Chuong 11
TIN HIEU VA PHO CUA NO
11.1 PHAN LOAI TIN HIEU
Tín hiệu - hiểu theo nghĩa khái quát - đó là một q trình vật lý có chứa đựng tin
tức, hay một quá trình vật lý mang tin tức Tin tức, có thể là một bản nhạc, một bản thông báo, một mệnh lệnh Trong kỹ thuật viễn thông, hay trong hệ thống tự động điều khiển, tín biệu thường là các dao động điện: dòng điện, điện áp Trong quá trình truyền và thu nhận tin tức, trên kênh thơng tin ngồi tín hiệu có ích, cịn có can nhiễu Can nhiễu bao gồm mọi quá trình vật lý khác nhau có tác dụng làm xấu, hay làm giảm chất lượng của quá trình truyền và thu nhận tin tức Khi công suất truyền tin không đổi, nếu can nhiễu càng lớn, chất lượng truyền và thu tin càng giảm Tín hiệu thường được phân chịa thành bai loại: Tín biệu tiền định (xác định) và tín hiệu ngẫu nhiên Tín hiệu tiền định là các tín hiệu mà ta có thể biết trước được các tham số hoặc quy luật biến thiên của các tham số của nó Cịn tín hiệu ngẫu nhiên là các tín hiệu mà ta không thể biết trước được các tham số hoặc quy luật biến thiên của các tham số của nó, mà chi có thể đánh giá nó bằng lý thuyết xác suất Tín hiệu là một hàm số của thời gian và nhiều tham số khác
Tín hiệu tiền định có thể là tín biệu tuần hồn, hoặc khơng tuần hoàn Xét trong miền thời gian t, tín hiệu s(t) được gọi là tuần hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện:
a(t) = s(t + nT) (11.1)
trong đó T có giá trị hữu hạn và được gọi là chu kỳ của tín hiệu tuần hồn s(); n là số nguyên bất kỳ, -œ < n < œ
Tín hiệu hình sin là tín hiệu tuần hồn đơn giản nhất:
2m
s(t)=A coo 2 t+ ) = Acos(ot + @) (11.2) trong đó A, T, ø, œ là các hằng số, và là biên độ, chu kỳ, tần số góc và góc pha đầu tương ứng
Tin hiéu (11.2) còn gọi là tín hiệu đơn âm Khái niệm đơn âm ở lây được biểu là
Trang 2124 LY THUYET MACH - TIN HIEU
kỳ lặp lại và tồn tại trong khoảng thời gian khá lớn có thể được xem như tín hiệu tuần hồn Tín hiệu s(t) không thỏa mãn điều kiện (11.1) được gọi là tín hiệu khơng tuần hồn, hay tín hiệu phi chu kỳ Vậy tín biệu phi chu kỳ chỉ tổn tại trong khoảng thời gian xác định
Tín hiệu tiển định s(t) có thể là tín hiệu liên tục hoặc tín hiệu xung Tin hiéu s(t) được gọi là tín hiệu Hên tục nếu nó là một hàm số liên tục theo biến thời gian t; cịn tín hiệu s(t) chỉ có giá trị khác không trong các khoảng thời gian khá bé trên trục thời gian, ngoài các khoảng thời gian đó s(t) = 0, thì nó được gọi là tín hiệu xung Ví dụ, trên hình 11.1 biểu điễn tín hiệu xung vng với các giá trị biên độ khác nhau từ U„„„ đến U Innx"
s(t)
[ ï |
Hình 11.1
>t
Nếu tín hiệu xung (hình 11.1) có các giá trị biên độ được lượng tử hoá theo các mức lượng tử thì nó được gọi là tín hiệu số Thuật ngữ tín biệu số liên quan đến kỹ thuật thông tin số, hay điều khiển số mà chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ trong giáo trình, tài liệu về xử lý tín hiệu số hay các giáo trình, tài Hiệu khác
Tín hiệu s(Œ) được gọi là tín hiệu ngẫu nhiên, nếu ta không thể biết trước giá trị cũng như quy luật biến thiên các tham số của nó Thí dụ điện áp tương ứng với tiếng nói của mỗi người là một tín hiệu ngẫu nhiên Đối với tín hiệu ngẫu nhiên người ta phải đánh giá nó thơng qua các tham số của lý thuyết xác suất như: Quy luật phân bố xác suất, sự phân bố phổ của cơng suất tín hiệu Cần nhấn mạnh rằng, tín biệu ngâu nhiên cũng có thể là tín hiệu hữu ích hoặc can nhiễu Ví dụ, tín hiệu đo các đài rađa phát đi, khi gặp mục tiêu cần phát biện phản xạ trở lại mà máy thu rađa thu được là tín hiệu ngẫu nhiên hữu ích, cịn tín hiệu mà máy thu rađa thu được không phải từ mục tiêu cần phát hiện trở lại, mà từ các nguồn khác là tín hiệu ngẫu nhiên của can nhiễu
