Trong chương trước, ta đã tập trung chú ý vào việc đếm số các cấu hình tổ hợp. Trong những bài toán đó sự tồn tại của các cấu hình là hiển nhiên và công việc chính là đếm số phần tử thoả mãn tính chất đặt ra. Tuy nhiên, trong rất nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của một cấu hình thoả mãn các tính chất cho trước là hết sức khó khăn. Trong tổ hợp xuất hiện một vấn đề thứ hai rất quan trọng là: xét sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp với các tính chất cho trước - bài toán tồn tại tổ hợp.
Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Fall 2009 Toán rời rạc Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Giới thiệu toán Các kỹ thuật chứng minh Nguyên lý Dirichlet Định lý Ramsey Toán rời rạc Giới thiệu toán Trong chơng trớc, ta đà tập trung ý vào việc đếm số cấu hình tổ hợp Trong toán tồn cấu hình hiển nhiên công việc đếm số phần tử thoả mÃn tính chất đặt Tuy nhiên, nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hình thoả mÃn tính chất cho trớc khó khăn ã ã Chẳng hạn, kỳ thủ cần phải tính toán nớc để giải đáp xem liệu có khả thắng hay không, Một ngời giải mật mà cần tìm kiếm chìa khoá giải cho mật mà mà liệu có điện thật đợc mà hoá đối phơng hay không, mật mà giả đối phơng tung nhằm đảm bảo an toàn cho điện thật Trong tổ hợp xuất vấn đề thứ hai quan trọng là: xét tồn cấu hình tổ hợp với tính chất cho trớc - toán tồn tổ hợp Nhiều toán tồn tổ hợp đà thách thức trí tuệ nhân loại đà động lực thúc đẩy phát triển tổ hợp nói riêng toán học nói chung Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan Bài toán đợc Euler đề nghị, nội dung cđa nã nh sau: “Cã mét lÇn ngêi ta triƯu tập từ trung đoàn trung đoàn sĩ quan thc cÊp bËc kh¸c nhau: thiÕu óy, trung uý, thợng uý, đại uý, thiếu tá, trung tá tham gia duyệt binh s đoàn Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vuông cho hàng ngang nh hàng dọc có đại diện trung đoàn cấp bËc sÜ quan.” Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan Sử dụng: • A, B, C, D, E, F để phiên hiệu trung đoàn, ã a, b, c, d, e, f để cấp bậc sĩ quan Bài toán cã thĨ tỉng qu¸t ho¸ nÕu thay sè bëi n Trong trêng hỵp n = 4, mét lêi giải toán 16 sỹ quan Ab Dd Ba Cc Bc Ca Ad Db Cd Bb Dc Aa Da Ac Cb Bd Một lời giải trờng hợp n = lµ Aa Bb Cc Dd Ee Cd De Ea Ab Bc Eb Ac Bd Ce Da Be Ca Db Ec Ad Dc Ed Ae Ba Cb Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan Do lời giải toán biểu diễn hình vuông với chữ la tinh hoa thờng chồng cạnh nên toán tổng quát đặt đợc biết dới tên gọi toán hình vuông la tinh trực giao Euler đà nhiều công sức để tìm lời giải cho toán 36 sĩ quan nhng ông đà không thành công Từ ông đà đề giả thuyết tổng quát là: Không tồn hình vuông la tinh trực giao cấp n = 4k + Tarri, năm 1901 chứng minh giả thuyết với n = 6, cách duyệt tất khả xếp Năm 1960 ba nhà toán học Mỹ Boce, Parker, Srikanda đợc lời giải với n = 10 sau phơng pháp xây dựng hình vuông la tinh trực giao cho mäi n = 4k+2, víi k > Tốn rời rạc Bài toán 36 sĩ quan Tëng chừng toán đặt có ý nghĩa tuý toán đố hóc búa thử trí tuệ ngời Thế nhng gần ngời ta đà phát ứng dụng quan trọng vấn đề vào: ã Quy hoạch thực nghiệm (Experimental Design), ã Sắp xếp lịch thi đấu giải cờ quốc tế, ã Hình học xạ ảnh (Projective Geometry), ã Toỏn ri rc Bài toán màu Có toán mà nội dung giải thích cho ai, nhiên lời giải thử tìm, nhng mà khó tìm đợc Ngoài định lý Fermat toán màu toán nh Bài toán phát biểu trực quan nh sau: Chứng minh đồ mặt phẳng tô màu cho hai nớc láng giềng lại bị tô màu Chú ý rằng, ta xem nh nớc vùng liên thông hai nớc đợc gọi láng giềng chúng có chung biên giới đờng liên tục Fall 2006 Toán rời rạc Bài toán màu Con số ngẫu nhiên Ngời ta đà chứng minh đợc đồ đợc tô với số mầu lớn 4, với số mầu không