c) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
2.4.Dạng toán về tìm tọa độ điểm
Ở mục này tôi xin trình bày 03 ví dụ về tìm tọa độ điểm: tìm điểm thuộc đt; lập ptđt đi qua điểm cần tìm; gọi tọa độ điểm cần tìm và lập hệ 03 pt với 3 ẩn là các thành phần tọa độ của điểm cần tìm.
Ví dụ 4.1.(A-2009) Cho MP (P): x-2y+2z-1=0 và đt d2: . Tìm điểm M thuộc d1: sao cho M cách đều d2 và MP (P).
Bước 1: Hiểu bài toán
GV: Xác định yêu cầu của bài toán, các đk phải thỏa mãn?
HS: Yêu cầu tìm tọa độ điểm, điểm này thuộc d1 và d(M,d2)=d(M,(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Trong các đk mà điểm cần tìm phải thỏa mãn thì đk nào theo em
nên sử dụng trước, em sử dụng đk đó như thế nào?
HS: Sử dụng đk M thuộc d1 trước, vì M d1 nên gọi M(-1+t;t;-9+6t). GV: Sau khi đã gọi M như trên, để tìm M ta đưa về tìm gì?
GV: Điểm M còn thỏa mãn đk nào không? Từ đk đó có thể tìm được t không?
HS: Từ đk còn lại: d(M,d2) = d(M,(P)) suy ra PT với tham số t do đó tìm được t.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Vì M d1 nên gọi M(-1+t; t ;-9+6t). d2 qua A(1;3;-1) và có VTCP =(2;1;-2) (2-t; 3-t; 8-6t), []=(8t-14; 20-14t; t-4) 2 , 3 29 88 68 MA u t t ⇒ uuur r = − + ⇒d(M,d2) = 29t2 −88t+68 d(M,(P)) = . Vì d(M,d2) = d(M,(P)) nên 29t2−88t+68 = t = 1 hoặc t =. Với t =1 thì M(0;1;-3), với t = thì M (. Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Vì các đk được biến đổi tương đương nên lời giải là lôgic, chính xác.
Ngoài cách giải trên còn cách khác để giải nữa không? Cách nào là tối ưu?
Cách 2: Gọi M(-1+t; t ;-9+6t)d1. Gọi H(1+2u; 3+u; -1-2u) d2, H là hình chiếu của M trên d2. Ta có MH ⊥ d2 nên u + t = 1 suy ra MH2 =29t2 - 88t + 68.
Vì d(M,d2) = d(M,(P)) nên 9(29t2 - 88t + 68) = (11t - 20)2. Từ đó tìm t, M.
Cách 3: Gọi M(a;b;c). Dựa vào đk lập hệ ba PT với ba ẩn a, b, c. Giải hệ tìm được a, b, c.
Lựa chọn cách 1 là tối ưu hơn.
Bằng cách tương tự, khi thay đổi đk d(M,d2)=d(M,(P)) thành đk d(M,d2)=3d(M,(P)) ta có:
Bài 4.1.1. Cho MP (P):x-2y+2z-1=0 và đt d1: , d2: . Tìm điểm M thuộc d1
sao cho d(M,d2)= 3d(M,(P)).
Khi thay đổi d(M,d2)=d(M,(P)) bởi d(M,d2)=MN với N là điểm cho trước:
Bài 4.1.2.(B-2010) Cho đt d:. Tìm M thuộc Ox sao cho khoảng cách từ M đến d bằng khoảng cách từ O đến M.
Khi thay đổi d(M,d2) = d(M,(P)) bởi d(M,d2)=k>0 cho trước:
Bài 4.1.3. Cho đt d:, điểm A(-2;1;1), B(-3;-1;2). Tìm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB bằng 3.
Hướng dẫn: Cách 1: Đưa về bài toán tương tự trên, từ diện tích tam
giác và AB ta tìm được khoảng cách từ M đến AB.
Cách 2: Gọi tọa độ điểm M thuộc d, tính diện tích tam giác MAB theo tọa độ điểm M, từ S∆MAB = 3 ta tìm được tọa độ điểm M.
Bài 4.1.4. Tìm trên trục Oz điểm M sao cho điểm M cách đều điểm A(1;2;3) và MP (P): x+3y+2=0.
Khi thay đổi d(M,d2)=d(M,(P)) bởi d(M,(P))=k>0 cho trước: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 4.1.5. Cho d:, (P): 2x+y-2z+9=0. Tìm điểm I thuộc d sao cho d(I, (P)) =2.
Đặc biệt: Cho hình bình hành ABCD với A(1;2;-1), B(-1;1;2), C(2;-1;2). Tìm điểm M thuộc trục Oz sao cho thể tích tứ diện MBCD bằng 4.
Kết hợp các bài toán trên ta có bài toán tìm M thuộc d: MN = k > 0
Bài 4.1.6. Cho d:, điểm A(1;-2;1). Tìm M thuộc d sao cho MA =.
Bài 4.1.7.
Tìm điểm M thuộc d: sao cho MA2+MB2 =28 với A(1;4;2), B(-1;2;4).
Hướng dẫn: Có thể gọi tọa độ điểm M rồi thay vào biểu thức MA2+MB2
=28 hoặc gọi điểm I là trung điểm của AB rồi đưa về tìm M sao cho MI = k>0.
Tương tự như các bài toán trên ta có thể đề xuất các bài toán: +) Cho ba đt d, d1 và d2. Tìm M thuộc d sao cho d(M,d1)=dM,d2).
+) Cho hai MP (P), (Q) và đt d. Tìm M thuộc d sao cho d(M,(P))=d(M, (Q)).
+) Cho 2 điểm A,B và đt d. Tìm M thuộc d sao cho MA=MB.
Khái quát ta có: Cho k là số thực dương.
1) Cho MP (P) và hai đt d1, d2. Tìm điểm M thuộc d1 sao cho d(M,d2)=kd(M,(P)).
2) Cho hai đt d1, d2 và điểm N. Tìm điểm M d1 sao cho d(M,d2)=kMN.
3) Cho hai đt d1, d2. Tìm điểm M thuộc d1 sao cho d(M,d2)=k.
4) Cho ba đt d, d1 và d2. Tìm M thuộc d sao cho d(M,d1)=kdM,d2).
5) Cho MP (P), điểm N và đt d1. Tìm điểm M thuộc d1 sao cho d(M,
(P))=kMN.
6) Cho MP (P) và đt d1. Tìm điểm M d1 sao cho d(M,(P))=k.
7) Cho hai MP (P), (Q) và đt d. Tìm M thuộc d sao cho d(M,(P))=kd(M,
(Q)).
8) Cho đt d và hai điểm A,B. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA=kMB.
9) Cho đt d và điểm A. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA=k.
GV: Trong bài toán trên giả thiết nào không đổi? Giả thiết này giúp em có phương pháp tìm điểm M như thế nào?
HS: Giả thiết không thay đổi là điểm M thuộc đt d. Khi đó ta gọi tọa độ điểm M theo PT tham số của d.
GV: Các bài toán trên điểm M thỏa mãn đk khoảng cách, nếu thay đk khác ta cũng có cách làm tương tự. Với bài toán tìm tọa độ hai điểm thuộc hai đt cho trước và thỏa mãn đk nào đó ta cũng có cách làm tương tự
Bài tập vận dụng:
1) Cho A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và MP (P): x+y+z-20=0. Tìm điểm D thuộc AB sao cho CD song song với (P).
2) Cho đt d: , điểm A(1;0;0), B(0;1;1), C(0;0;2). Tìm điểm M thuộc d
sao cho góc giữa MP(MAB) và MP(CAB) bằng 300. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3) Cho đt d: và điểm M(2;1;2). Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều.
4) Cho (P): x-2y+2z-1=0 và d1: , d2: . Tìm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN// MP (P) và d(MN,(P))=2.
5) Cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao BH: , đường trung tuyến CM: . Tìm tọa độ B, C.
Ví dụ 4.2. Cho MP (P): 3x+2y-z+4=0 và 2 điểm A(4;0;0), B(0;4;0). Gọi I là trung điểm của AB. Tìm tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với MP (P) và KO=d(K,(P)).
Bước 1: Hiểu bài toán
GV: Xác định yêu cầu và các đk của bài toán.
HS: Yêu cầu tìm tọa độ điểm thỏa mãn 2 đk KI ⊥ (P) và KO = d(K,(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Điểm K cần tìm đã nằm trên đt nào cho trước chưa? Có lập được PT
đt nào qua K không?
HS: Chưa biết PT đt nào qua K, lập được PT đt KI.
GV: Đt KI qua điểm nào và nhận véc tơ nào là một VTCP? HS: KI qua I và nhận một VTPT của (P) là một VTCP.
GV: Như vậy bài toán tìm tọa độ điểm K đưa về bài toán dạng nào em đã học, em giải tiếp như thế nào?
HS: Đưa về bài toán tìm điểm thuộc đt KI đã học ở mục trước. Giải tương tự bài toán 4.1.4 ở trên.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
I(2;2;0), =(3;2;-1) là 1 VTPT của (P). KI qua I và nhận =(3;2;-1) là 1VTCP nên có PT: . Gọi K(2+3t;2+2t;-t)
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Các đk biến đổi tương đương nên không phải thử lại. Trong trường hợp đặc biệt khi I thuộc MP (P) thì KI=d(K,(P)) nên đk KO=d(K,(P)) chuyển thành KI=KO hay K thuộc MP trung trực của OI. Khi đó K là giao điểm của KI và MP trung trực của OI.
Ngoài cách giải bằng cách đưa về lập PT đt KI, em có thể gọi tọa độ điểm K và từ các đk để lập hệ PT không?
Cách 2: Gọi K(a;b;c), ta có cùng phương với và KO = d(K,(P)). Từ các đk này tìm được a, b, c.
Trong bài toán trên việc tìm tọa độ điểm K được đưa về tìm điểm thuộc đt thỏa mãn một đk nào đó. Như vậy, với bài toán tìm tọa độ điểm M mà điểm M chưa thuộc đt nào cho trước và có thể lập được PT đt d qua M thì ta nên lập PT đt d và đưa về ví dụ 4.1.
Một số bài tập tương tự
1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm tọa độ điểm S để thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình thang cân, đáy nhỏ CD, đáy lớn AB. Biết A(3;-1;-2), B(1;5;1), C(2;3;3).
3) (B-2011) Cho đt ∆: và MP (P): x+y+z-3=0. I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4. Hướng dẫn: 1) Vì S.ABC là hình chóp đều nên SI vuông góc với (ABC), I là trọng tâm tam giác ABC. Do đó: lập đt SI qua I và nhận một VTPT
của (P) là một VTCP. Bài toán đưa về tìm S thuộc SI sao cho VS.ABCD=36.
2) Lập CD: qua C và nhận là một VTCP. Bài toán đưa về tìm D thuộc CD sao cho AD=BC và cùng hướng với , AB>CD.
3) Lập MI qua I và nhận tích có hướng của một VTCP của ∆ và một VTPT của (P) là một VTPT. Bài toán đưa về tìm tọa độ điểm M trên MI sao cho:
MI =4.
Ví dụ 4.3. Cho A(0;-2;1), B(2;0;3), MP (P):2x-y-z+4=0. Tìm điểm M thuộc MP (P) sao cho MA = MB và (ABM) ⊥ MP (P). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Điểm cần tìm đã nằm trên đt nào chưa, có lập được luôn PT đt nào
HS: Điểm M chưa nằm trên đt nào có PT cho trước và cũng chưa lập được ngay PT đt nào qua M.
GV: Khi chưa tìm được ngay tọa độ điểm M thì ta phải làm như thế nào để tìm tọa độ điểm M. (Gọi tọa độ điểm M)
GV: Từ các đk của bài toán em có chuyển sang được đk với tọa độ điểm M không? Đk (ABM)⊥MP (P) chuyển như thế nào? (Có, hai Mp vuông góc với nhau khi VTPT của chúng vuông góc với nhau.)
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Gọi M(a;b;c), vì M (P) nên: 2a-b-c+4=0 (1).
Do MA=MB nên a2+(b+2)2+(c-1)2=(a-2)2+b2+(c-3)2 a+b+c=2 (2) (ABM) )⊥MP (P)⊥ =(2;-1;-1) là một VTPT của (P)
Mà =(2;2;2), =(a;b+2;c-1) nên =(2c-2b-6;2a-2c+2;2b-2a+4) Do đó: c-b=3 (3)
Giải hệ 3 PT (1),(2),(3) ta được: a= , b= , c= Vậy M( ; ;)
Bước 4: Nhìn lại
Các đk được biến đổi tương đương nên không cần phải thử lại.
