c) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
2.5.4. Dạng toán tìm điểm
Ví dụ 5.4. Cho A(1;2;3), B(4;4;5), C(2;1;-1). Tìm điểm M thuộc Mp Oxy sao cho:
a) MA + MB nhỏ nhất. b) |MA-MC| lớn nhất.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Em đã gặp bài toán nào tương tự trước đây chưa? Đó là bài toán
nào? Phương pháp giải bài toán đó? Đối tượng của bài toán có gì khác không, có vận dụng phương pháp giải đó để giải bài toán này được không? MP trong không gian tương tự với đối tượng nào trong MP? Phát biểu cách làm nếu được.
HS: Đã gặp bài toán tương tự trong MP tọa độ Oxy. Đó là bài toán: cho đt d và hai điểm A, B không thuộc d. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất. Phương pháp làm: Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B so với đt d và dựa vào bất đẳng thức MA + MB AB, dấu”=” xảy ra khi M thuộc đoạn AB. Vì MP trong không gian tương tự với đt trong MP nên vận dụng phương pháp này được. Cách làm: Xét vị trí tương đối của 2 điểm A, B với MP Oxy và dựa vào bất đẳng thức MA + MB AB, dấu”=” xảy ra khi M thuộc đoạn AB.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Oxy: z=0, T=3.5>0 nên A, B nằm về cùng một phía so với MP(Oxy). Gọi A’ đối xứng với A qua MP(Oxy), ta có A’(1;2;-3) và B nằm về hai phía của MP(Oxy) và AM = A’M nên AM + MB = A’M + MB A’B với mọi M thuộc MP(Oxy), dấu “=” xảy ra khi M thuộc đoạn A’B. Do đó AM + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M là giao điểm của A’B và Oxy nên M (.
Bước 4: Nhìn lại
Câu b) (Tương tự với ý a) đưa về bài toán tương tự trong MP tọa độ Oxy. Tương tự với bài toán trên ta có bài toán:
Bài 5.4.1. Cho A(3;1;0), B(0;0;1), C(-9;4;9), MP (P): 2x-y+z+1=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc MP (P) sao cho:
Khái quát hóa: Cho MP (P), hai điểm A,B không thuộc MP (P). Tìm M thuộc MP (P) sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất. b) |MA-MB| lớn nhất.
Nếu thay đổi bài toán tìm điểm thuộc MP bởi điểm thuộc đt thì hướng giải quyết có gì thay đổi?
Ta biết nếu AB và d đồng phẳng thì thực hiện như bài toán đã biết trong hình học phẳng. Trong trường hợp AB và d không đồng phẳng ta đưa về trường hợp đồng phẳng bằng cách tìm điểm A’ sao cho A’B và d đồng phẳng, A’ và B nằm về 2 phía của d và AM = A’M. Cụ thể: Nếu AB và d không đồng phẳng và:
+) nếu AB vuông góc với d thì hình chiếu của A, B trên d trùng nhau là điểm H. Khi đó mọi M thuộc d ta có: MA HA, MB HB nên MA + MB HA + HB. Do đó MA + MB nhỏ nhất khi M H.
+) nếu AB không vuông góc với d, gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của
A, B trên d; A’ là điểm sao cho cùng hướng với và A1A’ = A1A, khi đó A’, B và d đồng phẳng, A’, B nằm về 2 phía của d và AM = A’M nên AM + MB = A’M + MB A’B, dấu”=” xảy ra khi M là thuộc đoạn A’B. Ta có tam giác MA1A’ đồng dạng với tam giác MB1B nên điểm M cần tìm thuộc đoạn A1B1 và MA1:MB1=AA1:BB1 hay .
Bài tập vận dụng:
Bài 5.4.2. Tìm M thuộc đt d sao cho MA + MB nhỏ nhất trong các trường hợp sau:
a) A(1;2;-1), B(7;-2;3), đt d: . b) A(3;1;1), B(4;3;4), đt d: . c) A(1;-1;0), B(3;-1;4), đt d: .
Ngoài cách giải trên, có thể gọi tọa độ điểm M thuộc d, tính MA + MB theo tham số t, đưa về bài toán tìm GTNN của biểu thức có dạng:
y= (Đưa về xét hệ trục tọa độ trong Mp) Thay đổi hình thức hỏi, ta có bài toán:
Bài 5.4.3. Cho A(1;5;0), B(3;3;6), đt d:
1 1
2 1 2
x+ = y− = z
Bài 5.4.4. Cho E(2;1;5), F(4;3;9). Đt d là giao tuyến của hai MP (P): 2x+y-z+1=0, (Q): x-y+2z-7=0. Tìm M thuộc d sao cho |ME-MF| lớn nhất.
