skkn phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của g polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12

Để dạy bài tập hình tọa độ trong không gian nói riêng và bài tậptoán THPT nói chung, thông thường GV chỉ trình bày, giảng giải và viếtlời giải, ít khi có sự hướng dẫn để HS tự tìm ra lời

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học 2

7 Cấu trúc 2

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Năng lực giải toán 3

1.2 Dạy học giải toán 4

1.3 Giải pháp cũ thường làm……… 5

1.4 Giải pháp mới 5

1.5 Tiểu kết chương 1 10

Chương 2: HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA 11

TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 11

2.1 Dạng toán về viết PT mặt phẳng 11

2.2 Dạng toán về viết phương trình đường thẳng 28

2.3 Dạng toán về viết PT mặt cầu……… 39

2.4 Dạng toán về tìm tọa độ điểm 46

2.5 Dạng toán về cực trị hình học 53

2.6 Tiểu kết chương 2 68

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình.Nhờ quá trình này, người học hiểu được bản chất của kiến thức, có khảnăng vận dụng linh hoạt tri thức và phương pháp đã học, qua đó pháttriển năng lực tư duy Chỉ có thông qua các bài tập ở hình thức này hayhình thức khác, mới tạo đk cho HS vận dụng linh hoạt những kiến thức

đã học để giải quyết thành công những tình huống cụ thể khác nhau vànhững kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của HS

Yêu cầu phát triển của đất nước trong thời kì mới đòi hỏi các nhàtrường phải đào tạo được những con người có kiến thức, có năng lực tưduy, hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo Để đạtđược mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục nóichung và phương pháp giảng dạy từng bộ môn nói riêng theo hướngtiếp cận năng lực của HS Trong dạy học môn toán, nói riêng là giảngdạy hình học tọa độ trong không gian, bản thân nội dung môn học đã

có tính chất khái quát, trừu tượng khá cao, là môi trường tốt để ngườithầy khơi dậy ở trò khả năng tư duy linh hoạt, trí tưởng tượng phongphú Bởi vậy, quá trình dạy học giải bài tập nói chung, giải bài tập hìnhhọc tọa độ trong không gian nói riêng nếu có phương pháp tốt sẽ tạo

đk thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư duy và phẩm chất, nhâncách ở người học

Để dạy bài tập hình tọa độ trong không gian nói riêng và bài tậptoán THPT nói chung, thông thường GV chỉ trình bày, giảng giải và viếtlời giải, ít khi có sự hướng dẫn để HS tự tìm ra lời giải, đôi khi có hướngdẫn song còn sơ sài, hay hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ việc, ít khiđặt vấn đề để HS tạo ra bài tập tương tự, đặc biệt, tổng quát hay tạmthời bỏ đi một yêu cầu Ngoài ra, thời lượng phân phối cho phân mônkhông nhiều, bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, có sự hệthống chưa cao Với mong muốn, giúp học sinh phát triển năng lực giảibài tập theo bốn bước của G.Polya chương PPTĐ trong Không Gian nên

tôi đã chọn đề tài: “ Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn

bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lờigiải bài toán về tọa độ trong không gian theo quy trình của G.Polya, từ

đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải toán cho HS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận về phát triển năng lực, năng lực giải toán cho

HS, về phương pháp dạy học giải bài tập toán học, về quy trình giải bàitoán theo bốn bước của G.Polya

- Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lờigiải bài toán về “Tọa độ trong không gian” theo quy trình của G.Polya,

từ đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải toán choHS

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra – khảo sát

- Thực nghiệm sư phạm

5 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học có vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya đểgiải bài toán “Tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT

6 Giả thuyết khoa học

Nếu GV biết cách hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về tọa độtrong không gian theo bốn bước của G.Polya thì góp phần phát triểnnăng lực giải toán cho HS: HS có kĩ năng giải toán tốt hơn và học đượccách suy nghĩ tìm lời giải dạng toán này ở trường THPT

7 Cấu trúc

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, sáng kiến gồm hai chương

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chương 2: HƯỚNG DẪN HS TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THEO QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực giải toán

1.1.1 Quan niệm về năng lực và năng lực giải toán

Năng lực thường xét đến năng lực hành động, là khả năng thựchiện hiệu quả một nhiệm vụ/một hành động cụ thể, liên quan đến mộtlĩnh vực nhất định dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo Bởi vậy,năng lực được thể hiện qua những kĩ năng nhằm hoàn thành một côngviệc nào đó Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức

Năng lực: là khả năng ứng phó thành công hay năng lực thực hiệnhiệu quả một loại/lĩnh vực hoạt động nào đó trên cơ sở hiểu biết (trithức), biết cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, kinh nghiệm, kĩ

năng/kĩ xảo để hành động phù hợp với những mục tiêu và đk thực tế hay hoàn cảnh thay đổi.

Nhóm năng lực chuyên môn trong môn Toán bao gồm các năng lựcsau đây:

+) Giải quyết các vấn đề toán học; +) Lập luậntoán học;

+) Mô hình hóa toán học; +) Giao tiếp toánhọc;

+) Tranh luận về các nội dung toán học;

+) Vận dụng các cách trình bày toán học;

+) Sử dụng các ký hiệu, công thức, các yếu tố thuật toán

1.1.2 Nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS

Xu thế đổi mới phương pháp dạy học trong những năm tới là dạyhọc định hướng phát triển năng lực, vì vậy nhiệm vụ phát triển nănglực giải toán cho HS là cần thiết và phù hợp với xu hướng đổi mớiphương pháp dạy học.

Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn bước trong phươngpháp chung để giải bài toán của G.Polya Phát triển năng lực giải toáncho HS chính là rèn luyện cho họ có ý thức, thói quen và thực hiện cóhiệu quả các bước giải đó

Phát triển năng lực giải toán hình học cho HS bằng phương pháptọa độ đóng góp một phần vào phát triển năng lực giải toán nói chung.Cần phải tập luyện cho HS biết phân loại các bài toán, rèn luyện để họthực hiện linh hoạt, độc lập và sáng tạo các bước trong quy trình giảiloại bài toán đó

Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cầnkhuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đềudựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiềucách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiềukhía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tưduy Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải haynhất, đẹp nhất ” [6]

1.2 Dạy học giải toán

1.2.1 Vai trò của bài tập Toán

Theo Nguyễn Bá Kim [2, tr.386], bài tập có vai trò quan trọngtrong môn Toán Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt

là rèn luyện các thao tác trí tuệ Vì vậy, trong quá trình dạy học ngườithầy giáo phải chú trọng phát triển năng lực giải toán cho HS

1.2.2 Quy trình giải bài toán của G.Polya

Theo G.PoLya [12], quy trình giải bài toán gồm bốn bước sau:

Bước 1: Hiểu bài toán

Trước khi tìm lời giải bài toán, cần hiểu rõ:

- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là đk? Có thể thỏa mãn đk bài toán?

