bài giảng toán rời rạc Graph04 max flowappl

Cỏc ng dng ca Bi toỏn lung cc i BM Khoa hc Mỏy tớnh TON RI RC Fall 2005 NGUYN C NGHA Max Flow Applications s Toỏn ri rc Fall 2005 t NGUYN C NGHA B mụn KHMT NI DUNG Mt s bi toỏn lung tng quỏt Bi toỏn vi nhiu im phỏt v im thu Bi toỏn vi hn ch thụng qua nỳt Mt s ng dng t hp Bi toỏn cp ghộp cc i th hai phớa tin cy ca mng Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT Mt s bi toỏn lung tng quỏt Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT Mạng với nhiều điểm phát điểm thu Xét mạng G với p điểm phát s1, s2, , sp vi lng phát l a1, a2, , ap q điểm thu t1, t2, , tq vi lng thu l b1, b2, , bq Giả sử luồng từ điểm phát đến tất điểm thu Tìm luồng cực đại từ điểm phát đến điểm thu Toỏn ri rc Fall 2005 s1 t1 s2 t2 sp tq NGUYN C NGHA B mụn KHMT Mạng với nhiều điểm phát điểm thu ưa vào điểm phát giả s điểm thu giả t cạnh nối s với tất điểm phát cạnh nối điểm thu với t Kntq cung (s,si) l lượng phát si Kntq (ti, t) bng bi l lượng thu điểm thu ti Bi toán dn v bi toán vi im phát v mt im thu a1 a2 s s1 t1 s2 t2 ap sp Toỏn ri rc Fall 2005 tq b1 b2 t bq NGUYN C NGHA B mụn KHMT Bi toỏn vi hn ch thụng qua nỳt Giả sử mạng G, khả thông qua cung c(u, v), đỉnh vV có khả thông qua đỉnh d(v), đòi hỏi tổng luồng vào đỉnh v không vượt d(v), tức f(w,v) d(v) wV du u ds s v Tìm luồng cực đại t s n t mạng G dt t Toỏn ri rc Fall 2005 dv NGUYN C NGHA B mụn KHMT Bi toỏn vi hn ch thụng qua nỳt Xây dựng mạng G' cho: đỉnh v G tương ứng với đỉnh v+, v- G', cung (u, v) G ứng với cung (u-, v+) G', cung (v,w) G ứng với cung (v-, w+) G' Ngoài ra, cung (v+, v-) G' có khả thông qua d(v), tức khả thông qua đỉnh v G du u ds u+ s v u- dt t du s + ds s - v + dv t v - + dt t- dv Qui v bi toỏn tỡm lung cc i G Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT Cỏc ng dng ca bi toỏn lung cc i NG DNG TRONG T HP Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT Bi toỏn ghộp cp (Matching Problems) Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 10 Bi toỏn ng i khụng giao cnh Quy v bi toỏn lung cc i: gỏn cho mi cnh kntq l 1 s 1 1 1 1 1 t 1 nh lý S lng ln nht cỏc ng i t s n t khụng giao cnh l bng giỏ tr ca lung cc i CM iu kin cn Gi s cú k ng i khụng giao cnh P1, , Pk t f(e) = nu e thuc vo ớt nht mt s cỏc ng i; v f(e) = 0, nu trỏi li Do cỏc khụng cú cnh chung nờn f l lung cú giỏ tr k Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 39 Bi toỏn ng i khụng giao cnh Quy v bi toỏn lung cc i: gỏn cho mi cnh kntq l 1 s 1 1 1 1 1 t 1 nh lý S lng ln nht cỏc ng i t s n t khụng giao cnh l bng giỏ tr ca lung cc i CM iu kin Gi s lung cc i cú giỏ tr k Theo nh lý v tớnh nguyờn tn ti f l lung 0-1 vi giỏ tr k Xột cnh (s, u) vi f(s, u) = theo k cõn bng lung, tn ti cnh (u, v) vi f(u, v) = tip tc cho n t ti t, luụn s dng cnh mi To c k ng i (khụng nht thit l n) khụng giao cnh Toỏn ri rc Fall 2005 nu cn, cú th ct chu trỡnh thu c ng i n NGUYN C NGHA B mụn KHMT 40 Bi toỏn v liờn kt ca mng (Network Connectivity) N Tp cnh F E c gi l tỏch t vi s nu mi ng i t s n t u i qua ớt nht mt cnh F Liờn kt mng Cho th cú hng G = (V, E) v hai nh s v t, tỡm s lng cnh ớt nht cn loi b tỏch t vi s s Toỏn ri rc Fall 2005 t NGUYN C NGHA B mụn KHMT 41 ng i khụng giao cnh v liờn kt mng nh lý [Menger 1927] S ln nht cỏc ng i khụng giao cnh t s n t l bng s nh nht cỏc cnh cn loi b tỏch t vi s CM iu kin Gi s loi b F E ngn cỏch t t s, v |F| = k Do mi ng i t s n t u cú ớt nht mt cnh F, suy s lng ng i khụng giao cnh khụng vt quỏ k s Toỏn ri rc Fall 2005 t s t NGUYN C NGHA B mụn KHMT 42 ng i khụng giao cnh v liờn kt mng nh lý [Menger 1927] S ln nht cỏc ng i khụng giao cnh t s n t l bng s nh nht cỏc cnh cn loi b tỏch t vi s CM iu kin cn Gi s k l s lng ln nht cỏc ng i khụng giao cnh Khi ú giỏ tr lung cc i l k T nh lý Max-flow min-cut lỏt ct nh nht (A, B) cú kntq k Gi F l cỏc cnh t A sang B |F| = k v F tỏch t vi s A s Toỏn ri rc Fall 2005 t s t NGUYN C NGHA B mụn KHMT 43 Bi toỏn giao hng Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 44 Bi toỏn giao hng kho hng 5 4 i lý bỏn l 6 7 Cú cỏch chuyn hng t cỏc kho ỏp ng yờu cu ca cỏc i lý bỏn l? Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 45 Quy v bi toỏn lung cc i kho hng s 5 4 i lý bỏn l 6 7 tng yờu cu ca cỏc i lý l 24 t Tn ti tng ng 1-1 gia lung t s n t vi giỏ tr 24 vi mt cỏch chuyn hng ỏp ng yờu cu ca cỏc i lý bỏn l Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 46 Bi toỏn lp lch Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 47 Bi toỏn Cú n chi tit (job) cn c gia cụng Cú M mỏy (ging ht nhau) thc hin vic gia cụng i vi chi tit j bit: tj - thi gian hon thnh rj - thi im sn sng dj - thi hn hon thnh Tỡm cỏch b trớ vic thc hin gia cụng n chi tit trờn M mỏy: Mi chi tit j c bt u gia cụng thi im khụng sm hn r j Thi im hon thnh vic gia cụng chi tit j khụng mun hn d j Ti mi thi im cú khụng quỏ mỏy thc hin vic gia cụng chi tit j v tng thi gian thc hin gia cụng chi tit j trờn M mỏy l bng tj Cỏch b trớ tho cỏc iu kin va nờu gi l lch Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 48 Lp lch trờn cỏc mỏy song song Job ( j ) 1.5 4.5 Thi im sn sng ( rj ) 2 Thi hn ( dj ) Thi gian hon thnh ( tj ) Gi s cú M = mỏy song song Khụng cú lch ngoi tr cho phộp ngt quóng Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 49 Lp lch trờn cỏc mỏy song song Job ( j ) 1.5 4.5 Thi im sn sng ( rj ) 2 Thi hn ( dj ) Thi gian hon thnh ( tj ) Gi s cú M = mỏy song song 4 Cú lch nu cho phộp ngt quóng Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 50 Qui v bi toỏn lung cc i cung : thi lng gia cụng job j khong thi gian t nhiu nht l t jobs 4.5 2-4 4-5 t 4 cung xanh da tri: tng thi lng dnh cho gia cụng job j mi khong l pj 0-2 1.5 s cung xanh lỏ cõy: thi lng ca khong thi gian t nhiu nht l Mìt (M l s mỏy cú th dựng) 5-7 7-9 khong thi gian Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 51 Lung cc i Lch Lch tn ti tỡm c lung bóo ho mi cung s 1 1.5 s 4.5 2 0-2 4,2 2-4 2 Cn phõn ró lung a lch 4-5 4,4 2,2 t 4,4 5-7 4,2 7-9 Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 52 Questions? Toỏn ri rc Fall 2005 NGUYN C NGHA B mụn KHMT 53 [...]... 4, 5} 1 XB = {1, 3} s 1 4 5 Toán rời rạc – Fall 2005 3' 3 4' 5' YA = {2', 5'} t Γ (XA) = {2', 5'} 1 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 20 Ví dụ Boys Girls 1 5 2 6 3 7 4 8 Có cách tổ chức các đám cưới? Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 21 Qui về bài toán luồng cực đại Boys Girls 1 5 2 6 1 s 1 1 1 1 1 1 3 4 7 t 1 8 Tồn tại luồng cực đại với giá trị 4? Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC... t Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 33 Có 2 đường đi không giao nhau đỉnh từ s đến t 1 5 9 2 6 10 t s Toán rời rạc – Fall 2005 3 7 11 4 8 12 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 34 Xoá đỉnh 5 và 6 tách t khỏi s? Gọi S = {s, 1, 2, 3, 4, 8} Gọi T = {7, 9, 10, 11, 12, t} 1 5 9 2 6 10 t s 3 7 11 4 8 12 Không có cung từ S sang T Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 35 Toán rời. .. khỏi G để không còn đường đi từ s đến t s Toán rời rạc – Fall 2005 t NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 30 Có 3 đường đi không giao nhau cạnh từ s đến t 1 5 9 2 6 10 t s Toán rời rạc – Fall 2005 3 7 11 4 8 12 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 31 Xoá 3 cạnh để tách s và t Đặt S = {s, 3, 4, 8} 3 cạnh cần xoá là tất cả các cạnh từ S sang T = N\S 1 5 9 2 6 10 t s Toán rời rạc – Fall 2005 3 