Dạng toán về viết PT mặt cầu

c) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

2.3.Dạng toán về viết PT mặt cầu

Với bài toán viết PT mặt cầu, chúng tôi trình bày một số ví dụ về lập pt mặt cầu: biết tâm, tìm bán kính; tìm tâm trên một đường thẳng và tìm bán kính; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện; và đề xuất một số câu hỏi gợi ý, hướng dẫn như sau:

- Có những cách nào để lập PT mặt cầu? (Cách 1: Xác định tâm và bán kính; Cách 2: Xác định các hệ số của PT tổng quát của mặt cầu.)

- Để xác định các hệ số của PTTQ của mặt cầu ta cần lập được mấy PT liên quan đến các hệ số của PTTQ? (Hệ bốn PT)

- Trong trường hợp tâm mặt cầu thuộc đt cho trước thì việc xác định tọa độ tâm được thực hiện như thế nào?

Gọi tọa độ tâm theo tham số của đt đã cho và xác định giá trị của tham số dựa vào đk của bài toán.

Ví dụ 3.1. Viết PT mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-2), cắt (P): 2x+2y+z+5=0 theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng .

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Có những cách nào để lập PT mặt cầu? Ở đây nên dùng cách nào?

Cần tìm yếu tố nào nữa?

HS: Có hai cách, cách 1: tìm tâm và bán kính, cách 2: xác định các hệ

số của PTTQ. Nên dùng cách 1 vì đã biết tâm I; cần tìm bán kính.

GV: Có mối liên hệ nào giữa bán kính mặt cầu R với đường tròn giao tuyến không? (hay cụ thể hơn là bán kính r của đường tròn giao tuyến không? )

HS: R2 = r2 + d2 với d = d(I,(P)).

GV: Như vậy em có thể tính R được chưa? Nêu cách tính. HS: Có thể tính được R bằng cách tính r, d sau đó tính R.

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn giao tuyến, mặt cầu (S).

Vì chu vi đường tròn giao tuyến là nên r = 4, d =d (I,(P)) = 3, ta có R2

= r2 + d2 nên R=5. Vậy (S): (x-1)2+(y-2)2+(z+2)2 =5.

Bước 4: Nhìn lại

Kiểm tra lời giải: Bài toán tồn tại nghiệm hình duy nhất.

Trong bài toán trên, bài toán cho chu vi đường tròn giao tuyến thực chất là cho yếu tố gì của đường tròn (bán kính r). Như vậy khi thay đổi giả thiết chu vi đường tròn bởi cho bán kính đường tròn hay diện tích hình tròn ta có cách giải tương tự

Bài 3.1.1. Viết PT mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-2), cắt Mp(P): 2x+2y+z+5=0 theo giao tuyến là đường tròn có

a) bán kính bằng 2. b) diện tích bằng 9.

Khi MP (P) không cắt mặt cầu mà là tiếp xúc với mặt cầu thì R=d. Ta có:

b) Viết PT mặt cầu tâm I(4;3;2) và tiếp xúc với Mp(ABC) với A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3).

Khi Mp(P) không cắt và không tiếp xúc với mặt cầu mà nằm ngoài mặt cầu đồng thời biết d(M,(P)) lớn nhất, nhỏ nhất với M nằm trên mặt cầu.

Bài 3.1.3. Cho I(1;2;-2) và MP (P): 2x+2y+z+11=0. Viết PT mặt cầu (S) có tâm I, (S) và (P) không có điểm chung đồng thời:

a) Điểm nằm trên mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất đến (P) bằng 2. b) Điểm nằm trên mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất đến (P) bằng 7. Hướng dẫn: a) Điểm M nằm trên mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất đến (P) nên

R = d(I,(P)) - d(M,(P)) = 5 – 2 = 3.

b) Điểm N trên mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất đến (P) nên R = d(N,(P)) - d(I,(P)) = 7 – 5 = 2.

Trong các bài toán trên mặt cầu tương giao với Mp, thay đổi Mp bởi đt ta có các bài toán: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bài 3.1.4. Cho đt d :Viết PT mặt cầu tâm I(2;2;3) và cắt đt d tại hai điểm A, B sao cho:

a) AB = 4 b) tam giác IAB có diện tích

bằng 6.

c) tam giác IAB có chu vi bằng 18. d) tam giác IAB đều.

e) tam giác IAB vuông . f) tam giác IAB có góc

1200.

g) IA = 2d(I,(d)).

Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu của I trên d thì H có liên hệ gì với AB?

Bài 3.1.5. Viết PT mặt cầu tâm I(3;2;-1) và tiếp xúc với đt AB, A(1;2;-4), B(1;-3;1).