Đk có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâuthuẫn?

- Vẽ hình

- Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các đk, dữ kiện thànhcông thức được không? Phân biệt rõ các phần của đk

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

Sau đây là những gợi ý cho việc tìm lời giải bài toán:

- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không?

- Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái chưa biết không?

- Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được

gì ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vàomới áp dụng được?

- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay vềcác định nghĩa?

- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ

dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn?Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mựcnào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giảibài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này?

- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng?Bạn có thể chứng minh nó đúng?

Bước 4: Nhìn lại

- Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn,đặc sắc hơn

- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?

- Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết?

1.3 Giải pháp cũ thường làm

Khi dạy học giải bài tập toán thông thường GV không tuân thủtheo 4 bước giải bài tập: Ở bước 1, thường chỉ dừng lại ở việc đọc đềbài, không tìm hiểu rõ cái đã cho, cái cần tìm Ở bước 2, GV thườngcung cấp lời giải sau đó giải thích hoặc gọi HS nêu hướng làm, ít có gợi

ý, hướng dẫn để HS tìm ra lời giải hoặc hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉviệc Ở bước 4, đa phần GV không hướng dẫn HS kiểm tra lại kết quảbài toán cũng như lời giải, không hướng dẫn để HS tìm ra nhiều cáchgiải, không xét bài toán đặc biệt, tương tự, khái quát hay đề xuất bàitoán khác

*) Ưu điểm:

Nhanh chóng, đỡ tốn thời gian, GV không phải chuẩn bị nhiều, không cần chuẩn bị hệthống câu hỏi gợi ý, không phải tạo ra các bài toán khác liên quan, không phải đầu tư quánhiều công sức để dạy được một bài tập Một tiết học có thể chữa được nhiều bài tập

+) HS không được tập luyện với những câu hỏi, cách suy nghĩ để có thể tự mình đặt racâu hỏi, cách nghĩ với một bài toán khác

+) HS không kiểm tra lại kết quả dẫn đến kết quả có thể thừa, thiếu, chưa thỏa mãn hếtcác điều kiện của bài toán; Các bước trình bày, lập luận có thể không lôgic, thiếu chínhxác; Không rèn tính cẩn thận cho người học

+) HS không được phát triển tìm ra nhiều lời giải nên có thể không chọn ra cách tối ưunhất, dễ hiểu nhất, ít có cơ hội sáng tạo tìm ra những cách giải độc đáo, đặc sắc, giảm khảnăng nhìn nhận các khía cạnh, suy nghĩ khác nhau của bài toán, cách nghĩ chưa bao quát

+) Không giúp HS thấy được mối liên hệ giữa bài toán với bài toán đặc biệt, tương tự,

khái quát, bài toán khác nên chỉ giải quyết được một bài toán thay vì có thể giải quyếtđược nhiều bài

1.4 Giải pháp mới cải tiến: Dạy học theo quy trình bốn bước của G.Polya

Dạy học theo quy trình bốn bước của G.Polya như đã trình bày

ở trên ngoài ra ở bước 4 khai thác bài toán theo hướng phát triển tưduy cho người học

*) Tính mới của giải pháp là:

+) Tuân thủ đầy đủ các bước của dạy học bài tập, không bỏ bước nào,chuẩn bị hệ thống câu hỏi để hướng dẫn bài, suy nghĩ phát triển cácbài tập Làm rõ bước 1, đề xuất hệ thống câu hỏi hướng dẫn tìm lời giảicho tất cả các bài tập đã lựa chọn chữa trong chương, nghiên cứu lờigiải, đề xuất các cách giải khác, đề xuất bài tập liên quan Làm sáng tỏ

lí luận 4 bước dạy học giải bài tập, đã khai thác gần như triệt để toàn

bộ chương phương pháp tọa độ trong không gian

+) Ở bước 4, đã đưa ra hệ thống bài tập khá toàn diện, phù hợp, lôgiclàm rõ hơn, sâu hơn bước 4 mà G.Polya đã đưa ra

+) Lựa chọn bài tập để dạy cho phù hợp, bài tập vừa gần gũi, thiếtthực vừa dễ khai thác, dễ phát triển tư duy, mang tính đa dạng

+) Các ví dụ được sắp xếp theo từng vấn đề, từng dạng bài, mang tính

hệ thống cao Các vấn đề đưa ra bao quét gần hết các dạng bài toántrong chương, mang tính cập nhật

*) Ưu điểm:

+) Khi làm rõ bước 1 sẽ giúp HS hiểu rõ bài toán, ham thích bài toán, rèn thói quen đọc

kĩ đề khi làm bài, giúp định hướng cho việc tìm lời giải

+) Thông qua hệ thống câu hỏi mà GV đã chuẩn bị, HS có thể liêntưởng, nhớ lại cách làm bài tương tự, kiến thức liên quan…để tìm ra lờigiải, HS không phải bị áp đặt lời giải

HS là người chủ chốt tham gia vào quá trình tìm ra lời giải, HS có điều kiện hiểu đượccách suy nghĩ để tìm ra lời giải bài toán, được trải nghiệm nhiều hơn Hơn thế, HS cònđược học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Thông qua hệthống câu hỏi lúc đầu do GV đưa ra, dần dần HS biết tự đặt ra câu hỏi, cách suy nghĩ phùhợp để giải quyết một bài toán khác HS học sáng tạo, không phải nhớ máy móc

+) Qua bước 4, giúp HS: Kiểm tra sự chính xác của kết quả, của lập luận trong lời giải,rèn tính cẩn thận Tìm ra những cách giải khác, có thể ngắn gọn hơn lời giải đã tìm racũng có thể có cách giải dài hơn, phức tạp hơn nhưng quan trọng HS đã nhìn bài toán với

những khía cạnh khác nhau, khai thác khác nhau HS có cơ hội được sáng tạo, có thể vớicách giải không tối ưu trong bài toán này nhưng lại giúp ích cho người học tìm ra lời giảivới bài toán khác HS thấy được mối liên hệ với các bài toán đặc biệt, tương tự, khái quát,bài toán có liên quan HS biết cách tạo ra các bài toán tương tự, khái quát giúp phát triển

tư duy người học

+) Thông qua một bài tập dạy theo quy trình trên, HS không chỉ giải một bài toán mà còngiải được nhiều bài toán cùng dạng, bài toán có liên quan

*) Hạn chế: Việc dạy học theo quy trình bốn bước của G.PoLya mất nhiều thời

gian, GV cũng phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi chi tiết, GV phải đầu tư suy nghĩ, chuẩn bị,sáng tạo, tìm ra hệ thống bài toán, đòi hỏi người GV cũng phải có tư duy tốt, GV phảichọn lựa bài tập phù hợp để khai thác, đạt được ý đồ chỉ dạy một bài nhưng giải quyếtđược nhiều bài Việc hướng dẫn đôi khi là không cần thiết với HS giỏi Việc vận dụngcũng phải linh hoạt tùy theo mức độ nhận thức, tính tự giác và thái độ học tập của HS

Sau đây là một ví dụ minh họa tổng thể

Bước 1: Hiểu bài toán

GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán.

