TUYEN TAP CAC BAI HINH HAY THI VAO 10

c Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.. Từ 1 và 2 suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nê

Bài 1 Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) M

là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (MB, MC) Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF

1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK

2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất

HD: 1) MFC = MEC = 90o

2) Góc HCK + HDK = HCK + CAB + CBA = 180o => CKI = CBD ( = EAC) => HK //AB

3) MEFMFD(g g)  MD.ME MF 2 MI, với I là trung điểm BC

=> (MD.ME)max = MI2, khi I trùng với F Khi đó MBCcân nên M là điểm chính giữa cung BC

Bài 2 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trên cạnh BC( M khắc B ) và N là

điểm trên CD ( N khác C ) sao cho  45o

MAN  .Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh rằng ABMQ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP Chứng minh rằng AH vuông góc với MN

c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất

HD

1) QAM = QBM = 45o; 2)Các tứ giác ABMQ và ADNP nội tiếp => AQM = APN = 90o.

3)M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) nên 2 TH

TH 1.M không trùng với C.

Gọi I là giao điểm của AH và MN=> S = 1

.

2 AI MN. ,

Tương tự  NAI  NAD  IN  DN Từ đó

2 AI MN  2 a MN

MN MC NC a BM a DN        a  IM  IN

.

TH 2 M trùng với C, khi đó N trùng với D và  AMN  ACD nên S = 1 1 2

.

2 AD DC  2 a Vậy AMN có diện tích lớn nhất  M  C và N  D

Bài 3 Cho đường tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm B là một điểm bất kì trên đường tròn (O ;

R) (B không trùng với A và C) Kẻ đường kính BB’ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

1) Chứng minh AH // B’C

2) Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC

3) Khi điểm B chạy trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một cung tròn cố định

Giải

1) AH //B/C vì cùng vuông góc với BC 2) AHCB/ là hình bình hành

Gọi E, F là chân các đường cao hạ từ A và C

Tứ giác HEBF nội tiếp => AHC = EHF = 180o –ABC = không đổi

Bài 4 Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ Ab lấy điểm M (M không trùng với A,

B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H Kẻ MK vuông góc với AN (KAN)

1 Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tròn

2 Chứng minh: MN là tia phân giác của góc BMK

3 Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất

1 Tứ giác AHMK nội tiếp vì AKM AHM 900 2 KMN NMB( = góc HAN)

3 AMBN nội tiếp => KAM MBN => MBN KHM EHN => MHEB nội tiếp

=> MNE HBN =>HBN đồng dạng EMN (g-g) =>ME.BN = HB MN (1)

Ta có AHN đồng dạng MKN => MK.AN = AH.MN (2)

C D

M

N P

=> MK.AN + ME.BN lớn nhất khi MN lớn nhất => MN là đường kớnh của đường trũn tõm O.=> M là điểm chớnh giữa cung AB

Bài 5

Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (C thuộc cung AD) sao cho

CD = R Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB ở M Tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt BD ở K

a Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông

b Xác định tâm và bán kính đờng trón ngoại tiếp tam giác KCD

c Tìm vị trí của dây CD sao cho diện tích tam giác KAB lớn nhất

AKB  60  AIB  120 (Góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

 Tứ giác OCID nội tiếp    0

OCI  ODI  90  ID = OD.tan300 = R 3

3

c KCD KBA

2 KCD

KBA

S 4S





 

     

 

 SKBA lớn nhất  SKCD lớn nhất  KH lớn nhất  H là điểm chính giữa cung lớn CD của đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD  KCD cân  KBA cân  CD//AB

B

à i 6 Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng d cố định không giao nhau Từ điểm M thuộc d, kẻ

hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (O; R) (A, B là các tiếp điểm)

1 Gọi I là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đờng tròn Chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB

2 Cho biết MA = R 3, tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA, MB và cung nhỏ

AB của đờng tròn (O; R)

3 Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định

b) SAOBM = 3R2

2

QAOB

R S

3





S =

 S = 3 3 2

R 3

 

c) Kẻ OH d, gọi giao điểm của AB và OH là N, giao điểm của AB và OM là P

Tứ giỏc HMPN nội tiếp nờn ON.OH = OP.OM = R2

Do đú N là điểm cố định mà AB luụn đi qua

Bài 7

Cho đường trũn ( O) và điểm A nằm bờn ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường trũn (O) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường trũn (O) tại hai điểm B và C ( AB < AC, d khụng đi qua tõm O) 1) Chứng minh tứ giỏc AMON nội tiếp