11.2 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU BẤT KỲ THEO HỆ HÀM CHO TRƯỚC
Tín hiệu là một hàm số của nhiều biến số Việc phân tích tín hiệu đã cho theo hệ bàm cho trước có ý nghĩa quan trọng khi giải bài tốn truyền tín hiệu qua mạch điện cũng như khi giải bài toán gia cơng, xử lý tín hiệu
Xét hệ hàm biến số thực:
Trang 3Chương 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 125
Hệ hàm (11.3) được gọi là trực giao trên đoạn Ía, b] nếu nó thỏa mãn điều kiện:
b
[@„(o„@)dx =0 khí n#m (11.4)
b
va: { oh (x)ax 0 (11.5)
Điều kiện (11.5) chứng tỏ rằng bất kỳ hàm @y(x) nào trong hệ (11.3) khéng déng nhất bằng không
b
Đại lượng: lo~| = J o2Gddx (11.6)
a
được gọi là mức của hàm 9g, (x)
Hàm o„(x) thỏa mãn điều kiện:
le = [ảo =1 (11.7)
được gọi là hàm chuẩn hóa
Cịn hệ hàm (x), @s(x), mà trong đó một cặp hàm bất kỳ trong hệ trực giao nhau, thì nó được gọi là hệ trực giao chuẩn hoá
Trong toán học người ta đã chứng minh được rằng, hàm f(x) bất kỳ thỏa mãn điều
kiện:
f\fGoldx <œ (11.8)
đều có thể biểu diễn dưới dạng:
f(x) = Co@p(x) + Cypy(x) + + Cp, (x) + (11.9) Tích phân (11.8) được tính trong miền xác định (trong các khoảng xác định) của ham f(x)
Cần nhấn mạnh rằng tất cả các phản ứng và tác động trong mạch điện thực đều là các hàm của biến số thời gian và đều thỏa mãn điều kiện (11.8)
Nếu các hệ sế C„ của chuỗi (11.9) được xác định bởi biểu thức:
b
[ £600, (x)dx
- (x)dx (11.10)
[oi @ax “he I":
Trang 4126 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
b N 2
M= [te re) dx
sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi a„= C, Day là một đặc tính quan trọng của chuỗi Fourier Có thể chứng minh được rằng:
b N 2 b N
Monin = j|£s -Š G60) dx = [P@)ax - > Clef (11.11)
n=0 a N=0
b
JP Gods = |?
là bình phương mức của hàm f(x), va M > O nén biểu thức (11.11) có thể viết lại đưới dang:
YC? hol" < Ie (11.12)
n=0
Bat đẳng thức (11.12) là bất đẳng thức Becxen, né nghiém dung vdi hé ham truc giao bat ky
Khi tang số thành phần của chuỗi, sai số trung bình bình phương M,„„„ có thể nhỏ tuy ý, và khi này hệ trực giao được gọi là đầy đủ
Điều kiện đầy đủ của hệ trực gìao có thể viết dưới đạng:
> Clonal = lA (11.18)
n=0
Dai với hệ hàm œ„(x) có giá trị phức, điều kiện trực giao của hệ được xác định bởi biểu thức:
b
[onde Gddx =0 khi nem (14.14)
cịn bình phương mức của ham 9,(x):
b b lon? = ƒ@„@oe;@dx = [Jb„@J?áx (11.1ð) và hệ sé Fourier: b ia! f(x); (x)ax (11.16) Pn a n
Trong cac biéu thitc trén, ham g/ (x) 1A ham lién hap phitc cha ham @,(x)
Trang 5Chương 11 TÍN HIỆU VA PHO CUA NO 127
N
s(t) = } Cg, (t) (11.17)
n=0
Trong trường hợp này biểu thức (11.13) có ý nghĩa là năng lượng của tín hiệu Thật vậy, khi thay f(x) bang s(t), ta cé:
t2
ElỬ = Í s?©át =E (11.18)
ty
Nếu s(Œ) là các đao động điện (dòng điện, điện áp), thì E chinh la nang lượng của tín hiệu tiêu hao trên điện trở R = 1 O trong khoảng thời gian từ t; đến tạ
Do đó biểu thức (11.13) xác định năng lượng tồn phần của tín hiệu
E= > Clo, (11.19)
n=0
Nếu hệ hàm trực giao œ,„(t) là hệ hàm trực giao chuẩn hố, thì năng lượng tồn phần của tín hiệu:
E= 5C (11.19a)
n-0
Chon bệ hàm trực giao phụ thuộc vào mục đích của việc phân tích tín hiệu thành chuỗi Với mục đích thuận tiện cho việc giải bài toán lý thuyết mạch, cũng như bài tốn truyền tín hiệu qua mạch và xứ lý chúng, ta sẽ chọn hệ hàm trực giao đơn giản nhất Còn với mục đích tiệm cận hố hàm tín hiệu, hay một quá trình, một đặc trưng nào đó, ta sẽ chọn hệ hàm trực giao sao cho số thành phần của chuỗi là ít nhất, nhưng vẫn đảm báo yêu cầu của sai số tiệm cận cho trước