HS: Giả thiết cho pt đường thẳng d và mặt phẳng (Q), cho quan hệ (P)chứa d, (P) vuông góc với (Q)

GV: Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? Là những yếu tố nào?

HS: Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT

GV: Đk (P) chứa d giúp gì cho việc tìm 2 yếu tố trên?

HS: Đk (P) chứa d: M thuộc đường thẳng d thì M thuộc Mp (P); n P  u d

GV: ĐK (P) vuông góc với (Q) thì có mối liên hệ gì về VTPT của (P) với

em hãy nêu cách xác định VTPT của (P)?

HS: Cách 1: Tích có hướng của cặp VTCP (Tích có hướng của 2 véc tơkhông cùng phương và cùng vuông góc với VTPT của mặt phẳng; với,

Bước 4: Nhìn lại

Kiểm tra lời giải: Mp (P) có pt như trên đã thỏa mãn đk của bài toán (P)

chứa d và vuông góc với (Q) chưa? (Đã thỏa mãn)

GV: Nếu d vuông góc với (Q) thì có tồn tại Mp (P) không? Đk nào đểbiết d  (Q)?

HS: Nếu d  (Q) thì mọi Mp chứa d đều thỏa mãn Nếu [u d , n Q ] = 0 thì d

3x+y-5z-Nghiên cứu tiếp bài toán:

Trong bài toán trên nếu thay đổi cách cho từng đk thì ta sẽ có các bàitoán tương tự

Với đk (P) chứa đt d, với đt d được xác

định bởi:

+) d qua hai điểm

+) d qua một điểm và song song với đt

d’

+) d qua một điểm và song song với

BC

+) d là giao tuyến của hai mặt phẳng

Với đk thứ hai, MP (Q) được xácđịnh:

+) qua ba điểm

+) qua một điểm nằm ngoàimột đt

+) qua hai đt cắt nhau

+) qua hai đt song song

Một số bài tương tự: Cho đt d:

Bài 1.1.1 Cho điểm A(1;2;1), B(2;-2;0) Lập PT mặt phẳng đi qua hai

điểm A, B và vuông góc với (Q), trong đó (Q) xác định như sau:

a) MP (Q): 3x+y+2z-3=0

b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5)

c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d

Bài 1.1.2 Cho điểm A(1;2;0) Lập PT mặt phẳng đi qua điểm A, song

song với d và vuông góc với MP (Q) trong các trường hợp sau:

Bài 1.1.3 Cho A(1;2;0), B(-1;-1;0), C(0;1;2) Lập PT mặt phẳng đi qua

điểm A, song song với BC và vuông góc với Mp (Q) trong các trườnghợp sau:

a) MP(Q): 2x+2y+z-9=0

b) (Q) qua ba điểm D(1;0;0), E(0;1;-2), F(2;3;5)

c) (Q) qua điểm D(1;0;0) và chứa đt d

GV: Qua bài tập trên, em hãy cho biết cách tìm một VTPT của

+) (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R)

+) (P) vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R)

+) (P) chứa đường thẳng d (A không thuộc d)

+) (P) qua hai điểm B, C

+) (P) song song với hai đt d1, d2.

Như vậy, ta có thể khai thác một bài toán để đề xuất những bàitoán tương tự bằng cách thay đổi mỗi yếu tố trong bài toán Chẳnghạn:

- Thay đt d có PT cho trước bởi hai điểm phân biệt; một điểm và mộtVTCP; giao tuyến của hai mặt phẳng…

- Thay góc α cho trước bởi một góc bất kỳ như: 300; 450; 900; góc bénhất; góc lớn nhất

- Thay góc giữa MP với MP bởi góc giữa MP với đt, góc giữa hai đt

- Thay PT Mp(Q) cho trước bởi (Q) qua ba điểm phân biệt không thẳnghàng; hai đt song song; hai đt cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đt

- Thay khoảng cách từ điểm đến MP bằng một số cho trước bởi khoảngcách từ MP đến điểm này bằng k lần khoảng cách từ MP đến điểm, thaykhoảng cách từ MP đến điểm bởi khoảng cách từ MP đến đt, giữa haiMP…

Bài tập vận dụng:

Bài 1.1.4 Cho A(2;1;3) và hai mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-9=0, (R):

x-2y+z+1=0 Lập PT mặt phẳng đi qua A và vuông góc với hai mặtphẳng (Q), (R)

Bài 1.1.5 Lập PT mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với giao

tuyến của hai mặt phẳng (Q):2x+2y-z+1=0, (R): x-2y+z+1=0

a) (P) chứa hai đt d1 và d2 b) (P) chứa đt d1 và songsong với d2

c) Mp (P) qua gốc tọa độ và song song với d1, d2

Bài 1.1.7 Cho A(1;-2;4), B(1;0;0), C(0;1;1) Lập PT Mp qua ba điểm A, B,

C

Các ví dụ ở chương II sẽ làm rõ hơn các nhận định của chương I

Chương 2 HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA

TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Năng lực được thể hiện qua những kỹ năng; Năng lực vận dụngquy trình giải toán của G.Polya vào giải toán “Tọa độ trong không gian”cho HS lớp 12 THPT được thể hiện qua việc giải các dạng toán thuộcnội dung chương 3 Hình học 12 Để phát triển năng lực này ở HS, GVcần phải phân tích một số bài toán có tích chất làm mẫu Trong đó GVđặt ra các câu hỏi, các hoạt động để hướng đẫn HS tìm lời giải bài toántrong những trường hợp cụ thể Trên cơ sở đó HS sẽ tự luyện tập vậndụng vào những bài toán mới

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày theo thứ tự từng dạngtoán về tọa độ trong không gian Trong mỗi dạng trình bày nhữnghướng dẫn vận dụng quy trình giải toán của G.Polya vào một số bài.Sau đó là những bài toán để HS tự luyện Do bước 1 khá đơn giản (chỉcần hiểu rõ giả thiết, kết luận, vẽ hình minh họa nếu có tuy nhiên vẫnphải tiến hành) nên trong tài liệu này chúng tôi chỉ tập trung trình bàybước 2 và bước 4, ở bước 3 chỉ trình bày vắn tắt lời giải

Để ngắn gọn, trong tài liệu này ta mặc định xét trong hệ trục tọa

độ Đề-Các vuông góc Oxyz

Trong chương này, chúng tôi xin trình bày 05 dạng toán thườnggặp là viết PT mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng, viết phươngtrình mặt cầu, tìm tọa độ điểm và bài toán cực trị

2.1 Dạng toán về viết PT mặt phẳng

Với dạng toán về lập PT mặt phẳng, chúng tôi đưa ra một số bài toán:

1 Lập PTMP biết một điểm và cặp véc tơ chỉ phương

2 Lập PTMP biết một điểm và tìm VTPT bằng cách lập hệ phương trình

3 Lập PTMP biết một VTPT và tìm hệ số tự do của PTTQ

4 Viết PTMP dưới dạng đoạn chắn

Chúng tôi đề xuất hệ thống câu hỏi, gợi ý, hướng dẫn HS như sau:

- Ta có những cách nào để lập PT mặt phẳng?

Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT; Cách 2: Tìm các hệ số củaPTTQ.

- Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? là những yếu tố nào?

Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT

- Một VTPT của mặt phẳng có thể được xác định bằng những cách nào?Cách 1: Tích có hướng của hai véc tơ không cùng phương có giá songsong hoặc nằm trong MP cần tìm (cặp VTCP)

Cách 2: Hệ 2 PT với ba ẩn là ba thành phần tọa độ của VTPT

- Theo cách 2, để xác định các hệ số của mặt phẳng ta cần mấy PT liênquan đến các hệ số đó? (Hệ ba PT bốn ẩn)

trình mặt phẳng chứa đt d1 và tạo với d2 một góc bằng 300

Bước 1: Hiểu bài toán

GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán.

HS: Giả thiết cho PT đt d1 và d2, cho quan hệ (P) chứa d1, (P) tạo với d2góc 300

Yêu cầu lập phương trình mặt phẳng (P)

GV: Dữ liệu của bài toán có đủ để xác định Mp (P) không? (Đủ xác định(P))

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Em có tìm được tọa độ một điểm trên (P) không? Nêu cách tìm?HS: Có, đó là điểm bất kỳ trên d1

GV: Em có tìm được ngay một VTPT của Mp(P) không? Hay có tìm thấycặp VTCP của Mp(P) không? Nếu chưa tìm được trực tiếp thì em phảilàm như thế nào?

HS: Không tìm được ngay VTPT của (P) cũng như không thấy ngay cặp

VTCP của Mp(P) (Nhớ lại cách giải 2 của bài 1) Gọi tọa độ của VTPT và

lập hệ PT để tìm tọa độ của VTPT

GV: Dựa vào mối quan hệ của Mp (P) với hai đt, em cho biết các đẳngthức véc tơ của VTPT của Mp(P) với các VTCP của 2 đt? Em có chuyểnđược đẳng thức véc tơ đó sang đẳng thức tọa độ được không?

HS: .n u P 1

=0, |cos(n u P, 2

)| = sin300 với n u u  P, , 1 2

lần lượt là một VTPT của(P), chỉ phương của d1, d2 Có chuyển được sang đẳng thức tọa độ

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

M(1;0;- 1)  d nên M ∈ (P) Gọi n P

= (a; b; c) (a2+b2+c2 0) là một VTPTcủa (P)

Ta có: u 1

= (1;-1; 1), u 2

= (2; 1;-1) lần lượt là một VTCP của d1, d2

Vì MP (P) chứa d nên n u P 1 =0 hay a-b+c=0 (1)

Vì MP (P) tạo với d2 góc 300 nên sin300= |cos(n u P, 2)| hay

26

Bước 4: Nhìn lại

Kiểm tra lời giải: Trong 2 PT vừa tìm có loại pt nào không? Các bước

biến đổi là tương đương chưa? PTMp vừa lập có thỏa mãn các đk củabài toán không? (Không, vì các bước biến đổi là tương đương nên PTmặt phẳng vừa lập thỏa mãn các đk của bài toán)

Ngoài cách giải trên, em còn cách khác không? Thay vì việc sử dụng

Cách 2: Lấy M(1;0;-1), N(2;-1;0) là hai điểm phân biệt trên d.

Vì (P) chứa d nên M, N  Mp (P) Gọi n P

= (a;b;c) (a2+b2+c20) là mộtVTPT của (P)

Như đã trình bày trong ví dụ minh họa, có thể đề xuất các bài toán sau:

Bài 1.2.1 Lập PT Mp đi qua hai điểm A(1;0;-1), B(3;-2;1) và tạo với đt

d2 góc 300

với AB một góc bằng 300

Bài 1.2.3 Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1) ,C(0;2;-1), D(2;4;-3) Lập PT Mp đi

qua hai điểm A, B và tạo với CD một góc bằng 300

Bài 1.2.4 Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), C(0;2;-1), D(2;4;-3) Lập PT Mp đi

qua điểm M(1;0;3) và

a) song song với d1 đồng thời tạo với d2 góc 300

b) song song với AB đồng thời tạo với d2 góc 300

c) song song với đt AB và tạo với CD một góc 300

Bài 1.2.5 Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), Mp(Q): 2x+y-z+9=0 Lập PT mặt

phẳng (P):

a) (P) chứa đt d1 và tạo với MP(Q) góc 600

b) (P) qua hai điểm A, B và tạo với Mp(Q) góc 600

c) (P) qua điểm M(1;0;3), song song với AB và tạo với Mp(Q) góc 600

d) (P) chứa d là giao tuyến của Mp (Q) và Mp (R): x+2y-z+3=0, đồngthời tạo với hai Mp (Q) và (R) các góc bằng nhau (Nói cách khác: lập

PT mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi (Q) và (R))

góc lần lượt bằng 450, 300

Bài 1.2.7 Cho M(1;0;-3), MP (Q): 2x+y-z+9=0 Lập PT mặt phẳng đi

qua điểm M và tạo với d1, Mp (Q) các góc lần lượt bằng 450, 600

Khái quát hóa: Lập PT mặt phẳng (P)

1) chứa đt d1 và tạo với đt d2 một góc cho trước

2) chứa đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góc cho trước

3) chứa đt d và tạo với hai mặt phẳng (Q), (R) các góc bằng nhau

4) đi qua điểm A, song song với đt d1 và tạo với đt d2 một góc chotrước

5) đi qua điểm A, song song với đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góccho trước

6) đi qua điểm A, lần lượt tạo với các đt d1 và d2 các góc cho trước.7) đi qua điểm A, lần lượt tạo với đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) cácgóc cho trước

Chú ý: Đối với bài toán lập PT mặt phẳng đi qua một điểm và liên quan đến góc, ta gọi tọa độ của VTPT cần tìm và giải hệ 2

PT để chọn được bộ số thích hợp.