Cách 2: Đk MA=MB có nghĩa là M thuộc MP trung trực (Q) của AB, MP (ABM) chứa AB và vuông góc với (P).
Lập (Q) và (ABM) thì tọa độ M thỏa mãn hệ ba PT tạo bởi (P), (Q), (ABM).
Cách 3: Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q) thì M thuộc d. Bài toán đưa về ví dụ 4.1, tìm điểm thuộc d sao cho (ABM) ⊥ MP (P).
Bây giờ nếu giữ nguyên các giả thiết M(P), MA = MB và thay giả thiết (ABM) ⊥ MP (P) bởi MB = k>0 ta có bài toán
Bài 4.3.1.(A-2011) Cho A(2;0;1), B(0;-2;3), (P): 2x-y-z+4=0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
Hướng dẫn: Sử dụng 3 đk : M(P), MA=MB, MB=3.
Bài 4.3.2. Cho A(0;0;-3), B(2;0;-1), (P): 3x-y-z+1=0. Tìm M thuộc (P) để tam giác MAB đều. (Thay đk MB = 3 bởi MB = AB)
Thay đk (ABM)⊥MP (P) bởi cho SABM bằng số cho trước ta có:
Bài 4.3.3. Cho A(0;-2;1), B(2;0;3). Tìm tọa độ điểm C thuộc MP (P): x-y-z- 1=0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2.
Hướng dẫn: S∆ABC=CI.AB với I là trung điểm của AB.
Thay đk (ABM) ⊥ MP (P) bởi MB=MC ta có bài toán:
Bài 4.3.4. Cho A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Tìm M thuộc (P):2x+2y+z- 3=0 sao cho MA = MB = MC.
Khi giữ nguyên đk MA = MB = MC và thay vì M(P) là MB=d(M,(P)) ta có bài toán:
Bài 4.3.5. Cho (P): x+2y+2=0, A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho MA = MB = MC = d(M,(P)).
Hướng dẫn: Sử dụng các đk MA = MB, MB = MC, MC = d(M,(P)).
Thay giả thiết MA=MB trong bài 4.3.1 bởi tam giác ABM vuông tại B ta có:
Bài 4.3.6. Tìm M thuộc MP (P): x-y+z=0 sao cho tam giác MAB vuông cân tại B với A(0;1;2), B(-1;1;0).
Khi thay đổi các giả thiết ta tìm được các bài toán mới nhưng phương pháp chung đều gọi tọa độ điểm M và từ các đk của bài toán ta lập hệ PT với ba ẩn là tọa độ điểm M, khi sử dụng các đk ta cũng nên khéo léo chọn lựa đưa về các PT đơn giản. Chẳng hạn trong bài 4.3.1 nếu ta sử dụng MA = 3, MB = 3 thì được hai PT bậc hai sẽ khó khăn hơn với việc sử dụng MA = MB, MB = 3. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bằng phương pháp làm tương tự, một số bài tập vận dụng:
1) Cho tam giác ABC với A(0;4;1), B(1;0;1), C(3;1;-2). Tìm tọa độ trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
2) Cho A(2;0;0), C(0;4;0). Tìm điểm B thuộc Oxy sao cho OABC là hình chữ nhật.
3) Cho hình vuông ABCD biết B(3;0;8), D(-5;-4;0). Tìm tọa độ điểm C biết A thuộc MP(Oxy).
Hướng dẫn:
1) H là trực tâm khi HA⊥BC, HB⊥AC và H thuộc MP(ABC).
Cách 2: H thuộc các MP (P), (Q), (ABC) với (P): Qua A và vuông góc với BC; (Q): Qua B và vuông góc với AC.
+)I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác khi IA=IB, IB=IC và I MP(ABC).
Cách 2: I thuộc các MP (P), (Q), (ABC) với (P) là MP trung trực của AB, (Q) là MP trung trực của BC.
2) B thỏa mãn các đk: BOxy, OA⊥AB, AB=OC.
3) Gọi tọa độ điểm C. Xác định tọa độ I là trung điểm của BD. Tính tọa độ điểm A theo tọa độ điểm C.
Từ AOxy được một PT. Từ các đk CB=CD và CB⊥CD ta được hai PT nữa.