam giác EMF tam giác vuông b Xác định tâm bán kính đờng trón ngoại tiếp tam giác KCD c Tìm vị trí dây CD cho diện tích tam giác KAB lớn ã ã b AKB = 60 AIB = 120 (Góc tâm góc nội tiếp chắn cung) R ã ã Tứ giác OCID nội tiếp OCI = ODI = 90 ID = OD.tan30 = c KCD KBA S KCD CD = ữ = S KBA = 4S KCD S KBA AB S KBA lớn S KCD lớn KH lớn H điểm cung lớn CD đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD KCD cân KBA cân CD//AB Bi Cho đờng tròn tâm O bán kính R đờng thẳng d cố định không giao Từ điểm M thuộc d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (O; R) (A, B tiếp điểm) Gọi I giao điểm MO cung nhỏ AB đờng tròn Chứng minh I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB Cho biết MA = R , tính diện tích hình phẳng bị giới hạn hai tiếp tuyến MA, MB cung nhỏ AB đờng tròn (O; R) Chứng minh M thay đổi d đờng thẳng AB qua điểm cố định b) SAOBM = R2 R SQ = AOB 3 S= R c) K OH d, gi giao im ca AB v OH l N, giao im ca AB v OM l P T giỏc HMPN ni tip nờn ON.OH = OP.OM = R2 Do ú N l im c nh m AB luụn i qua Bi Cho ng trũn ( O) v im A nm bờn ngoi (O) K hai tip tuyn AM, AN vi ng trũn (O) Mt ng thng d i qua A ct ng trũn (O) ti hai im B v C ( AB < AC, d khụng i qua tõm O) 1) Chng minh t giỏc AMON ni tip 2) Chỳng minh AN2 = AB.AC Tớnh di on thng BC AB = cm, AN = cm 3) Gi I l trung im BC ng thng NI ct ng trũn (O) ti im th hai T Chng minh: MT // AC 4) Hai tip tuyn ca ng trũn (O) ti B v C ct ti K Chng minh K thuc mt ng thng c nh d thay i v tha iu kin u bi Bi Cho ba im A, B, C c nh v thng hng theo th t ú ng trũn (O; R) thay i i qua B v C cho O khụng thuc BC T im A v hai tip tuyn AM v AN vi ng trũn (O) Gi I l trung im ca BC, E l giao im ca MN v BC, H l giao im ca ng thng OI v ng thng MN 1) Chng minh bn im M, N, O, I cựng thuc mt ng trũn H 2) Chng minh OI.OH = R2 3) Chng minh ng thng MN luụn i qua mt im c nh Hng dn cõu IVc : AM AB = AM = AB.AC AC AM AM AE + AME AIM (g-g) = AM = AI.AE AI AM AB.AC = AI.AE (*) M + AMB ACM (g-g) Do A, B, C c nh nờn trung im I ca BC c nh nờn t (*) suy E c nh Vy ng thng MN luụn i qua im E c nh C B I E O A N Bi Cho hỡnh vuụng ABCD cú di cnh bng a Trờn cnh AD v CD ln lt ly cỏc im M v N cho gúc ã = 450, BM v BN ct AC theo th t ti E v F MBN a) Chng minh cỏc t giỏc ABFM, BCNE, MEFN ni tip b) Gi H l giao im ca MF vi NE v I l giao im ca BH vi MN Tớnh di on BI theo a c) Tỡm v trớ ca M v N cho din tớch tam giỏc MDN ln nht HD c) Tỡm v trớ ca M v N din tớch tam giỏc MDN ln nht Do MBG = MBN (theo chng minh phn b) => MG = MN Do ú MD + DN + MN = MD + DN + MG = MD + DN + (GA + AM) = MD + DN + CN + AM (vỡ GA = CN) = (MD + AM) + (DN + NC) = 2a (khụng i) p dng nh lý Pi-ta-go cho MDN (vuụng ti D), ta cú MN2 = DN2 + DM2 ( DM + DN )2 Mt khỏc d dng chng minh c: DN + DM2 (vỡ tng ng vi (DM DN) luụn ỳng) Suy MN ( DM + DN ) DM + DN = 2 => 2a = MD + DN + MN MD + DN + MD + DN +1 = ( MD + DN ) 2 Li ỏp dng bt ng thc Cụ-si, ta cú: +1 +1 ( MD + DN ) ì2 MD.DN = (2 + 2) MD.DN 2a=MD+DN+ MN 2 2a 2 => DM DN ữ = 2( 1) a 2+ 2 => S MDN = DM DN ( 1) a , DM = DN DM + DN DM = DN = a du = xy MN = DM + DN + MN = 2a ( ) ( ) Vy din tớch tam giỏc MDN ln nht thỡ M, N ln lt trờn cnh AD, CD cho DM = DN = a Bi 10 Cho tam giỏc ABC khụng cú gúc tự (AB < AC), ni tip ng trũn (O; R) (B, C c nh, A di ng trờn cung ln BC) Cỏc tip tuyn ti B v C ct ti M T M k ng thng song song vi AB, ng thng ny ct (O) ti D v E (D thuc cung nh BC), ct BC ti F, ct AC ti I ã ã a) Chng minh rng MBC T ú suy MBIC l t giỏc ni tip = BAC b) Chng minh rng: FI.FM = FD.FE c) ng thng OI ct (O) ti P v Q (P thuc cung nh AB) ng thng QF ct (O) ti T (T khỏc Q) Chng minh ba im P, T, M thng hng d) Tỡm v trớ im A trờn cung ln BC cho tam giỏc IBC cú din tớch ln nht HD c) Ta cú gúc PTQ=900 POIQ l ng kớnh A E V tam giỏc ng dng FIQ v FTM cú gúc i nh F bng v FI FT = FQ FM (vỡ FI.FM = FD.FE = FT.FQ) ã ã ã ã Nờn FIQ m FIQ = FTM = OIM = 900 (I nhỡn OM di gúc 900) ã Nờn P, T, M thng hng vỡ PTM = 1800 P O I Q F B C T D M d) Ta cú BC khụng i Vy din tớch S IBC ln nht v ch khong cỏch t I n BC ln nht Vy I ằ ca ng trũn ng kớnh OM Khi I trựng O thỡ trựng vi O l yờu cu ca bi toỏn vỡ I nm trờn cung BC ABC vuụng ti B Vy din tớch tam giỏc ICB ln nht v ch AC l ng kớnh ca ng trũn (O;R) Bi 11 Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB V dõy cung CD vuụng gúc vi AB ti I (I nm gia A v O ) Ly im E trờn cung nh BC ( E khỏc B v C ), AE ct CD ti F Chng minh: a) BEFI l t giỏc ni tip ng trũn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chy trờn cung nh BC thỡ tõm ng trũn ngoi tip CEF luụn thuc mt ng thng c nh HD ã ã c) Theo cõu b) ta cú ACF , suy AC l tip tuyn ca = AEC ng trũn ngoi tip CEF (1) ã Mt khỏc ACB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn), suy AC C E F CB (2) T (1) v (2) suy CB cha ng kớnh ca ng trũn ngoi tip CEF, m CB c nh nờn tõm ca ng trũn ngoi tip CEF thuc CB c nh E thay i trờn cung nh BC A I B O D Bi 12 T mt im A nm ngoi ng trũn (O;R) ta v hai tip tuyn AB, AC vi ng trũn (B, C l tip im) Trờn cung nh BC ly mt im M, v MI AB, MK AC (I AB,K AC) a) Chng minh: AIMK l t giỏc ni tip ng trũn ã ã b) V MP BC (P BC) Chng minh: MPK = MBC c) Xỏc nh v trớ ca im M trờn cung nh BC tớch MI.MK.MP t giỏ tr ln nht HD Chng minh tng t cõu b ta cú BPMI l t giỏc ni tip ã ã ã ã Suy ra: MIP (4) T (3) v (4) suy MPK = MBP = MIP ã ã Tng t ta chng minh c MKP = MPI MP MI = Suy ra: MPK ~ MIP MK MP MI.MK = MP2 MI.MK.MP = MP3 Do ú MI.MK.MP ln nht v ch MP ln nht (4) - Gi H l hỡnh chiu ca O trờn BC, suy OH l hng s (do BC c nh) A K I B M H C P O Li cú: MP + OH OM = R MP R OH Do ú MP ln nht bng R OH v ch O, H, M thng hng hay M nm chớnh gia cung nh BC (5) T (4) v (5) suy max (MI.MK.MP) = ( R OH )3 M nm chớnh