Giáo trình lý thuyết dẻo kỹ thuật phần 2 trương tích thiện

180 Chương CÁC QUAN HỆ ỨNG SUẤT−BIẾN DẠNG ĐỐI VỚI VẬT LIỆU CHẢY DẺO LÝ TƯỞNG 4.1 GIỚI THIỆU Đối với nhiều ứng dụng thực tế, vật liệu lý tưởng hóa giả đònh có hiệu ứng biến cứng bỏ qua, nghóa là, biểu đồ ứng suất−biến dạng đơn trục vượt qua điểm chảy xấp xỉ đường thẳng nằm ngang, với mức ứng suất σ0 (hình 4.1a) Do đó, biến dạng dẻo giả đònh xảy ứng suất chảy Ứng xử gọi ứng xử chảy dẻo hoàn hảo hay ứng xử chảy dẻo lý tưởng Sự lý tưởng hóa chảy dẻo cách hoàn hảo dẫn đến đơn giản hóa mạnh mẽ việc phân tích toán kết cấu phức tạp Cụ thể, vật liệu chảy dẻo lý tưởng, đònh lý giới hạn đầy hiệu lực phép phân tích giới hạn thiết lập, từ phương pháp đơn giản, trực tiếp, thực việc ước lượng khả mang tải cấu trúc theo phương cách trực tiếp khai triển Các lý thuyết giới hạn ứng dụng chúng cho toán kỹ thuật kết cấu bàn đến tài liệu riêng Chương đề cập đến quan hệ ứng suất−biến dạng vật liệu chảy dẻo lý tưởng Quan hệ ứng suất−biến dạng trường hợp đơn trục biểu diễn hình 4.1a đơn giản Tuy nhiên, ứng xử tổng quát vật liệu trạng thái ứng suất phức tạp không dễ hiểu, bao gồm sáu thành phần ứng suất sáu thành phần biến dạng Do đó, vấn đề nảy sinh làm từ mối quan hệ ứng suất−biến dạng đơn giản khảo sát từ thí nghiệm ứng suất đơn trục tổng quát hóa để dự đoán ứng xử vật liệu trạng thái ứng suất tổ hợp Chương chia thành ba phần Phần đầu, từ mục 4.2 đến 4.6, dành hết cho lý thuyết biến dạng dẻo kinh điển Các khái niệm quy luật 181 chảy tính lồi, tính pháp tuyến, tính đơn vật liệu đàn−dẻo lý tưởng bàn luận cách chi tiết Phần hai, mục 4.7, cung cấp thí dụ đơn giản giới thiệu số đặc tính ứng xử đàn−dẻo kết cấu Phần cuối, từ mục 4.8 đến 4.11, đề cập đến quan hệ sở vật liệu đàn−dẻo lý tưởng Các dạng riêng biệt quan hệ ứng suất−biến dạng gia số mô hình vật liệu khác giới thiệu phần 4.1.1 Giới hạn đàn hồi hàm chảy Sự tổng quát hóa giới hạn đàn hồi bàn luận trước chương hai, nơi mà giới hạn đàn hồi vật liệu tất tổ hợp ứng suất đònh nghóa hàm chảy theo ứng suất σij dạng: f(σij) = F(σij) − k = (4.1) Ý nghóa hàm chảy hiểu tốt theo cách hình học siêu mặt không gian ứng suất Đối với vật liệu chảy dẻo lý tưởng, hàm chảy giả thiết giữ không đổi Do đó, thông số k phương trình (4.1) số, siêu mặt chảy giữ cố đònh không gian ứng suất (hình 4.1b) dσij, đặt tải σ Đặt tải σij σ0 dσij, cất tải σij Cất tải ε a) Đàn hồi F(σij) < k Bề mặt chảy F(σij) = k b) Hình 4.1 Một vật liệu đàn−dẻo lý tưởng a) Quan hệ ứng suất−biến dạng đơn trục b) Sự biểu diễn hình học mặt chảyvà tiêu chuẩn đặt tải cất tải 4.1.2 Tiêu chuẩn đặt tải cất tải Biến dạng dẻo xảy với điều kiện điểm ứng suất bề mặt chảy Để trì chảy dẻo, trạng thái ứng suất phải giữ nguyên bề mặt chảy Điều kiện gọi “đặt tải” Trái lại, trạng thái ứng suất phải giảm bề 182 mặt chảy; trường hợp này, biến dạng dẻo xảy tất biến dạng gia tăng đàn hồi Điều kiện gọi “cất tải” Khái niệm đặt tải cất tải trạng thái ứng suất phức tạp hiểu rõ f xem bề mặt σij dσij vector ứng suất vectơ gia số ứng suất không gian ứng suất (hình 4.1b) Thí dụ, khảo sát phân tố vật liệu trạng thái chảy dẻo, đặt trưng vectơ σij Nếu ta thêm vào trạng thái ứng suất hành σij gia số ứng suất vô bé dσij (đặt tải bổ sung) Ứng suất bổ sung gây biến dạng dẻo hay không? Đối với vật liệu chảy dẻo lý tưởng, điểm ứng suất di chuyển bên mặt chảy Chảy dẻo xảy điểm ứng suất bề mặt chảy, và, đó, việc đặt tải bổ sung dσij phải di chuyển dọc theo phương tiếp tuyến bề mặt chảy Vì thế, điều kiện cho tiếp tục chảy dẻo, hay tiêu chuẩn đặt tải, là: f(σij, k) = df = ∂f dσ ij = ∂σ ij (4.2) tiêu chuẩn cho cất tải là: f(σij, k) = df = ∂f dσ ij < ∂σ ij (4.3) Như vậy, hàm chảy f(σij) phục vụ tiêu chuẩn đặt tải để biến dạng dẻo tiếp tục, hay tiêu chuẩn cất tải để biến dạng đàn hồi Hàm bề mặt chảy f(σij) gọi hàm mặt đặt tải 4.1.3 Tenxơ gia số biến dạng đàn hồi tenxơ gia số biến dạng dẻo Do độ lớn biến dạng dẻo εijp không bò giới hạn trình chảy dẻo, đó, ta phải suy nghó mặt suất biến dạng ε& ij hay thay đổi biến dạng vô bé, gia