Với mục đích thứ nhất, người ta thường chọn hệ hàm trực giao là các hàm lượng giác: sin, cosin So với các hệ hàm trực giao khác, các hàm lượng giác siA, cosin là các hàm đơn giản nhất xác định với mọi giá trị của thời gian t Mặt khác các hàm lượng giác là các hàm thời gian duy nhất không bị thay đối dạng khi truyền nó qua hệ thống tuyến tính bất kỳ (với tham số hằng số) mà chỉ thay đối biên độ và pha Hơn thế nữa, phân tích tín hiệu phức tạp thành các hàm hình sin cho phép sử dụng số phức để phân tích mạch, cũng như phân tích q trình truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính Đây là phương pháp khá đơn giản và tiện ích Cịn với mục đích giải bài toán tiệm cận hóa, người ta thường chọn hệ hàm trực giao là đa thức Trêbwưsep, đa thức Hecmit, đa thức Lagrange
Trang 6128 LY THUYET MACH - TIN HIEU 11.3 PHAN TÍCH TÍN HIỆU TUẦN HOÀN THÀNH CHUỖI FOURIER - KHAI NIEM VE
PHO TAN CUA TIN HIEU
Để phân tích tín hiệu tuần boàn phức tạp thành chuỗi Fourier, ta chọn hệ ham trực giao là các hàm lượng giác:
1, cosw,t, sin@;t, cos2m,t, sin2ujt, , cosnw,t, sinna,t, (11.20)
hoặc: e Ì2mt 2ø ⁄t 1 e9 2/290 (11.21)
Khi chọn hệ hàm trực giao (11.20), chuối Fourier của tín hiệu tuần hồn s() có đạng:
s(t)= Ào + > (a, coskw,t + bị sinkat) = Ag + SAK cos(ka,t + g, ) mm k-l (11.22) trong dé: ¡T2 A,= = [s(t)dt, Ty; 9 TE a, = — J s(t)eos ko ,t dt, T -T!2 T/2 b= = fa(t)sinko,tdt, L (11.22) Tả, A, = Vay + b; › (Ủy = ~ arctg ay 1 T
T là chu kỳ của tín hiệu tudn hoan s(t)
Khi chon hệ hàm tnie giao (11.21), chudi Fourier cha ham tuần hoàn s(t) sẽ có dạng:
s(t) = S°Cve™™ (11.23)
k=-eœ
17?
trong đó: = Ỉ s(t)e™ dt (11.24)
-T/2
Chuỗi (11.22) là chuỗi Fourier dạng thực (dạng lượng giác), còn chuỗi (11.23) là chuỗi Fourier dạng phức của bàm tuần hoàn s() Chuỗi Fourier đạng thực có thể nhận
được từ chuỗi Fourier dạng phức Thật vậy, nếu trong biểu thức (11.24), thực hiện thay
thừa số:
e *®%* = coskœ,t — jsìn ko@¡t
Trang 7Chương 12 TÍN HIỆU VA PHO CUA NO 129 T2 T/9 Ck == f s(t)coskw,tdt — — [s(t)sin ka ,tdt, -T/2 -T/2 hay: Cy = Cy - jC, trong đó: Te C = = Ís(cosko, tắt T -T!2 T72 1 - Ta Số phức Cv có thể viết lại dưới dạng:
Cy = que trong đó : Cy = vC% + Ch C ®y =T— arctg—2* ik
Dé dang thay rang, phan thutc C,, và môđun Cy là hàm chăn đối với biến k, còn phan ao C,, vA argument @y là hàm lẻ đối với biến k
Trong biểu thức (11.23), thực hiện thay Cy = C,e'* ta sẽ nhận được:
s(t) = > Cye™ emt = > Cpe) (11.25)
k=-+ k=~œ
Nếu trong biểu thức (11.25), thực hiện tách ra một cặp số hạng ứng với chỉ số k = n, ta sẽ nhận được tổng của chúng:
|C |eenhhtee,) + ic JeNnort en)
_n n ,
Vì C, 1a ham chin, cdn 9, la ham lẻ của biến k, nên biểu thức trên có thể viết:
Ce Knits) 4 C, el i19) ~ 2C cos(nw t+ @,)
Từ đây có thể suy ra rằng, khi chuyển chuỗi Fourier cua ham tuần hoàn s(t) dạng phức về chuối Fourier dang thực, nó sẽ có dạng:
s(t) = Cọ + Ð_.2C, cos(keit + @y) (11.22a)
k=1
Từ các biểu thức (11.22) có thể cơi tín hiệu tuần hồn sŒ) là tổng vô số của các
hàm hình sin với tần sé ko, (k = 0, 1, 2, 3 ) với biên độ Á¿ (C,), góc pha đầu @y được xác
định bởi các biểu thức (11.22), hoặc (11.34) Thành phần hằng số (A,) là thành phần
Trang 8Chuong 11 TIN HIEU VA PHO GUA NÓ 131 A s(t) “Tx i210 tự/2 Vv 1 3 It 1 1 1 1 Il L I ' Hình 11.3
Vi tin hiéu s(t) 14 ham chẵn theo biến thời gian t, nên theo tính chất của phép biến đổi Fourier các hệ số b„= 0 Áp dụng công thức (11.22? ta tìm được:
T/2 Ty ;2 Ap == | s(t)dt = + [Eat = T -T/2 T ` T
2 Te of, Sara 2E Ấy
Ay = T J Ecos kot dt = Tho, sin kot 4 = 1 Pp