gia cung nh BC Bi 13 Cho hai ng trũn (O) v (O) ct ti A v B V AC, AD th t l ng kớnh ca hai ng trũn (O) v (O) a) Chng minh ba im C, B, D thng hng b) ng thng AC ct ng trũn (O) ti E; ng thng AD ct ng trũn (O) ti F (E, F khỏc A) Chng minh im C, D, E, F cựng nm trờn mt ng trũn c) Mt ng thng d thay i luụn i qua A ct (O) v (O) th t ti M v N Xỏc nh v trớ ca d CM + DN t giỏ tr ln nht HD ã ã c) Ta cú CMA = DNA = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn); suy CM // DN hay CMND l hỡnh thang Gi I, K th t l trung im ca MN v CD Khi ú IK l ng trung bỡnh ca hỡnh thang CMND Suy IK // CM // DN (1) v CM + DN = 2.IK (2) F E N d A I M O/ O K C D B T (1) suy IK MN IK KA (3) (KA l hng s A v K c nh) T (2) v (3) suy ra: CM + DN 2KA Du = xy v ch IK = AK d AK ti A Vy ng thng d vuụng gúc AK ti A thỡ (CM + DN) t giỏ tr ln nht bng 2KA Bi 14 Cho ng (O, R) v ng thng d khụng qua O ct ng trũn ti hai im A, B Ly mt im M trờn tia i ca tia BA k hai tip tuyn MC, MD vi ng trũn (C, D l cỏc tip im) Gi H l trung im ca AB 1) Chng minh rng cỏc im M, D, O, H cựng nm trờn mt ng trũn 2) on OM ct ng trũn ti I Chng minh rng I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc MCD 3) ng thng qua O, vuụng gúc vi OM ct cỏc tia MC, MD th t ti P v Q Tỡm v trớ ca im M trờn d cho din tớch tam giỏc MPQ nht HD 3) Ta cú tam giỏc MPQ cõn M, cú MO l ng cao nờn P din tớch ca nú c tớnh: C A d H S = SOQM = .OD.QM = R( MD + DQ) T ú S nh B I M O nht MD + DQ nh nht Mt khỏc, theo h thc lng tam giỏc vuụng OMQ ta cú DM DQ = OD = R khụng i nờn MD + DQ nh nht DM = DQ = R Khi D ú OM = R hay M l giao im ca d vi ng trũn Q tõm O bỏn kớnh R Bi 15 Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB C l mt im nm gia O v A ng thng vuụng gúc vi AB ti C ct na ng trũn trờn ti I K l mt im bt k nm trờn on thng CI (K khỏc C v I), tia AK ct na ng trũn (O) ti M, tia BM ct tia CI ti D Chng minh: 1) ACMD l t giỏc ni tip ng trũn 2) ABD ~ MBC 3) Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AKD nm trờn mt ng thng c nh K di ng trờn on thng CI HD 3) Ly E i xng vi B qua C thỡ E c nh v D ã ã ã ã ), , li cú: (cựng ph vi EDC = BDC BDC = CAK B ã ã suy ra: EDC = CAK Do ú AKDE l t giỏc ni tip M I Gi O l tõm ng trũn ngoi tip AKD thỡ O cng l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc AKDE nờn O A = K O E, suy O thuc ng trung trc ca on thng AE c nh E A C O B Bi 16 Cho na ng trũn ng kớnh BC = 2R T im A trờn na ng trũn v AH BC Na ng trũn ng kớnh BH, CH ln lt cú tõm O1; O2 ct AB, AC th t ti D v E a) Chng minh t giỏc ADHE l hỡnh ch nht, t ú tớnh DE bit R = 25 v BH = 10 b) Chng minh t giỏc BDEC ni tip ng trũn c) Xỏc nh v trớ im A din tớch t giỏc DEO1O2 t giỏ tr ln nht Tớnh giỏ tr ú HD = BDO ã c) Vỡ O1D = O1B => O1BD cõn ti O1 => B A (2) ã ã ã T (1), (2) => ADE + BDO = B + BAH = 90 => O1D //O2E Vy DEO2O1 l hỡnh thang vuụng ti