X cú thể biểu diễn bởi bộ cú thứ tự
S n= n 1+ n,n ≥2 (4)
4.1 Xõy dựng cụng thức đệ qui Do đú, theo nguyờn lý cộng:
Do đú, theo nguyờn lý cộng: Qn = |A| + |B|. Ta cú: • |A| = Qn-1 • |B| = Qn-2
Vậy, ta thu được cụng thức đệ qui Q1 = 1; Q2 = 2; Qn = Qn-1 + Qn-2, n > 2 (6) ... ... ... ... A B
4.1 Xõy dựng cụng thức đệ qui
Ví dụ 5. (Bài toán tháp Hà nội). Trò chơi tháp Hà nội đ ợc trình bày nh sau: –Có 3 cọc a, b, c. Trên cọc a có một chồng gồm n cái đĩa đ ờng kính giảm dần từ d ới lên trên. Cần phải chuyển chồng đĩa từ cọc a sang cọc c tuân thủ qui tắc: mỗi lần chỉ chuyển 1 đĩa và chỉ đ ợc xếp đĩa có đ ờng kính nhỏ hơn lên trên đĩa có đ ờng kính lớn hơn. Trong quá trình chuyển đ ợc phép dùng cọc b làm cọc trung gian–. Bài toán đặt ra là: Tỡm cụng thức đệ qui cho hn l số lần di chuyển đĩa ít nhất cần à
thực hiện để ho n th nh nhiệm vụ đặt ra trong trò chơi tháp à à
4.1 Xõy dựng cụng thức đệ qui
Giải: Rõ ràng:
h1 = 1.
Giả sử n 2. Việc di chuyển đĩa gồm các b ớc:≥
(i) Chuyển n-1 đĩa từ cọc a đến cọc b sử dụng cọc c làm trung gian. B ớc này đ ợc thực hiện nhờ giả thiết quy nạp.
(ii) Chuyển 1 đĩa (đĩa với đ ờng kính lớn nhất) từ cọc a đến cọc
c.
(iii) Chuyển n-1 đĩa từ cọc b đến cọc c (sử dụng cọc a làm trung gian). B ớc này đ ợc thực hiện nhờ giả thiết quy nạp.
4.1 Xõy dựng cụng thức đệ qui
B ớc (i) và (iii) đòi hỏi giải bài toán tháp Hà nội với n-1 đĩa, vì vậy số lần di chuyển đĩa ít nhất cần thực hiện trong hai b ớc này là 2hn-1. Do đó ta có công thức đệ qui sau:
hn = 2hn-1 + 1, n 2.≥
Sử dụng công thức đệ qui và điều kiện đầu vừa tìm đ ợc đối với hn ta có thể dễ dàng chứng minh bằng qui nạp là
4.1 Xõy dựng cụng thức đệ qui
Ta cú thể tỡm được cụng thức trực tiếp cho hn bằng phương phỏp thế: hn = 2 hn−1 + 1 = 2 (2 hn−2 + 1) + 1 = 22 hn−2 + 2 + 1 = 22(2 hn−3 + 1) + 2 + 1 = 23 hn−3 + 22 + 2 + 1 … = 2n−1 h1 + 2n−2 + … + 2 + 1 = 2n−1 + 2n−2 + … + 2 + 1 (do h1 = 1) = 2n − 1