—Ty12 wi
Vay chuéi Fourier cha tin hiéu tuần hoàn s():
2 m
sí) = ElTx+ 2S đạn TT set (11.28)
T néink
Goi N = T4, là độ thưa của dãy xung tuần hồn, thì khi giá trị N lớn, số vạch phổ của tín hiệu càng lớn, khoảng cách giữa các vạch phổ càng nhỏ, và giá trị của hai vạch phổ kề liền nhau xấp xỉ bằng nhau Hình 11.4 là đồ thị phổ của tín hiệu s(t) ứng với
Trang 9130 LÝ THUYET MACH - TIN HIEU
các thành phần hai Thanh phan hài ứng với k = 1 gọi là thành phần hài cơ bản, còn các thành phần khác được gọi là các thành phần hài bậc cao
Nếu trên trục tần số œ, ứng với mỗi thành phần của chuỗi (11.22) ta sẽ biểu thị bang một vạch có độ lớn tỉ lệ với biên độ của nó, và một vạch có độ lớn tỉ lệ với góc pha đầu œ@ của dao động, ta sẽ nhận được đề thị gọi là đề thị phổ của dao động tuần hoàn s(t) (xem hình 11.2), A y | th, ty 20, 3u nw, a) Đồ thị phổ biên độ ma W, 2u đức Nw, 92 ` e” bì Đổ thị phổ pha Hình 11.2
Vì năng lượng của dao động hình sin tỉ lệ với bình phương biên độ của nó, do đó phể biên độ của tín hiệu cho biết hình ảnh phân bố năng lượng của tín hiệu theo tần số, cịn phổ pha - phân bố pha ban đầu của tín hiệu theo tần số Phổ của tín hiệu tuần hồn là rời rạc (phổ vạch), khoảng cách của các vạch phổ liên tiếp nhau trên thang tần số dung bang tan sé cia hai cd ban o, Dai tan số mà năng lượng của tín biệu phân bố trong đó được gọi là bề rộng phổ của tín hiệu Về lý thuyết bề rộng phổ của tín hiệu lớn vơ cùng, song từ lý thuyết của phép biển đổi Fourier, các hệ số Á, sẽ giảm nhanh khi k tăng, nên bề rộng phổ của tín hiệu là giới nội Trong thực tế người ta định nghĩa bề rộng phổ của tín hiệu là đải tần số mà khoảng 90% năng lượng của tín hiệu tập trung trong dải đó
11.4 PHỔ CỦA MỘT SỐ TÍN HIỆU TUẦN HỒN ĐƠN GIẢN
11.4.1 Phé cua day xung vng tuần hồn cùng cực tính 0 khit<-t,/2
Trang 10Chuong 11 TIN HIEU VA PHA CUA NO 129
` T/2
Cy = + J s60eoskeitat - Tj sen ka tat,
hay: Cy = Cy, - JC, trong dé: T2 1 Cy = 7 Js(t)eoskw , tat -T/2 12 1 -T/2
Số phức Cy có thể viết lại dưới dang:
Cy = Cel trong dé: C, = Voi, + Che C Q, =- arctg—™ 1k
Dé dang thay rang, phan thuc C,, và môđun C¿ là hàm chẵn đối với biến k, còn a
phan ao Cy, vA argument ¢, là hàm lẻ đối với biến k
Trong biểu thức (11.28), thực hiện thay Cy = Ce! ta sẽ nhận được:
S() = Ð) Cue'effSd= 5) CO yefteiree) (11.25)
k~-œ k=-œm
Nếu trong biểu thức (11.25), thực hiện tách ra một cặp số hạng ứng với chỉ số k = n, ta sẽ nhận được tổng của chúng:
lC_„Íe! metse.,) + |c,le^#er92) -
Vi C, la ham chẵn, còn œy là hàm lẻ của biến k, nên biểu thức trên có thể viết:
Cc e 1mt+es n + Cle Jnoi + ) z 2C, cos(nn,t + @„)
Từ đây có thể suy ra rằng, khi chuyển chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn s(t) dạng phức về chuỗi Fourier dạng thực, nó sẽ có dạng:
s(t) = Co + >, 2C, cos(ko,t + ,) (11.22a) k=l
Từ các biểu thức (11.22) có thể coi tín hiệu tuần hồn s() là tổng vô số của các hàm hình sin với tần số ko; (k = 0, 1, 2, 8 ) với biên độ A¿ (C,), góc pha đầu @y được xác
định bởi các biểu thức (11.22), hoặc (11.24) Thành phần hằng số (A4) là thành phần
Trang 11Chương 11 TÍN HIỆU VÀ PHỔ CUA NÓ 133
11.4.3 Phổ của tín hiệu hình răng cưa
Tín hiệu hình răng cưa (hình 11.7) được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật đo lường, điều khiển tự động
AA
1 0 T 2T t
Hình 11.7
Tin hiéu s(t) là hàm không chan, không lễ, áp dụng biểu thức (11.24) ta có:
e 1°
Cy = —] Ate *' dt +
Dat: u=At du= Adt
-j 1 _ dv =e 24L, y=-———e *et JKO, ta sẽ nhận được: jko, 9 Oka, 3 T T V,R : -j 1 At yy AT is
Vi ran e* 3t =0, nên Cy, = ————e ket | - 92
6 J a “ST — jk, p 2km