Bài 3.1.6. Cho đt d :Viết PT mặt cầu (S) tâm I(2;2;3) sao cho (S) và d không có điểm chung và:

a) Điểm trên mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất đến d bằng 1. b) Điểm trên mặt cầu có khoảng cách lớn nhất đến d bằng 5.

Tiếp tục thay đổi tương giao giữa mặt cầu với đt bởi mặt cầu với điểm ta có bài toán:

a) (S) qua M.

b) đt qua M cắt (S) tại hai điểm AB sao cho M là trung điểm của AB và

AB = 2.

c) điểm M nằm ngoài (S) và điểm nằm trên (S) có khoảng cách nhỏ

nhất đến M bằng 1.

d) điểm M nằm ngoài (S) và điểm nằm trên (S) có khoảng cách nhỏ

nhất đến M bằng 7.

Xét tương giao giữa hai mặt cầu

Bài 3.1.8. Cho mặt cầu (S) có tâm I(3;-1;0), mặt cầu (S’): (x+1)2+(y- 2)2+z2=9. Viết PT (S) biết:

a) (S) và (S’) tiếp xúc ngoài nhau.

b) (S) cắt (S’) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 4.

Trong bước 4 của bài 1 ở trên, căn cứ vào vị trí tương đối của mặt cầu với MP (tiếp xúc, cắt, không có điểm chung), với đt (tiếp xúc, cắt, không có điểm chung), với điểm (nằm trên, nằm ngoài, nằm trong) ta đề xuất được các bài toán tương tự.

Ví dụ 3.2. Cho đt d: . Viết PT mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và tiếp xúc với hai MP (P):x+2y+2z-2=0, (Q): 2x+y+2z-1=0.

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

GV: Mặt cầu (S) cần lập đã biết yếu tố nào trong 2 yếu tố tâm và bán

kính chưa? Tâm I thỏa mãn đk nào? Điều này giúp em liên tưởng gì để tìm tâm I?

HS: Chưa, I thuộc d, gọi I(1+2t; 2+t; 3+2t).

GV: Đk để (S) tiếp xúc với (P), (Q)? (d(I,(P))=d(I,(Q))=R). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

GV: Từ đk trên em có thể tìm được I và R không? Nêu cách tìm?

HS: Có, từ d(I,(P))=d(I,(Q)) ta tìm được điểm I, sau khi tìm được I ta tìm R.

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Gọi I(1+2t; 2+t; 3+2t), bán kính mặt cầu là R.

Vì mặt cầu tiếp xúc với (P) và (Q) nên: d(I,(P))=d(I,(Q))=R Ta có d(I,(P))=d(I,(Q))

Với t=0 thì I(1;2;3), bán kính R=3 nên (S): (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=9. Với t= thì I(), R= nên (S): (x+ )2 + (y- )2 +(z- )2 = .

Bước 4: Nhìn lại

Ngoài cách giải trên còn cách giải khác không? I cách đều hai MP (P), (Q) khi I nằm trên đt nào? Đề xuất cách giải khác.

Cách 2: Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên I cách đều hai MP (P) và (Q). Do đó I thuộc MP phân giác của các góc tạo bởi hai MP. Vậy I là giao điểm của d với MP phân giác.

Trong bài toán trên (P) và (Q) cắt nhau nên I thuộc MP phân giác của các góc tạo bởi (P) và (Q) do đó số nghiệm hình là số giao điểm của các MP phân giác và d.

Trong trường hợp (P) và (Q) song song thì I thuộc MP (R) song song và cách đều hai MP (P) và (Q) do đó số nghiệm hình là số giao điểm của d và (R). Trong trường hợp (P) song song với (Q) ta có bài toán:

Bài 3.2.1. Cho d: , (P): x+y-z+2=0, (Q): 2x+2y-2z+5=0. Viết PT mặt cầu tiếp xúc với hai MP (P) và (Q) đồng thời có tâm thuộc đt d.

Ở bài toán trên cho (S) tiếp xúc với hai MP (P) và (Q). Căn cứ vào: +) vị trí tương đối của mặt cầu với MP (tiếp xúc,cắt, không có điểm chung);

+) thay đổi Mp bởi đt, điểm, mặt cầu và vị trí tương đối của mặt cầu với đt, điểm, mặt cầu.

Khi đó ta sẽ đề xuất được hệ thống bài tập tương tự. Chẳng hạn:

Bài 3.2.2. Cho d: , (P): x+y+2z-2=0, (Q): 2x+y+2z-4=0. Viết PT mặt cầu (S) có tâm thuộc d và:

a) (S) tiếp xúc với MP (P) và cắt (Q) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 5.

b) (S) cắt MP (P) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 8 và cắt (Q) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 21.

