c) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
2.2. Dạng toán về viết phương trình đường thẳng
Theo chương trình hiện hành, trong sách giáo khoa không trình bày về PTTQ của đt (giao tuyến của hai Mp) nên việc xác định PT đt quy về xác định hai yếu tố: một điểm và một VTCP.
Với dạng toán về lập PT đt, chúng tôi trình bày một số dạng toán:
1. Viết ptđt qua một điểm và xác định VTCP thông qua tích có hướng của 2 véc tơ.
2. Viết ptđt qua một điểm và xác định VTCP thông qua lập hệ pt. 3. Viết ptđt liên quan đến cắt một đường thẳng khác.
4. Viết ptđt chưa biết một điểm thuộc đt và liên quan đến khoảng cách và đề xuất một số câu hỏi, gợi ý, hướng dẫn HS như sau:
- Có thể xác định VTCP của đt bằng những cách nào? Cách 1: Hai điểm phân biệt thuộc đt.
Cách 2: VTCP vuông góc với hai véc tơ không cùng phương đã biết. Cách 3: Giải hệ 2 PT với ba thành phần tọa độ của VTCP.
- Đk cần và đủ để hai đt cắt nhau? (Chúng có điểm chung duy nhất) - Với bài toán lập PT đường thẳng liên quan đến đt đó cắt một đt cho trước ta có thể đưa về bài toán dạng nào?
Đưa về bài toán tìm giao điểm của đt đó với đt cho trước.
- Với bài toán lập PT đt liên quan đến giao điểm của nó với một đt khác ta có thể xác định được tọa độ giao điểm đó bằng cách nào?
Gọi tọa độ của điểm theo PT tham số của đt đã cho và xác định giá trị của tham số đó.
Ví dụ 2.1. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;2;-3), song song với (P): 2x- y+z-1=0 đồng thời vuông góc với d’: .
Bước 1: Hiểu bài toán
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Để viết PT đt d, em đã biết yếu tố nào và cần xác định yếu tố nào?
HS: Biết một điểm thuộc d, cần xác định tọa độ một VTCP của d.
GV: Xem xét các giả thiết còn lại, có mối liên hệ nào giữa VTCP của d với các yếu tố của MP (P) và d’ không? Đó là liên hệ như thế nào?
HS: d//(P) thì VTCP của d vuông góc với VTPT của (P); d⊥d’ thì VTCP của d vuông góc với VTCP của d’.
GV: Tương tự với phần lập PT MP, mối liên hệ trên có giúp em xác định được tọa độ một VTCP của d không? Nếu có hãy nêu cách xác định? HS: Có, tích có hướng của một VTPT của (P) và một VTCP của d nếu khác véc tơ sẽ là một VTCP của d.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
lần lượt là một VTPT của (P) và một VTCP của d’. là một VTCP của d
d qua A(1;2;-3) và nhận là một VTCP nên có PT:
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Các đk đã được biến đổi tương đương chưa? Đt đã lập đã thỏa mãn bài toán chưa? (Thử lại A không thuộc (P) nên d// MP (P)).
Nghiên cứu lời giải:
HS: Nếu d’ vuông góc với MP (P) hoặc A MP (P) thì không tồn tại PT đt d. Tồn tại duy nhất trong các trường hợp còn lại.
GV: Qua bài toán trên, em rút ra nhận xét gì về cách tìm VTCP của đt d nếu VTCP của d vuông góc với 2 véc tơ không cùng phương?
HS: [] là một VTCP của d.
Như đã trình bày trong ví dụ minh họa , ta có thể đề xuất các bài toán tương tự sau:
Bài 2.1.1. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;2;-3) và a) vuông góc với hai đt d1: và d2: .
b) nằm trong (P): 2x-y+z+3=0 và vuông góc với d’:.
Bài 2.1.2. Viết PT đt d đi qua giao điểm của d’: và (P): x-y+2z-4=0 đồng thời nằm trong (P), vuông góc với d’.
Khái quát: Viết PT đt d trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm A, song song với Mp(P) và vuông góc với đt d’ ((P)
không vuông góc với d’).
b) Đi qua điểm A và vuông góc với hai đt d1 và d2 (d1, d2 phân biệt và không song song).
c) Đi qua điểm A, nằm trong MP (P) và vuông góc với đt d’ (A nằm
trong (P) và (P) không vuông góc với d’).
d) Đi qua giao điểm của đt d’ và MP (P), nằm trong (P) và vuông góc
với đt d’ ( đt d’ cắt MP (P)).
Ví dụ 2.2. Cho MP (P): x-y+z-3=0, d1: . Viết PT đt d qua điểm A(1;0;3), song song với MP (P) đồng thời tạo với đt d1 một góc 300.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Để viết PT đt, em đã biết yếu tố nào? Cần tìm yếu tố nào? Dựa vào
đâu?
HS: Đã biết một điểm thuộc d, cần phải xác định tọa độ một VTCP của d dựa vào các đk mà bài toán đã cho.
GV: Các đk đã cho có mối liên hệ như thế nào với VTCP của d?
HS: d//(P) thì VTCP của d vuông góc với VTPT của (P). Biết góc giữa d và d1 thì suy ra góc giữa hai VTCP của d và d1.
HS: Gọi tọa độ VTCP của d. Từ các đk trên lập hệ hai PT với ba ẩn là ba thành phần tọa độ của VTCP ta suy ra tọa độ VTCP của d.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Gọi (a2+b2+c20) là một VTCP của d.
=(1;-1;1) là một VTPT của (P), =(1;2;1) là một VTCP của d1.
Vì d//(P) nên ⊥ hay a – b + c = 0 (1)
|cos(, )| = 4(a + 2b + c)2 = 6(a2 + b2 + c2) (2)
Từ (1): b = a + c thế vào (2): ta được a = -2c hoặc c = -2a.
TH1: Chọn a = 2 thì c = -1, b = 1. TH2: Chọn a = 1thì c = -2, b = -1. Vậy PT đt d: hoặc .
Vì A không thuộc (P) nên d//(P) nên hai PT trên là các PT cần lập.
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Đk góc giữa hai đt là biến đổi tương đương nên không phải thử lại. Đk d//MP (P) thì ⊥ nhưng điều ngược lại có đúng không? Kiểm tra lại bằng cách nào? (Điều ngược lại chưa chắc đã đúng vì d có thể nằm trong (P), kiểm tra bằng cách: Vì A không thuộc (P) nên d//(P)). Như vậy nếu A thuộc (P) thì bài toán có tồn tại không? (Không tồn tại)
Cách 2: Lập Mp(Q) qua A và song song với Mp(P), khi đó d qua A nằm trong Mp(Q) và tạo với đt d1 góc 300.
Trong bài toán trên giả thiết d tạo với d1 được sử dụng như thế nào?
(góc giữa hai véc tơ , )
Bài 2.2.1. Viết PT đt d qua A(1;0;3), song song với (P): x-y+z-3=0 đồng
thời tạo với (Q):x+2y+z-3=0 một góc 600.
Bài 2.2.2. Viết PT đt d qua điểm A(1;0;3), tạo với đt d1: một góc 300
đồng thời vuông góc với d2: .
Bài 2.2.3. Viết PT đt d qua điểm A(1;0;3), vuông góc với đt d1: đồng
thời tạo với (Q):x+2y+z-3=0 một góc 600.
Thay đk d qua A và d//(P) trong bài 3 bởi đk d nằm trong (P) và cắt đt ∆ ta được bài toán
Bài 2.2.4. Cho đt d1: ; d2: . Viết PT đt d nằm trong Mp(P): x-y+z-4=0, cắt đt d1, đồng thời tạo với d2 một góc 300
.
Bài 2.2.5. Cho d1: , MP (P):x-y+z-4=0. Viết PT đt d nằm trong MP (P), cắt và tạo với đt d1 một góc 300
.
Trong bài 2.2.4 nếu tách giả thiết d⊂(P), d cắt d1 và thay đk d⊂(P) bởi d qua A, các đk khác giữ nguyên ta được bài toán:
Bài 2.2.6. Cho d1: và d2: . Viết PT đt d qua A(1;0;3), cắt đt d1 và tạo với d2 một góc 300
.
Khi thay tọa độ điểm A, PT các đt, MP, góc bởi giá trị bất kỳ tương ứng ta có bài toán:
Khái quát hóa: +) Viết PT đt d qua A và
1) d song song với Mp(P), tạo với đt d1 góc cho trước.
2) d // (P), tạo với Mp(Q) một góc cho trước. ((P) không song song với
(Q)).
3) vuông góc với đt d1, tạo với đt d2 góc cho trước.(d1 không song song với d2)
4) vuông góc với đt d1, tạo với Mp(P) góc cho trước.
5) cắt đt d1 và tạo với đt d2 góc cho trước.
+) Viết PT đt d nằm trong Mp(P), cắt đt d1 và tạo với d2 một góc cho
trước.
Nhận xét: Như vậy, với bài toán viết PT đt đi qua một điểm và liên quan đến góc, ta nên tìm VTCP thông qua việc giải hệ 2 PT ba ẩn (là ba thành phần tọa độ của VTCP).
Ví dụ 2.3. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;-1;1) và cắt hai đt d1: và d2: .
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Để viết PT đt d đã biết yếu tố nào? cần xác định thêm yếu tố nào
nữa?
HS: Biết một điểm, cần xác định một VTCP.
GV: Trong bài toán này, em có tìm được ngay một VTCP của d hay không? (Chưa)
GV: Theo yêu cầu đề bài, đk để hai đt cắt nhau là gì? HS: Đk hai đt cắt nhau là chúng có điểm chung duy nhất?
GV: Nếu tìm được giao điểm của d với d1, d2 thì có thể tìm được VTCP
của d không? Nêu một cách xác định VTCP của d.
HS: Có, d qua A và qua hai giao điểm M, N nữa nên là một VTCP của d.
GV: Như vậy, nếu tìm được một trong hai giao điểm M, N thì tìm được
thời bỏ qua đk duy nhất, nếu M là giao điểm của d với d1 thì M phải thỏa mãn những đk gì?
HS: M nằm trên d và d1, M nằm trên d1 thì tọa độ M thỏa mãn PT đt d1. GV: Em có thể nêu đk tương tự với điểm N không? Đó là đk gì?
HS: N nằm trên d và d2, N nằm trên d2 thì tọa độ N thỏa mãn PTđt d2. GV: Quay lại đk M,N nằm trên d, đt d còn thỏa mãn đk nào nữa? HS: d qua A.
GV: Đk ba điểm cùng nằm trên d là gì? HS: Hai véc tơ , cùng phương.
GV: Tìm M, N đưa về tìm các ẩn nào? Dựa vào đk nào để có thể tìm được các ẩn này?
HS: Đưa về tìm các tham số t, u của d1, d2. Dựa vào , cùng phương để
tìm các tham số.
GV: Đk , cùng phương là gì?
HS: =k hoặc [, ]=.
GV: Khi đó em có hệ PT mấy ẩn? Hệ này có thể đưa về hệ quen thuộc
đã biết cách giải không?
HS: Nếu sử dụng = k thì hệ PT có 3 ẩn t, u, k. Có thể đưa về hệ bậc
nhất với 3 ẩn t, u, ku. Nếu sử dụng [, ] = thì hệ PT có 2 ẩn t, u, và hệ này có thể đưa về hệ PT bậc nhất với 3 ẩn t, u, tu.
GV: Làm tiếp và trình bày cách giải.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d với d1, d2. Vì M d1 nên gọi M(1+2t; t; 3-t), N d2 nên gọi N(-2+u; 3-2u; u)
(2t; t+1; 2-t), (-3+u; 4-2u; u-1)
Do A, M, N thẳng hàng nên , cùng phương = k . Vậy =(-3; -; ).
Do đó d: đi qua A và nhận 2.=(-6;-1; 7) là một VTCP nên d: .
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Thử lại: d đi qua M,N nên d và d1, d2 có điểm chung, mà A không thuộc d1, d2 nên d không trùng với d1, d2 do đó d thỏa mãn bài toán.
Ở lời giải trên, sau khi tìm được giá trị của tham số t không cần thay vào tọa độ M mà chỉ cần thay vào tọa độ .
Sự tồn tại của bài toán: Liệu bài toán lúc nào cũng tồn tại và tồn tại duy nhất một đt không? (ở đây chỉ xét d1 và d2 phân biệt)
Khi A không nằm trên d1 và d2
TH1: Nếu d1 và d2 chéo nhau thì tồn tại duy nhất đt d. TH2: Nếu d1 và d2 song song có 2 khả năng:
i) Nếu A, d1 và d2 đồng phẳng thì có vô số đt d.
ii) Nếu A, d1 và d2 không đồng phẳng thì không tồn tại đt d. TH3: Nếu d1 và d2 cắt nhau tại I thì d là đt qua hai điểm A và I. (Áp dụng định lí về giao tuyến của ba MP)
Xuất phát từ cách phân tích trên, bài toán còn có thể giải như thế nào?
Cách 2: Từ đk [, ]= cũng tìm được t, u và từ đó tìm được VTCP của d.
Cách 3: Nếu sử dụng đk: “hai đt cắt nhau thì đồng phẳng” thì đt d là giao tuyến của MP(A, d1) và MP(A, d2).
MP (A, d1): 3x-4y+2z-9=0, MP (A, d2): 4x+3y+2z-2=0
Hình 4
Cách 4: Sau khi lập xong PT MP(A, d1) em có thể tìm được tọa độ N không? Khi đó em có cách khác giải không? (Tìm N là giao điểm của MP(A, d1) và d2, từ đó tìm được tọa độ của )
Nghiên cứu tiếp bài toán: Trong cách giải 1 của bài toán đk d đi qua A được sử dụng ở những chỗ nào? (A, M, N thẳng hàng và d qua A.) Tương tự nếu thay đk d qua A bởi đk d⊥MP (P), d//∆, d nằm trong MP (P) thì ta có bài toán như thế nào? Khi đó em sẽ giải như thế nào?
Bài 2.3.1. Cho hai đt d1: và d2:. Viết PT đt d :
a) d vuông góc với MP (P): x+y+z-2=0 và cắt hai đt d1 và d2. b) d song song với ∆: và cắt hai đt d1 và d2.
c) d nằm trong MP (P): x+y+z-2=0 và cắt hai đt d1 và d2. Hướng dẫn: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d với d1, d2.
a) Ta có d⊥(P) nên là VTPT của (P). Từ và cùng phương tìm được M, N. b) Thay đk , cùng phương bởi là một VTCP của ∆.
c) Ta có d⊂(P) nên M và vuông góc với một VTPT của (P). Hoặc giao điểm của d với d1, d2 chính là giao điểm của d1,d2 với MP (P) nên tìm M, N bằng cách đưa về tìm giao điểm của d1,d2 với Mp(P).
Thay đk d qua A bởi d vuông góc với cả hai đt thì có những khả năng nào?
Nếu d1 và d2 chéo nhau thì có mấy đt d và đt d chính là đt có tên gọi
như thế nào? (Có duy nhất và bài toán đưa về viết PT đường vuông góc chung của hai đt chéo nhau.)
Nếu d1 và d2 cắt nhau thì có mấy đt d, đó là đt xác định như thế nào?
(Có duy nhất và d là đt đi qua giao điểm của d1 và d2 đồng thời vuông
góc với MP(d1,d2).)
