bài giảng toán rời rạc Combin01 counting

Phn th nht Lí THUYT T HP Combinatorial Theory Fall 2009 Toỏn ri rc Ni dung Chng M u Chng Bi toỏn m Chng Bi toỏn tn ti Chng Bi toỏn lit kờ t hp Chng Bi toỏn ti u t hp Toỏn ri rc Chng BI TON M Nguyờn lý cng v nguyờn lý nhõn Cỏc cu hỡnh t hp c bn Nguyờn lý bự tr Cụng thc qui Hm sinh Toỏn ri rc Nguyờn lý cng v Nguyờn lý nhõn õy l hai nguyờn lý c bn ca t hp, c dng rng rói vo vic gii quyt cỏc bi toỏn m Cũn gi l Qui tc cng v Qui tc nhõn (Sum Rule v Product Rule) Toỏn ri rc 1.1 Nguyờn lý cng (The sum rule) Nếu A B hai tập hợp rời N(A B) = N(A) + N(B) Nguyên lý cộng đợc mở rộng cho nhiều tập rời nhau: Nếu A1, A2, , Ak phân hoạch tập hợp X N(X) = N(A1) + N(A2) + + N(Ak) Một trờng hợp riêng hay dùng nguyên lý cộng: Nếu A tính chất cho tập X N(A) = N(X) - N(Ac) N ( A) = N ( X ) N ( A ) Toỏn ri rc Nguyờn lý cng: Vớ d Vớ d Mt on ng viờn gm mụn bn sỳng v bi c c i thi u nc ngoi Nam cú 10 ngi S ng viờn thi bn sỳng (k c nam v n) l 14 S n ng viờn thi bi bng s nam ng viờn thi bn sỳng Hi ton on cú bao nhiờu ngi? Gii: Chia on thnh lp: nam v n Lp n li c chia 2: thi bn sỳng v thi bi Thay s n thi bi bng s nam thi bn sỳng (2 s ny bng theo u bi), ta c s n bng tng s u th thi bn sỳng T ú, theo nguyờn lý cng, ton on cú 10 + 14 = 24 ngi Toỏn ri rc Nguyờn lý cng: Vớ d Vớ d Trong mt t ph bin ti tt nghip, Ban ch nhim Khoa cụng b danh sỏch cỏc ti bao gm 80 ti v ch "xõy dng h thụng tin qun lý", 10 ti v ch "thit k phn mm dy hc" v 10 ti v ch "H chuyờn gia" Hi mt sinh viờn cú bao nhiờu kh nng la chn ti? Gii: Sinh viờn cú th la chn ti theo ch th nht bi 80 cỏch, theo ch th hai bi 10 cỏch, theo ch th ba bi 10 cỏch Vy tt c cú 100 cỏch la chn Toỏn ri rc Nguyờn lý cng: Vớ d Ví dụ Hỏi giá trị k sau đoạn ch ơng trình PASCAL sau đợc thực hiện? n1:=10; n2:=20; n3:=30; k:=0; for i1:= to n1 k:=k+1; for i2:= to n2 k:=k+1; for i3:= to n3 k:=k+1; Giải: Đầu tiên giá trị k đợc gán Có vòng lặp for độc lập Sau lần lặp vòng for, giá trị k tăng lên Vòng for thứ lặp 10 lần, vòng for thứ hai lặp 20 lần, vòng for thứ ba lặp 30 lần Vậy, kết thúc vòng lặp for giá trị k 10+20+30= 60 Toỏn ri rc Nguyờn lý cng: Vớ d Vớ d 4: Cú bao nhiờu xõu gm ch s thp phõn cú ỳng ký t l 9? Gii: Xõu cú th cha: Ký t khỏc v trớ th nht hoc ký t khỏc v trớ th hai hoc ký t khỏc v trớ th ba hoc ký t khỏc v trớ th t Ta cú th s dng qui tc cng i vi mi trng hp, cú kh nng chn ký t khỏc vi (bt k ch s khỏc no ch s 0, 1, ,8) Vy, ỏp s l 9+9+9+9 = 36 Toỏn ri rc 1.2 Nguyờn lý nhõn The product rule Nếu thành phần có thứ tự k thành phần (a1, a2, , ak) có ni khả chọn (i = 1, 2, , k), số đợc tạo tích số khả n1n2 nk Một hệ trực tiếp nguyên lý nhân: N(A1 ì A2 ì ì Ak) = N(A1) N(A2) N(Ak), với A1, A2, , Ak tập hợp đó, nói riêng: N(Ak) = [N(A)]k Toỏn ri rc 10 an=5an-1 - 6an-2+7n, n2, Toỏn ri rc 164 Toỏn ri rc 165 Toỏn ri rc 166 LiNoReCoCo Example Find all solutions to an = 3an1+2n Which solution has a1 = 3? Notice this is a 1-LiNoReCoCo Its associated 1-LiHoReCoCo is an = 3an1, whose solutions are all of the form an = 3n Thus the solutions to the original problem are all of the form an = p(n) + 3n So, all we need to is find one p(n) that works Toỏn ri rc 167 Trial Solutions If the extra terms F(n) are a degree-t polynomial in n, you should try a general degree-t polynomial as the particular solution p(n) This case: F(n) is linear so try an = cn + d cn+d = 3(c(n1)+d) + 2n (for all n) (2c+2)n + (2d3c) = (collect terms) So c = and d = 3/2 So an = n 3/2 is a solution Check: an1 = {5/2, 7/2, 9/2, } Toỏn ri rc 168 Finding a Desired Solution From the previous, we know that all general solutions to our example are of the form: an = n 3/2 + 3n Solve this for for the given case, a1 = 3: = 3/2 + 31 = 11/6 The answer is an = n 3/2 + (11/6)3n Toỏn ri rc 169 Double Check Your Answer! Check the base case, a1=3: an = n 3/2 + (11/6)3n a1 = 3/2 + (11/6)31 = 2/2 3/2 + 11/2 = 5/2 + 11/2 = 6/2 = Check the recurrence, an = 3an1+2n: n 3/2 + (11/6)3n = 3[(n1) 3/2 + (11/6)3n1]+2n = 3[n 1/2 + (11/6)3n1] + 2n = 3n 3/2 + (11/6)3n + 2n = n 3/2 + (11/6)3n Toỏn ri rc 170 Ask questions! Toỏn ri rc 171 Fall 2006 Toỏn ri rc 172 Fall 2006 Toỏn ri rc 173 Fall 2006 Toỏn ri rc 174 Fall 2006 Toỏn ri rc 175 Ask questions! Fall 2006 Toỏn ri rc 176 Fall 2006 Toỏn ri rc 177 Fall 2006 Toỏn ri rc 178 [...]...1.2 Nguyờn lý nhõn The product rule Trong nhiều bài toán đếm, chỉ sau khi xây dựng xong thành phần thứ nhất ta mới biết cách xây dựng thành phần thứ hai, sau khi xây dựng xong hai thành phần đầu ta mới biết cách xây dựng thành phần thứ ba, Trong trờng ... Toỏn ri rc 1.1 Nguyờn lý cng (The sum rule) Nếu A B hai tập hợp rời N(A B) = N(A) + N(B) Nguyên lý cộng đợc mở rộng cho nhiều tập rời nhau: Nếu A1, A2, , Ak phân hoạch tập hợp X N(X) = N(A1) +... đó, nói riêng: N(Ak) = [N(A)]k Toỏn ri rc 10 1.2 Nguyờn lý nhõn The product rule Trong nhiều toán đếm, sau xây dựng xong thành phần thứ ta biết cách xây dựng thành phần thứ hai, sau xây dựng