Hình học xạ ảnh 07 -08

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ CỘNG HỒ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM KHOA SƯ PHẠM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc NỘI DUNG ĐÁP ÁNCâu I: (2,0 đ) Xem Giáo trình “Hình học xạ ảnh”( Thay n = 3) 1.( 1,0 đ )Xây dựng mơ hình aphin.+Xét X = P3 \P2 ≠ φ, P2 là một siêu phẳng của P3 . Chọn mục tiêu xạ ảnh của P3 sao cho phương trình của P2 là x4 = 0. (0,25 đ) + K3 là khơng gian véc tơ 3 chiều trên K. (0,25 đ) + Lập ánh xạ: X x X → K3 (0,25 đ) + Chứng minh ánh xạ trên thỏa 2 tiên đề A1, A2 (0,25 đ) 2.(1,0 đ)+Xét trong P3 (0,5 đ) + Xét trong A3 (0,5 đ) Câu II:. (1,5 đ) Xem Giáo trình “Hình học xạ ảnh”1.(0,50 đ).Phát biểu định nghĩa. (0,5 đ) 2.(1,0 đ ) Chứng minh định lý+ Chứng minh f là đơn ánh. (0,5 đ) + Chứng minh f là tồn ánh. (0,5 đ) Câu III:. ( 2,0 đ )1.(1,5 đ).+ Nêu nội dung định lý. : “ Trong màût phà ng xả a nh Pó í2 cho hai tam giạc ABC va A’B’C’. N u cạc â ng thà ng AA’, BB’, CC’ â ng qu ãú ỉåì ó äư tải O thç cạc âi m P = AB x A’B’, Q = BC x B’C’, R = CA x C’A’ thà ngãø ó ha ng’’.( ënh l Desargues).ì  (0,25 đ) +Xét phép chiếu xun tâm f1:OA → OC có tâm R (0,25 đ) +Xét phép chiếu xun tâm f2: OC → OB có tâm Q(0,25 đ) +Xét ánh xạ xạ ảnh f = f2o f1: OA → OB(0,25 đ) +Ta có f(O) = O và f(A) = B, f(A’) = B’ ⇒f là phép chiếu xun tâm có tâm P = ABxA’B’(0,25 đ) +Gọi A1 =RQxOA, B1 =RQxOB , C1 =RQxOC. Ta có f(A1) = B1 nên P, A1, B1 thẳng hàng hay P, Q, R thẳng hàng (0,25 đ) 2.(0,5 đ) Phát biểu định lý đối ngẫu. Trong màût phà ng xả a nh Pó í2 cho hai tam giạc abc va a’b’c’. N u cạc ì ãú điểm a x a’, b x b’, c x c’ thẳng hàng thç cạc đường thẳng p, q, r đồng quy ; với p đi qua a x b và a’ x b’, q đi qua b x c và b’ x c’, r đi qua a x c và a’ xc’ (0,5 đ).Câu IV: ( 2,0 đ ) +Bài tốn aphin: Trong mặt phẳng aphin A2, cho một tiếp tuyến d bất kỳ của một hyperbol (H) tiếp xúc với (H) tại C và cắt hai tiệm cận d1, d2 của (H) tại A và B. Chứng minh rằng: Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB.( Hình vẽ) .( 0,25 đ ) + Xét P2 = A22V∪ = A2∞∆.( 0,25 đ )ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2007-2008Đề thi mơn : Hình học xạ ảnh – MS:TL317CLỚP TỐN – TỐN TIN – KHỐ 31 + Bài toán xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, cho một conic (S) cắt∞∆ tại hai điểm P, Q. Gọi 1∆, 2∆ là các tiếp tuyến với (S) tại P, Q cắt nhau tại O và ∆ là một tiếp tuyến bất bỳ của (S) tiếp xúc với (S) tại C; cắt 1∆, 2∆, ∞∆ tại A, B, R. Chứng minh rằng: ( ABCR) = -1.( Hình vẽ). .( 0,5 đ ) * ( 1,0 đ ) Giải bài toán xạ ảnh: + Xét lục giác OPACBQ ngoại tiếp conic (S) ta có AQ, BP, OC đồng quy tại D( Theo định lý Brianchon). .( 0,5 đ ) + Xét hình 4 cạnh toàn phần OPADBQ có A, B là 2 đỉnh đối diện và C, R là hai giao điểm của đường chéo AB và 2 đường chéo còn lại, nên ( ABCR)= -1(đfcm).(0,25đ) Câu V: ( 2,5 đ ) 1.(0.75 đ).+ {A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh. .( 0,25 đ ) +{A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh.( 0,25 đ ) + Kết luận phép biển đổi xạ ảnh duy nhất . .( 0,25 đ ) 2.(1.75đ). +Cơ sở sinh ra{A, B, C, D} là 1,2,3{ }iar, trong đó 11 1( , ,0)3 3a =r,22 1( ,0, )3 3a =r, 32 2(0, , )3 3a =r ( 0,5 đ )+ Cơ sở sinh ra{A’, B’, C;’, D’} là '1,2,3{ }iar, trong đó 1' (1,2,1)a =r, 21 1 1' ( , , )2 2 2a = − −r,31 1 1' ( , , )2 2 2a = −r ( 0,5 đ )+Sơ đồ, dạng phương trình .( 0,25 đ )+ Tìm B =6 0 31 1 23 3 0� �� �−� �� �−� � và phương trình [X’] = Bx[X] ( 0,5 đ Giáo viên ra đềPRQC DA∆2B∆∆1O ĐẶNG VĂN THUẬN . đoạn thẳng AB.( Hình vẽ) .( 0,25 đ ) + Xét P2 = A22V∪ = A2∞∆.( 0,25 đ )ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2 007- 2008Đề thi mơn : Hình học xạ ảnh – MS:TL317CLỚP. trình Hình học xạ ảnh ( Thay n = 3) 1.( 1,0 đ )Xây dựng mơ hình aphin.+Xét X = P3 P2 ≠ φ, P2 là một siêu phẳng của P3 . Chọn mục tiêu xạ ảnh