Vậy chuỗi Fourier dạng phức của tín hiệu tuần hồn s() sẽ có dạng:
s(t) = > AT jean 2) (11.28)
vú 2kx còn chuỗi Fourler dạng thực sẽ là:
AT SAT 1 141
s(t) = —— + Do eq OtKant + 1/2) CA + ene oat +7z/2)| (11.28a)
Trang 12134 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU AT 2 AT At AT 2n an aT AT 4x AT AT —— ‘6x 4n OL AT 8x | Bm Br i | - 40), =4} -2uj, =6 0 ti 20 30, 444 w AT 2 AT T1 AT 2n AT 3x AT ị |“ Ow, 20, 30, 40, 2 Hình 11.8
11.5 PHÂN TÍCH PHỔ CỦA TÍN HIỆU KHƠNG TUẦN HỒN
Phân tích phổ của tín biệu khơng tuần hồn có thể dựa trên cơ sở của việc phân tích phổ của tín hiệu tuần hồn
Xét tín hiệu khơng tuần hoàn, tồn tại trong khoảng thời gian từ t, đến t; (xem hình 11,9),
s(t)
Hinh 11.9
Trong khoảng thdi gian T cé chita doan tw t, dén t,, tin hiéu s(t) có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourler:
Trang 13Chuong 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 135
Trong biểu thức (11.29), thay thừa số Cx từ biểu thức (11.30) ta sẽ nhận được:
" tạ
s(t) = Ð) facoe orale 0<t<T (11.31)
k=- ty /
ở đây: T = z @y
Bên ngoài khoảng [0, T], chudt (11.29) xac dinh ham s(t) = s(t + kT) (k 1A các số nguyên), nghĩa là bàm tuần hoàn nhận được băng cách lặp lại tín hiệu s(t) vé ca hai
phía bên phải và bên trái với chu kỳ T Để ngoài khoảng [0, T] ham s(t) bang không cần
tăng khoảng T lên vô cùng ( T —> =) Song khi giá trị T càng lớn hệ số Fourler Cạ càng nhỏ, và khi T —› œ, biên độ của các thành phần hài trong chuỗi sẽ có giá trị vô cùng nhỏ,
, ` ze 1A as wae > 2n
còn số thành phần hài trong chuỗi cũng sẽ lớn vô cùng, tần số bài co ban @, = T 30 Hay nói cách khác, khoảng cách giữa các vạch phổ - bằng tần số hài cơ bản- sẽ vô cùng nhỏ và phổ của tín hiệu khơng tuần hoàn sẽ là phổ đặc
Trong trường hợp xét (T —> œ), trong biểu thức (11.31) cần thay thừa số œ, bằng do, ko; bằng tần số chạy øœ, và toán ti téng (= ) phải thay bằng toán tử tích phân, nghĩa là:
1 = {
s(t) = —— Ị elt fatty" dt \do (11.32)
Z1 :
Tích phân bền trong Ìà một hàm của biến o:
lạ
S(o) = Jsđ stat (11.38)
ty
được gọi là mật độ phổ hay đặc trưng phé của hàm không tuần hoan S(t)
Trong trường hợp chung, gidi han t,, t; có thể chưa biết, nên hàm mật độ phổ s(o) có thể được viết dưới dạng tổng quát:
S(@) = ƒ s(t)e* dt (11.34)
Trong biểu thức (11.32), thay tích phân bên trong bang S(w) 6 (11.33), ta sé nhận được:
s(t)= J [S(e)e"'do (11.35)
20
Cặp biểu thức (11.34) và (11.35) được gọi là cặp biến đổi Fourier của tín biệu
Trang 14136 LY THUYET MACH - TIN HIEU
Biéu thite (11.34) chi khac biéu thie (11.24) thiva sé W/T Do d6 tinh chat va ¥
nghĩa của mật độ phổ S(o) hoàn toàn giống như hệ số Cạ của chuỗi Fourier dạng phức của tín hiệu tuần hoàn s()
Hàm mật độ phổ S() có thể viết dưới đạng: S()= A(o) +jB(@) = S(aye™, (11.36) trong đó: wm Aw) = { s(t)coso tdt, ” (11.37) Bio) = [s(t)sinwtdt +o
S(o) = VA?(a) + B2(o) (11.38)
_— B(o)
(0) = - arctg Alo) (11.39)
Ham S(o) cé thé xem nhu dac tinh bién dé tan số, còn @() - đặc tính pha tần số
của đặc trưng phổ của tín hiệu khơng tuần hồn s(t) Dé dang thấy rằng S(w) là hàm
chan, cén @(@) là hàm lẻ của biến tan sé ow
Biểu thức (11.35) khi kết hợp với (11.36) có thể viết lại dưới dạng:
s(t) = Fy | Sede
= 3g | Sereostot + odo + a [Sto)sintot + p)da
Vi S(o) 1A ham chẵn theo biến øœ, còn @() Ìà hàm lễ theo biến œ, nên hàm dưới dấu tích phân của tích phân thứ nhất cũng là hàm chan theo biến ø, còn hàm dưới dấu tích phân của tích phân thứ bai là hàm lẻ theo biến øœ, nên tích phân thứ hai bằng khơng Du đó:
s(t) = +} [S@)cos(ot + @)døœ = >Í S(@} cos(@t + @)dib (11.40)
21 tt