D v E 1 Ta cú Sht = (O1D + O E).DE = O1O DE O1O (Vỡ O1D + O2E = 2 O1H + O2H = O1O2 v DE < O1O2 ) B BC2 R Du "=" xy v ch DE = O1O2 Sht O1O 2 = = DEO2O1 l hỡnh ch nht E D O1 H O2 O C R2 S A l im chớnh gia cung BC Khi ú max DEO2O1 = Bi 18 Cho ba im A, B, C c nh thng hng theo th t ú V ng trũn (O; R) bt k i qua B v C (BC 2R) T A k cỏc tip tuyn AM, AN n (O) (M, N l tip im) Gi I, K ln lt l trung im ca BC v MN; MN ct BC ti D Chng minh: a) AM2 = AB.AC b) AMON; AMOI l cỏc t giỏc ni tip ng trũn c) Khi ng trũn (O) thay i, tõm ng trũn ngoi tip OID luụn thuc mt ng thng c nh HD c) Ta cú OA MN ti K (vỡ K trung im MN), MN ct AC ti D +$ Xột t giỏc KOID cú K M I = 180 => t giỏc KOID ni tip ng trũn tõm O1 => O1 nm trờn ng trung trc ca DI m AD.AI = AK.AO = AM2 = AB.AC khụng i (Vỡ A, B, C, I c nh) Do AI khụng i => AD khụng i => D c nh Vy O1 tõm ng trũn ngoi tip OIK luụn thuc ng trung trc ca DI c nh A B K O D I C N Bi 19 Qua im A cho trc nm ngoi ng trũn (O) v tip tuyn AB, AC (B, C l cỏc tip im), ly im M trờn cung nh BC, v MH BC; MI AC; MK AB a) Chng minh cỏc t giỏc: BHMK, CHMI ni tip ng trũn b) Chng minh MH2 = MI.MK c) Qua M v tip tuyn vi ng trũn (O) ct AB, AC ti P, Q Chng minh chu vi APQ khụng ph thuc vo v trớ im M HDc c) Ta cú PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tip tuyn) Xột chu vi APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB khụng i Vỡ A c nh v ng trũn (O) cho trc nờn chu vi APQ khụng ph thuc vo v trớ ca im M (pcm) Bi 20 Cho ng trũn (O), ng kớnh AB, d 1, d2 l cỏc cỏc ng thng ln lt qua A, B v cựng vuụng gúc vi ã ng thng AB M, N l cỏc im ln lt thuc d1, d2 cho MON = 900 1) Chng minh ng thng MN l tip tuyn ca ng trũn (O) AB 3) Xỏc nh v trớ ca M, N din tớch tam giỏc MON t giỏ tr nh nht 2) Chng minh AM AN = HD 1 OH MN > OH AB (Vỡ AMNB l hỡnh 2 thang vuụng) Du = v ch MN = AB hay H l im chớnh gia ca cung AB AB M, N song song vi AB AM = BN = AB Vy S MON nh nht v ch AM = BN = S MON = N H M A B O Bi 21 Cho ng trũn (O), ng kớnh AB c nh, im I nm gia A v O cho AI = AO K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I, gi C l im tựy ý thuc cung ln MN cho C khụng trựng vi M, N v B Ni AC ct MN ti E 1) Chng minh t giỏc IECB ni tip 2) Chng minh h thc: AM2 = AE.AC 3) Hóy xỏc nh v trớ ca im C cho khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht HD ã ã Theo trờn AMN = ACM AM l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip ECM Ni MB ta cú ã = 900, ú tõm O1 ca ng trũn ngoi AMB tip ECM phi nm trờn BM Ta thy NO1 nh nht NO1 l khong cỏch t N n BM NO1 BM Gi O1 l chõn ng vuụng gúc k t N n BM ta c O l tõm ng trũn ngoi tip ECM cú bỏn kớnh l O1M Do ú khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip ECM l nh nht thỡ C phi l giao im ca ng trũn (O1), bỏn kớnh O1M vi ng trũn (O) ú O1 l hỡnh chiu vuụng gúc ca N trờn BM M O1 E A I O C B N Bi 22 Cho ng trũn c nh tõm O, bỏn kớnh bng Tam giỏc ABC thay i v luụn ngoi tip ng trũn (O) Mt ng thng i qua tõm O ct cỏc on AB, AC ln lt ti M v N Xỏc nh giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc AMN ( thi tuyn sinh lp 10 Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong, Tp H Chớ Minh nm hc 2001 2002) LI GII Gi s ng trũn (O) tip xỳc aB, AC ln lt ti H v K 1 AM + AN S AMN = SOAM + SOAN = OH AM + OK AN = 2 V MI AB ti I Ta cú: AM MI p dng BT Cụ si cho hai s khụng õm ta cú: AM + AN AM AN Do ú: S AMN AM AN MI AN ; S AMN = MI AN MI AN = 2S AMN 2 Vy: S AMN S AMN S AMN S AMN S AMN (do S AMN > ) ã Du = xy AM = AN = MI, tc l BAC = 900 v AM = AN Vy GTNN ca din tớch tam giỏc AMN l Bi 23 Cho ng trũn tõm O, v dõy cung BC khụng i qua tõm Trờn tia i ca tia BC ly im M bt kỡ ng thng qua M ct ng trũn (O) ln lt ti hai im N v P (N nm gia M v P) cho O nm bờn gúc PMC Trờn cung nh NP ly im A cho cung AN bng cung AP Hai dõy cung AB, AC ct NP ln lc ti D v E a) Chng minh: MB.MC = MN.MP b) Bỏn kớnh OA ct NP ti K Chng minh: MK > MB.MC Gii: a) Chng minh t giỏc BDEC ni tip Ta cú: ằ ằ sd ằAN + sd PC sd ằAP + sd PC ã PEC = = ( vỡ ằAN = ằAP ) 2 sd ẳ APC ( vỡ ãABC l gúc ni tip /trũn(O) chn cung APC) =B ; M: E + DEC ã Suy ra: E = 1800 1 + DEC ã Nờn: B = 1800 T giỏc BDEC ni tip = Cỏch 2: Ta cú: = sđAC ằ B góc nội tiếp chắn AC ằ B 1 ã ằ + sđNC ằ ã DEC = sđAP v ì DEC góc có đỉnh bên đ/tròn ằ + sđNC ằ ằ = AN ằ = sđAN v ì AP + DEC ã ằ + sđNC ằ + sđAC ằ = 3600 = 1800 B = sđAN 2 T giỏc BDEC ni tip ( ) ( )( ( )( ) ( ) ) b) Chng minh: MB.MC = MN.MP Xột: MBP v MNC cú: ã : gúc chung PMC =C ( hai gúc ni tip cựng chn cung NB ca ng trũn (O)) P 1 MB MP = MB.MC = MN MP Suy ra: MBP ~ MCN ( g - g ) MN MC c) Chng minh: MK > MB.MC : Ta cú: OA NP ( vỡ A l im chớnh gia ca cung NP) Suy ra: NP = 2.NK M: MB.MC = MN.MP ( Theo cõu b) Do ú: MB.MC = MN(MN + NP) = MN( MN + 2.NK) = MN + 2.MN NK (1) M: MK = ( MN + NK ) = MN + 2MN NK + NK > MN + 2.MN NK (2) T (1) v (2) suy ra: MK > MB.MC Cỏch 2: Ta cú: MK > MN ( vỡ N nm gia M v K) MK.NK > MN.NK MK.NK + MK.MN > MN.NK + MK.MN MK(NK + MN) > MN(NK + MK) MK > MN MP ( Vỡ NK + MK = MK + KP: Do NK = KP) M: MB.MC = MN.MP ( Theo cõu b) Do ú: MK > MB.MC Cỏch 3: p dng bt ng thc cụsi cho hai s dng MN v MP, ta cú: MN + MP MN MP MK MN MP MK MN MP Du = xy MN = MP, iu ny khụng th xy Cỏch 4: ằ = AP ằ : giả thiết K l trung im ca NP hay KN = KP t KN = KP = a Do: AN Ta cú: MB.MC = MN.MP(cõu b); m MN = MK KN v MP = MK + KP MB.MC = MN.MP = (MK a)(MK + a) = MK a < MK Vy MK > MN MP; hay : MK > MB MC u Bi 24 Cho ng trũn (O) cú cỏc ng kinh MN v PQ(PQ khụng trựng vi MN) a) Chng minh t giỏc MPNQ l hỡnh ch nht b) Cỏc tia NP, NQ ct tip tuyn ti M ca ng trũn (O) theo th t E v F Chng minh bn im E, F, P, Q cựng thuc mt ng trũn c) Khi MN c nh, PQ thay i Tỡm v trớ ca E v F din tớch tam giỏc NEF t