số biến dạng, dεij Tenxơ gia số biến dạng tổng giả thiết tổng tenxơ gia số biến dạng đàn hồi tenxơ gia số biến dạng dẻo: e p dε ij = dε ij + dε ij (4.4) Vì đònh luật Hooke hay mô hình đàn hồi phi tuyến khác (xem chương 3) giả đònh để cung cấp mối quan hệ cần thiết thay đổi ứng suất gia số biến dạng đàn, quan hệ ứng suất−biến dạng vật liệu chảy dẻo quy quan hệ bao gồm trạng thái hành thay đổi gia số ứng suất biến dạng dẻo Mối quan hệ vật liệu chảy dẻo lý tưởng thu cách chi tiết chương 183 4.2 THẾ NĂNG CHẢY DẺO VÀ ĐỊNH LUẬT CHẢY Đònh luật chảy giả đònh động học cần thiết quy đònh cho biến dạng dẻo hay chảy dẻo Nó đưa tỷ số hay độ lớn tương đối thành phần tenxơ gia số biến dạng dẻo dεijp Do gia số dεijp biểu diễn theo cách hình học vectơ với chín thành phần không gian biến dạng, biểu diễn hình 4.2, đó, đònh luật chảy đònh nghóa hướng vectơ gia số biến dạng dẻo dε pij không gian biến dạng Chúng ta thấy chương rằng, biến dạng đàn hồi thu cách trực tiếp cách lấy vi phân hàm đàn hồi hay hàm mật độ lượng bù ứng suất σij [xem phương trình (3.118)] Năm 1928, von Mises đề nghò khái niệm tương tự hàm dẻo, hàm vô hướng ứng suất, g(σij) Thế phương trình chảy dẻo viết dạng: dε pij = dλ ∂g ∂σ ij (4.5) dλ hệ số vô hướng dương tính tỷ lệ, khác không chảy dẻo xảy Phương trình g(σij) = constant đònh nghóa bề mặt (siêu bề mặt) dẻo không gian ứng suất chín chiều Các cosine phương vectơ pháp với bề mặt điểm σij bề mặt tỷ lệ với độ dốc ∂g/∂σij Quan hệ (4.5) hàm ý vectơ chảy dẻo dεijp , vẽ vectơ tự không gian ứng suất, hướng theo pháp tuyến bề mặt dẻo (hình 4.2) Tầm quan trọng đặc biệt trường hợp đơn giản hàm chảy hàm dẻo trùng nhau, f = g Do đó: dε pij = dλ ∂f ∂σ ij (4.6) chảy dẻo tiến triển theo phương pháp tuyến bề mặt chảy ∂f/∂σij (hình 4.2) Phương trình (4.6) gọi đònh luật chảy kết hợp chảy dẻo kết nối hay liên kết với tiêu chuẩn chảy, quan hệ (4.5) với f ≠ g gọi đònh luật chảy không kết hợp von Mises dùng đònh luật chảy kết hợp cho khai triển quan hệ ứng suất−biến dạng kim loại Như sau rõ (1) đònh luật chảy kết hợp (4.6) phù hợp với vật liệu chảy dẻo không thuận nghòch nơi mà công tiêu tốn biến dạng dẻo phục hồi; (2) 184 đònh luật ứng suất−biến dạng vật liệu dựa đònh luật chảy kết hợp đưa đến lời giải cho toán trò biên; (3) đònh luật chảy kết hợp làm cho thuận tiện để trình bày rõ ràng tổng quát hóa khác phương trình chảy dẻo cách khảo sát bề mặt chảy đặt tải có dạng phức tạp dεijp = λ Phẳng dεpij Trơn a dεpij ∂f ∂σij b σijb c Thế dẻo σija g(σij) = f(σij) = const σijc σij, εijp d Góc dεpij Hình 4.2 Sự minh họa hình học đònh luật chảy kết hợp 4.3 ĐỊNH LUẬT CHẢY KẾT HP VỚI HÀM CHẢY VON MISES Bây ta lấy hàm chảy von Mises f(σij) = J2 − k2 = (4.7) dẻo Thế đònh luật chảy có dạng đơn giản: dε pij = dλ ∂f = dλs ij ∂σ ij (4.8) sij tenxơ lệch ứng suất dλ hệ số tỷ lệ với giá trò: = dλ  > nơi có J < k hay J = k , dJ < nơi có J = k dJ = Phương trình (4.8) biểu diễn theo thành phần gia số biến dạng ứng suất như: 185 σ1, dε1p τoct, dγ poct dεijp dεijp = λ sij σij sij ° f(σij) = k O O σoct, dεpoct σ2, dεp2 a) σ3, dεp3 b) Hình 4.3 Đònh luật chảy kết hợp với hàm chảy von Mises a) Mặt phẳng thủy tónh b) Mặt phẳng lệch dε py dγ pyz dγ pxy dε px dε pz dγ pzx = = = = = = dλ sx sy sz 2τ yz 2τ zx 2τ xy (4.9) Các quan hệ (4.9) biết phương trình Prandtl−Reuss Chính Prandtl, vào năm 1924, mở rộng phương trình Levy−von Mises [xem phương trình (4.15)] người đề nghò quan hệ ứng suất−biến dạng trường hợp biến dạng phẳng vật liệu đàn−dẻo lý tưởng Reuss, vào năm 1930, mở rộng phương trình Prandtl cho trường hợp ba chiều đưa dạng tổng quát phương trình (4.9) Mối quan hệ gia số biến dạng dẻo dεijp hàm chảy von Mises f = J2 cho phương trình (4.8) hay (4.9), đònh luật chảy kết hợp với điều kiện chảy von Mises biểu thò đồ họa không gian ứng suất ba chiều Tuy nhiên, hình ba chiều khó vẽ thay cho việc tốt biểu thò hình mặt cắt mặt phẳng thủy tónh mặt cắt mặt phẳng lệch bề mặt ba chiều hình 4.3 Pháp tuyến bề mặt chảy nhìn dọc theo trục thủy tónh đường hướng kính (hình 