So sánh các biểu thức (11.35) và (11.23) ta thấy, có thể xem đại lượng
= S(a)do = S()df như là hệ số Cy cha chudéi Fourier du6éi dang vhiie ting vdi tan sé n
® = 2nf
Tương tự, so sánh các biểu thức (11.40) và (11.22a) có thể xem đại lượng + 3(0)do = 2S(w)df nhu 1a biên độ của thành phần hài với tần số o = 2nf
Trang 15Chương 11 TÍN HIỆU VÀ PHỔ CỦA NÓ 137
Từ đây đã dàng suy ra ý nghĩa vật lý của ham mat độ phổ của tín hiệu khơng tuần hồn s(); còn 2S(œ) là biên độ của tín hiệu phân bố trong một đơn vị tần số (Hz) trong dải tần số vơ cùng hẹp có chứa tần số ø
Cũng từ các kết quả nhận được, cho phép thiết lập quan hệ giữa phổ của xung đơn và phổ của đãy xung tuần hoàn Giả sử S;¡(ø) là mật độ phổ của xung đơn g,(t) Nhu đã chỉ ra ở trên, mật độ phổ S¡(@) chỉ khác hệ số Cy của chuỗi Fourier của dãy xung tuần hoàn với chu kỳ T bởi thừa số 1/T [xem biểu thức (11.34) và (11.24)] Do đó khi lặp lại xung đơn syŒ) để nhận được dãy xung tuần hoàn với chu ky T, hệ số Cụ của chuỗi Fourier của dãy xung tuần boàn sẽ là:
Cy = (11.41)
với biến œ trong hàm mật phổ Si(o) được thay bằng ko; của thành phần hài tương ứng Do đó:
25.(ka,) _ ư@
A,y= 2C, = = S$, (ko) (11.42)
TL
Từ biểu thức (11.42) dễ đàng suy ra rằng: Môđun của mật độ phổ của tín hiệu xung đơn và đường bao của các vạch phổ của dãy xung tuần hoàn nhận được bằng cách lặp lại xung đơn đã cho với chu kỳ T có dạng hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau về tí lệ xích
11.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHỔ TÍN HIỆU
Giữa tín hiệu sŒ) và phổ S(o) của nó được liên hệ với nhau bởi cặp tích phân
Fourier Dựa vào tính chất của phép tính tích phân đễ dàng suy ra các tính chất sau đây của phổ tín hiệu
11.8.1 Tổng các tín hiệu
Giả sử tín hiệu :
s(t) = s,(t) + s(t) + + s,(t),
khi đó phổ của tín hiéu s(t):
S(o) = Si(o) + So) + + Sa(e) (11.43)
trong đó Sx(@o) là phổ của tín hiệu 5, (t)
11.8.2 Tăng hoặc giảm độ lớn của tín hiệu
Giả sử tín hiệu s(Œ) có phổ là S(o) , khi đó tín hiệu a.s() (a là hằng số) sẽ có phổ
Trang 16138 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
Tính chất thứ nhất và tính chất thứ hai còn được gọi là tính chất tuyến tính của phổ tín hiệu
11.6.3 Giữ chậm tín hiệu
Giả sử tín hiệu s,(Œ) tổn tại trong khoảng thời gian từ t, đến tạ và có phổ là S(a), thì khi giữ chậm tín biệu s,(t) một khoảng thời gian r (kbông thay đổi dạng của tín hiệu) ta sẽ nhận được tín hiệu mới:
s;(t) = s¡(t — t)
tổn tại trong khoảng thời gian từ t¡ + + đến t; + 1 (xem hình 11.10) Tín hiệu s¿(t) sẽ có
phổ là :
S2(o) =e" Si(w) (11.44)
s(t)
t t++ ty to +1 1
Hình 11.10
Theo biểu thức (11.34) ta có:
a «o0 tạ+T
Se(@) = Ƒs;tĐe “at = Jatt ~ te at
—œ ti+t
Trong tích phân trên thực hiện đổi biến Đặt x= t — tta sẽ nhận được :
tạ
So(@) = e" Ís,(x)e dx
tị
Vĩ tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, nên có thể viết:
° tạ
Ss(o)=e it Ỉ s,(t)e dt =e" Si(o) (11.45)
fy
Trang 17Chương 11 TÍN HIỆU VÀ PHO CUA NÓ 139
thay đổi pha một lượng tuyến tính bằng ~or, thì tín hiệu cũng sẽ bị giữ chậm một lượng + theo thời gian
11.6.4 Nén hoac giãn tín hiệu theo thời gian
Giá sử tín hiệu s,(t) bi nén theo thời gian thành tín hiệu s¿(t) (xem hình 11.11) 8,(t) = s,(nt) si) ~¥ Hinh 11.11
Độ rộng của tín hiệu s;(t) nhỏ hơn độ rộng của tin hiéu s,(t) n lan va bang T/n (n> 1)
Phổ của tín hiệu s;(t) sẽ là:
e Tin Tin
S2(o) = Ƒs;(Đe “tát = [siete “at
0 0
Trong tích phân trên, thực hiện đổi biến Đặt x = nt ta sẽ nhận được:
1 T 1 T jot
S2(@) = —[s,@e " dy = —Ƒs,(e " đt
n 0 n 0
Tích phân phần phải chính là hàm phổ của tín hiệu syŒ), nhưng với tần số bằng 5 „nghĩa là (2) - Do đó:
n n
` 1X fw