Bài 3.2.3. Cho d: , (P): 3x+5y-z-2=0. Viết PT mặt cầu có tâm thuộc d và cắt MP (P) theo đường tròn lớn có bán kính bằng 2.

Bài 3.2.4. Cho (P): x+y+2z-2=0, d: , d’:. Viết PT mặt cầu có tâm thuộc d đồng thời:

a) tiếp xúc với đt d’ và MP (P).

b) tiếp xúc với (P) và tâm cách d’ một khoảng bằng 3.

c) tiếp xúc với (P) và cắt d’theo một dây cung có độ dài bằng 8.

Tiếp tục thay đổi theo các hướng trên ta có các bài toán dạng: Viết PT mặt cầu có tâm I thuộc đt d và:

+) tiếp xúc với đt d’ và cắt mặt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính xác định.

+) cắt đt d’ theo một đoạn thẳng có độ dài xác định và cắt MP (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính xác định.

+) cắt đt d’ theo một đoạn thẳng có độ dài xác định và tâm I cách MP (P) một khoảng cho trước.

+) tiếp xúc với hai đt d1, d2.

+) tiếp xúc với đt d1, cắt đt d2 theo một đoạn thẳng có độ dài xác định. +) tiếp xúc với đt d1 và tâm I cách đt d2 một khoảng cho trước.

(Đặc biệt khi d1 ≡d2 ta có: mặt cầu có bán kính R cho trước và tiếp xúc với d1) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

+) cắt hai đt d1 và d2 theo các đoạn thẳng có độ dài xác định. +) cắt đt d1 và tâm I cách đt d2 một khoảng cho trước.

+) đi qua hai điểm A, B.

+) đi qua điểm A và cách điểm B một khoảng cho trước. (Đặc biệt: Khi A ta có bài toán: mặt cầu có bán kính R và đi qua điểm A)

+) đi qua điểm A và tiếp xúc với đt d’.

+) đi qua điểm A và cắt đt d’ theo một đoạn thẳng có độ dài xác định. +) đi qua điểm A và cách đt d’ một khoảng cho trước.

+) cách điểm A một khoảng cho trước và tiếp xúc với đt d’.

+) cách điểm A một khoảng cho trước và cắt đt d’ theo một đoạn thẳng có độ dài xác định.

+) đi qua điểm A và tiếp xúc với MP (P).

+) đi qua điểm A và cắt MP (P) theo một đường tròn có bán kính xác định.

+) đi qua điểm A và cách MP (P) một khoảng cho trước.

+) cách điểm A một khoảng cho trước và tiếp xúc với MP (P).

+) cách điểm A một khoảng cho trước và cắt MP (P) theo một đường tròn có bán kính xác định.

Trong các bài toán trên thực chất ta phải tìm bán kính R sau khi tìm được I.

Bây giờ đổi vị trí tìm các yếu tố: cho trước bán kính R và tìm tâm I thuộc đt d thỏa mãn một đk nào đó ta có các bài toán sau:

+) mặt cầu tiếp xúc với đt d’. (là một TH riêng của bài toán mục trên) +) mặt cầu cắt đt d’ theo một dây cung có độ dài cho trước.

+) tâm I cách đt d’ một khoảng cho trước.

+) mặt cầu đi qua điểm A . (là một TH riêng của bài toán mục trên). +) tâm I cách A một khoảng cho trước.

+) mặt cầu tiếp xúc với MP (P) (là một TH riêng của bài toán mục trên) +) mặt cầu cắt MP (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính xác định.

+) tâm I cách MP (P) một khoảng cho trước.

GV: Trong các bài toán trên giả thiết gì là không đổi và phương pháp chung là gì?

HS: Giả thiết chung là tâm mặt cầu nằm trên đt d. Khi đó ta gọi tọa độ tâm I trên đt d và dựa vào đk của bài toán để tìm tọa độ I.

Một số bài tập áp dụng:

1) Viết PT mặt cầu đi qua hai điểm A(3;1;1), B(1;-1;1) có tâm thuộc đt d:.

2) Viết PT mặt cầu có tâm thuộc đt d:

1 2 3

2 1 1

x− = y− = z−

, bán kính 3 và đi qua A(1;2;0). 3) Viết PT mặt cầu đi qua điểm A(8;5;1), tiếp xúc với MP (P): x+2y+2z+1=0 và có tâm thuộc đt d: .

Ví dụ 3.3. Cho A(1;1;0), B(3;1;2), C(-1;1;2), D(1;-1;2). Lập PT mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

GV: Để lập PT mặt cầu ta phải tìm những yếu tố nào? Trong bài toán

này đã biết yếu tố nào chưa? Bài toán này tương tự với bài toán nào đã biết trong MP tọa độ, từ đó em có những cách giải như thế nào?