4.3b) song song với mặt phẳng π Do đó, hướng song song với hướng hình chiếu vectơ ứng suất thích hợp σij mặt phẳng π, dó nhiên, hình chiếu vectơ thành phần ứng suất lệch sij vectơ ứng suất σij 186 Phương trình (4.8) hay (4.9) phát biểu gia số nhỏ biến dạng dẻo dε pij phụ thuộc vào trạng thái hành ứng suất lệch sij, không phụ thuộc vào gia số ứng suất dσij yêu cầu để trì chảy dẻo Ngoài ra, trục ứng suất σij hay sij gia số biến dạng dẻo dε pij trùng Chú ý rằng, phương trình trình bày tỷ số độ lớn tương đối thành phần tenxơ gia số biến dạng dẻo; chúng không cung cấp thông tin trực tiếp độ lớn tuyệt đối Theo phương trình (4.8), biến thể tích dẻo; nghóa là, p dε ii = dλs ii = (4.10) Điều thấy hình 4.3a nơi mà vectơ gia số biến dạng dẻo dε pij vuông góc với trục thủy tónh, đó, thành phần biến dạng thủy tónh, dε poct zero Gia số biến dạng tổng dεij tổng gia số biến dạng đàn hồi dẻo (hình 4.4) Nếu đònh luật Hooke [các phương trình (3.84) hay (3.96)] ứng dụng cho thành phần biến dạng đàn hồi dε eij đònh luật chảy [phương trình (4.8)] cho thành phần biến dạng dẻo dε pij , ta có: dε ij = ds ij dσ kk 1+ν ν dσ ij − dσ kk δ ij + dλs ij = δ ij + + dλs ij E E 9K 2G (4.11) Phương trình (4.11) tách thành biểu thức gia số biến dạng thể tích lệch hay trượt dạng: dε ii = dσ 3K kk de ij = ds + dλs ij 2G ij (4.12) Trong ứng dụng thực tế, ta khai triển phương trình (4.11) cách rõ ràng theo thành phần ứng suất biến dạng, ba phương trình gia số biến dạng pháp dạng: dε x = [dσ x − ν(dσ y + dσz )] + dλ σ x − (σ y + σ z ), E (4.13) ba phương trình gia số biến dạng trượt dạng: dγ yz = dτ + 2dλτ yz , G yz (4.14) Trong toán chảy dẻo lớn, biến dạng đàn hồi bỏ qua Trong trường hợp thế, vật liệu lý tưởng hóa vật liệu 187 cứng−dẻo lý tưởng, gia số biến dạng tổng dεij với gia số biến dạng dẻo dε pij Các quan hệ ứng suất−biến dạng vật liệu viết như: dεij = dλsij hay: dε y dγ yz dγ xy dε x dε z dγ zx = = = = = = dλ 2τ xy sx sy sz 2τ yz 2τ xy (4.15) số trên, p, phương trình (4.8) (4.9) bỏ Các phương trình (4.15) biết phương trình Levy−von Mises Trong tiến triển lòch sử chúng, St Venant, vào năm 1870, người đề nghò trục gia số biến dạng trùng với trục ứng suất Các quan hệ ứng suất−biến dạng tổng quát thu sau Levy vào năm 1871 cách độc lập von Mises vào năm 1913 Khai triển quan hệ Levy−von Mises theo thành phần ứng suất dẫn đến ba phương trình gia số biến dạng dẻo pháp dạng: dε x = (  dλ  σ x − σ y + σ z  ), (4.16)  ba phương trình gia số biến dạng dẻo trượt dạng: dγyz = 2τyzdλ, (4.17) 4.4 ĐỊNH LUẬT CHẢY KẾT HP VỚI HÀM CHẢY TRESCA Bây lấy hàm chảy Tresca chảy dẻo, không gian ứng suất hình lăng trụ lục giác thẳng gồm có sáu mặt phẳng Mặt cắt lệch hình lăng trụ biểu diễn hình 4.4a Giả sử thứ tự độ lớn ứng suất σ1 > σ2 > σ3; ta viết hàm chảy tương ứng hay hàm chảy dạng: f = F(σij) − 2k = σ1 − σ3 − 2k = Theo đònh luật chảy kết hợp, gia số biến dạng dẻo chính, thỏa quan hệ sau: dε 1p = dλ ∂f = dλ ∂σ1 dε p2 = dλ ∂f =0 ∂σ1 dε p3 = dλ ∂f == −dλ ∂σ (4.18) dε1p , dεp2 , dεp3 , 188 b) Đỉnh A giới hạn bề mặt trơn hay, dạng cô đọng hơn, (dε p p p , dε , dε ) = dλ(1,0,−1), dλ ≥ (4.19) Những kết tương tự thu năm tổ hợp thứ tự giá trò đại số ứng suất σ1, σ2, σ3 Do đó, gia số biến dạng dẻo minh họa hình học không gian gia số ứng suất chính/biến dạng tổ hợp biểu diễn hình 4.4a Có thể thấy rằng, điểm mặt phẳng AB, nơi có σ1 > σ2 > σ3, hướng gia số biến dạng dẻo song song với vuông góc với mặt phẳng AB lục giác Tresca Các mối quan hệ tương tự trình bày mặt phẳng khác lục giác Trong trường hợp đặc biệt nơi mà, thí dụ, σ1 > σ2 = σ3, tình rắc rối hơn, ứng suất tiếp cực đại với giá trò chảy k không mặt phẳng trượt 450 song song trục thứ hai x2 mà mặt phẳng trượt 450 song song trục thứ ba x3 Do đó, ta có quyền giả đònh trượt xảy dọc hay hai mặt phẳng trượt cực đại có thể: (i) σmax = σ1, σmin = σ3 (dε1p , dεp2 , dε p3 ) = dλ(1,0,−1) , dλ ≥ (ii) σmax = σ1, σmin = σ2 (dε1p , dεp2 , dε p3 ) = dµ(1,−1,0) , dµ ≥ 189 Trong trường hợp này, ta giả đònh vectơ gia số biến dạng dẻo sinh tổ hợp tuyến