S2(a) = — Si(— 1) = 28) (11.46)
Vậy khi nén tín hiệu lại n lần theo thời gian thì phổ của nõ sẽ được mở rộng (giãn) n lần theo trục tần số và biên độ phô sẽ giảm đi n lần
Trang 18140 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
11.6.5 Vi phan va tich phan tín hiệu
Vi phân tín hiệu có thể được thực biện bằng cách vi phân tất cả các thành phần
hài chứa trong phổ của nó Mặt khác, từ biểu thức (11.35), thành phần hài ứng với tần
số œ của tín hiệu có thể viết dưới dạng: la
2m
Biểu thức trong dấu ngoặc vuông có thể được xem như biên độ của dao động trong đải tần do
Thực hiện vi phân biểu thức trên ta nhận được:
io 2-8, cod fe 2r
waren z 2 ` To - Ân vế - ds(t) |
Từ đây có thê suy ra hàm phơ của vị phân tín hiệu s,(t) = bảng :
Ss@) = jo Si) (11.47)
Tương tự, có thể chứng minh được rằng hàm phổ của tích phân tín hiệu:
S(@) =9) Si) (11.48)
jo
Từ các biểu thức (11.47) và (11.48) ta thấy khi vi phân tín hiệu theo thời gian sẽ
làm tăng phổ ở vùng tần số cao, còn khi thực biện tích phân tín hiệu theo thời gian sẽ làm tăng phổ ở vùng tần số thấp
11.6.6 Phổ của tích hai tín hiệu
Giả sử tín hiệu s() là tích của hai tin hiéu g(t) va f(t):
s(t) = g().f()
Theo công thức (11.34) ta xác định được phổ của tín hiệu s(£):
Š(@) = [see “tát = Jecorne ee (11-49)
.)
Gợi G(o) là phổ của tín hiệu g(9; F(o) là phổ của tín hiệu f(Q
Theo công thức biến đổi ngược Fourier, ta có:
_ lt = jot
g(t) = 2x] Gi6)s do,
_ 1 Ty jut
Trang 19Chương 11 TÍN HIỆU VÀ PHỔ CỦA NÓ 141
Nếu trong tích phân (11.49), thực hiện thay hoặc gŒ), hoặc f(t) từ các tích phân trên, ví dụ thay g() ta sẽ nhận được:
- _ 1 T —jot ft jxt
S(o) = > Jie dt J Gee dt
_ = jàm Jere Hoa
Biểu thức trong dấu ngoặc vng của tích phân chính là mật độ phể của ham f(t) ứng với tần số œ — x, nghĩa là :
[ t(tye Hat = Flo — x)
—œ
Do đó:
S@)=-L Í[GGÒF( - x)dx 2m (11.50)
Vậy phổ của tích hai tín hiệu bằng tích chập phổ của chúng nhân với thừa số 1/21 Từ các biểu thức (11.49), (11.50) dễ dàng nhận thấy rằng, trong trường hợp riêng, khi œ = D:
[f@g(át = +} [GœFCx)4x eo Qn $
hay thay biến x = œ, ta nhận được:
Í f@)(©dt = Lt [GwF (~o)do = ƒ G(o)F* (o)do (11.51)
2n Nn 2n -
trong d6 F(o) = F(-o) 1A ham phé lién hgp phitc của hàm phổ F(@)
Tương tự, có thể chứng minh được rằng, hàm phổ của tín hiéu s(t) 1A tich chap của hai tín hiệu f(t) va g(t):
a(t) = f(t) g(t) = Ỉ g(z)fŒ ~ t)ảt
bằng tích của các hàm phổ tương ứng, nghĩa là:
= 2 [Flo)G@)e*'do (11.52) 4
Trang 20142 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIEU 11.6.7 Mối liên hệ giữa hàm thời gian t và hàm tần số ø của tín hiệu
Cho hàm tín hiệu sŒ), khi đó phổ của nó được xác định theo công thức (11.34):
Glo) = [s(te Hat
Ap dụng công thức G -le
e'?* = coswt ~jsinat, biểu thức trên có thể viết đưới đạng:
G(@) = ƒ:tÐ cos tđt — if att) sinotdt
Nếu s(t) là một hàm chẵn theo biến số thời gian t, thì tích phân thứ hai bên vế phải sẽ bang khong, vi tich s(t).sin wt sé 1A ham lẻ theo biến số thời gian t và giới hạn lấy tích phân là đối xứng
Bởi vậy, nếu s(t) là một hàm chan thi ham phé cha nó: G(@) = Jct) cos a@tdt
Đây là một hàm thực và cũng là hàm chẵn theo biến tần sé o
Nếu tín hiệu s(Œ) là một hàm lẻ thì tích phân thứ nhất bên vế phải sẽ bằng không,
` ` »
và hàm phô của nó;
a
G(o) =— j Ís()sinotdt
Đây là hàm ão và cũng là hàm lẻ theo biến tần sd a
Nếu s(t) là một hàm không chẵn và cũng không lẻ, ta có thể phân tich ham s(t) thành tổng của hai ham s,(t) va s,(t), trong dé s,(t) lA mét ham chan, con s,(t) JA một hàm lẻ Trong trường hợp này hàm phổ G(@) của tín hiéu s(t) sé 1A mét hàm biến số phức, và phần thực của nó sẽ là một hàm chan theo biến tần số ø, còn phần ảo của nó sẽ là một hàm lẻ theo biến tần số a