Mở rộng thành tìm 2 điểm trên hai đt song ta có bài toán:
Bài 5.4.5. Cho A(1;1;4), B(-1;-5;-4), d: , d’: . Tìm điểm M thuộc d, N thuộc d’ sao cho:
a) AM + MN + NB nhỏ nhất.
b) AM + MN + NB nhỏ nhất và MN vuông góc với d.
Tìm hai điểm trên hai MP ta có bài toán:
Bài 5.4.6. Cho A(1;1;2), B(2;4;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc MP (Oxz), N thuộc MP(Oxy) sao cho AM + MN + NB nhỏ nhất.
Bài 5.4.7. Cho mặt cầu (S): (x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=9, MP (P): 2x+2y- z+16=0, đt d: , điểm A(2;2;1).
a) Tìm điểm M thuộc d sao cho AM nhỏ nhất.
b) Tìm điểm M thuộc MP (P) sao cho AM nhỏ nhất.
c) Tìm điểm M thuộc (S) sao cho AM nhỏ nhất, lớn nhất.
d) Tìm điểm M thuộc (S), N thuộc MP (P) sao cho MN nhỏ nhất.
Bài 5.4.8. Cho A(0;1;1), B(1;0;-3), C(-1;-2;-3), (S):x2+y2+z2-2x+2z-2=0. Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích khối ABCD lớn nhất.
Ví dụ 5.5. Cho A(-2;1;0), B(1;0;1), MP (P): x - y + 2z – 9 = 0. Tìm tọa
độ điểm M thuộc Mp (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Biểu thức MA2 + MB2 gợi cho em liên tưởng đến công thức nào
trong tam giác? Nêu công thức đó, từ công thức đó nêu đk để MA2 +
MB2 nhỏ nhất, vì sao?
HS: Công thức đường trung tuyến: MA2 + MB2 = 2MI2 +
1
2 AB2 (*), (I là
trung điểm của AB). Nên MA2+MB2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất (vì AB không
đổi).
GV: Điểm cần tìm còn phải thỏa mãn đk nào? Điểm I đã xác định chưa? Nêu vị trí điểm M cần tìm?
GV: Công thức (*) còn đúng không nếu A, B, M không lập thành tam giác? Để chứng minh công thức (*) em sẽ dùng phương pháp gì và để biến đổi vế trái thành vế phải em nghĩ đến “chèn” điểm nào?
HS: Công thức (*) vẫn đúng nếu A, B, M không lập thành tam giác, dùng phương pháp véc tơ để chứng minh công thức (*) bằng cách
“chèn” điểm I vào các véc tơ: MA MB,
uuur uuur
.
GV: Điểm I có vai trò như thế nào trong đẳng thức véc tơ liên hệ với A, B? HS: IA IBuur uur r+ =0
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Gọi I là trung điểm của AB thì I
1 1 1; ; ; ; 2 2 ( ) 2 − .
Ta có: MA2 + MB2 = (MI IAuuur uur+ )2 + (uuur uurMI IB+ )2 = 2MI2 + IA2 + IB2.
Do IA, IB không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Vì I cố
định, M(P) nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
Đt IM qua I và vuông góc với (P) có PT:
1 1 1 2 2 2 1 1 2 x+ y− z− = = − .
M là giao điểm của MI và (P) nên M(1;-1;
7 2).
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: +) Nếu nói áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến để có công thức (*) có đúng không? Vì sao? (Không đúng vì M, A, B có thể thẳng hàng)
Nghiên cứu lời giải: Ngoài cách giải trên còn cách giải khác không?
Cách 2: (Dùng tọa độ đưa về tìm GTNN của biểu thức đại số) Gọi M(a;b;c)(P), ta có a- b+2c- 9=0 MA2 + MB2 = (a+2)2 + (b-1)2 + c2 + (a-1)2 + b2 + (c-1)2 (2a+1)2 + (2b-1)2 + (2c-1)2 + 11] Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 1 1 ( ) (2 ) (2 )2 3 2a 1 2b 1 2c 1 . + + − + −
( ) (2 ) (2 )2 22 1 2 1 2 1 81. 2 1 2 1 2 1 81. 3 a b c ⇒ + + − + − ≥ = 54
Dấu “=” xảy ra khi:
( ) ( ) 2 2a 1 2 2b 1 2 1 0 2 9 c a b c + = − − = − > − + = 7 1; 1; 2 a b c ⇒ = = − = . Vậy MA2 + MB2 nhỏ nhất bằng 65 2 khi M(1;-1; 7 2).