tính hai gia số cho trên, nghóa là, (dε1p , dεp2 , dεp3 ) = dλ(1,0,−1) + dµ(1,−1,0), dλ ≥ 0, dµ ≥ (4.20) Tình tương đương với trường hợp đặc biệt nơi mà trạng thái ứng suất hành σij nằm đỉnh lục giác Như vậy, vectơ gia số biến dạng dẻo phải nằm hai phương pháp tuyến với hai cạnh kề lục giác (hình 4.4a) Đỉnh điểm suy biến ổ bề mặt xem trường hợp giới hạn bề mặt trơn điểm góc (hình 4.4b) Tổng quát, điểm suy biến nơi giao vài bề mặt chảy trơn, gia số biến dạng biểu diễn cách tổng quát tổ hợp tuyến tính gia số cho pháp tuyến bề mặt tương ứng giao điểm, nghóa là, p dε ij = ∂f n (4.21) ∑ dλ k ∂σk k =1 ij Như vậy, đỉnh, phương vectơ gia số biến dạng xác đònh cách Hơn nữa, bề mặt chảy chứa phần phẳng (hình 4.2 hay 4.4a), không tồn mối quan hệ gia số ứng suất biến dạng Tổng quát, tương ứng vectơ gia số biến dạng dẻo dεijp vectơ ứng suất σij không mối quan hệ một−một Tuy nhiên, ta thấy thí dụ công dẻo gia số dWp thực hay suất tiêu tốn lượng xác đònh cách độ lớn suất biến dạng dẻo cho bởi: p p p dWp = σ1dε1 + σ 2dε + σ 3dε = 2k max dε p (4.22) maxdεp ký hiệu giá trò tuyệt đối cực đại thành phần vectơ gia số biến dạng dẻo Thí dụ 4.1 Bằng cách dùng đònh luật chảy kết hợp với điều kiện chảy Tresca, a) Hãy chứng tỏ gia số công dẻo cho biểu thức (4.22); b) Giả sử phân tố vật liệu chảy dẻo trạng thái ứng suất phẳng, σ1 = σ / , σ2 = − σ / , σ0 ứng suất chảy kéo đơn trục, dε1 = c , với c số, tìm gia số biến dạng dẻo gia số công dẻo p Giải 396 Biểu thức dấu ngoặc đơn biểu diễn tenxơ độ mềm Các phương trình (7.74) (7.79) quan hệ gia số tổng quát vật rắn đàn dẻo với hàm đặt tải F không gian biến dạng Các phương trình thích hợp cho miền biến cứng biến mềm không đònh nghóa trường hợp chảy dẻo hoàn toàn Cho đến bây giờ, thông số vô hướng h dλ chưa xác đònh Việc cung cấp phần 7.4.2.4 Điều kiện kiên đònh Với bề mặt đặt tải đònh nghóa đẳng thức (7.68), số vô hướng h dλ xác đònh từ điều kiện kiên đònh, phát biểu trình nới lỏng ứng suất, gia số biến dạng dẫn dắt từ trạng thái biến dạng dẻo đến trạng thái biến dạng dẻo khác Đẳng thức (7.68) giữ vững trước sau gia số biến dạng Vi phân đẳng thức (7.68) tạo ra: dF = ∂F ∂F ∂F ∂k dε ij + p dε pij + dε pij = ∂ε ij ∂k ∂ε pij ∂ε ij (7.80) Nghòch đảo dạng gia số đẳng thức (7.63) gọi lại đẳng thức (7.71), ta biểu diễn dε pij theo dλ giải đẳng thức dλ: dλ = ∂F dε h ∂ε ij ij (7.81) đó: h= ∂F ∂F ∂F ∂k ∂F D mnpq − D mnpq p p ∂ε pq ∂k ∂ε mn ∂ε pq ∂ε mn (7.82) Ta thấy h dựa vào quy luật phát triển bề mặt chảy không gian biến dạng Ngay dạng hàm F cho, thông số h dλ xác đònh Như thấy, nguồn gốc quan hệ ứng suất−biến dạng không gian biến dạng tương tự không gian ứng suất (xem mục 5.7) Sự tương ứng thiết lập không gian ứng suất không gian biến dạng biểu thò bảng 7.4 7.4.3 Sự thiết lập chảy dẻo−nứt vi mô không gian biến dạng 397 Dạng kiên đònh quan hệ vật liệu chảy dẻo−nứt vi mô miền biến cứng biến mềm cho mục 7.4.3.1 Các mối quan hệ Khảo sát đồ thò ứng suất−biến dạng điển hình biểu thò hình 7.26 Gia số ứng suất giả sử gồm có ba thành phần: e p (7.83) f dσ ij = dσ ij − dσ ij − dσ ij dσ eij đáp ứng đàn hồi ứng với gia số biến dạng tổng, dεij, (7.84) e dσ ij = C ijkl dε kl dσ pij gia số ứng suất nới lỏng quan hệ với gia số biến dạng dẻo, dε ij , p p (7.85) p dσ ij = C ijkl dε kl dσ fij gia số ứng suất nới lỏng giảm sút độ cứng (hình 7.26a) liên hệ với gia số biến dạng nứt, dε fij dεijf , như: dσ fij = C ijkl dε fkl (7.86) Trong đẳng thức (7.84) đến (7.86), Cijkl tenxơ môđun đàn hồi hành Bảng 7.4 Sự thiết lập chảy dẻo không gian ứng suất biến dạng Các biến độc lập Các biến xác đònh Đònh luật Hooke Mối quan hệ Hàm chảy Tiêu chuẩn đặt tải Đònh đề quy luật pháp tuyến Tính tuyến tính Không gian ứng suất σij εij = εije + εijp Không gian biến dạng εij σij = σije − σijp dεij = dεije + dεijp dσij = dσije − dσijp εije = Dijkl σkl σije = Cijkl εkl dεij = Dijkl dσkl + dεijp dσij = Cijkl dεkl − dσijp f σij , εijp ,k = F εij , εijp ,k = ( ) f = ∂f dσij > ∂σij Đònh đề Drucker ( ) ∂F F = dεij > ∂εij Đònh đề Il’yushin dσijdεijp ≥0 ∫ dσ dε ≥0 dεpij = dλ ∂f ∂σij dσijp = dλ ∂F ∂εij ∫ p ij ij 398 Các quan hệ bản: ep Tenxơ độ cứng Cijk l dεijp = ∂f ∂f dσkl κ ∂σij ∂σkl dλ = ∂f ∂f = dσkl κ κ ∂σkl ep Tenxơ độ mềm, Dijk l ∂f ∂f C ∂σtu ∂σpq pqkl − ∂f ∂f κ+ D ∂σmn mnrs ∂σrs ∂f ∂f Dijkl + κ ∂σij ∂σkl dσijp = dλ = ∂F ∂F = dεkl h h ∂εkl Cijkl − Cijtu Cijkl ∂F ∂F dεkl h ∂εij ∂εkl ∂F ∂F h ∂εij ∂εkl ∂F ∂F D ∂εtu ∂εpq pqkl + ∂F ∂F h+ D ∂εmn mnrs ∂εrs Dijtu Dijkl Ta đònh nghóa thêm gia số biến dạng đàn hồi, dε eij , đáp ứng đàn hồi ứng với gia số ứng suất tổng, dσij, nghóa là, e dε ij = D ijkl dσ kl (7.87) Dijkl tenxơ độ mềm hành, tức là, nghòch đảo tenxơ Cijkl 399 a) b) Hình 7.26 Mô tả đồ thò hình thành tổ hợp a) Các gia số ứng suất biến dạng; b) Gia số công chảy dẻo−nứt vi mô Giải dσij từ đẳng thức (7.87) thay với đẳng thức (7.84) đến (7.86) vào đẳng thức (7.83), ta thấy quan hệ cho gia số biến dạng e p f dε ij , dε ij , dε ij dε ij : e p f dε ij = dε ij + dε ij + dε ij (7.88) ngụ ý gia số biến dạng tổng dεij gồm có ba phần: gia số biến dạng đàn, dε eij , hồi phục; gia số biến dạng dẻo, dε pij , gia số biến dạng vónh 400 cửu; gia số biến dạng nứt vi mô, dε fij , hồi phục ứng suất cất bỏ hoàn toàn Trái với biến dạng gia số, nên ý biến dạng tổng εij gồm có hai phần: εijp , biến dạng dẻo (vónh cửu), εije , biến dạng hồi phục biến dạng đàn hồi; nghóa là, e (7.89) p ε ij = ε ij + ε ij biến dạng đàn εije liên hệ với biến dạng tổng σij tenxơ môđun đàn hồi hành: (7.90) e σ ij = C ijkl ε kl 7.4.3.2 Mặt nới lỏng quy luật chảy Trong tài liệu này, ta giả đònh bề mặt nới lỏng không gian biến dạng có dạng tương tự với dạng đẳng thức (7.68), thông số k thay bỡi Wpf: ( p F ε ij , ε ij , W pf )= (7.91) Wpf công chảy dẻo−nứt vi mô, tiêu hao lượng tổng trình đặt tải cất tải (hình 7.26b) Bề mặt nới lỏng bề mặt đặt tải trạng thái biến dạng nằm bề mặt có khả làm cho nới lỏng ứng suất, với biến dạng dẻo sút giảm độ cứng, xảy Do đó, ta có tiêu chuẩn đặt tải sau đây: Nếu F = ∂F dε < 0, cất tải, dσ pf ij = ∂ε ij ij Nếu F = ∂F pf dε ij = 0, đặt tải trung hòa , dσ ij = ∂ε ij Nếu F = ∂F pf dε ij > 0, đặt tải, dσ ij ≠ ∂ε ij (7.92) dσ pf ij ứng suất nới lỏng gia số, với tổng gia số ứng suất dẻo, dσ ij , gia số ứng suất nứt, dσ ij dσijf , nghóa là, p f pf p f dσ ij = dσ ij + dσ ij (7.93) 401 Đònh đề Il’yushin yêu cầu công thực chu trình biến dạng, dW, không âm Trong hình 7.26a, dW biểu thò diện tích tô đậm Do đó, ta có: pf dW = [∫] dσ ij dε ij ≥ (7.94) quy luật pháp tuyến (hoặc quy luật chảy) diễn tả như: dσpf ij = dλ ∂F ∂ε ij (7.95) Quy luật pháp tuyến vật liệu cặp đôi đàn−dẻo đề cập Dafalias (1977b) Yin Qu (1982) 7.4.3.3 Suất tiêu hao lượng phân chia dσijf Theo đònh nghóa, suất tiêu hao lượng đơn vò thể tích, D = dWpf, vật rắn chảy dẻo−nứt vi mô gồm hai phần: biến dạng dẻo, phần lại suy giảm độ cứng Do ta có: D = dW pf = σ ijdε pij − dCijkl ε eijε ekl (7.96) Do quan hệ (7.85) (7.90), số hạng đẳng thức (7.96) viết lại theo thành phần ứng suất dẻo dσ pij biến dạng đàn εeij e p ε ij dσ ij [Mối quan hệ thấy dễ dàng cách nhân đẳng thức (7.85) với εeij dùng đẳng thức (7.90)] Hơn nữa, ý thành phần ứng suất nứt, dσ fij , phụ thuộc vào suy giảm độ cứng như: f e dσ ij = dC ijkl ε kl (7.97) số hạng thứ hai đẳng thức (7.96) biểu diễn theo dσ fij f e dσ ε đẳng thức (7.96) trở thành: ij ij D = dW pf = ε eij  dσ pij + dσ fij    (7.98) Thực tế, đại lượng diễn tả diện tích tô đậm hình 7.26b Ta giả sử tenxơ độ cứng đàn hồi Cijkl hàm công chảy dẻo−nứt vi mô, Wpf, nghóa là, pf C ijkl = C ijkl ( W ) (7.99) 402 Thế suất suy giảm độ cứng biểu diễn như: , C ijkl = dC ijkl (7.100) dW pf Chú ý đònh nghóa suất tiêu hao lượng đẳng thức (7.98), ta thu suy giảm độ cứng dCijkl như: dCijkl dCijkl = dW pf , dWpf = Cijkl ε emn  dσpmn + dσ fmn    (7.101) Thay đẳng thức (7.101) vào đẳng thức (7.97) dẫn đến: , dσ fij = −C ijkl εekl ε emn  dσ pmn + dσ fmn    (7.102) Sau vài thao tác tenxơ đẳng thức (7.102), quan hệ gia số ứng suất nứt dσ fij gia số ứng suất dẻo tổng dσ pt ij thu dạng: f f (7.103) f dσ ij = Tijkl dσ kl f Tijk l