2) Chỳng minh AN2 = AB.AC Tớnh độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm

3) Gọi I là trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai T Chứng minh: MT // AC

4) Hai tiếp tuyến của đường trũn (O) tại B và C cắt nhau tại K Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa món điều kiện đầu bài

Bài 8

Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) Gọi I là trung điểm của

BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN

1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh OI.OH = R2

3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn câu IVc :

+ AMB∽ACM(g-g)  AM AB 2

AM AB.AC

AC AM 

+ AME∽AIM(g-g)  AM AE 2

AM AI.AE

AI AM  

 AB.AC = AI.AE (*)

Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định

nên từ (*) suy ra E cố định

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định

Bài 9

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho góc

MBN = 450, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.

a) Chứng minh các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của MF với NE và I là giao điểm của BH với MN Tính độ dài đoạn BI theo a c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.

HD

c) Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác MDN

lớn nhất

Do MBGMBN (theo chứng minh ở phần b)

=> MG = MN

Do đó MD + DN + MN = MD + DN + MG

= MD + DN + (GA + AM)

= MD + DN + CN + AM (vì GA = CN)

= (MD + AM) + (DN + NC) = 2a (không đổi)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho MDN(vuông tại D), ta có MN2 = DN2 + DM2

Mặt khác dễ dàng chứng minh được: DN2 + DM2

2

2

DM DN

 (vì tương đương với (DM – DN)2 0 luôn đúng)

H

E I B

N

O A

M

C

Suy ra

2

DM DN DM DN

MD DN

Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

=>

2

2 2 2

a

DM DN    a



( 2 1) 2

MDN

S  DM DN  a ,

2

2

DM DN

DM DN

DM DN MN a

















Vậy để diện tích tam giác MDN lớn nhất thì M, N lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho DM DN 2 2a

Bài 10

Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC) Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I

a) Chứng minh rằng MBC BAC Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE

c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T

khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng

d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất

HD

c) Ta có góc PTQ=900 do POIQ là đường kính

Và 2 tam giác đồng dạng FIQ và FTM có 2 góc

đối đỉnh F bằng nhau và FI FT

FQ FM

(vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ)

Nên FIQ FTM  mà   0

90

FIQ OIM  (I nhìn OM dưới góc 900)

Nên P, T, M thẳng hàng vì  0

180

d) Ta có BC không đổi Vậy diện tích S IBClớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn nhất Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung BC của đường tròn đường kính OM Khi I trùng O thì

ABC

 vuông tại B Vậy diện tích tam giác ICB lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R)

Bài 11

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ) Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F Chứng minh:

a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn

b) AE.AF = AC2

A

M

O

D

F

E

Q

P

I

T

c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định

HD

c) Theo câu b) ta có ACF AEC , suy ra AC là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1)

Mặt khác ACB 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC

CB (2) Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn

ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp

∆CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC

F

E

I O

D

C

B A

Bài 12

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC)

a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Vẽ MPBC (PBC) Chứng minh: MPK MBC 

c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất

HD

Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp

Suy ra: MIP MBP (4) Từ (3) và (4) suy ra MPK MIP

Tương tự ta chứng minh được MKP MPI

Suy ra: MPK~ ∆MIP MP MI

MK MP

 MI.MK = MP2  MI.MK.MP = MP3

Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4)

- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC

cố định)

H

O P

K I

M

C B

A

Lại có: MP + OH  OM = R MP  R – OH Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5) Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 

M nằm chính giữa cung nhỏ BC

Bài 13

Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O)

và (O )

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O ) tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A) Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn

c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O ) thứ tự tại M và N Xác định vị trí của d để

CM + DN đạt giá trị lớn nhất

HD

c) Ta có CMA DNA 90  0(góc nội tiếp chắn nửa

đường tròn); suy ra CM // DN hay CMND là hình

thang

Gọi I, K thứ tự là trung điểm của MN và CD Khi

đó IK là đường trung bình của hình thang CMND

Suy ra IK // CM // DN (1) và CM + DN = 2.IK (2)

d

K

I

N

M

O /

O

C

D B

A

Từ (1) suy ra IK  MN  IK  KA (3) (KA là hằng số do A và K cố định)

Từ (2) và (3) suy ra: CM + DN 2KA Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi IK = AK d  AK tại A

Vậy khi đường thẳng d vuông góc AK tại A thì (CM + DN) đạt giá trị lớn nhất bằng 2KA

Bài 14

Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của AB 1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn

2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất

HD

3) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên

1

2

OQM

S S  OD QM R MD DQ Từ đó S nhỏ

nhất  MD + DQ nhỏ nhất Mặt khác, theo hệ thức lượng

trong tam giác vuông OMQ ta có DM DQ OD  2 R2

không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất  DM = DQ = R Khi

đó OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường tròn

tâm O bán kính R 2

d

I B A

C

D H

Q P

Bài 15

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng vuông góc với

AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D Chứng minh:

1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn

2) ∆ABD ~ ∆MBC

3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

HD

3) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và

EDC BDC , lại có:  

BDC CAK (cùng phụ với B ), suy ra: EDC CAK Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp

Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ củng

là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên OA =

OE, suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng

AE cố định

E

D

M I

C

K

A

Bài 16

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH  BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E

a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10

b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị đó

HD

c) Vì O1D = O1B =>  O1BD cân tại O1 =>  

1

B BDO (2)

Từ (1), (2) => ADE BDO 1 B BAH = 900 => O1D //O2E

Vậy DEO2O1 là hình thang vuông tại D và E

Ta có Sht = 1(O D O E).DE1 2 1O O DE1 2 1O O1 22

O1H + O2H = O1O2 và DE < O1O2 )

2

   Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi DE = O1O2

 DEO2O1 là hình chữ nhật

 A là điểm chính giữa cung BC Khi đó maxS DEO2O1 =

2

2

R

Bài 18

Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC 2R) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N là tiếp điểm) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và MN; MN cắt BC tại D Chứng minh:

a) AM2 = AB.AC

b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn

c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp  OID luôn thuộc một đường thẳng cố định HD

c) Ta có OA  MN tại K (vì K trung điểm MN), MN cắt AC

tại D.

Xét tứ giác KOID có K I   = 180 0 => tứ giác KOID nội tiếp

đường tròn tâm O 1

=> O 1 nằm trên đường trung trực của DI mà AD.AI =

AK.AO = AM 2 = AB.AC không đổi (Vì A, B, C, I cố định)

Do AI không đổi => AD không đổi => D cố định

Vậy O 1 tâm đường tròn ngoại tiếp  OIK luôn thuộc đường

trung trực của DI cố định.

Bài 19

Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH  BC; MI  AC; MK  AB

a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh MH2 = MI.MK

c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC tại P, Q Chứng minh chu vi  APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M

HDc

c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến)

Xét chu vi  APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM

= (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB không đổi

Vì A cố định và đường tròn (O) cho trước nên chu vi  APQ không

D

O

H

A

E

D K

I B

O

N

A

C M

O 1 E

I

C

O

N

M

B A

phụ thuộc vào vị trí của điểm M (đpcm)

Bài 20

Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON = 900

1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

2) Chứng minh AM AN =

4

2

AB

3) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất

HD

3

2

1



MON

S OH MN >

2

1

OH AB (Vì AMNB là hình thang vuông)

Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa

của cung AB

 M, N song song với AB  AM = BN = AB

2 Vậy SMON nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN = AB

2

Bài 21

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 23 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E

1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp

2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC

3) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất

HD

3 Theo trên AMN = ACM   AM là tiếp tuyến

của đường tròn ngoại tiếp ECM Nối MB ta có

AMB = 900, do đó tâm O1 của đường tròn ngoại

tiếp ECM phải nằm trên BM

Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng

cách từ N đến BM NO1 BM Gọi O1 là chân

đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là

tâm đường tròn ngoại tiếp  ECM có bán kính

là O1M

Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường

tròn ngoại tiếp  ECM là nhỏ nhất thì C phải là

giao điểm của đường tròn (O1), bán kính O1M với

đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông

góc của N trên BM

Bài 22

Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính bằng 1 Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp đường tròn

(O) Một đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M và N Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN

N

M

O

H

1 D

P E

O K A

N

C B

M

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT chuyờn Lờ Hồng Phong, Tp Hồ Chớ Minh năm học 2001 – 2002)

LỜI GIẢI Giả sử đường trũn (O) tiếp xỳc aB, AC lần lượt tại H và K

AM AN

S S S  OH AM OK AN  

Vẽ MIAB tại I Ta cú: AM  MI

Áp dụng BĐT Cụ si cho hai số khụng õm ta cú:

2

AM AN

AM AN





2

S  AM AN  MI AN S  MI AN MI AN  S

Vậy: S AMN  2S AMN  S2AMN 2S AMN  S AMN 2 (do S AMN 0)

Dấu “= “ xảy ra  AM = AN = MI, tức là khi BAC 900 và AM = AN.

