Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ CỘNG HOĂ XÊ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA SƯ PHẠM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
NỘI DUNG ĐÂP ÂN
Cđu I: (2,0 đ) Xem Giâo trình “Hình học xạ ảnh”( Thay n = 3)
1.( 1,0 đ )Xđy dựng mô hình aphin
+Xĩt X = P 3 \P 2 ≠ , P 2 lă một siíu phẳng của P 3 Chọn mục tiíu xạ ảnh của
P 3 sao cho phương trình của P 2 lă x4 = 0 (0,25 đ)
+ K 3 lă không gian vĩc tơ 3 chiều trín K (0,25 đ)
+ Lập ânh xạ: X x X → K 3 (0,25 đ)
+ Chứng minh ânh xạ trín thỏa 2 tiín đề A 1 , A 2 (0,25 đ)
2.(1,0 đ)
+Xĩt trong P 3 (0,5 đ)
+ Xĩt trong A 3 (0,5 đ)
Cđu II: (1,5 đ) Xem Giâo trình “Hình học xạ ảnh”
1.(0,50 đ).Phât biểu định nghĩa (0,5 đ)
2.(1,0 đ ) Chứng minh định lý
+ Chứng minh f lă đơn ânh (0,5 đ)
+ Chứng minh f lă toăn ânh (0,5 đ)
Cđu III: ( 2,0 đ )
1.(1,5 đ)
+ Níu nội dung định lý. : “ Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho hai tam giác ABC và A’B’C’ Nếu các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O thì các điểm P = AB x A’B’, Q = BC x B’C’, R =
CA x C’A’ thẳng hàng’’.( Định lý Desargues).(0,25 đ)
+Xĩt phĩp chiếu xuyín tđm f1:OA OC có tđm R (0,25 đ)
+Xĩt phĩp chiếu xuyín tđm f2: OC OB có tđm Q(0,25 đ)
+Xĩt ânh xạ xạ ảnh f = f2o f1: OA OB(0,25 đ)
+Ta có f(O) = O vă f(A) = B, f(A’) = B’ f lă phĩp chiếu xuyín tđm có tđm
P = ABxA’B’(0,25 đ)
+Gọi A1 =RQxOA, B1 =RQxOB , C1 =RQxOC Ta có f(A1) = B1 nín P, A1, B1
thẳng hăng hay P, Q, R thẳng hăng (0,25 đ)
2.(0,5 đ) Phât biểu định lý đối ngẫu Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho hai tam giác abc và a’b’c’ Nếu các điểm a x a’, b x b’, c x c’ thẳng hăng thì các đường thẳng p, q, r đồng quy ; với p đi qua a x b vă a’ x b’, q đi qua b
x c vă b’ x c’, r đi qua a x c vă a’ xc’ (0,5 đ).
Cđu IV: ( 2,0 đ )
+Băi toân aphin: Trong mặt phẳng aphin A 2, cho một tiếp tuyến d bất kỳ của một hyperbol (H) tiếp xúc với (H) tại C vă cắt hai tiệm cận d1, d2 của (H) tại A vă B Chứng
minh rằng: Điểm C lă trung điểm của đoạn thẳng AB.( Hình vẽ) ( 0,25 đ )
+ Xĩt P 2 = A 2V2 = A 2 .( 0,25 đ )
+ Băi toân xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2, cho một conic (S) cắt tại hai điểm P, Q Gọi 1, 2 lă câc tiếp tuyến với (S) tại P, Q cắt nhau tại O vă lă một tiếp
ĐÂP ÂN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2007-2008
Đề thi môn : Hình học xạ ảnh – MS:TL317C
LỚP TOÂN – TOÂN TIN – KHOÂ 31
Trang 2tuyến bất bỳ của (S) tiếp xúc với (S) tại C; cắt 1, 2, tại A, B, R Chứng minh
rằng: ( ABCR) = -1.( Hình vẽ) .( 0,5 đ )
* ( 1,0 đ ) Giải bài toán xạ ảnh:
+ Xét lục giác OPACBQ ngoại tiếp conic (S) ta có AQ, BP, OC đồng quy tại
D( Theo định lý Brianchon) .( 0,5 đ )
+ Xét hình 4 cạnh toàn phần OPADBQ có A, B là 2 đỉnh đối diện và C, R là hai
giao điểm của đường chéo AB và 2 đường chéo còn lại, nên ( ABCR)= -1(đfcm).(0,25đ)
Câu V: ( 2,5 đ )
1.(0.75 đ).+ {A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh .( 0,25 đ )
+{A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh.( 0,25 đ ) + Kết luận phép biển đổi xạ ảnh duy nhất ( 0,25 đ )
2.(1.75đ)
+Cơ sở sinh ra{A, B, C, D} là { }ai 1,2,3, trong đó 1 ( , , 0)1 1
3 3
a , 2 ( ,0, )2 1
3 3
3
2 2
(0, , )
3 3
a ( 0,5 đ )
+ Cơ sở sinh ra{A’, B’, C;’, D’} là '
1,2,3
{ }ai , trong đó a '1 (1, 2,1), 2
1 1 1 ' ( , , )
2 2 2
3
1 1 1
' ( , , )
2 2 2
+Sơ đồ, dạng phương trình ( 0,25 đ )
+ Tìm B =
6 0 3
1 1 2
3 3 0
và phương trình [X’] = Bx[X] ( 0,5 đ
Giáo viên ra đề
ĐẶNG VĂN THUẬN
P
R
Q
A
1
O