7 11 4 8 12 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA... không có đỉnh chung Bài toán cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghép với lực lượng lớn nhất Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 11 Bài toán cặp ghép cực đại trên đồ thị hai phía Đồ thị vô hướng G=(V,E) là hai phía nếu V có thể phân hoạch thành 2 tập X và Y sao cho mỗi cạnh e∈E đều có thể biểu diễn e=(x, y) với x∈X và y∈Y Cặp ghép là tập các cạnh đôi một không có đỉnh chung Bài toán cặp ghép cực... đồ thị có ít nhất một đầu mút trong C 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 Bài toán phủ đỉnh tối tiểu: Tìm phủ đỉnh với lực lượng nhỏ nhất Ví dụ: C = {2, 5, 6, 8} là một phủ đỉnh Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 24 Tìm luồng cực đại s 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 t Giá trị luồng cực đại từ s đến t là 4 Cặp ghép cực đại có lực lượng là 4 Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 25 Xác định lát... Cặp ghép là tập các cạnh đôi một không có đỉnh chung Bài toán cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghép có lực lượng lớn nhất Toán rời rạc – Fall 2005 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 12 Qui dẫn về bài toán luồng cực đại Xây dựng mạng G’ s 1 Mỗi cung (s, i) có kntq là 1 Toán rời rạc – Fall 2005 1 2 7 3 8 4 9 5 Mỗi cung (j, t) có kntq là 1 6 ∞ 1 t 10 Mỗi cạnh (x,y) thay bởi cung (x,y) với kntq... dụng thuật toán luồng cực đại nào để tìm cặp ghép? Đường tăng luồng tuỳ ý: O(m val(f*) ) = O(mn) Thang độ hoá kntq: O(m2 log C ) = O(m2) Đường tăng ngắn nhất: O(m n1/2) Cặp ghép trên đồ thị tổng quát Thuật toán trổ hoa (Blossom algorithm): O(n4) [Edmonds 1965] Thuật toán tốt nhất hiện biết: O(m n1/2) Toán rời rạc – Fall 2005 [Micali-Vazirani 1980] NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 23 Đối ngẫu: Bài toán phủ... 3 8 4 9 5 10 Tập đỉnh C = (X \ S) ∪ (T\ t) = { 2, 5, 6, 8 } là một phủ đỉnh Lực lượng của cặp ghép cực đại là bằng lực lượng của phủ đỉnh nhỏ nhất Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 28 Độ tin cậy của mạng Network Reliability Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 29 Độ tin cậy của mạng Xét mạng truyền thông (Communication Network) Hỏi có bao nhiêu đường đi không giao... 5' Toán rời rạc – Fall 2005 t G NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 16 Cặp ghép hoàn hảo (Perfect Matching) ĐN Cặp ghép M ⊆ E được gọi là hoàn hảo (perfect) nếu mỗi đỉnh của đồ thị là đầu mút của đúng 1 cạnh trong M Câu hỏi Khi nào đồ thị hai phía có cặp ghép hoàn hảo? Cấu trúc của đồ thị hai phía có cặp ghép hoàn hảo Rõ ràng ta phải có |X| = |Y| Điều kiện nào là cần nữa? Các điều kiện đủ là gì? Toán rời rạc. .. nhất s S = {s, 1, 3, 4, 6, 8} T = {2, 5, 7, 9, 10, t} Toán rời rạc – Fall 2005 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 t Không có cung từ {1, 3, 4} đến {7, 9, 10} hoặc từ {6, 8} đến {2, 5} NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 26 Ý nghĩa của lát cắt nhỏ nhất s 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 t Xét tập đỉnh C = (X \ S) ∪ (T\t) Mỗi cạnh của đồ thị xuất phát G kề với một đỉnh như vậy Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 27 Đối ... thu với t Kntq cung (s,si) l lượng phát si Kntq (ti, t) bng bi l lượng thu điểm thu ti Bi toán dn v bi toán vi im phát v mt im thu a1 a2 s s1 t1 s2 t2 ap sp Toỏn ri rc Fall 2005 tq b1 b2 t bq.. .Max Flow Applications s Toỏn ri rc Fall 2005 t NGUYN C NGHA B mụn KHMT NI DUNG Mt s bi toỏn lung... s CM iu kin cn Gi s k l s lng ln nht cỏc ng i khụng giao cnh Khi ú giỏ tr lung cc i l k T nh lý Max- flow min-cut lỏt ct nh nht (A, B) cú kntq k Gi F l cỏc cnh t A sang B |F| = k v F tỏch t vi