giỏ tr nh nht Gii a) Chng minh t giỏc MPNQ l hỡnh ch nht Ta cú: OM = ON = OP = OQ(= R) T giỏc MPNQ l hỡnh bỡnh hnh ã Li cú: MQN = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) Do ú: MPNQ l hỡnh ch nht b) Chng minh bn im E, F, P, Q cựng thuc mt ng trũn =M ả (gúc ni tip cựng chn cung NQ) Ta cú: P 1 ả =F (vỡ cựng ph vi FNM ã M: M ) =F T giỏc EFQP ni tip Hay bn im E, F, P, Q cựng thuc mt ng trũn Do ú: P c) Tỡm v trớ ca E v F din tớch tam giỏc NEF t giỏ tr nh nht 1 Ta cú: S N EF = MN EF = R ( EM + MF ) = R ( EM + MF ) 2 Theo bt ng thc cụ si, ta cú: EM + MF EM MF ( *) 10 Tam giỏc NEF vuụng cú NM l ng cao, nờn: EM.MF = NM (h thc lng tam giỏc vuụng) Vy ( *) S N EF R.2 NM = 2.MN = R.2 R = R : khụng i Du = xy EM = MF NEF vuụng cõn ti N ã NM l tia phõn giỏc ca gúc QNP MPNQ l hỡnh vuụng PQ MN Vy GTNN ca S N EF l 4R PQ MN Bi 25 Cho C l mt im nm trờn ng thng AB(C khỏc A v B) Trờn cựng mt na mt phng b l ng thng AB, k hai tia Ax v By cựng vuụng gúc vi AB Trờn tai Ax ly im I khỏc A, tia vuụng gúc vi CI ti C ct By ti K ng trũn ng kớnh CI ct IK ti P a) Chng minh t giỏc CPKB ni tip b) Chng minh AI.BK = AC.BC c) Gi M l giao im ca IC v AP; N l giao im ca KC v BP.Chng minh MN // AB d) Cho A, B, I c nh Tỡm v trớ ca im C din tớch t giỏc ABKI t giỏ tr ln nht Gii a) Chng minh t giỏc CPKB ni tip ã ã ã Ta cú: CIP = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) CPK + CBK = 1800 T giỏc CPKB ni tip ng trũn ng kớnh CK b) Chng minh AI.BK = AC.BC IA CB ả ả ả ả ã CKB ( g g ) = AI KB = CA.CB Vỡ ICK = 900 nờn: C2 + C3 = 90 C2~ =K ICA CA KB c) Chng minh MN // AB Ta cú: A1 = Ià1 (vỡ ni tip cựng chn cung BC ng kớnh IC) =K ả (vỡ ni tip cựng chn cung BC ca B 1 /trũn ng kớnh CK ã ã ã ãAPB = ICK = 900 MCN + MPN = 1800 T giỏc MCNP ni tip ng trũn ng kớnh MN ả =C (vỡ ni tip cựng chn cung PN) (1) M 1 à (gúc gia tia tt v dõy v gúc ni tip A =C 1 cựng chn cung PC ca ng trũn ng kớnh IC) ả =à M A1 MN // AB d) Cho A, B, I c nh Tỡm v trớ ca im C din tớch t giỏc ABKI t giỏ tr ln nht Ta cú: S ABKI = AB ( AI + BK ) Vỡ AB, AI khụng i nờn S ABKI ln nht BK ln nht CA.CB CA.CB ln nht (vỡ AI.BK = CA.CB BK = ) AI CA + CB CA + CB Ta cú: CA.CB CA.CB ữ (khụng i), (p dng BT Cụ si) 2 Du = xy CA = CB Vy S ABKI ln nht C l trung im ca AB Cỏch 2: Ta cú: AIKB l hỡnh thang vuụng cú AB l ng cao, nờn: S ABKI = ( AI + BK ) AB , vỡ A, B, I c nh AI, AB khụng i Vy S AIKB ln nht BK ln nht ã D thy hai tam giỏc vuụng AIC v BCK cú: ãAIC = BCK (cựng ph vi ãACI ) AI AC 1 = BK = BC AC = Do ú: AIC ~ BCK ( g g ) ( AB AC ) AC = ( AB AC AC ) BC BK AI AI AI 11 AB AB AB = AC AC + ữ= AI 4 AI AB AB AC ữ AB AB AB khụng i AC ữ + AI AI AB AB = AC = C l trung im on AB Du = xy AC 2 Vy S ABKI ln nht C l trung im ca AB = AI Bi 26 Cho ng trũn (O;R) ng thng d i qua O v ct ng trũn ti hai im A v B T mt im C trờn ng thng d(C nm ngoi ng trũn(O)) Gi