xem tenxơ biến đổi biểu diễn bởi: (7.104) f Tijkl = M ijmn N mnkl tenxơ Mijmn nghòch đảo tenxơ Mijmn , Mimn = δ im δ in − C ijpq εepq ε emn (7.105) Nmnkl đònh nghóa như: , e e N mnkl = −C mnpq ε pq ε kl (7.106) Từ đẳng thức (7.93), dσ pij liên hệ với dσ pf ij bởi: p p (7.107) pf dσ ij = Tijkl dσ kl đây: p f Tijkl = δ ik δ jl − Tijkl Do đó, hai thành phần ứng suất dσ pij dσ fij xác đònh từ nới lỏng ứng suất tổng dσ pf ij đẳng thức (7.107) (7.103), từ suất suy giảm độ , cứng, C ijkl , xác đònh 403 7.4.3.4 Quan hệ Ngay mối quan hệ gia số ứng suất dσ pij , dσ fij gia số tổng dσ ij thiết lập, vô hướng dλ đẳng thức (7.95) thu từ pf điều kiện kiên đònh theo cách thức thông thường Ở đây, đẳng thức (7.81), dλ có dạng: dλ = ∂F dε h ∂ε ij ij (7.108) hàm vô hướng h có dạng khác:  ∂F ∂F ∂F e  p f ∂F  p h = −  p D ijmn Tmnkl + ε Tmnkl + Tmnkl   pf mn    ∂ε kl  ∂ε kl ∂W  ∂ε ij  (7.109) Thay đẳng thức (7.108) vào (7.95), gọi lại: e pf dσ ij = dσ ij − dσ ij ý rằng: e dσ ij = C ijkl dε kl ta thu phương trình vật rắn chảy dẻo−nứt vi mô  ∂F ∂F  dσ ij = C ijkl −  h ∂ε ij ∂ε kl   (7.110) có dạng đẳng thức (7.74) Sự thiết lập tổng quát đưa có hiệu lực cho toàn miền điều kiện đặt tải (biến cứng biến mềm) thích hợp cho việc mô hình ứng xử ứng suất−biến dạng vật liệu với cặp đôi đàn dẻo 7.4.4 Các nhận xét mô hình biến mềm vật liệu bê tông Ứng xử biến dạng dẻo (không hồi phục) cặp đôi với suy giảm đàn hồi thường khảo sát cho vật liệu bê tông miền hậu phá hủy Phương pháp kết hợp lý thuyết dẻo với lý thuyết phá hủy (nứt vi mô) việc mô hình ứng xử hợp lý chấp nhận Sự hình thành không gian biến dạng cung cấp cách thức để tổ hợp hai lý thuyết cách chặt chẽ 404 Để thiết lập mô hình giải tích cho vật liệu thực bê tông, hai hàm phải đònh nghóa: (1) hàm đặt tải (hàm nới lỏng), F, không gian biến dạng; (2) suất tenxơ suy giảm độ cứng C’ijkl hàm tiêu tán lượng Wpf Hàm nới lỏng ban đầu mô tả tất trạng thái biến dạng biến dạng dẻo suy giảm đàn hồi bắt đầu xảy Hàm thay đổi với gia tăng biến dạng dẻo tiến triển phá hủy Do liệu thí nghiệm bê tông miền biến mềm không đủ, đònh nghóa rõ ràng hàm nới lỏng cho bê tông khó khăn lúc Suất suy giảm độ cứng C’ijkl với 21 thành phần, nói chung, khó đònh nghóa Tuy nhiên, ứng xử suy giảm độ cứng nói chung quy vào vài loại phá hủy vật liệu, lý thuyết phá hủy liên tục cố gắng tiếp cận vấn đề dựa nguyên lý học môi trường liên tục Việc phát triển cho vật liệu bê tông Với thành công lý thuyết việc có nhiều liệu thí nghiệm sau này, ứng xử biến mềm vó mô bê tông mô tả tốt Các mô hình chảy dẻo−nứt vi mô cho ứng xử biến mềm phê bình mối quan hệ ứng suất−biến dạng miền biến mềm đặc tính danh nghóa Thực miền hậu phá hủy, tập trung biến dạng thường xảy Nhánh suy giảm đường cong tải−biến dạng hiểu biến mềm biến dạng vật liệu Tuy nhiên, thay đổi kết cấu vật liệu khảo sát vài cách thức (thí dụ, mô hình Frantziskonis Desai, 1987), mô tả liên tục quan hệ ứng suất−biến dạng biến mềm chấp nhận 405 PHỤ LỤC: CÁC THÔNG SỐ VÀ CÁC HỆ SỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN MÔ HÌNH CHẢY DẺO CỦA VẬT LIỆU BÊ TÔNG A.1 Hệ số hình dáng hệ số hiệu chỉnh A.1.1 Hệ số hình dáng mặt đặt tải Để đáp ứng yêu cầu hình dáng cho bề mặt chảy mặt phẳng kinh tuyến, ta chọn hàm sau cho hệ số hình dáng k: 1  k (σ m ) k= k k (σ m ) σm > ξt ξt > σm ≥ ξc ξc > σm ≥ ξk (A.1) ξk > σm Hàm k1(σm) giả đònh có dạng bậc hai σm, thỏa ba điều kiện sau đây: σm = ξt, k1 = σm = ξc, k1 = k0 dk1/dσm = 0, từ ta thu được: k (σ m ) = + (1 − k )[− ξ t (−2ξ c + ξ t ] − 2ξ c σ m + σ 2m (ξ c − ξ t ) (A.2) Tương tự, k2(σm) giả đònh có dạng bậc hai σm, thỏa điều kiện: σm = ξk, k2 = k0 dk2/dσm = 0, σm = ξ , k2 = 0, ta nhận được: k (σ m ) = k (ξ − σ m )(ξ + σ m − 2ξ k ) (ξ − ξ k ) (A.3) A.1.2 Hệ số hiệu chỉnh M(σm, θ) f (σ m , θ) M(σ m , θ) =  1 < f ≤ trường hợp khác (A.4) đó: f (σ m , θ) = 0,15  (1,4 − cos θ) σ m + (σ m + 2,5 )  3 A.2 Các đạo hàm hàm đặt tải A.2.1 Các biểu thức tổng quát Các đạo hàm hàm đặt tải tổng quát ( p ) f σ ij , ε ij , k = (A.5) 406 vật liệu đẳng hướng