Cách 3: (Kết hợp đại số hóa và hình học tọa độ)
Tương tự cách 2: MA2+MB2 = 2[(a + 1 2)2 + (b - 1 2)2 + (c - 1 2)2] + 11 2 . Do đó MA2 + MB2 nhỏ nhất khi (a + 1 2)2 + (b - 1 2 )2 + (c - 1 2)2 nhỏ nhất hay MI2 nhỏ nhất với I( 1 1 1 ; ; 2 2 2 − ).
Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên M(1;-1;
7 2).
Nghiên cứu sâu bài toán:
1. Đặc biệt hóa: (Khi I thuộc MP (P), AB)
Cho A(-2;1;0), B(10;-3;4), MP (P): x-y+2z-9=0. Tìm M thuộc (P) sao cho:
a) MA2 nhỏ nhất. b) MA2 + MB2nhỏ nhất.
2. Cách phát biểu khác: Cho A(-2;1;0), B(1;0;1), M(1;-1;
7
2), MP (P): x - y +2z-9=0. Chứng minh rằng MA2+MB2 ≥NA2 + NB2 với mọi N thuộc (P).
3. Tương tự hóa:
1) Cho A(-2;1;1), B(2;-2;1), MP (P): x-y+2z-9=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc Mp (P) để :
a) MA2 + MB2 nhỏ nhất. b) MA2 + 2MB2 nhỏ nhất.
2) Cho A(-2;1;1), B(2;-2;1), mặt cầu (S): x2 + (y-2)2 + (z+1)2 = 9, đt d:
3 4 1
2 3 5
x− = y+ = z+
. Tìm tọa độ điểm M sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất biết: a) M bất kỳ. b) M thuộc d. c) M thuộc (S). Khi thay cặp hệ số 1; 1 bởi cặp hệ số thực bất kỳ, thay 2 điểm bởi n điểm ta có:
4. Khái quát hóa:
Cho n điểm A1, A2,…An và Mp (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho: a) k1MA12+ k2MA22+…+ knMAn2 nhỏ nhất với k1 + k2 +…+kn>0.
b) k1MA12+ k2MA22+…+ knMAn2 lớn nhất với k1+ k2+…+kn<0. c) |k1MAuuuur1+k MA2uuuur2 +…+k MAnuuuurn | nhỏ nhất với k
1+ k2 +…+kn ≠0.
Cũng có thể thay đổi điểm M thuộc (P) bởi M tùy ý trong không gian, M thuộc đt d hay M thuộc mặt cầu (S) cho trước.
5. Đề xuất các bài toán khác: Xuất phát từ công thức (*) ta có bài toán
Bài 1: Trong không gian cho điểm A, B, MP (P), I là trung điểm của AB. CMR:
a) 4MI2 = 2MA2 + 2MB2 - AB2 với mọi điểm M. b) MA2+MB2
2
2
AB
≥
với mọi điểm M.
c) MA2+MB2 ≥ 2d2 +2 IA2 với d = d(I,(P)), mọi M thuộc (P).
Xuất phát từ cách chứng minh công thức (*) bằng phương pháp véc tơ ta có
Bài 2: Cho A(-2;1;0), B(1;0;1). Tìm tọa độ điểm M sao choMA MBuuur uuur. nhỏ nhất
a) với M tùy ý.
b) với M thuộc MP (P): x-y+2z-9 = 0. c) với M thuộc Đt d:
3 4 1
2 3 5
x− = y+ = z+ . Xuất phát từ cách giải 3 ta có bài toán:
Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: x-y+2z-9=0, tìm GTNN của biểu thức:
F= 4x2 + 4y2 + 4z2 + 4x - 4y - 4z + 5.
Khái quát bài toán trên ta có bài toán:
1) Tìm GTNN của biểu thức F = k(x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d) biết mx
+ ny + pz + q = 0 với a2 + b2 + c2 – d > 0, k > 0, m2 + n2 + p2> 0.
2) Cho x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Tìm GTLN của biểu thức E = mx + ny + pz + q với a2 + b2 + c2 – d > 0, k > 0, m2 + n2 + p2
> 0. Qua cách giải được trình bày trong ví dụ trên ta cũng suy ra cách chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 3 bộ số.
Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 3 bộ số.
Hướng dẫn: Xét MP (P) có PT: ax + by + cz = 0, điểm M(x; y; z). Ta có d(M,(P)) ≤MO hay d2(M,(P)) ≤MO2 ⇔ (ax+by+cz)2 ≤ (a2+b2+c2) (x2+y2+z2). Dấu”=” xảy ra khi OM ⊥ (P) hay cùng phương với nuurP
= (a;b;c).
Bài 5: Cho mặt cầu (S): x2 + (y-2)2 + (z+1)2 = 9. Tìm điểm M thuộc Mp (P): x-y+2z-9=0 sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đầu đường kính nhỏ nhất.
Bài 6: Cho A(-2;1;0), B(1;0;1). Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2 + MB2 = k.