Tương tự với bài toán liên quan đến góc trên, GV có thể hướng dẫn HSgiải bài toán liên quan đến khoảng cách, chẳng hạn xuất phát từ bàitoán:

Ví dụ 1.3 Lập PT mặt phẳng chứa đt d sao cho khoảng cách từ

Bài 1.3.1 Cho A(2;1;2), M(1;1;2), N(3;0;3) d:

a) đi qua hai điểm M, N và d(A,(P)) =

1

3 b) đi qua điểm M, song song với d và d(A,(P)) =

1

3

Bài 1.3.2 Cho A(2;1;2), B(-1;2;-2), C(1;1;-1), M(1;1;2) Lập PT mặt

phẳng đi qua điểm M, song song với BC và d(A,(P)) =

Với bài toán này, thay vì sử dụng d(A,(P))=k ta có d(A,(P))=2d(B,(P)).Ngoài ra ta còn có thể giải bài toán bằng cách quy về lập PT mặt phẳngqua một điểm nằm ngoài một đt thông qua việc tìm tọa độ giao điểm Icủa AB với mặt phẳng (P) như sau:

Xét vị trí tương đối của 2 điểm A, B với MP (P)

Nếu A, B nằm khác phía với (P) thì (P) cắt AB tại I sao cho IA 2  IB

:.(Hình 2)

Nếu A, B nằm cùng phía với (P) thì (P) cắt AB tại I sao cho:IA=2  IB

(P) bằng

1

3

Bài 1.3.5 Lập PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a) (P) qua M(1;1;2), N(3;0;3) và d(A,(P))=2d(B,(P)) với A(2;2;2),B(4;1;4)

b) (P) qua M(1;0;-5), song song với AB và d(C;(P))=2d(D;(P)) vớiA(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1), D(-4;1;-4)

c) (P) chứa AB và d(CD,(P)) =

1

3 với A(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1) vàABCD là hình bình hành

d) (B-2009) (P) qua hai điểm A(1;2;1), B(-2;1;3) và khoảng cách từC(2;-1;1) đến (P) bằng khoảng cách từ D(0;3;1) đến (P)

b) (P) đi qua hai điểm M(1;1;2), N(3;0;3)

c) (P) đi qua M(1;1;2) và song song với d:

2) (P) chứa đt d và d(A,(P))=kd(B,(P)).

3) (P) đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=k

4) (P) đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=kd(C,(P))

5) (P) đi qua điểm A, song song với d và d(d;(P))=k

Chú ý: Với bài toán lập PT mặt phẳng chứa đt d và liên quan tới khoảng cách đến mặt phẳng đó thì ta nên gọi tọa độ của một VTPT của (P), suy ra ptMp Dựa vào hai đk thiết lập hệ 2 PT với

ba thành phần tọa độ của nó.

Sau đây một số bài đơn giản nên xin không nêu ra bước 1.

Ví dụ 1.4 Cho d1:

121

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Trong hai yếu tố thông thường em cần tìm để lập PT mặt phẳng

(P), em có thể tìm được ngay yếu tố nào không?

HS: Chưa tìm được ngay tọa độ một điểm hay một VTPT của (P)

GV: Dựa vào giả thiết (P) song song với các đt d1, d2, em có thể tìmđược yếu tố gì để lập PT mặt phẳng (P)? Là yếu tố nào? Nêu cách xácđịnh

HS: Có thể tìm được tọa độ VTPT của (P) bằng tích có hướng của haiVTCP của hai đt

GV: Vậy nếu chưa tìm được tọa độ của một điểm thuộc (P) thì có thểlập PT mặt phẳng (P) bằng cách đưa về tìm yếu tố nào? (GV có thể gợi

ý tiếp: PTTQ của mặt phẳng (P) có dạng như thế nào? Đã biết tọa độVTPT tức là biết những gì, còn tìm gì nữa?)

HS: Lập PT mặt phẳng (P) bằng cách đưa về tìm d trong PTTQ:ax+by+cz+d=0

GV: Em có thể tìm số d dựa vào giả thiết nào? (Tìm d dựa vào d(A,(P))=2d(B;(P))

GV: Bây giờ em có thể làm được bài toán này chưa? (Có thể làm đượcạ.)

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Ta có d1 đi qua điểm A(1;2;1) và có một VTCP là u1 =(1;-1;0)

d2 đi qua điểm B(2;1;-1) và nhận u2 =(1;-2;2) là một VTCP

Kiểm tra lời giải: Các giả thiết đã được chuyển thành đk tương đương

nên không phải loại trường hợp nào Các bước biến đổi là chính xác.(Lưu ý công thức khoảng cách có giá trị tuyệt đối)

Nghiên cứu tiếp bài toán:

Ta xem xét sự tồn tại Mp (P) tùy theo các vị trí của d1 và d2

+) Nếu d1, d2 trùng nhau thì có vô số Mp (P) thỏa mãn, các mặt phẳngnày đều chứa d1 và khoảng cách giữa đt và Mp bằng 0 Nếu thêm giảthiết (P) // d1 thì không tồn tại Mp (P)

+) Nếu hai đt d1 và d2 song song thì cũng tồn tại vô số Mp(P) thỏa mãn,các mặt phẳng này đều chứa đt d, d là đt song song với d1 vàd(d,d1)=2d(d,d2)

+) Nếu hai đt d1 và d2 cắt nhau thì tồn tại duy nhất Mp (P) thỏa mãnbài toán, mặt phẳng này chứa hai đt d1 và d2 Khi đó khoảng cách giữacác đt và mặt phẳng bằng 0 Nếu thêm giả thiết (P) song song với hai

Tương tự ta có các bài toán sau: Cho d1:

121

Đặc biệt của bài toán 1.4.1 ta có bài toán 1 4.2

Bài 1.4.2 Cho (S): x 12  y 12z 12  Viết PT tiếp diện của (S) biết1.tiếp diện đó song song với d1 và d2

(P))=2

Bài 1.4.4 Cho A(1;2;1), B(2;1;1) Lập PT mặt phẳng (P) song song với

AB và d2 đồng thời khoảng cách từ đt d2 đến Mp (P) bằng 2

Khái quát hóa: Lập PT mặt phẳng (P) song song với

1) hai đt d1, d2 và d(d1, (P))=kd(d2,(P)) (trong đó d1 và d2 chéo nhau).2) hai đt d1, d2 và d(A, (P))=k (trong đó d1 và d2 chéo nhau hoặc cắtnhau)

3) hai đt d1, d2 và d(d2, (P))=k (trong đó d1 và d2 chéo hoặc cắt nhau).4) hai đt AB, CD và d(AB, (P))=k (trong đó AB và CD chéo nhau hoặccắt nhau)

5) hai đt AB, d và d(d, (P))=k (trong đó AB và d chéo hoặc cắt nhau)

Chú ý: Khi lập PT mặt phẳng (P) song song với hai đt và cho biết

khoảng cách liên quan đến (P) thì ta nên tìm tọa độ của VTPT dựa vào

tích có hướng và suy ra dạng tổng quát của mặt phẳng để tìm hệ số D

dựa vào giả thiết khoảng cách

Bằng cách làm tương tự với bài toán trên, khi thay đổi giả thiết (P) songsong với hai đt bởi giả thiết (P) vuông góc với một đt cho trước hay (P)song song với một mặt phẳng cho trước ta cũng xác định được mộtVTPT của (P)

Bài tập vận dụng:

Bài 1.4.5 Cho A(2;1;1) và d:

Bài 1.4.6 Cho mặt cầu (S): x2 y2z2  4x2 - 6 - 6 0y z  , d:

1 221

Bài 1.4.8 (D-2010) Cho hai MP (Q): x-y-z-3=0 và (R): x-y+z-1=0 Viết

PT MP vuông góc với (Q) và (R) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P)bằng 2

Bài 1.4.9 Lập PTMP song song với (Q): 2x-y-2z+1=0 và khoảng cách

giữa hai MP bằng 5

Bài 1.4.10 Lập PTMP song song với (Q): 2x-y-2z+1=0 và khoảng cách

từ A(1;0;3) đến (P) bằng 5

của (S) biết MP tiếp diện song song với MP(Q):x-2y+2z+2=0

song với MP(Q):2x+2y-z+17=0 và cắt (S) theo giao tuyến là đườngtròn có

y-Bài 1.4.14 Cho hai đt d1 {x=1+2t y=2

z=1+t và d2 {y=−3+2t x=t

z=t Lập PT MPsao cho (P)song song với d1 và khoảng cách giữa d1 và (P) bằng 1, đồng thời (P)

tạo với d2 một góc ∝sao cho cos

16

 

Khái quát hóa: Lập PT MP trong các trường hợp sau:

1) (P) vuông góc với đt d và d(A,(P)) =k (k>0 cho trước)

2) (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và (P) vuông góc với đt d

3) (P) vuông góc với đt d1, (P) song song với d2 và d(d2,(P)) =k (k > 0 và

d1 ⊥ d2 )

4) (P) vuông góc với hai MP (Q) và (R) sao cho d(A,(P)) =k > 0

5) (P) song song với (Q) và d((P),(Q)) = k > 0

6) (P) song song với (Q) và d(A,(P)) = k > 0

7) (P) song song với (Q) và d(A,(P)) = kd(B,(P)) (k > 0 cho trước)

8) (P) song song với (Q) và (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là mộtđường tròn có bán kính hoặc chu vi hoặc diện tích cho trước

9) (P) vuông góc với MP (Q) và d(d;(P)) = k > 0 (d không vuông góc với(Q))

Nhận xét: Với bài toán viết PTMP có thể tìm trực tiếp VTPT và chưa biết tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và liên quan đến khoảng cách ta thường đưa về xác định hệ số D trong PTTQ: Ax + By + Cz + D = 0.

Ví dụ 1.5 Viết PT MPđi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz

theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:

a) M là trọng tâm tam giác ABC

b) M là trực tâm trực tâm tam giác ABC

c) tam giác ABC đều

d) OB = 2OA và diện tích tam giác AOC bằng 12

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Khi MP cắt ba trục tọa độ tại ba điểm phân biệt thì có thể viết PT

MẶT PHẲNGở dạng nào? (Dạng đoạn chắn.)

GV: Để lập PT ở dạng đoạn chắn thì đưa về tìm các yếu tố nào?

HS: Đưa về tìm tọa độ ba điểm A, B, C

a) GV: M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi nào? (Hoặc có thể

hỏi: Đẳng thức nào liên hệ giữa tọa độ trọng tâm tam giác với tọa độ

ba đỉnh tam giác?)

HS: Công thức tọa độ trọng tâm tam giác

GV: Em có thể giải hệ này được không? Em đã có thể làm bài toán nàyđược chưa? (Có thể làm được ạ.)

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a.b.c≠0) Khi đó (P): 1

a) M là trọng tâm tam giác tam giác ABC

333

b) MA 2MB MC a 

với a  2; 4;1  c) 3MA  2MB MC  AB

   

Khái quát hóa: Cho tọa độ điểm M Viết PT MPcắt ba trục Ox, Oy, Oz

theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:

a) M là trọng tâm tam giác ABC

b) kMA+ m MB+n MC =0 ( Với k.m.n.(k+m+n) ≠0)

c) kMA+m MB+n MC =a ( Với a là véc tơ cho trước)

d) kMA+m MB+n MC =l AB

e) k  OA+l OB+m OC=n OM

( Với k, l, m, n là các số thực cho trước)

Hoàn toàn tương tự như trên các em có thể đề xuất các bài toán khác

b)Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: M là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi M thỏa mãn đk gì? Hãy

chuyển các đk đó sang đk với biểu thức tọa độ

GV: Em có nhận xét gì về các góc đỉnh O của tứ diện OABC? Từ đó em

có liên tưởng đến kết quả quen thuộc gì ở lớp 11?

HS: Các góc tại O của tứ diện OABC đều là góc vuông Khi đó M là trựctâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên (ABC).GV: Từ đó em có cách giải khác như thế nào?

1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0 hay x+2y+3z-14=0

Xuất phát từ cách giải thứ nhất của bài toán, ta thấy thực chất M thỏamãn đẳng thức véc tơ Bằng cách tương tự em hãy đề xuất một số bàitoán lập PT MP cắt ba trục tọa độ tại 3 điểm phân biệt A, B, C thỏa mãnđẳng thức véc tơ nào đó

Bài 1.5.2 Viết PT MP đi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz

theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:

a) M đối xứng với A qua BC

b) M thỏa mãn đẳng thức sau MA  BC=−1 và M nằm trên đt vuông gócvới BC tại B

Khái quát hóa: Viết PT MP đi qua điểm M( M cho trước) và cắt ba trục

Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho M là trực tâm tamgiác ABC

c) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Nêu đk cần và đủ để tam giác ABC đều Chuyển các đk đó sang với

biểu thức tọa độ của ba điểm A, B, C

HS: AB = BC = CA ⇔ a2 + b2 = b2 + c2 = c2 + a2

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi AB = BC = CA hay a2 + b2 = b2 + c2 =

TH3: a = -b = c thế vào (1) ta được: a =2 suy ra PTMP (P): x-y+z-2=0

TH4: a = -b = -c thế vào (1) ta được: a = -4 suy ra PTMP (P): 4=0.

-x+y+z-Kết luận: Vậy có 3 PTMP thỏa mãn bài toán đó là:

x+y+x-7=0; x-y+z-2=0; -x+y+z-4=0

Bước 4: Nhìn lại

Cách 2: Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA Khi đó các tam giác

OAB, OAC, OBC đôi một bằng nhau nên OA = OB = OC hay |a| = |b| = |c|

Cách 3: ABC đều nên trực tâm tam giác trùng với trọng tâm tam giác.

Áp dụng cách 2 của ý b ta được OG=( a

Cách 4: Các tam giác OAB, OBC, OAC đôi một bằng nhau nên diện tích

các tam giác OAB, OBC, OCA đôi một bằng nhau nên |ab| = |bc| = |ac|hay |a| = |b| =| c|

Xuất phát từ cách giải thứ hai, ta có giả thiết tam giác ABC đều khi OA

= OB = OC >0 nên bằng cách thay đổi giả thiết một cách tương tự, ta

có các bài toán sau:

Bài 1.5.3 Viết PT MPđi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz

theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:

a) OA =2OB = OC

b) 3OA = OB = 2OC

c) S ∆ AOB = 2S ∆ AOC= 2 S ∆ COB

Khái quát: Viết PT MPđi qua điểm M (M cho trước) và cắt ba trục Ox,

Oy, Oz theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho: kOM = mON = nOC (k,

m, n là các số thực dương cho trước)

Xuất phát từ cách giải thứ ba của tam giác, ta có tam giác ABC đều thìtrọng tâm tam giác trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên

ta có bài toán đảo lại:

Bài 1.5.4 Viết PT MPđi qua điểm M (1;-1;1) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz

theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho tam giác ABC nhận M là tâmđường tròn ngoại tiếp

Khái quát: Viết PT MPđi qua điểm M(m; n; p)và cắt ba trục Ox, Oy, Oz

theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho M là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác ABC (Với m, n, p là các số thực cho trước thỏa mãn: |m|=|n|

=|p|)

d) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Em hãy chuyển các đk đã cho sang biểu thức tọa độ của ba điểm

A, B, C

HS: OB=2OA ⇔ |b|=2|a|; S ∆ AOC=12 ⇔|ac|=24

GV: Kết hợp các PT đó em có tìm được a,b,c không?(Có)

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Vì OB = 2OA ⇔ |b| = 2|a|; S ∆ AOC = 12 ⇔|ac |= 24

TH1: b = 2a; ac = 24 thay vào (1) ta có a2- 8a + 16=0 hay a = 4→b =8; c = 6

Bài 1.5.5 Viết PT MPđi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz

theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:

a) OA=3OB và S ∆ AOC=189

4 b) OA+OB=6 và OB+OC=8.c) OA=2OB và OB+OC=8 d) OA+OB=6 và S ∆ AOC=12

e) S ∆ AOB=1, S∆ BOC=3

Khái quát: Viết PT MPđi qua điểm M( M cho trước) và cắt ba trục Ox,

Oy, Oz theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:

a) OA=kOB, S ∆ AOC=m

b) OA+OB=k, OB+OC=m

c) OA=kOB, OB+OC=m

Với k, m là các số thực dương cho trước

GV: Sau khi đã giải xong bài toán trên, em hãy nêu cách giải

bài toán lập PT MẶT PHẲNGcắt ba trục tọa độ và thỏa mãn đk nào đó?

HS: Sau khi gọi tọa độ 3 giao điểm của MP với các trục tọa độ, từ

đk đề bài đã cho ta thiết lập hệ PT với các biến vừa gọi Giải hệ

và thay vào PT MP.

Ví dụ 1.6 Viết PT MPđi qua điểm M(1; 4; 9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz

lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho:

Hướng dẫn: bước 2: phần đầu một số câu hỏi tương tự như ý a bài 5.

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c¿0) Khi đó (P):a x+ y

a) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Sau khi gọi tọa độ ba điểm A,B,C em hãy tính OA + OB + OC.

(=a+b+c)

GV: Đẳng thức đã cho và biểu thức cần tìm GTNN có mối liên hệ gì đặc

biệt không? (Mối liên hệ gì giữa các cặp số a và 1/a; b và 4/b; c và9/c )

HS: Các cặp số trên có tích không đổi.

GV: Em liên tưởng đến bất đẳng thức nào để tìm GTNN của một tổng?HS: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhânhoặc bất đẳng thức Bunhiacôpxki

GV: Em hãy áp dụng thử với các bất đẳng thức trên

HS: Làm ra giấy nháp và trình bày cách làm của mình

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c¿0) Khi đó (P): a x+y

hay (a+b+c) ≥(1+√4 +√9)2 Dấu “=” xảy ra khi b=2a; c=3a

Thay vào (1) ta được a=7 ⇒ b=14; c=21 Vậy (P): 6x+3y+2z-42=0

Bước 4: Nhìn lại

HS có thể nhầm lẫn áp dụng bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình

cộng và trung bình nhân cho 3 số: a+b+c≥ 3√3abc; 1

Nhưng dấu bằng không xảy ra nên không thể tìm GTNN của a+b+ctheo cách này được

Bằng cách tương tự khi thay đổi hệ số của OA, OB, OC ta có bài toán:

Bài 1.6.1 Viết PT MPđi qua điểm M(1; 4; 9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz

lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho:

a) OA+OB+4OC nhỏ nhất b) 9OA+OB+25OCnhỏ nhất.

Khái quát hóa: Viết PTMP (P) đi qua điểm M(1; 4; 9) và cắt các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho: kOA +mOB+nOC nhỏ nhất( k, m, n là các số thực dương )

b)VOABC = 16abc Áp dụng bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và

trung bình nhân, cho 3 số dương: 1

a2; 4b=4.1

b và (1

b)

2 = 1

b2; 9c=9.1

c và (1

c)

2 = 1

c2.Liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacốpxki

a2+ 1

b2+ 1

c2 nhỏ nhất bằng 981 khia=4b=9c

Thay vào (1) ta được: a = 98; b = 49/2; c = 98/9.Vậy PTMP (P):x+4y+9z-98=0

Tương tự hóa:

Bài 1.6.2 Viết PT MPđi qua điểm M(1; 4; 9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz

lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho:

Khái quát hóa: Viết PT MPđi qua điểm M(1; 4; 9) và cắt các tia Ox, Oy,

Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho: k

OA2+ m

OB2+ n

OC2 nhỏ nhất.(k,m,n

là các số dương cho trước)

Vì OABC là tứ diện có ba góc vuông tại đỉnh O nên biểu thức

OC2 với H là hình chiếu của O trên MP (ABC)) Từ đó em

có thể đề xuất bài toán nào?

Bài 1.6.3 Viết PT MPđi qua điểm M(1;4;9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần

lượt tại các điểm A, B, C sao cho khoảng cách từ O đến MP (ABC) lớnnhất

GV: Tọa độ điểm M trong các bài toán trên có thể thay bởi một điểm có

tọa độ bất kỳ không? Các điểm A, B, C có nhất thiết phải nằm trên cáctia Ox, Oy, Oz không?

HS: M(x;y;z) với x, y, z là các số thực dương cho trước Các điểm A, B, Cnhất thiết phải nằm trên các tia Ox, Oy, Oz

Nhận xét: Viết PTMP cắt ba trục tọa độ và một biểu thức nào

đó đạt cực trị, sau khi gọi tọa độ các điểm, tìm cực trị của biểu thức, từ dấu “=” xảy ra của cực trị ta tìm được tọa độ các điểm.

2.2 Dạng toán về viết phương trình đường thẳng

Theo chương trình hiện hành, trong sách giáo khoa không trìnhbày về PTTQ của đt (giao tuyến của hai Mp) nên việc xác định PT đtquy về xác định hai yếu tố: một điểm và một VTCP

Với dạng toán về lập PT đt, chúng tôi trình bày một số dạng toán:

1 Viết ptđt qua một điểm và xác định VTCP thông qua tích có hướngcủa 2 véc tơ

2 Viết ptđt qua một điểm và xác định VTCP thông qua lập hệ pt

3 Viết ptđt liên quan đến cắt một đường thẳng khác

4 Viết ptđt chưa biết một điểm thuộc đt và liên quan đến khoảng cách

và đề xuất một số câu hỏi, gợi ý, hướng dẫn HS như sau:

- Có thể xác định VTCP của đt bằng những cách nào?

Cách 1: Hai điểm phân biệt thuộc đt

Cách 2: VTCP vuông góc với hai véc tơ không cùng phương đã biết.Cách 3: Giải hệ 2 PT với ba thành phần tọa độ của VTCP

- Đk cần và đủ để hai đt cắt nhau? (Chúng có điểm chung duy nhất)

- Với bài toán lập PT đường thẳng liên quan đến đt đó cắt một đt chotrước ta có thể đưa về bài toán dạng nào?

Đưa về bài toán tìm giao điểm của đt đó với đt cho trước

- Với bài toán lập PT đt liên quan đến giao điểm của nó với một đt khác

ta có thể xác định được tọa độ giao điểm đó bằng cách nào?

Gọi tọa độ của điểm theo PT tham số của đt đã cho và xác định giá trịcủa tham số đó

Ví dụ 2.1 Viết PT đt d đi qua điểm A(1;2;-3), song song với (P):

2x-y+z-1=0 đồng thời vuông góc với d’: x−12 =y

z+ 2

Bước 1: Hiểu bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Để viết PT đt d, em đã biết yếu tố nào và cần xác định yếu tố nào?

HS: Biết một điểm thuộc d, cần xác định tọa độ một VTCP của d

GV: Xem xét các giả thiết còn lại, có mối liên hệ nào giữa VTCP của dvới các yếu tố của MP (P) và d’ không? Đó là liên hệ như thế nào?

HS: d//(P) thì VTCP của d vuông góc với VTPT của (P); d⊥d’ thì VTCPcủa d vuông góc với VTCP của d’.

GV: Tương tự với phần lập PT MP, mối liên hệ trên có giúp em xác địnhđược tọa độ một VTCP của d không? Nếu có hãy nêu cách xác định?HS: Có, tích có hướng của một VTPT của (P) và một VTCP của d nếukhác véc tơ 0 sẽ là một VTCP của d

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Kiểm tra lời giải: Các đk đã được biến đổi tương đương chưa? Đt đã lập

đã thỏa mãn bài toán chưa? (Thử lại A không thuộc (P) nên d// MP (P))

Nghiên cứu lời giải:

GV: Đk nào để bài toán trên tồn tại PT đt d?

HS: Nếu d’ vuông góc với MP (P) hoặc A∈ MP (P) thì không tồn tại PT đt

d Tồn tại duy nhất trong các trường hợp còn lại

GV: Qua bài toán trên, em rút ra nhận xét gì về cách tìm VTCP

phương?

HS: [ a , b ] là một VTCP của d.

Như đã trình bày trong ví dụ minh họa , ta có thể đề xuất các bài toántương tự sau:

Bài 2.1.1 Viết PT đt d đi qua điểm A(1;2;-3) và

a) vuông góc với hai đt d1: x−12 =y

x-Khái quát: Viết PT đt d trong các trường hợp sau:

a) Đi qua điểm A, song song với Mp(P) và vuông góc với đt d’ ((P)không vuông góc với d’).

b) Đi qua điểm A và vuông góc với hai đt d1 và d2 (d1, d2 phân biệt vàkhông song song)

c) Đi qua điểm A, nằm trong MP (P) và vuông góc với đt d’ (A nằmtrong (P) và (P) không vuông góc với d’)

d) Đi qua giao điểm của đt d’ và MP (P), nằm trong (P) và vuông gócvới đt d’ ( đt d’ cắt MP (P))

Ví dụ 2.2 Cho MP (P): x-y+z-3=0, d1: x+21 = y−3

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Để viết PT đt, em đã biết yếu tố nào? Cần tìm yếu tố nào? Dựa vào

đâu?

HS: Đã biết một điểm thuộc d, cần phải xác định tọa độ một VTCP của

d dựa vào các đk mà bài toán đã cho

GV: Các đk đã cho có mối liên hệ như thế nào với VTCP của d?

HS: d//(P) thì VTCP của d vuông góc với VTPT của (P) Biết góc giữa d

và d1 thì suy ra góc giữa hai VTCP của d và d1

GV: Từ mối liên hệ trên, nêu cách tìm VTCP của d

HS: Gọi tọa độ VTCP của d Từ các đk trên lập hệ hai PT với ba ẩn là bathành phần tọa độ của VTCP ta suy ra tọa độ VTCP của d

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Gọi u=(a ,b ,c ) (a2+b2+c2≠0) là một VTCP của d

Kiểm tra lời giải: Đk góc giữa hai đt là biến đổi tương đương nên không

phải thử lại Đk d//MP (P) thì u⊥n P nhưng điều ngược lại có đúng không?Kiểm tra lại bằng cách nào? (Điều ngược lại chưa chắc đã đúng vì d cóthể nằm trong (P), kiểm tra bằng cách: Vì A không thuộc (P) nênd//(P))

Như vậy nếu A thuộc (P) thì bài toán có tồn tại không? (Không tồn tại)

Cách 2: Lập Mp(Q) qua A và song song với Mp(P), khi đó d qua A nằm

trong Mp(Q) và tạo với đt d1 góc 300

Trong bài toán trên giả thiết d tạo với d1 được sử dụng như thế nào?(góc giữa hai véc tơ u, u1)

Bài 2.2.1 Viết PT đt d qua A(1;0;3), song song với (P): x-y+z-3=0 đồng

thời tạo với (Q):x+2y+z-3=0 một góc 600

đồng thời tạo với (Q):x+2y+z-3=0 một góc 600

Thay đk d qua A và d//(P) trong bài 3 bởi đk d nằm trong (P) và cắt đt ∆

ta được bài toán

.Đặc biệt d1 và d2 trùng nhau ta có bài toán

z−3

1 , MP (P):x-y+z-4=0 Viết PT đt d nằmtrong MP (P), cắt và tạo với đt d1 một góc 300

.