Vậy GTNN của diện tớch tam giỏc AMN là 2

Bài 23

Cho đường trũn tõm O, vẽ dõy cung BC khụng đi qua tõm Trờn tia đối của tia BC lấy điểm M bất kỡ

Đường thẳng qua M cắt đường trũn (O) lần lượt tại hai điểm N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm bờn trong gúc PMC Trờn cung nhỏ NP lấy điểm A sao cho cung AN bằng cung AP Hai dõy cung AB, AC cắt NP lần lược tại D và E.

a) Chứng minh: MB.MC = MN.MP

b) Bỏn kớnh OA cắt NP tại K Chứng minh: MK2 MB MC

Giải:

a) Chứng minh tứ giỏc BDEC nội tiếp

Ta cú:

sd AN sd PC sd AP sd PC

PEC    ( vỡ AN AP)



2

sd APC

 ( vỡ ABC là gúc nội tiếp đ/trũn(O) chắn cung APC)

Suy ra:  

E B ; Mà:   0

E DEC

B DEC  Tứ giỏc BDEC nội tiếp

Cỏch 2:

Ta cú:

1

1

đAC ì B óc nội tiếp chắn AC

2

1

DEC đAP đNC ì DEC à góc có đỉnh bên trong đ/tròn

2

1

đAN đNC ì AP

2

đAN đNC đAC 360 180













 Tứ giỏc BDEC nội tiếp

b) Chứng minh: MB.MC = MN.MP

Xột: MBP và MNC cú:

PMC : gúc chung

 

P C ( hai gúc nội tiếp cựng chắn cung NB của đường trũn (O))

1 I

O M

N K H

C B

A

1 1

F

Q M

O

N P

E

Suy ra: MBP ~ MCN ( g - g ) MB MP MB MC MN MP

MN MC

c) Chứng minh: MK2 MB MC :

Ta có: OANP ( vì A là điểm chính giữa của cung NP)

Suy ra: NP = 2.NK

Mà: MB.MC = MN.MP ( Theo câu b)

Do đó: MB.MC = MN(MN + NP) = MN( MN + 2.NK) = MN22.MN NK (1)

Mà: MK2 MN NK 2 MN22MN NK NK  2 MN22.MN NK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MK2 MB MC

Cách 2:

Ta có: MK > MN ( vì N nằm giữa M và K)

 MK.NK > MN.NK  MK.NK + MK.MN > MN.NK + MK.MN

 MK(NK + MN) > MN(NK + MK)

 MK2> MN MP ( Vì NK + MK = MK + KP: Do NK = KP)

Mà: MB.MC = MN.MP ( Theo câu b)

Do đó: MK2 MB MC

Cách 3:

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương MN và MP, ta có:

MN + MP 2 MN MP  2MK 2 MN MP  MK2 MN MP

Dấu = xảy ra khi MN = MP, điều này không thể xảy ra

Cách 4:

Do: AN AP gi: ¶ thiÕt K là trung điểm của NP hay KN = KP Đặt KN = KP = a

Ta có: MB.MC = MN.MP(câu b); mà MN = MK – KN và MP = MK + KP

 MB.MC = MN.MP = (MK – a)(MK + a) = 2 2 2

MK  a MK

MK MN MP hay MK MB MC

đều

Bài 24

Cho đường tròn (O) có các đường kinh MN và PQ(PQ không trùng với MN).

a) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình chữ nhật.

b) Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) theo thứ tự ở E và F Chứng minh bốn điểm E, F,

P, Q cùng thuộc một đường tròn.

c) Khi MN cố định, PQ thay đổi Tìm vị trí của E và F khi diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình chữ nhật

Ta có: OM = ON = OP = OQ(= R)

 Tứ giác MPNQ là hình bình hành

Lại có: MQN 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó: MPNQ là hình chữ nhật

b) Chứng minh bốn điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn

Ta có:  

P M (góc nội tiếp cùng chắn cung NQ)

Mà: M1F (vì cùng phụ với FNM )

Do đó:  

1

P F Tứ giác EFQP nội tiếp Hay bốn điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn

c) Tìm vị trí của E và F khi diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ nhất

N

S  MN  R EM MF R EM MF

Theo bất đẳng thức cô si, ta có: EM + MF 2 EM MF  *

Tam giác NEF vuông có NM là đường cao, nên: