Rèn luyện kĩ năng giải toán phương trình, bất phương trình cho học sinh Trung học cơ sở

Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ LINH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ LINH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHẠM XUÂN CHUNG

NGHỆ AN - 2015

MỤC LỤC

Trang

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (9 tiết) 29

DANH MỤC BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Xuất phát từ nhu cầu thực tế của thời đại, nhu cầu phát triển kinh

tế, Việt Nam đang đứng trước bài toán phải đổi mới một cách toàn diện từ mục tiêu giáo dục, nội dung đến phương pháp, phương tiện dạy học Mục tiêu Giáo dục năm 2011 đã đề ra như sau:

“Xây dựng con người Việt Nam phát triển toàn diện, có lý tưởng, đạo

đức, có tính tổ chức và kỷ luật, có ý thức cộng đồng và tính tích cực cá nhân, làm chủ tri thức hiện đại, có tư duy sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp và có sức khoẻ, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.”

Để thực hiện mục tiêu trên, Luật giáo dục đã quy định rõ: “Phương

pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn học, bồi dưỡng năng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú trong học tập cho HS”

(Luật giáo dục, Chương 2- mục 2, điều 28)

1.2 Nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,

toàn diện giáo dục đã chỉ rõ: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”

1.3 Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung

dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững

chắc Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học

1.4 Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong

chương trình môn Toán THCS Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là chìa khoá quan trọng để giúp học sinh học tốt các môn học khác như vật lý, hóa học Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức

lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THCS

1.5 Có nhiều công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lượng

dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình cho học sinh Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài

của luận văn là: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình

cho học sinh trung học cơ sở”.

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các biện pháp rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải phương trình, bất phương trình nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THCS

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học môn toán ở trường THCS

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình

4 Giả thuyết khoa học

Việc xây dựng hệ thống kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình và rèn luyện các kỹ năng này cho học sinh trung học cơ sở là có thể thực hiện được, đồng thời thông qua việc làm đó sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề kỹ năng, nội

dung và đặc điểm của phương trình, bất phương trình

5.2 Điều tra, đánh giá thực trạng dạy phương trình, bất phương trình,

lựa chọn ra các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong giải phương trình, bất phương trình

5.3 Nghiên cứu và đề xuất một số định hướng sư phạm về việc rèn

luyện kỹ năng cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán

5.4 Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp

sư phạm đã đề xuất

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học toán, các công trình khoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài

6.2 Điều tra quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa

6.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luận văn

7 Đóp góp của luận văn

Góp phần làm rõ vai trò của kỹ năng toán học và một số thành phần trong năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình

Đưa ra được các biện pháp rèn luyện khả năng suy nghĩ góp phần nâng cao năng lực tư duy toán học cho học sinh

Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS

Ngoài phần phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn còn có những nội dung chính sau:

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận luận văn có 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện cho học sinh THCS kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề về kỹ năng giải toán

1.1.1 Kỹ năng

Trong bất kỳ một hoạt động nào, muốn đảm bảo kết quả, con người không những chỉ cần có tri thức, có ý chí mà phải có những kỹ năng, kỹ xảo nhất định

Trong tâm lý học tồn tại hai quan niệm khác nhau về kỹ năng:

Quan niệm thứ nhất: Coi kỹ năng là mặt kỹ thuật của thao tác hành động hay hoạt động

Đại diện cho quan niệm này là các tác giả như: Ph.N.Gônôbôlin, V.A.Krutretxki, V.X.Cudin, A.G.Kôvaliôv… Các tác giả này cho rằng, muốn thực hiện được một hành động, cá nhân phải có tri thức về hành động đó, tức là phải hiểu được mục đích, phương thức và các điều kiện để thực hiện nó Vì vậy, nếu ta nắm được các tri thức về hành động, thực hiện được nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau, tức là ta đã có kỹ năng hành động

Quan niệm thứ hai: Coi kỹ năng không đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động mà nó còn là một biểu hiện về năng lực của con người Kỹ năng theo quan niệm này vừa có tính ổn định, lại vừa có tính mềm dẻo, tính linh hoạt và tính mục đích

Đại diện cho quan niệm này là các tác giả: N.D.Lêvitôv, X.I.Kixegof, K.K.Platônoov (1963, 1967), A.V.Barabasicoov (1963), v.v…

N.D.Lêvitôv cho rằng, kỹ năng là sự thực hiện có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có chiếu cố đến những điều kiện nhất định Như vậy, Lêvitôv chú ý đến kết quả hành động, có nghĩa là phải biết chọn cách hành động đúng đắn, phù hợp với các điều kiện cho phép

V.V.Bôgxloxki cho rằng, kỹ năng có hai mức độ: kỹ năng sơ đẳng và kỹ năng thành thạo Kỹ năng sơ đẳng ban đầu là những hành động - những cái được hình thành trên cơ sở của tri thức hay là kết quả của sự bắt chước Còn kỹ năng thành thạo được hình thành trên cơ sở của các tri thức và kỹ xảo - những cái đã được lĩnh hội từ trước [ ]2

X.I.Kixegof (1977) cũng có quan niệm giống như Bôgxloxki Theo ông thì có hai loại kỹ năng: kỹ năng bậc thấp (kỹ năng nguyên sinh) và kỹ năng bậc cao (kỹ năng thứ sinh) “Kỹ năng nguyên sinh” được hình thành lần đầu tiên qua các hành động đơn giản nó là cơ sở để hình thành kỹ xảo Còn “kỹ năng thứ sinh” là kỹ năng nảy sinh lần thứ hai sau khi đã có các tri thức và các kỹ xảo [ ]2

Theo K.K.Platônoov thì người có kỹ năng không chỉ hành động có kết quả trong một hoàn cảnh cụ thể mà còn phải đạt được kết quả tương tự trong những điều kiện khác nhau Do vậy, theo ông kỹ năng của con người thực hiện một hành động trên cơ sở của kinh nghiệm - những cái đã được lĩnh hội từ trước Hay nói cách khác, kỹ năng được hình thành trên cơ sở của các tri thức và các kỹ xảo [ ]31

Quan niệm của các nhà giáo dục Việt Nam như: Nguyễn Ánh Tuyết, Ngô Công Hoan, Lê Văn Hồng và Nguyễn Quang Uẩn cũng tương tự như quan niệm của hai tác giả nói trên

Chẳng hạn, Lê Văn Hồng có viết: “kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [ ]21

Trong Từ điển Tâm lý học của Liên Xô (cũ), kỹ năng là giai đoạn giữa

của việc nắm vững một phương thức hành động mới - cái dựa trên một quy

tắc (tri thức) nào đó và trên quá trình giải quyết một loạt các nhiệm vụ tương ứng với tri thức đó, nhưng còn chưa đạt đến mức độ kỹ xảo.

Trong Từ điển tiếng Việt, kỹ năng lại được định nghĩa theo quan niệm

thứ hai như sau: Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế

Trong Từ điển tiếng Nga, kỹ năng cũng được hiểu theo quan niệm thứ

hai như sau:

Một: Kỹ năng là khả năng làm một cái gì đó;

Hai: Khả năng này được hình thành bởi tri thức, kinh nghiệm;

Ba: Khi có kỹ năng tất cả đều có thể làm được.

Với nội hàm cần có trong khái niệm như trên, khái niệm về kỹ năng theo quan niệm thứ hai, cụ thể là khái niệm kỹ năng của nhà tâm lý học người Nga A.V.Barabansicôv - cái đã được nhiều tác giả sử dụng trong các công trình nghiên cứu khác nhau là đầy đủ hơn cả Theo tác giả: “Kỹ năng là khả năng sử dụng tri thức và các kỹ xảo của mình một cách có mục đích và sáng tạo trong quá trình của hoạt động thực tiễn Khả năng này là khả năng tự tạo của con người”

Tóm lại, dù phát biểu khái niệm ở bất cứ góc độ nào, các tác giả

đều thống nhất kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách

thức, phương pháp, ) để giải quyết một nhiệm vụ mới, giải quyết các bài tập cụ thể

Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn

có giữa kiến thức và đối tượng Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ 0sở của kỹ năng

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định

Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành

động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông tin mới) Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.

Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau:

- Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng

tư duy

Đây là tình huống có vấn đề khi học sinh mới học về phương trình bậc hai

Học sinh cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình (so sánh với kiến thức đã học giải phương trình bậc 2), từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó Đặt 2

x = y khi đó bài toán (1) trở thành giải phương trình:

2 13 36 0

y − y+ = với y≥0Như vậy, bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, việc lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán

Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán

- Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ năng

- Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập Thói quen tâm

lý là một trở ngại thường gặp trong học tập Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới

- Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể

2

1.1.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là một thành phần của kỹ năng toán học, được hình thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán Do đó, kỹ năng giải toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi

dưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh

1.1.3 Các thành phần kỹ năng giải toán

a) Kỹ năng dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì ta đã làm công việc dự đoán Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoán của mình

Theo tác giả Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết Hay dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [25]

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G.Polya thì “ trừ những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải

học tập để có được năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều” [8].

Để có kỹ năng dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là học sinh phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phải được rèn luyện các kỹ năng thành tố như: Kỹ năng xem xét các đối tượng Toán học, kỹ năng tư duy biện chứng; kỹ năng so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; kỹ năng liên tưởng các đối tượng, quan hệ

đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự

b) Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ

Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán

Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng

để huy động kiến thức đối với việc giải toán

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộc vào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ nào

Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những định hướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau

c) Kỹ năng quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.

Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng) Những hoạt động đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của hoạt động nhận thức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể

Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Việc biến đổi đó

có thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của học sinh hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó

trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy

động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bài toán tương tự

Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương tự đã giải

d) Kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng các cách khác nhau Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau.

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã

có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẽ bài toán đang giải đó nó còn tiềm ẩn những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

e) Kỹ năng phân chia trường hợp

Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng như khi giải toán biện luận, ta cần phải phân chia một khái niệm

Trong lôgic học, người ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao tác

lôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thành các nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [22]

Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái

niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [4]

Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những

tập hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung

Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt

rõ ràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm

Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:

+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;

+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;

+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phân chia;

+ Phân chia phải liên tục [22]

f) Kỹ năng suy luận lôgic

Trong lôgic học người ta quan niệm rằng:“Suy luận là quá trình suy

nghĩ để rút ra một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [7].

Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút

ra gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận.

Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lôgic A ⇒ B, trong đó A là

tiên đề, B là kết luận Cấu trúc lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là

cách lập luận

Xét suy luận với cấu trúc lôgic A ⇒ B, nếu suy luận kéo theo A⇒B

đúng thì suy luận được gọi là suy luận hợp lôgic.

Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: suy luận diễn dịch (suy diễn)

và suy luận quy nạp

+ Suy luận diễn dịch (phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng [4]

Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng Vậy để đảm bảo tính chất đúng đắn của một suy diễn thì các tiền đề của suy luận phải đúng

đồng thời suy luận phải hợp lôgic.

+ Suy luận quy nạp: chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sở các quan sát và thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đường xem xét các trường hợp riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luật cho các trường hợp tổng quát gọi là suy luận quy nạp [7]

* Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rải để chứng minh các định lý

và giải Toán Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được

chứng minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù

được gọi là quy nạp, nhưng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn là suy luận thuộc loại suy diễn [7]

Thật vậy, để có thể áp dụng được phương pháp suy luận này, ta phải

đưa về việc phân chia các trường hợp chung thành một số hữu hạn các

trường hợp riêng có thể có và chứng minh khẳng định đúng trong tất cả các

trường hợp riêng

Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn, để tránh sự trùng lặp nhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽ không bàn nhiều về phát triển năng lực suy luận lôgic ở góc độ này Vì năng lực này được phát triển nếu chúng ta phát triển được ở học sinh năng lực suy diễn, năng lực phân chia các trường hợp riêng

* Quy nạp không hoàn toàn là phép đi từ cái đúng riêng đến kết luận cho cái chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến [7]

Đối với phép quy nạp không hoàn toàn, đặc biệt hoá và khái quát hoá, tương tự hoá, được xem là các thủ thuật lôgic tư duy chủ yếu, có ý nghĩa cực

kỳ quan trọng trong khi tiến hành suy luận

Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Để đi đến cái mới trong Toán học phải biết được tư duy lôgic và tư duy biện chứng Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, còn hướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy lôgic giữ vai trò chính” [24]

Ngoài ra, trong quá trình giải toán, khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết thì hoặc phải biến đổi giả thiết và kết luận sao cho chúng xích lại gần nhau hơn, hoặc biến đổi tìm kiếm nhiều thông tin liên quan đến bài toán Có nghĩa, vai trò của suy luận lôgic là rất quan trọng trong quá trình học và nghiên cứu toán

g) Kỹ năng khái quát hoá

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật

một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [15].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến phương pháp tư duy khái quát Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học Kỹ năng khái quát là kỹ năng học tập vô cùng quan trọng, kỹ năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt [25].

Trong số các năng lực trí tuệ thì kỹ năng khái quát hoá tài liệu Toán học

là thành phần cơ bản nhất của kỹ năng toán học; điều này đã được các nhà Sư phạm, nhà Toán học như: V A Krutretxki, A I Marcusêvich, Pellery, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình

Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họ hoạt động khái quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp khái quát hoá Trên tinh thần đó, để phát triển kỹ năng khái quát hoá cho học sinh

có thể thực hiện theo các cách sau:

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp

Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một mức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến của các đối tượng đang xét Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá phải thấy được những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt

Hoạt động phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi hoạt động so sánh chưa tìm ra được đặc điểm bản chất - chung để khái quát hoá Kết quả hoạt động khái quát hoá chỉ là dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặt Toán học cần có bước chứng minh Đường lối chứng minh kết quả khái quát

có thể tìm thấy sau quá trình phân tích, quá trình giải các bài toán cụ thể nhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyết bài toán cụ thể chưa thể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này giáo viên cần gợi động cơ

để học sinh có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúp ích cho việc giải quyết bài toán tổng quát

Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ là một con đường khái quát hoá, nhưng không phải là con đường duy nhất Bên cạnh con đường này (con đường của số đông học sinh) còn tồn tại một con đường khác (con đường của một số học sinh có nhiều khả năng) không dựa vào sự so sánh

mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau Việc nhận biết một số bài tập cụ thể như là đại diện của một lớp bài tập cùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này Vì vậy, ta coi trọng đúng mức nhưng không quá cường điệu vai trò của so sánh trong khái quát hoá

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoá cùng với hoạt động phân tích và tổng hợp

Đặc điểm của phương pháp này là từ phân tích một sự vật cụ thể, riêng

lẻ suy ra tính chất chung của loại sự vật đó Khái quát từ trừu tượng cũng là phương pháp vô cùng quan trọng Nó bắt đầu từ phân tích, từ ngoài vào trong,

từ thô đến tinh, chọn lấy cái cốt lõi

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt động

tương tự hoá và đặc biệt hoá

Các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự hoá đặc biệt

có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng chúng để giải các bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phương hướng giải bài toán; để mở rộng đào sâu, và hệ thống hoá các kiến thức

Khi giải một bài toán, phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toán phải giải thành một bài toán tương tự, đơn giản hơn; sao cho nếu giải được bài toán sau thì sẽ giải được bài toán đã cho Đây là một hoạt động mà chúng ta cần phải bồi dưỡng cho học sinh Tuy nhiên, chúng ta cũng phải biết hình thành ở học sinh khả năng ngược lại; tức là từ những trường hợp đặc biệt rồi cho học sinh dự đoán kết quả khái quát hoá

h) Kỹ năng diễn đạt nội dung bài toán theo những cách khác nhau

Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm

một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích trông thấy rõ

ràng, nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm phương tiện đó

Như vậy, bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi người giải một lời giải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa ra

Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trong những điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau Trong lĩnh vực Toán học cũng vậy, có nhiều loại toán có liên quan với nhau Mối quan hệ giữa chúng trong những điều kiện nào đó cho phép ta có thể chuyển từ việc

giải bài toán này qua việc giải bài toán khác (có nội dung khác nhau).

Ta biết rằng, hiểu sâu vấn đề cần giải quyết là then chốt để giải quyết vấn đề Độ sâu của sự hiểu biết này chủ yếu thể hiện ở việc nắm

vững bản chất vấn đề và biểu đạt nó dưới những dạng khác nhau Học cách biến hoá, thay đổi sự diễn đạt vấn đề không những có lợi để nối

thông các kiến thức liên quan với nhau mà còn có lợi cho việc vận dụng linh hoạt các kiến thức đó.

1.1.4 Đặc điểm của kỹ năng giải toán

Là tập hợp tất cả những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu

để phân biệt với các kỹ năng khác, gồm:

- Kỹ năng giải toán là một dạng năng lực hoạt động của các nhân được nảy sinh xuất hiện những tình huống có vấn đề, có nhu cầu hay mâu thuẫn cần giải quyết; được hiểu là một biểu hiện của năng lực khám phá trong quá trình giải một bài toán cụ thể

- Kỹ năng giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh; tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến trình giải toán để đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho

và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

- Kỹ năng giải toán của chủ thể (học sinh) luôn thể hiện ở "trạng thái động" bởi tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các phương thức khác nhau để khám phá giải bài toán.

- Kỹ năng giải toán được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết quả cao: Phát hiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi kiến thức để đi đến kết quả bài toán

Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của kỹ năng giải toán:+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra (đối với học sinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của kỹ năng giải toán)

+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp giải toán thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp

đó để hoàn tất tiến trình giải toán (đối với học sinh khá nắm được bản chất của năng lực giải toán, vận dụng cụ thể, sáng tạo các thành phần của kỹ năng giải toán)

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy sinh các vấn đề khó khăn hay mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc

"phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải toán, (điều này thể hiện năng lực giải toán ở học sinh khá, giỏi)

1.1.5 Vai trò của kỹ năng giải toán

Cùng với vai trò của cơ sở tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng, sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với các môn Toán, vì vậy kỹ năng được coi là một công cụ Vị trí quan trọng của nó trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trường, vì vậy cần hướng hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn nói rằng: “Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ

năng, tư duy và tính cách Trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng,

bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề.”

Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mỗi quan hệ giữa học với hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập

1.1.6 Con đường hình thành kỹ năng

Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chung trong những hành động cụ thể

Có thể dạy học cho học sinh bằng những con đường khác nhau như:

Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri

thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải bài toán liên quan theo mức độ tăng dần

Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể

định hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải các dạng bài toán đó

Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với

việc vận dụng tri thức

Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các bình diện khác nhau

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác nhau như Vật lý, Hóa học

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống

Có thể nói bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn luyện kỹ năng

toán học Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán)

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu

hiện bằng các từ Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán

đã cho ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của

tư duy Vì các khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần

Ví dụ 3: Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 Chứng minh

rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = 0

Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng, ta thấy đối tượng

là một phương trình dạng bậc hai:

(a + b + c)x 2 + 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

Đây là phương trình dạng bậc hai nên để chứng minh nó có nghiệm nghĩa là phải chỉ ra:

+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình: 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

có nghiệm

+) Nếu a + b + c ≠ 0 thì ∆’ = (ab + bc + ca) 2 - 3abc(a + b + c) >0

Đó chính là sự diễn đạt lại bài toán và tiếp theo chủ thể lại phải diễn đạt bài toán theo khía cạnh mới

Cũng không loại trừ có học sinh diễn đạt lại bài toán như sau: chứng minh phương trình luôn có nghiệm có nghĩa là ta chỉ cần chỉ ra phương trình

luôn có 1 nghiệm nào đó với mọi giá trị a, b, c.

Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tượng, để có thể tiến hành hoạt động giải toán Điều này không phải mọi học sinh đều có thể thực hiện tốt

Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp

những kết quả của giai đoạn trước, được thể hiện trong các khái niệm Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của học sinh, tư duy

sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người luôn không tìm ra giới hạn của tri thức nhân loại Chẳng hạn, như S L Rubinstein đã chứng minh:

“Trong quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào

những mối liên hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại trong những khái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dường như khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới”.

Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết như những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu Các kĩ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau

về đối tượng đang được nghiên cứu Các con đường chính của sự hình thành các kĩ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức

Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau Một trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó Và bản thân học sinh tìm tòi cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm (thử các phương pháp và tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ

thuật hoạt động Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu

vấn đề Cũng có thể dạy học kĩ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết

những dấu hiệu mà theo đó có thể đoán nhận được một cách dứt khoát kiểu

bài toán và những thao tác cần thiết để giải bài toán đó Người ta gọi con

đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ

Cuối cùng, con đường thứ ba là như sau: người ta dạy học sinh chính hoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này nhà giáo dục không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc cải biến, sử dụng thông tin đã thu được để giải các bài toán đặt ra Con đường này đã được các nhà Tâm lí học Xô viết nghiên cứu, chẳng hạn như:

P Ja Galperin, N F Talyzyna và những người khác Họ cho rằng, để dạy được những điều nêu trên giáo viên phải dẫn dắt học sinh một cách có hệ thống trải qua tất cả những giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu

Trong giai đoạn đầu, những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất) của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn Được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu các đối tượng, còn các thao tác tách ra các mốc định hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động có đối tượng Chẳng hạn, bài toán về kĩ năng giải phương trình bậc hai như:

x2 - 5x + 6 = 0

Thì phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng cách ghép bình phương đủ, như vậy lời giải dựa trên các mốc định hướng có đối tượng ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác có đối tượng được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ Trong ví dụ trên người ta không còn sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử để giải mà thay vào đó là các kí hiệu ∆ và công thức nghiệm, ở giai đoạn này giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ và kí hiệu ở giai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng là những

thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn: “Phương trình x2 - 5x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 2 và x = 3”

Người ta còn gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn.

Trong thực tế khi hình thành những tri thức mới (có nội dung chứ không phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó Do vậy không thể tránh khỏi các sai lầm và các tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ

và đúng đắn Để cho các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng của học sinh phải được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ Nói một cách khác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấu hiệu bản chất của các đối tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu

Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều

1.1.7 Phân loại kỹ năng trong môn toán

Có nhiều cách phân loại kỹ năng

- Theo các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ,… phân loại kỹ năng toán học trên 3 bình diện:

+ Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán

+ Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác

+ Kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống

- Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản

thành 4 nhóm:

a) Kỹ năng nhận thức:

Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kỹ năng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

b) Kỹ năng thực hành:

Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

c) Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức.

d) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.

1.2 Phân tích hệ thống kiến thức chủ đề phương trình ở trường trung học cơ sở

SGK Toán 8, Tập hai, chương III: Mở đầu về phương trình có định

nghĩa: “Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x) (1), trong đó vế trái

A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x” Giải phương trình

(1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm) Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng) Còn định nghĩa phương trình tương đương: “hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương” đây

là nội dung mà học sinh THCS hiểu rất mập mờ dẫn đến sai lầm ở các phép biến đổi

Những khái niệm về phương trình ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái niệm nghiệm của phương trình được hiểu

thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phương trình:

4x + 6 = 4(x + 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phương

trình là số nào đó mà khi ta thay vào hai vế của một phương trình thì giá trị của hai vế bằng nhau Khi đã hiểu sơ lược về Phương trình, thì việc đưa khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải được HS dễ dàng chấp nhận

hơn, từ những kiến thức cơ bản về PT bậc nhất một ẩn khi gặp những PT có thể đưa về dạng ax b+ =0 nhờ quy tắc chuyển vế sẽ giúp HS rèn luyện kỹ

năng tính toán; Chính Sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các

tác giả đã chọn phương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phương trình thông qua ví dụ

cụ thể Ngay cả “tập xác định của phương trình” cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều kiện xác định) ở vào những thời điểm thích hợp,

đó là khi nói về giải phương trình có ẩn ở mẫu” Chẳng hạn, khi dạy bài:

“Phương trình chứa ẩn ở mẫu” trong SGK Toán 8 - Tập hai, ngay trong ví

Thu gọn vế trái ta tìm được: x = 1”.

Việc giải phương trình này dùng phương pháp cũ, vậy mà x = 1 không

là nghiệm thì thật khó chấp nhận Để giải thích điều này đòi hỏi GV phải dành thời gian để chỉ ra một cách rõ ràng nhằm giúp HS tránh được trở ngại về tâm

lý Tiếp đến khi trình bày lời giải bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu, học sinh không nắm bắt được tại sao dùng phép biến đổi suy ra (⇒) khi nào thì dùng phép biến đổi tương đương (⇔)

SGK Toán 8, Tập hai, chương IV: để chuẩn bị kiến thức về BPT thì HS

sẽ được làm quen liên hệ giữa thứ tự và phép cộng và liên hệ giữa thứ tự và phép nhân dễ dàng được HS chấp nhận; khi HS giải bất phương trình một ẩn

HS rất dễ nhầm lẫn với giải pt bậc nhất một ẩn nên GV phải đặc biệt chú ý, hai BPT tương đương, hai quy tắc biến đổi bpt rất khó để HS sử dụng thành

thạo; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thì đòi hỏi HS phải hiểu rõ bản

chất công thức ; 0

a a a

mà chính GV cũng thấy khó khăn khi giải thích những vướng mắc đó cho HS

1.3 Phân phối chương trình về chủ đề phương trình, bất phương trình ở trường trung học cơ sở

Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình môn Toán ở trường THCS Những vấn đề lý luận như khái niệm phương trình, bất phương trình; quan hệ tương đương đối với phương trình, bất phương trình; phương pháp giải phương trình, bất phương trình trong chương trình môn Toán ở trường THCS cụ thể như sau:

1.3.1 Phân phối chương trình lớp 8

- Phương trình tích

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Giải toán bằng cách lập phương trình

Bất phương trình bậc nhất một ẩn (6 tiết)

- Bất phương trình một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Phương trình chức dấu giá trị tuyệt đối

1.3.2 Phân phối chương trình lớp 9

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (9 tiết)

- Phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương trình bậc hai một ẩn (14 tiết)

- Phương trình bậc hai một ẩn

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

- Thực hành giải phương trình bậc hai bằng máy tính cầm tay

- Công thức nghiệm thu gọn

- Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Phương trình quy về phương trình bậc hai

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1.3.3 Các loại phương trình cơ bản ở trường trung học cơ sở

a

=

a= : Phương trình vô nghiệm b≠0

Phương trình có nghiệm x tùy ý b=0

1.3.3.2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Nếu a=0;b> , phương trình 0 ax b+ >0 có tập nghiệm {x x/ ∈R , }

các bất phương trình còn lại có tập nghiệm {x x/ ∈∅}

- Nếu a=0;b= , phương trình 0 ax b+ ≥0, ax b+ ≤0 có tập nghiệm

{x x/ ∈R , các bất phương trình còn lại có tập nghiệm } {x x/ ∈∅}

- Nếu a=0;b<0, phương trình ax b+ <0 có tập nghiệm {x x/ ∈R , }

các bất phương trình còn lại có tập nghiệm {x x/ ∈∅}

a

=

Chú ý:

b x

x −Sx P+ = với S u v= + và P uv=

1.4 Một số khó khăn sai lầm của học sinh khi giải phương trình, bất phương trình

1.4.1 phương trình đưa về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).

* Dạng 1: Phương trình chứa dấu ngoặc:

Phương pháp chung:

- Thực hiện bỏ ngoặc

- Thực hiện phép chia ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng

Chú ý: - Nếu a¹ 0, phương trình có nghiệm x c

a

=

- Nếu a=0,c¹ 0 phương trình vô nghiệm

- Nếu a=0,c= phương trình có vô số nghiệm0

Ví dụ 4: giải phương trình: ( x- 1) (- 2x- 1) = -9 x (4)Lời giải sai:

Sai lầm của học sinh yếu kém thường gặp ở đây là:

- Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc

- Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế

- Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái

Lời giải đúng:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:

Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý cách tìm nghiệm của phương trình

*Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:

Phương pháp chung:

- Thực hiện quy đồng ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1

- Thực hiện cách giải như dạng 1

Ví dụ 5: giải phương trình:

Vậy phương trình tập nghiệm S={ }4,5

Lời giải đúng:

Vậy phương trình có tập nghiệm S={ }4

1.4.2 Phương trình tích

Phương pháp chung:

Dạng tổng quát A x B x C x( ) ( ) ( ) 0= với A x B x C x là các ( ) ( ) ( ), ,biểu thức

Cách giải: A x B x C x( ) ( ) ( ) 0= ⇔ A x( ) =0hoặc B x( ) =0 hoặc

( ) 0

Chú ý: Để có dạng A x B x C x( ) ( ) ( ) 0= Ta thường biến đổi như sau:Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích

- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0

- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử

Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận

Ví dụ 6: Giải phương trình ( x+2 3 4) ( − x) =x2+4x+4 (6)Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.

1.4.3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 7: Giải phương trình: 2 12 ( 2 2)

Vậy S={0; 1− } (Kết luận dư nghiệm)

Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “⇔” không chính xác

Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện

Lời giải đúng: ĐKXĐ: x≠2;x≠0

1.4.4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 8: Giải bất phương trình 3x+ <5 5x−7 (8)Lời giải sai: (8) ⇔3x−5x< − −5 7

6

x x

⇔ − < −

⇔ <

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x<6

Sai lầm của học sinh là khi nhân (chia) cả hai vế của phương trình với một số âm thi đổi chiều bất phương trình