X cú thể biểu diễn bởi bộ cú thứ tự
5. Hàm sinh (Generating Function)
Giả sử {hn | n = 0, 1, 2, ....} là một dóy số. Ta viết dóy này như là dóy vụ hạn phần tử, tuy nhiờn ta coi rằng nú bao gồm cả trường hợp dóy hữu hạn. Nếu h0, h1, ..., hm là dóy hữu hạn, thỡ ta sẽ biến nú thành dóy vụ hạn bằng cỏch đặt hi = 0, i > m .
Định nghĩa. Hàm sinh g(x) của dóy số {hn | n = 0, 1, 2, ....} là chuỗi vụ hạn
g(x) = h0 + h1 x + h2 x2 + ... = .
Như vậy hàm g(x) sinh ra dóy số đó cho như là dóy cỏc hệ số của nú.
Nếu dóy là hữu hạn thỡ sẽ tỡm được m sao cho hi = 0, i > m. Trong trường hợp này g(x) là một đa thức bậc m.
0 i i i h x ∞ = ∑
Vớ dụ
Vớ dụ 1. Một trong những nguồn gốc dẫn đến định nghĩa hàm sinh chớnh là định lý về khai triển nhị thức: Hàm g(x) = (1 + x)m sinh ra dóy cỏc hệ số tổ hợp {hk = C(m, k), k=0, 1,..., m}. Bởi vỡ Vớ dụ 2. Hàm g(x) = 1/(1-x) sinh ra dóy 1, 1, 1, ...
Dễ dàng chứng minh điều đú bằng cỏch thực hiện phộp chia: 1/(1- x) = 1 + x + x2 + ... k m k m C m k x x ∑ = = + 0 ) , ( ) 1 (
Vớ dụ 3
Vớ dụ 3. Với k > 0, hàm g(x) = 1/(1-x)k
sinh ra dóy
{C(n+k-1, n): n = 0, 1, 2, ...}.
Như vậy hệ số thứ n sẽ là số khả năng chọn n vật từ k loại đồ vật.
Chứng minh. Thực vậy, ta cú
1/(1-x)k =[ 1/(1-x)]k = (1 + x + x2 + ...)k.
Nếu ta khai triển biểu thức này bằng cỏch thực hiện nhõn phỏ ngoặc, thỡ số lần xuất hiện số hạng xn sẽ bằng số nghiệm nguyờn khụng õm của phương trỡnh
t1 + t2 + ... + tk = n,
Vớ dụ 3
Vớ dụ này cú thể gợi ý cho ta cỏch giải nhiều bài toỏn đếm. Chẳng hạn xột hàm sinh
g(x) = (1 + x + x2 + x3) (1 + x + x2) (1 + x + x2 + x3 + x4).
Giả sử xa, xb, xc tương ứng là cỏc số hạng lấy từ cỏc thừa số thứ nhất, hai, ba của vế phải, điều đú cú nghĩa là 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2, 0
≤ c ≤ 4. Khi khai triển vế phải, cỏc thừa số này sẽ cho ta số hạng xn, với n = a + b + c.
Như vậy hệ số của xn trong g(x) sẽ là số nghiệm nguyờn khụng õm của phương trỡnh
n=a + b + c thoả món 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2, 0 ≤ c ≤ 4.
Suy ra hệ số này cũng cho ta số cỏch chọn n bụng hoa từ 3 bụng cỳc, 2 bụng layơn và 4 bụng hồng.
Vớ dụ 3
Tất nhiờn việc sử dụng hàm sinh để giải bài toỏn đếm sẽ đũi hỏi nhiều tớnh toỏn khi thực hiện phộp nhõn cỏc đa thức, và khụng thớch hợp cho việc tớnh tay. Tuy nhiờn, việc đú lại cú thể thực hiện nhanh chúng trờn mỏy tớnh, và vỡ thế hàm sinh sẽ là một cụng cụ hữu hiệu để giải nhiều bài toỏn đếm trờn mỏy tớnh.
Ta dẫn ra một số khai triển đại số rất hay sử dụng trong việc sử dụng hàm sinh:
• xk/(1-x) = xk (1 + x + x2 + ...) = xk + xk+1 + xk+2 + ...
• (1-xk+1)/(1-x) = 1 + x + x2 + ... + xk.
• 1/(1-x2) = 1 + x2 + x4 + x6 + ...
Vớ dụ 4
Vớ dụ 4. Cú bao nhiờu cỏch chọn ra n quả từ 4 loại quả: tỏo, chuối, cam và đào (mỗi loại đều cú số lượng ớt ra là n) mà trong đú cú một số chẵn quả tỏo, số lẻ quả chuối, khụng quỏ 4 quả cam và ớt ra 2 quả đào?
Giải. Hàm sinh để giải bài toỏn này là
g(x) = (1+ x2+x4+x6+...) (x+x3+x5+x7+...) (1+x+x2+x3+x4) (x2+x3+x4+...).
Trong cụng thức trờn cú 4 thừa số để đếm số quả tỏo (cỏc số mũ chẵn), chuối (số mũ lẻ), cam (chỉ cú đến số mũ 4) và đào (số mũ bắt đầu từ 2). Từ đú
g(x) = [1/(1-x2)] [x/(1-x2)] [(1-x5)/(1-x)] [x2/(1-x)] = [x3(1-x5)]/[(1-x2)2(1-x)2].
Cõu trả lời là: Số cỏch cần đếm là hệ số thứ n trong khai triển g(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa. Tuy là chỳng ta khụng cú cõu trả lời bằng số, nhưng sử dụng hàm xõy dựng được ta cú thể lập trỡnh trờn mỏy tớnh để đưa ra bảng đỏp số cho cỏc giỏ trị của n mong muốn.
Vớ dụ 5
Vớ dụ 5. Tỡm hàm sinh cho hn là số cỏch chọn ra n quả từ 4 loại quả: tỏo, chuối, cam và đào (mỗi loại đều cú số lượng ớt ra là n) mà trong đú cú một số chẵn quả tỏo, số lượng chuối chia hết cho 5, khụng quỏ 4 quả cam và khụng quỏ 1 quả đào?
Giải. Hàm sinh cú dạng
g(x)=(1+x2+x4+x6+...)(1+x5+x10+x15+...)(1+x+x2+x3+x4)(1+x)
= [1/(1-x2)] [1/(1-x5)] [(1-x5)/(1-x)] (1+x) = [1/((1-x)(1 +x)] [1/(1-x)] (1+x) = 1/(1-x)2
Từ đú ta cú thể tỡm cụng thức hiện cho lời giải, bởi vỡ, theo vớ dụ 3, ta cú . Vậy hn = n + 1. 2 1 1 2 0 0 0 1 ( 1) (1 ) n n n n n n n n n n C x C x n x x ∞ ∞ ∞ + − + = = = = = = + − ∑ ∑ ∑