Bài giảng Toán rời rạc (Phần I: Lý thuyết tổ hợp): Chương 1 - Nguyễn Đức Nghĩa

Chương 1 của phần lý thuyết tổ hợp trình bày về bài toán đếm. Những nội dung chính trong chương này gồm có: Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân, các cấu hình tổ hợp cơ bản, nguyên lý bù trừ, công thức đệ qui, hàm sinh. Mời các bạn cùng tham khảo.

Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Fall 2009 Toán rời rạc Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN ĐẾM Nguyên lý cộng nguyên lý nhân Các cấu hình tổ hợp Nguyên lý bù trừ Cơng thức đệ qui Hàm sinh Tốn rời rạc Nguyên lý cộng Nguyên lý nhân  Đây hai nguyên lý tổ hợp, vận dụng rộng rãi vào việc giải tốn đếm  Cịn gọi Qui tắc cộng Qui tắc nhân (Sum Rule Product Rule) Toán rời rạc 1.1 Nguyên lý cộng (The sum rule)  Nếu A B hai tập hợp rời N(A B) = N(A) + N(B) Nguyên lý cộng đợc mở rộng cho nhiều tập rời nhau: Nếu A1, A2, , Ak phân hoạch tập hợp X N(X) = N(A1) + N(A2) + + N(Ak) Một trờng hợp riêng hay dùng nguyên lý cộng: Nếu A tính chất cho tập X c) N (A)= N (X) -N(A N (A ) N(A) N(X) Toán rời rạc Nguyên lý cộng: Ví dụ  Ví dụ Một đồn vận động viên gồm mơn bắn súng bơi cử thi đấu nước Nam có 10 người Số vận động viên thi bắn súng (kể nam nữ) 14 Số nữ vận động viên thi bơi số nam vận động viên thi bắn súng Hỏi tồn đồn có người?  Giải: Chia đoàn thành lớp: nam nữ Lớp nữ lại chia 2: thi bắn súng thi bơi Thay số nữ thi bơi số nam thi bắn súng (2 số theo đầu bài), ta số nữ tổng số đấu thủ thi bắn súng Từ đó, theo nguyên lý cộng, tồn đồn có 10 + 14 = 24 người Tốn rời rạc Nguyên lý cộng: Ví dụ  Ví dụ Trong đợt phổ biến đề tài tốt nghiệp, Ban chủ nhiệm Khoa công bố danh sách đề tài bao gồm 80 đề tài chủ đề "xây dựng hệ thông tin quản lý", 10 đề tài chủ đề "thiết kế phần mềm dạy học" 10 đề tài chủ đề "Hệ chuyên gia" Hỏi sinh viên có khả lựa chọn đề tài?  Giải: Sinh viên lựa chọn đề tài theo chủ đề thứ 80 cách, theo chủ đề thứ hai 10 cách, theo chủ đề thứ ba 10 cách Vậy tất có 100 cách lựa chọn Toán rời rạc Nguyên lý cộng: Ví dụ  VÝ dơ Hái r»ng gi¸ trị k sau đoạn chơng trình PASCAL sau đợc thực hiện? n1:=10; n2:=20; n3:=30; k:=0; for i1:= to n1 k:=k+1; for i2:= to n2 k:=k+1; for i3:= to n3 k:=k+1; Giải: Đầu tiên giá trị k đợc gán Có vòng lặp for độc lập Sau lần lặp vòng for, giá trị k tăng lên Vòng for thứ lặp 10 lần, vòng for thứ hai lặp 20 lần, vòng for thứ ba lặp 30 lần Vậy, kết thúc vòng lặp for giá trị k sÏ lµ 10+20+30= 60 Tốn rời rạc Ngun lý cộng: Ví dụ   Ví dụ 4: Có xâu gồm chữ số thập phân có ký tự 9? Giải: Xâu chứa: • Ký tự khác vị trí thứ • ký tự khác vị trí thứ hai • ký tự khác vị trí thứ ba • ký tự khác vị trí thứ tư • Ta sử dụng qui tắc cộng • Đối với trường hợp, có khả chọn ký tự khác với (bất kể chữ số khác chữ số 0, 1, ,8) • Vậy, đáp số 9+9+9+9 = 36 Toán rời rạc 1.2 Nguyên lý nhân The product rule Nếu thành phần có thứ tự k thành phần (a1, a2, , ak) có ni khả chọn (i = 1, 2, , k), số đợc tạo tích số khả n 1n2 nk Một hệ trực tiếp nguyên lý nhân: N(A1  A2   Ak) = N(A1) N(A2) N(Ak), với A1, A2, , Ak tập hợp đó, nói riêng: N(Ak) = [N(A)]k Toỏn rời rạc 10 an=5an-1 - 6an-2+7n, n2, Toán rời rạc 164 Toán rời rạc 165 Toán rời rạc 166 LiNoReCoCo Example  Find all solutions to an = 3an−1+2n Which solution has a1 = 3? • Notice this is a 1-LiNoReCoCo Its associated 1LiHoReCoCo is an = 3an−1, whose solutions are all of the form an = α3n Thus the solutions to the original problem are all of the form an = p(n) + α3n So, all we need to is find one p(n) that works Toán rời rạc 167 Trial Solutions If the extra terms F(n) are a degree-t polynomial in n, you should try a general degree-t polynomial as the particular solution p(n)  This case: F(n) is linear so try an = cn + d  cn+d = 3(c(n−1)+d) + 2n (for all n) (2c+2)n + (2d−3c) = (collect terms) So c = −1 and d = −3/2 So an = −n − 3/2 is a solution  Check: an≥1 = {−5/2, −7/2, −9/2, … } Toán rời rạc 168 Finding a Desired Solution  From the previous, we know that all general solutions to our example are of the form: an = −n − 3/2 + α3n Solve this for α for the given case, a1 = 3: = −1 − 3/2 + α31 α = 11/6  The answer is an = −n − 3/2 + (11/6)3n Toán rời rạc 169 Double Check Your Answer!  Check the base case, a1=3: an = −n − 3/2 + (11/6)3n a1 = −1 − 3/2 + (11/6)31 = −2/2 − 3/2 + 11/2 = −5/2 + 11/2 = 6/2 =  Check the recurrence, an = 3an−1+2n: −n − 3/2 + (11/6)3n = 3[−(n−1) − 3/2 + (11/6)3n−1]+2n = 3[−n − 1/2 + (11/6)3n−1] + 2n = −3n − 3/2 + (11/6)3n + 2n = −n − 3/2 + (11/6)3n ■ Toán rời rạc 170 Ask questions! Toán rời rạc 171 Fall 2006 Toán rời rạc 172 Fall 2006 Toán rời rạc 173 Fall 2006 Toán rời rạc 174 Fall 2006 Toán rời rạc 175 Ask questions! Fall 2006 Toán rời rạc 176 Fall 2006 Toán rời rạc 177 Fall 2006 Toán rời rạc 178 ...Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN ĐẾM Nguyên lý cộng nguyên lý nhân Các... đồng hồ! Toán rời rạc 24 Chương BÀI TOÁN ĐẾM Nguyên lý cộng nguyên lý nhân Các cấu hình tổ hợp Nguyên lý bù trừ Công thức đệ qui Hàm sinh Toán rời rạc 25 Các cấu hình tổ hợp  Các cấu hình tổ hợp... Tốn rời rạc 41 Giải tốn chia kẹo • Xét dãy n+k -1 hộp Tơ k -1 hộp màu xám; hộp xám vách ngăn: D1, D2, D(k -1 ) • Ví dụ: với n =16 , k=6 D1 D2 D3 D4 D5 • Thả n bóng vào n hộp cịn lại, hộp Tốn rời rạc