biểu diễn quy luật chuỗi như: ∂f ∂f ∂f ∂f = δ ij + s ij + t ij ∂σ ij ∂I1 ∂J ∂J đó: δ ij = (A.6) ∂I1 ∂σ ij ký hiệu Kronecker, s ij = ∂J ∂σ ij tenxơ lệch ứng suất, t ij = ∂J = s ik s kj − J δ ij ∂σ ij độ lệch bình phương độ lệch ứng suất Chú ý: B0 = ∂f ∂f , B1 = , ∂I1 ∂J B2 = ∂f ∂J (A.7) đạo hàm biểu diễn thêm như: ∂f = B δ ij + B1 s ij + B t ij ∂σ ij (A.8) Đặc biệt, bề mặt đặt tải bê tông đònh nghóa đẳng thức (7.15) như: f (σ ij , ε pij , k) = ρ − kρ f = (A.9) k hàm σm (hay I1) biến dạng dẻo εijp công chảy dẻo Wp Từ đẳng thức (A.9), đạo hàm B0, B1, B2 viết như: B0 = ∂f ∂k =− ρ f − kA ∂I1 ∂I1 B1 = ∂f = − kA ∂J ρ B2 = ∂f = −kA ∂J Ở A0, A1, A2 đạo hàm hàm phá hủy ρf: (A.10) 407 ∂ρ f ∂ρ f ∂ρ f , A1 = , A2 = ∂I1 ∂J ∂J A0 = (A.11) phụ thuộc dạng cụ thể ρf A.2.2 Mô hình bốn thông số Ottosen, đẳng thức (7.10) Hàm phá hủy mô hình là: ρf =  − λ + 2λ2 − 8a (3bσ m − 1)   2a  (A.12) đó: k cos 1 cos −1 ( k cos 3θ)  cos 3θ ≥    λ= k cos  π − cos −1 ( − k cos 3θ)  cos 3θ <   3  Theo đẳng thức (A.12), đạo hàm hàm phá hủy thu được: đó: A0 = ∂ρ f ∂ρ f 2b = =− ∂I1 3∂σ m h1 A1 = ∂ρ f  2λ  dλ dθ  − +  = h1  dθ dJ ∂J 2a  A2 = ∂ρ f  2λ  dλ dθ  − +  = ∂J 2a  h1  dθ dJ (A.13) (A.14) 2λ2 − 8a (3bσ m − 1) h1 =  − k k sin 3θ sin 1 cos −1 (k cos 3θ)  3    −1 sin cos ( k cos 3θ) dλ  = dθ  π − k k sin 3θ sin  − cos −1 (− k cos 3θ)   3    −1 sin cos (− k cos 3θ)  [ ] [ ] cos 3θ ≥ (A.15) cos 3θ < ∂θ 3 J3 = ∂J sin 3θ J52 / (A.16) J3 ∂θ = ∂J sin 3θ J 32 / (A.17) 408 A.2.3 Mô hình bốn thông số Hsieh−Ting−Chen, đẳng thức (7.11) Hàm phá hủy mô hình là: ρf =  − ( b cos θ + c) + ( b cos θ + c) − a ( dσ m − 1)   2a  (A.18) Các đạo hàm cho bởi: A0 = − 3d 3h A1 = − b sin θ  ( b cos θ + c)  dθ 1 −  2a  h2  dJ A2 = − b sin θ  ( b cos θ + c)  dθ 1 −  2a  h2  dJ (A.19) ∂θ/∂J2 ∂θ/∂J3 biểu diễn đẳng thức (A.16) (A.17) ( b cos θ + c) − a ( dσ m − 1) h2 = (A.20) A.2.4 Mô hình năm thông số Willam−Warnke, đẳng thức (7.12) Hàm phá hủy mô hình biểu diễn phương trình sau: ρf = Ở đây: s+t υ (A.21) s = 2ρ c (ρ 2c − ρ2t ) cos θ (A.22) t = ρc (2ρ t − ρ c )u1 / (A.23) u = (ρ2c − ρ2t ) cos2 θ + 5ρ 2t − 4ρ t ρc (A.24) υ = (ρ2c − ρ2t ) cos2 θ + (ρc − 2ρ t ) (A.25) ρc = −  b1 + b1 − b2 ( b0 − σ m )    2b2  (A.26) ρt = −  a + a1 − a (a − σ m )   2a  (A.27) Các đạo hàm hàm phá hủy diễn tả như: 409 , ρt {4ρ(ρ c − 2ρ t ) + 8ρρ t cos θ 3υ − [4ρ c ρ t cos θ − 2ρ c u / + ρ c (2ρ t − ρ c )u − / A0 = − × (4ρ t cos θ − 5ρ t + 2ρ c ]} (A.28) ρ, + c {2ρ(ρ c − 2ρ t ) + 8ρρ c cos θ 3υ − [2(3ρ 2c − ρ 2t ) cos θ + 2(ρ t − ρ c )u / + 2ρ c (2ρ t − ρ c )u − / (2ρ c cos θ − 5ρ t )]} Ở đây: dρ t , ρt = dσ m dρc , ρc = dσ m A1 = − A2 = = a1 + 2a 2ρ t = b1 + b 2ρc 3J 2J (A.29) A2 (ρ 2c − ρ 2t ) υ(4 cos θ − 1) J 32 / { [ × 4ρ cos θ − ρ c + 2u −1 / (2ρ t − ρ c ) cos θ ]} (A.30) 410 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Huy Bích, Lý thuyết trình đàn dẻo, NXB ĐHQG Hà Nội, 2000 Lê Minh Khanh, Ngô Thành Phong, Cơ sở lý thuyết dẻo (sách dòch), NXB ĐH THCN, 1987 Nguyễn Lương Dũng, Giáo trình tính chất học vật liệu, Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 1993 Trương Tích Thiện, Lý thuyết đàn hồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2004 J Chakrabarty, Theory of Plasticiy, McGRAW-HILL Internatinal Company, 1988 W F Chen, D J Han, Plasticity for Structural Engineers, SpringerVerlag New York Inc, 1988 Book [...]... (4.48) đưa đến: b2 +1 2 2 2 2 pa (r + b ) σr = p r 2 = 2 2 b r (b − a 2 ) − 1 2 a (4.58) 20 1 Để xác đònh ứng suất σz, ta dùng các kết quả này thay vào phương trình thứ ba của các phương trình (4. 