Nếu d1 và d2 song song thì có mấy đt d, đt d xác định như thế nào? (Có
vô số đt d, là các đt nằm trong MP(d1,d2) và vuông góc với hai đt d1,d2.)
Bài 2.3.2.
Viết PT đường vuông góc chung của hai đt d1: và d2:
2 3 1
1 2 3
x− = y+ = z− . Hướng dẫn: Thay đk , cùng phương bởi đk vuông góc với các VTCP của d1 và d2.
Cách 2: MN là đoạn vuông góc chung khi MN nhỏ nhất.
Cách 3: MN là giao tuyến của (P) và (Q) với (P) chứa d1 và d, (Q) chứa d2 và d. Trong đó: d nhận tích có hướng của hai VTCP của d1 và d2 là một VTCP.
Khi thay giả thiết cắt d2 bởi giả thiết vuông góc với d2 thì ta có bài toán và cách làm như thế nào?
Bài 2.3.3. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;-1;1), cắt đt d1: và vuông góc với
d2:
2 3
1 2 1
x+ = y− = z
− .
Hướng dẫn: Gọi M(1+2t;t;3-t)d1. Ta có d⊥d2 nên ⊥=(1;-2;1) là một VTCP của d2.
Cách 2: d là giao tuyến của Mp(A,d1) và Mp(Q): qua A và vuông góc với d2.
Khi d1 và d2 trùng nhau thì ta có bài toán:
Bài 2.3.4. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;-1;1) vuông góc và cắt đt d1:. Bây giờ khi giữ nguyên đk cắt d1, vuông góc với d2 và thay đổi đk d qua A bởi d nằm trong Mp(P) ta có bài toán:
Bài 2.3.5. Viết PT đt d nằm trong Mp (P): x+y-z+2=0 cắt đt d1: và vuông góc với d2: .
Trong bài 2.3.4 cho d1 và d2 trùng nhau thì ta có bài toán:
Bài 2.3.6. Viết PT đt d nằm trong Mp(P): x+y-z+2=0 cắt và vuông góc với đt d: .
Trong ví dụ 2.3 giữ nguyên giả thiết d qua A, cắt d1 và thay giả thiết d
cắt d2 bởi d //(P) ta có bài toán:
Bài 2.3.7. Cho A(1;-1;1), d1:và MP (P): x+y-z+2=0. Viết PT đt d qua A, song song với MP (P) và cắt đt d1.
Trong bài 2.3.6, gọi d cắt d1 tại M, nếu thay giả thiết d//(P) bởi đk d cắt (P) tại N sao cho AM = 2AN ta được bài toán:
Bài 2.3.8. Viết PT đt d qua A(1;2;3), d lần lượt cắt đt d1: tại M, cắt Oxy tại N sao cho AM=2AN.
Hướng dẫn: Gọi tọa độ M thuộc d1, N thuộc Oxy. Từ 2 đk: A, M, N thẳng
hàng và AM=2AN ta tìm được tọa độ điểm M.
Cách 2: A, M, N thẳng hàng và AM = 2AN nghĩa là: hoặc . Gọi tọa độ M(t;1-t;t)
trên d1, từ đẳng thức véc tơ trên tính được tọa độ điểm N theo t. Do N
thuộc Oxy nên thay tọa độ N vào MP(Oxy) ta tìm được t hay là tính được tọa độ .
Khái quát hóa: Viết PT đt d biết:
1) d qua A và cắt hai đt d1, d2.
2) d vuông góc với Mp(P) và cắt hai đt d1, d2.
3) d song song với đt ∆ và cắt hai đt d1, d2.
4) d nằm trong Mp(P) và cắt hai đt d1, d2.
5) d vuông góc và cắt hai đt d1, d2.( d là đường vuông góc chung của
hai đt d1, d2).
6) d qua A, cắt đt d1 và vuông góc với đt d2.
7) d nằm trong Mp(P), cắt đt d1 và vuông góc với đt d2.
8) d qua A, song song với Mp(P) và cắt đt d1.