H l trung im ca AB, ng thng OH ct tia CN ti K a) Chng minh bn im C, O, H, N cựng nm trờn mt ng trũn b) Chng minh KN.KC = KH.KO c) on thng CO ct ng trũn (O) ti I Chng minh I cỏch u CM, CN, MN d) Mt ng thng i qua O v song song vi MN ct cỏc tia CM, CN ln luwowyj ti E v F xỏc nh v trớ ca C trờn d cho din tớch ca tam giỏc CEF l nh nht Gii a) Chng minh bn im C, O, H, N cựng nm trờn mt ng trũn Ta cú: OH AB(vỡ ng kớnh i qua im chớnh gia ca cung) ON CN ã ã OHC = ONC = 900 Bn im C; O; H; N cựng nm trờn ng trũn ng kớnh OC b) Chng minh KN.KC = KH.KO =C (vỡ cựng bự vi gúc HON) Ta cú: O 1 KO KN KON ~ KCH ( g g ) = KO.KH = KC KN KC KH c) Chng minh I cỏch u CM, CN, MN ã ằ = NI ằ CI l phõn giỏc ca MCN v CI MN nờn: MI NI; NI ln lt l cỏc phõn giỏc ca gúc CMN; CNM Vy I l giao im ca cỏc ng phõn giỏc ca tam giỏc CMN nờn I cỏchu cỏc cnh CM, CN, MN d) Mt ng thng i qua O v song song vi MN ct cỏc tia CM, CN ln lt ti E v F xỏc nh v trớ ca C trờn d cho din tớch ca tam giỏc CEF l nh nht Ta cú: SC EF = 2SCOE = CE.OM = ( CM + ME ) R SC EF nh nht CM + ME nh nht M: CM.ME = OM = R khụng i p dng bt ng thc cụ si, ta cú: CM + ME CM ME = R Du = xỏy CM = ME = R COE vuụng cõn ti O v COM vuụng cõn ti M MO = MC = R OC = R Vy C l giao im ca ng trũn(O; R ) vi ng thng d Bi 27 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB = 2R Gi M l mt im bt k thuc ng trũn (O), (M khỏc A v B) Cỏc tip tuyn ca ng trũn (O) ti A v M ct ti E V MP vuụng gúc vi AB(P thuc AB), v MQ vuụng gúc vi AE(Q thuc AE) a) Chng minh t giỏc AEMO ni tip v APMQ l hỡnh ch nht b) Gi I l trung im ca PQ Chng minh O, I, E thng hng 12 c) Gi K l giao im ca EB v MP Chng minh hai tam giỏc AEO v MPB ng dng v KM = KP d) t AP = x Tớnh MP theo R v x Tỡm v trớ ca im M trờn ng trũn (O) hỡnh ch nht APMQ cú din tớch ln nht Gii a) Chng minh t giỏc AEMO ni tip v APMQ l hỡnh ch nht ã ã Ta cú: EAO = EMO = 900 T giỏc AEMO ni tip ng trũn ng kớnh EO T giỏc APMQ l hỡnh ch nht vỡ cú ba gúc vuụng b) Chng minh O, I, E thng hng Do t giỏc MQAP l hỡnh ch nht nờn I l trung im ca AM Ta cú: EA = EM; OA = OM Suy ra: EO i qua trung im ca AM EO i qua I hay O; I; E thng hng c) Chng minh hai tam giỏc AEO v MPB ng dng v KM = KP Ta cú: OE // MB(vỡ cựng vuụng gúc vi AM) =B AEO ~ PMB ( g g ) PB = MP MP = EA PB = EA PB ( 1) O 1 AO EA AO AB BP KP = Do KP // EA ( 2) AB EA KP = KP KM = KP T (1) v (2) suy ra: MP = EA EA d) Tớnh MP theo R v x Tỡm v trớ ca im M trờn ng trũn (O) hỡnh ch nht APMQ cú din tớch ln nht t: AP = x PB = 2R - x (vỡ AB = 2R) Tam giỏc AMB vuụng ti M cú MP l ng cao nờn: MP = PA.PB = x ( R x ) MP = x ( R x ) S MPAQ x + 2R x ữ x x x x = AP.MP = x x ( R x ) = x ( R x ) x ữ = x R ữ = 3 R ữ 3 3 ữ x x 3+R ữ 3 3 R ữ = ữ x = R x 3R x= Du = xy x = R x 3 Vy din tớch HCN: MPAQ ln nht M thuc ng trũn cho P l trung im ca OB Cỏch 2: Trong tam giỏc vuụng ABM, ta cú: MP = PA.PB = x ( R x ) MP = x ( R x ) ; < x < 2R (vỡ M thuc ng trũn (O) v M khỏc A, B) Din tớch hỡnh ch nht APMQ l: S MPAQ = MP.PA = x x ( R x ) = x ( R x ) Ta chng minh b sau: Nu a,b,c,d khụng õm, ta cú: a+b+c+d abcd ữ Du = xy a = b = c = d 13 Ta cú: a + b ab ( 1) , a, b ; T (1) v (2) suy ra: a + b + c + d tng t c + d cd ( ) ( 2) ab + cd ; ta cũn cú: ab + cd ab cd 4 a+b+c+d ab cd ( a + b + c + d ) 42 abcd abcd ữ Du = xy a = b = c = d x x x p dng b trờn vi bn s: ; ; v 2R - x, ta cú: 3 x x x + + + 2R x ữ x x x R4 3 3 x ( R x ) = 27 ( R x ) 27 ữ = 27 3 16 ữ x x x 3R Du = xy = = = R x x = 3 Vy din tớch HCN: MPAQ ln nht M thuc ng trũn cho P l trung im ca OB Bi 28 Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB im H c nh thuc on thng AO (H khỏc A v O) ng Do ú: a + b + c + d thng i qua im H v vuụng gúc vi AO ct na ng trũn (O) ti C Trờn cung BC ly im D bt k (D khỏc B v C) Tip tuyn ca na ng trũn (O) ti D ct ng thng HC ti E Gi I l giao im ca AD v HC Chng minh t giỏc HBDI ni tip ng trũn Chng minh tam giỏc DEI l tam giỏc cõn Gi F l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ICD Chng minh gúc ABF cú s o khụng i D thay i trờn cung BC (D khỏc B v C) HD Do F l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ICD nờn ã ã ã = 180 CFI = 90 CFI ICF E 2 ã CFI ã ã = ICD = CBA suy C ã ã ã ICF = 90 CBA = HCB Vỡ D nm trờn cung BC nờn tia CF trựng vi tia CB c nh Vy gúc ABF cú s o khụng i F D I O A H B 14 [...]... hình chứ nhật vì có ba góc vuông b) Chứng minh O, I, E thẳng hàng Do tứ giác MQAP là hình chữ nhật nên I là trung điểm của AM Ta có: EA = EM; OA = OM Suy ra: EO đi qua trung điểm của AM ⇒ EO đi qua I hay O; I; E thẳng hàng c) Chứng minh hai tam giác AEO và MPB đồng dạng và KM = KP Ta có: OE // MB(vì cùng vuông góc với AM) µ =B µ ⇒ ΔAEO ~ ΔPMB ( g − g ) ⇒ PB = MP ⇒ MP = EA PB = 2 EA PB ( 1) ⇒O 1 1 AO... điểm của AD và HC 1 Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn 2 Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân 3 Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C) HD Do F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD nên · · · = 180° − CFI = 90° − CFI ICF E 2 2 · CFI · · = ICD = CBA 2 suy ra C · · · ICF = 90° − CBA = HCB Vì D nằm ... bng Tam giỏc ABC thay i v luụn ngoi tip ng trũn (O) Mt ng thng i qua tõm O ct cỏc on AB, AC ln lt ti M v N Xỏc nh giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc AMN ( thi tuyn sinh lp 10 Trng THPT chuyờn... : giả thi t K l trung im ca NP hay KN = KP t KN = KP = a Do: AN Ta cú: MB.MC = MN.MP(cõu b); m MN = MK KN v MP = MK + KP MB.MC = MN.MP = (MK a)(MK + a) = MK a < MK Vy MK > MN MP; hay : MK... ti B v C ct ti K Chng minh K thuc mt ng thng c nh d thay i v tha iu kin u bi Bi Cho ba im A, B, C c nh v thng hng theo th t ú ng trũn (O; R) thay i i qua B v C cho O khụng thuc BC T im A v hai