tô đợc Chẳng hạn đồ gồm nớc hình dới tô đợc với số mầu A B C D Fall 2006 Tốn rời rạc 10 Ví dụ mở u Trong mặt phẳng cho điểm đợc nối với đôi cung màu xanh màu đỏ Chứng minh tìm đợc điểm cho cung nối chúng có màu (ta nói chúng tạo thành tam giác xanh đỏ) Giải: Chọn điểm P ®ã Tõ nã cã cung nèi víi ®iĨm lại Theo nguyên lý Dirichlet, có số cung phải có màu, chẳng hạn màu xanh Giả sử cung PA, PB, PC NÕu nh mét sè cung AB, AC, BC có màu xanh với hai số ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh Nếu ngợc lại tam giác ABC tam giác đỏ Fall 2006 Toỏn ri rc 94 Ví dụ mở đầu A P B C E Fall 2006 D Toán rời rạc NÕu nh mét sè cung AB, AC, BC cã mµu xanh nã cïng víi hai sè ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh 95 Vớ d mở đầu A P B Nếu cung AB, AC, BC có màu đỏ chúng tạo thành tam giác đỏ C E Fall 2006 D Toán rời rạc 96 Phân tích ví dụ Mét c¸ch phát biểu khác kết vừa chứng minh là: Trong số ngời bàn tiệc tìm đợc ba ngời đôi quen ba ngời đôi không quen Cú th thy rng thay số n > khẳng định ví dụ Nhưng thay số khẳng định ví dụ khơng cịn hình vẽ sau Fall 2006 Toán rời rạc 97 Phân tích ví dụ Như thấy giá trị n nhỏ để khẳng định ví dụ Chóng ta cã thĨ đặt câu hỏi tơng tự nh: Hỏi phải có ngời để chắn tìm đ ợc ngời đôi quen ngời đôi không quen nhau? Hỏi phải có ngời để chắn tìm đợc ngời đôi quen ngời đôi không quen nhau? Con số nhỏ nhắc đến câu hỏi đ ợc gọi số Ramsey, mang tên nhà toán học ngời Anh đà chứng minh đợc định lý tiếng lý thuyết tập hợp tổng quát hoá nguyên lý Dirichlet Fall 2006 Toán rời rạc 98 Các số Ramsey Để phát biểu kết tổng quát cần đến số khái niệm Định nghĩa Gọi Kn gồm hai tập V, E, V tập gồm n điểm E tập đoạn nối tất cặp điểm V ã ã Ta ký hiệu Kn = (V, E) ã Mỗi đoạn nối hai đỉnh u, v V đợc gọi cạnh Kn ký hiệu (u, v), tập E đợc gọi tập cạnh Kn Fall 2006 Các phần tử V đợc gọi đỉnh, V tập đỉnh Kn Toỏn rời rạc 99 Các số Ramsey Ta cã thÓ phát biểu lại kết ví dụ mở đầu nh sau: Giả sử cạnh K6 đợc tô hai màu xanh đỏ Khi K6 chứa K3 với tất cạnh đợc tô màu xanh (gọi tắt K3 xanh) K3 với tất cạnh đợc tô màu đỏ (gọi tắt K3 đỏ) Chúng ta nói số có tính chất (3,3)Ramsey Định nghĩa Giả sử i j hai số nguyên cho i ≥ 2, j ≥ Sè nguyªn dơng m có tính chất (i,j)-Ramsey Km với cạnh đợc tô hai màu xanh, đỏ chứa K i đỏ Kj xanh Fall 2006 Toán rời rạc 100 Các số Ramsey Từ phân tích ta thấy có tính chất (3,3)Ramsey, số n m có tính chất này; ã Nếu m tính chất (i,j)-Ramsey, số n < m tính chất này; ã NÕu i Fall 2006 ≥ i2 th× R(i1,j) ≥ R(i2,j) Tốn rời rạc 103 Các số Ramsey ViƯc xác định số Ramsey R(i,j) đòi hỏi phải tìm số nguyên dơng nhỏ có tính chất (i,j)-Ramsey Liệu số có tồn với i 2, j hay không? Định lý Ramsey cho ta khẳng định tồn số Định lý Ramsey Nếu i 2, j số nguyên dơng tìm đợc số nguyên dơng với tính chất (i,j)-Ramsey (từ suy số R(i,j) tồn tại) Fall 2006 Toỏn rời rạc 104 Các số Ramsey Các số R(i,j) vừa trình bày số nhiều dòng số Ramsey nghiên cứu Việc xác định R(i,j) với giá trị i, j cụ thể ln tốn tổ hợp khơng tầm thường Hiện người ta biết giá trị R(i, j) với giá trị (i,j) Fall 2006 Toán rời rạc 105 Ask questions! Fall 2006 Toán rời rạc 106 Fall 2006 Toán rời rạc 107 Fall 2006 Toán rời rạc 108 ...Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TỐN TỒN TẠI Giới thiệu tốn... 2006 Toán rời rạc 18 Fractals Fall 2006 Toán rời rạc 19 A bit of humor: Computer terminology Fall 2006 Toán rời rạc 20 Chương BÀI TỐN TỒN TẠI Giới thiệu tốn Các kỹ thuật chứng minh Nguyên lý Dirichlet... Fall 2006 Toán rời rạc 48 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22 Fall 2006 Toán rời rạc 49 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22 Fall 2006 Toán rời rạc 50 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22 Fall 2006 Toán rời rạc 51