52) và chú ý phương trình (4.51) Việc này sẽ tạo ra σ z = ν(σ r + σ e ) + EC = 2 pa 2 (b 2 − a 2 ) + EC (4.59) Thay thế σz vào phương trình (4.55) ta có: ε z = C = pa 2 1 − 2 E(b 2 − a 2 ) Nếu ta giả sử biến... 2k và 2 = σ3, do đó ta có: dWp = (σ 3 + 2k )dε1 + σ 3dε 2 + σ 3dε 3 p p p (4 .24 ) Bằng cách dùng điều kiện không nén, dε1p + dε p2 + dε p3 = 0 Phương trình (4 .24 ) tạo ra: (4 .25 ) p dWp = 2kdε1 Do dε1p là thành phần chính có giá trò lớn nhất trong trường hợp này, phương trình (4 .25 ) cũng có thể được viết dưới dạng của phương trình (4 .22 ) Trong cách thức tương tự, ta có thể thấy rằng phương trình (4 .22 )... phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất theo σθ, σr, (dσr/dr) và (dσθ/dr), nhưng thực tế không chứa C Khử σθ và dσθ/dr bằng cách dùng phương trình này và phương trình (4.48) để dẫn đến phương trình vi phân bậc hai theo σr Giải phương trình này với các điều kiện (4.53) và (4.54) để có: b2 +1 2 2 2 2 pa (r − b ) σ r = p r2 = 2 2 2 b r (b − a ) −1 2 a − (4.57) Thay thế vào phương trình (4.48) đưa đến: b2... suất trên cạnh AB với phương trình σ1 − σ3 = 2k, các thành phần của vectơ gia số biến dạng dẻo là dε p2 = 0 và dε p3 = −dε1p Do đó, gia số công dẻo được cho bởi: p p p p dWp = σ1dε1 + σ 2dε 2 + σ 3dε 3 = (σ1 − σ 3 )dε1 = 2kdε p (4 .23 ) do σ1 = σ3 + 2k trên AB Chú ý rằng maxdεp = dε1p trong trường hợp này, kết quả là 2k dε1p có thể được viết dưới dạng của phương trình (4 .22 ) Nếu điểm ứng suất trùng... phương trình (4.69), ta thu được a2 b 2 ≤ 4 E ub ≤1 3 σ0 b (4.71) Khi ứng xử là đàn hồi hoàn toàn, phương trình tương ứng là  4 E u b  2p  b 2   = − 1  a2  3 σ b  σ0 0    (4. 72) Khi biên đàn dẻo đạt đến bề mặt ngoài, c = b, và phương trình (4.68) trở thành 2p c b = 2 ln σ0 a (4.73) Áp suất “chảy dẻo hoàn toàn” pc = σ0ln(b/a) được duy trì nếu ống giãn nở thêm Theo giả thiết đàn dẻo lý tưởng,... dλ 3K s ij    ∂I1 J2 ∂ J2   (4.88) 21 3 ở đây dλ có dạng 3Kdε kk dλ = ∂f G ∂f + s mn de mn ∂I1 J2 ∂ J2  ∂f 9K   ∂I1 2  ∂f   + G ∂ J  2      (4.89) 2 Trong hai mục tiếp theo, ta sẽ bàn luận cách thức dùng những phương trình đối với những hàm chảy đặc trưng 4.9 MÔ HÌNH VẬT LIỆU PRANDTL−REUSS (LÝ THUYẾT J2) Hầu hết những điểm đặc trưng cần thiết của lý thuyết dẻo gia số có thể được... đònh luật chảy [xem phương trình (4.8)]: dε pij = dλ ∂J ∂f = dλ 2 = dλs ij ∂σ ij ∂σ ij (4.100) Suất của công dẻo có thể nhận được một cách đơn giản: dWp = σ ijdε pij = dλσ ijs ij = 2dλJ 2 = 2dλk 2 (4.101) Từ kết quả này, ta xác đònh hệ số dλ dλ = dWp 2k 2 = s mn de pmn 2k 2 = s mn de mn 2k 2 (4.1 02) Khi dλ = 0, các phương trình (4.91) và (4. 92) biến đổi thành đònh luật Hooke dưới dạng vi phân Do đại lượng... chỉnh của vật liệu Prandtl−Reuss, ta thay phương trình (4.90) đối với hàm chảy f vào phương trình (4.89) để nhận được dλ và rồi thay dλ vào các phương trình (4.76b) và (4.88) để thu được dε ij = dsij 2G + dI1 s de δ ij + mn 2mn s ij 9K 2k dσ ij = 2Gde ij + Kdε kk δ ij − (4.91) Gs mn de mn k 2 s ij (4. 92) Khi những điều kiện để chảy dẻo xảy ra được thỏa, J2 = k2 và df = ∂f dσ = sijdsij = 0 ∂σ ij ij (4.93)... dạng như sau [xem phương trình (2. 174)]: σ1 1 + sin φ 1 − sin φ − σ3 =1 2c cos φ 2c cos φ (4 .26 ) ở đây φ là góc ma sát nội và c là lực cố kết Phương trình (4 .26 ) cũng có thể được viết trong dạng nén như [xem phương trình (2. 179)] mσ1 − σ3 = f’c, đối với σ1 ≥ 2 ≥ σ3 (4 .27 ) ở đây f’c là độ bền nén đơn trục và m là hệ số độ bền giữa f’c và f’t, f’t là độ bền kéo đơn trục (xem mục 2. 3.3) Để thu được biểu... trong quỹ đạo chảy Chú ý rằng, từ phương trình (4.60), σz luôn lấy giá trò là ứng suất chính thứ hai, nghóa là, σθ > σz > σr Do đó, điều kiện chảy của Tresca là σθ − σr = σ0 (4. 62) ở đây σ0 là ứng suất chảy trong kéo đơn trục Thay thế các phương trình (4.57) và (4.58) vào phương trình (4. 62) dẫn đến σ e − σ r = 2p b2 / r 2 ( b 2 / a2 ) − 1 = σ0 (4.63) Từ phương trình (4.63), ta thấy nếu áp suất được ... theo số đàn hồi G ν hệ số B0, B1, B2: 1+ν   h = 2G 3B 20 + 2B 12 J + B 22 J 22 + 6B1 B J  − 2   (4.1 52) 1+ν   δ ij + B1s ij + B t ij  H ij = 2G B − 2   (4.153) Nếu tenxơ gia số ứng...  K−  H 12  H H −1  =  G + 9Kα H H  H H  H1 = 3Kα + H3 = G J2 G J2 H1H H 22 H 3H H4H2 (4. 128 ) H1 H   H2H3   H 23   H H  s x , H = 3Kα + G H = 3Kα + G τ xy , J2 J2 (4. 129 ) sy sz... trình (2. 174)]: σ1 + sin φ − sin φ − σ3 =1 2c cos φ 2c cos φ (4 .26 ) φ góc ma sát nội c lực cố kết Phương trình (4 .26 ) viết dạng nén [xem phương trình (2. 179)] mσ1 − σ3 = f’c, σ1 ≥ 2 ≥ σ3 (4 .27 )