c) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
2.5.2. Lập phương trình đường thẳng
Tương tự với phần lập PT mặt phẳng ta có một số bài toán lập PT đt sau:
Ví dụ 5.2.
1) Cho A(1;4;2), B(-1;2;4), ∆:.
Viết PT đt d trong các trường hợp sau:
a) d qua A, cắt đt ∆ sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất, nhỏ nhất.
b) d qua A, vuông góc với đt ∆ sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.
c) d qua A, cắt đt ∆ sao cho khoảng cách từ d’: đến d lớn nhất. 2) Viết PT đt d trong các trường hợp sau:
a) d nằm trong (P): x+y-z-2=0, vuông góc với đt ∆: và cách điểm M(1;-
1;0) một khoảng nhỏ nhất.
b) d nằm trong Oxy, qua A(1;4;0) và khoảng cách từ B(-1;2;4) đến d
lớn nhất, nhỏ nhất.
c) d qua M(0;0;1), nằm trên MP (P): x+y+z-1=0 và cắt mặt cầu (S):
(x-3)2+(y-2)2+(z-2)2=16 tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất.
d) (B-09) d qua A(-3;0;1), song song với (Q): x-2y+2z-5=0 sao cho khoảng cách từ B(1;1;-3) đến d nhỏ nhất.
e) d nằm trong MP (P): x+y-z-2=0, cắt đt ∆: và tạo với ∆ góc nhỏ nhất.
f) d qua A(2;-1;1), song song với (Q): x+y-z+1=0 và tạo Oxy góc lớn
nhất.
Kết hợp các bài toán trên ta có thể tạo ra nhiều bài toán khác tương tự
Hướng dẫn chung: Vì công thức khoảng cách từ một điểm đến đt không đơn giản nên ở phần lập PT đt này chủ yếu ta dùng cách 2.
1) a) Vì d qua A và cắt ∆ nên d nằm trong MP (P) chứa A và ∆. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên d, MP (P).
Ta có: d(B,d)=BH và BH BA (Dấu “=” xảy ra khi d qua A, cắt ∆ và vuông góc với AB); BH BK (Dấu “=” xảy ra khi d qua A, cắt ∆ và vuông góc với BK)
b)Tương tự a) Gọi (P) qua A và vuông góc với ∆.
BH BA. Dấu “=” xảy ra khi d qua A, vuông góc với ∆, AB.
BH BK. Dấu “=” xảy ra khi d qua A, cắt ∆ và vuông góc với AH.
c) Ta có: d(d,d’) d(A,d’) = AH: không đổi. (H là hình chiếu của A trên d’) Dấu “=” xảy ra khi d//d’ hoặc d chéo d’ và AH là đoạn vuông góc chung của d và d’. Do đó đt d nhận là một VTCP với I là giao điểm của d và ∆ trong đó cùng phương với ( là một VTCP của d’) hoặc vuông góc với . 2)
a) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên d, (P). Ta có d(M,d) = MH,
MH MK: không đổi. Dấu “=” xảy ra khi d qua K và vuông góc với MK, ∆.
b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên d, (Oxy). Ta có: d(B,d) =
BH,
BK BHBA. BH lớn nhất bằng BA khi d qua A, nằm trong Oxy và vuông góc với BA; BH nhỏ nhất bằng BK khi d qua A và K.
c) Đưa về bài 2 trên.
d) Gọi (P) qua A và song song với (Q) thì (P) chứa d. Bài toán đưa về bài
5.
e) Tương tự phần lập PT MẶT PHẲNGthì d qua giao điểm I của ∆ và (P), d
⊂ (P), góc giữa d và ∆ bằng góc giữa ∆ và (P).
f) (Tương tự 5) Gọi (P) qua A và song song với (Q). d qua A, d ⊂ (P), góc
giữa d và (Oxy) bằng góc giữa (Oxy) và (P).