HS: Để lập PT mặt cầu ta phải xác định hai yếu tố là tọa độ tâm và bán kính hoặc các hệ số của PT tổng quát. Dù lập theo cách nào thì cũng chưa biết được luôn yếu tố nào. Bài toán này tương tự với bài toán lập PT đường tròn ngoại tiếp tam giác trong MP tọa độ, do đó ta có thể giải bài toán theo 2 cách.

Cách 1: Gọi I(a;b;c), R>0 lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S). Từ IA2=IB2=IC2 =ID2 =R2 ta có IA2=IB2, IA2=IC2 và IA2=ID2. Giải hệ 3 PT với a,b,c ta được I(1;1;1), sau đó thay vào R=IA=2.

Vậy PT mặt cầu cần lập: (x-1)2+(y-1)2+(z-2)2=4.

Bước 4: Nhìn lại

Kiểm tra lời giải: Có thể thay tọa độ từng điểm vào kiểm tra có thỏa mãn PT (S). Cũng có thể kiểm tra số lượng kết quả bằng 1.

Có thể giải bài toán trên theo cách khác không?

Cách 2: Gọi PT của mặt cầu (S):x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 (Với đk: a2+ b2 + c2- d > 0)

Vì (S) đi qua A,B,C,D nên ta có hệ:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 6 2 4 14 2 2 2 4 6 3 2 2 4 6 4 a b d a b c d a b c d a b c d  + + = −  + + + = −   − + + + = −   − + + = − 

Lấy (1) trừ lần lượt các PT (2), (3), (4) và giữ nguyên (1) ta được hệ:

( )2 2 2 1 2 2 2 1 4 4 12 4 4 4 4 4 64 a b d a c a c b c  + + = −  + = −   − + = −   − + = −  .

Giải hệ 3 PT dưới ta được a =b= -1, c= -2 thế vào (1) ta được d = 2. Vậy PT (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 2 = 0.

HS cũng có thể trình bày cách 2 trước, cách 1 sau.

Trong bài toán trên: Viết PT mặt cầu khi chưa biết tâm, bán kính và cũng chưa có tâm thuộc đt d ta có thể làm bài toán theo những cách như thế nào? Em hãy nêu tóm tắt các cách giải đó?

Cách 1: Gọi I(a;b;c), R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. Từ các đk của bài toán ta thiết lập bốn PT với bốn ẩn a, b, c, R. Giải hệ ta tìm được tọa độ tâm và bán kính.

Cách 2: Gọi PT của mặt cầu: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 (Với đk: a2+b2+c2-d>0). Từ các giả thiết của bài toán ta lập được hệ PT với bốn ẩn a, b, c, d. Giải hệ tìm a, b, c, d và đối chiếu với đk rồi kết luận.

Trong hai cách nêu trên cách nào đơn giản hơn? Vì sao?

Tuy nhiên tùy mỗi bài ta có thể có cách giải hệ linh hoạt để có lời giải tối ưu.

Bằng việc thay đổi các giả thiết nhưng cách làm tương tự ta có một số bài toán:

Bài 3.3.1. Cho (P): 2x+y-z+5=0, A(0;0;4), B(2;0;0). Viết PT mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với MP (P).

Bài 3.3.2. Viết PT mặt cầu tiếp xúc với MP (P): 4y-3z-21=0 và MP (Q): 3x+4y+26=0 đồng thời đi qua hai điểm A(1;1;2), B(0;3;1).

Bài 3.3.3. Viết PT mặt cầu đi qua M(2;2;4) và a) tiếp xúc với ba MP tọa độ.

b) tiếp xúc với ba trục tọa độ.

Bài 3.3.4. Cho A(1;2;4) biết B(1;-3;1), C(0;1;0). Viết PT mặt cầu tâm I thuộc MP (Oyz) và tiếp xúc với MP (ABC) tại A.

Bài 3.3.5. Cho A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3). Viết PT mặt cầu có tâm I thuộc MP (Oxy) và đi qua ba điểm A, B, C.

Bài 3.3.6. Cho A(1;1;1), (P): 2x-y+2z+7=0. Viết PT mặt cầu đi qua điểm A, biết tâm mặt cầu thuộc MP Oxy và cách MP (P) một khoảng bằng 3, đồng thời mặt cầu tiếp xúc với MP Oyz.

Bài 3.3.7. Lập PT mặt cầu đi qua O, A(0;0;4), B(2;0;0) và tâm mặt cầu cách MP (P): 2x+y-z+1=0 một khoảng bằng .