Từ kết quả của việc phân tích trên, dễ dàng suy ra rằng: Khi tín hiệu s() là một ham chan, thi trong tích phân ngược Fourier (công thức 11.33), ta có thể chọn dấu tuỳ ý trước biến thời gian t, nghĩa là:
- 1 { jat _ 1 T jot
s0 | G(o}eÌ doc] G(o)e do
Trang 21Chương 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 143
LÝ iw -
s(0)= 5, ] Oe imtat (11.53)
Tích phân (11.53) có thể xem như mật độ phổ của hàm méi G(t) nhận được khi thay œ bằng t trong ham phổ của tín hiệu s(t)
Nếu biểu thị mật độ phổ của hàm mới là Y(o), khi đó ta có:
Y(œ) = 2ma(œ) (11.54)
Vậy biến œ và biến t trong tích phân Fourier hên quan tương hỗ với nhau: nếu tín hiệu chăn sŒ) có phổ là G(o), thi tín hiệu G() sẽ có phổ là 2x.s(o)
11.7 NĂNG LƯỢNG CỦA TÍN HIỆU PHI CHU KỲ
Trong biểu thức (11.51), nếu f(t) = gứŒ) = s(†) thì tích phân bên vế trái sẽ được đưa về dạng:
ao
[f.ecerde = [sac (11.55)
-x
Cịn tích phân bên vế phải sẽ cé dang:
2
da (11.56)
Qn:
1 œ= a nn 1 33 e
an JOP (œ)do = (Be
Tích phân bên vế phải của biểu thức (11.55) chính là năng lượng tồn phần của tín hiệu s() (toả ra trên điện trở R = 1 ©) Do đó từ (11.55) và (11.56) suy ra:
œ a 2
_ [2 _ 1 fle
E = Js (t)dt = 5 J S(o)| do (11.57)
Như vậy năng lượng của tín hiệu có thể được tính theo hàm thời gian s(t), hoac ham phé S(o)
Dang thiic (11.57) dude goi JA dang thitc Paxévan Nang lượng của tín hiệu phi chu kỳ (tổn tại trong khoảng thời gian từ t, đến t;) là hứu hạn Trong khi đó năng lượng của tín hiệu tuần hồn lớn vô cùng (xem biểu thức 11.19) Về ý nghĩa vật lý điều này được giải thích: do tín hiện tuần hồn tổn tại trong khoảng thời gian từ - đến +œ, nên nó phải có năng lượng vô cùng lớn
„I2
5(œ})
Cũng từ biểu thức (11.57) dễ dàng suy ra rằng, đại lượng là năng lượng
Trang 22
144 LY THUYET MACH - TIN HIEU
41.8 HAM PHO CUA MOT SO TIN HIEU PHI CHU KY THƯỜNG GẶP
11.8.1 Tin hiéu xung vuong don
†s( 0 khit<-r,/2 E sŒ)=+4E khi-r,/2<t<t,/2 0 khit>1,/2 “T./2 0 1/2 t
Hình 11.12 Tín hiệu xung vuông đơn "Theo công thức (11.38) ta tìm được:
t, /2 S(0) = [Ee tát _ E — t/2 - E m2 _ einrx/2) “2 eo ơ14/2 -jđ _ ot (11.58) sino: = 2E na x = Et, 2 a 2 o— y 2
Dé thi cha bién độ phổ của tín hiệu xung vng đơn xem ở hình 11.13
* s(n) Et, eM ổn Tx 4 Tx Ty 2 0 2 Tt 4 & Ty Tx
Hình 11.13 Biên độ phổ của tin hiệu xưng vuông đơn
Trang 23Chương 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 145
vơ cùng, cịn hàm mật độ phổ Š (o) sẽ có giá trị vô cùng nhỏ trong dải tần số từ -œ đến +œ
11.8.2 Tín hiệu đạng xung chuông (xung Gauss)
Xung chuông về mặt hình dạng trùng với đồ thị của quy luật phân hố xác suất Gauss, nên nó được gọi là xung Gauss (hình 11.14a) Hằng số a có giá trị bằng một nửa độ rộng của xung được xác định e 12 = 0,606 biên độ của xung, và do đó độ rộng của xung Gauss t„ = 2a
S(O) > @, 5 Vv m - Hinh 11.14 Tin hiệu dạng xung chuông
Theo công thức (11.33) ta có:
to,
3+ jot
S(o)=A fe 22? e “tật = A jolie hae (11.59) t2
Để tính tích phân trên, ta thực hiện biến đổi như sau:
" 4 “ + cái -a? _-(_E_ ¿ aÌ xá?
2a? 2a? ) V2a V2a
trong đó d được xác định từ biểu thức:
t joa
jot =2——d hay d=—=
2a V2
Do đó (11.59) được biến đổi về dạng:
.3
a 2 t : ~- ~ Z
Néu dat x = d5 + d, sau biến đổi ta sẽ có:
Trang 24146 LŸ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
S{œ) = Ae" V2 [e* dx
Vi: few'dx = ¥m,nén ta nhận được:
t @
° 2— —
S(œ) = V2n A.ae *" =Be 2° (11.60)
trong dé: b= + B= V2n.Aa a
Đầ thị của hàm (11.60) như trên hình 11.14b
Kết quả nhận được có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết tín hiệu, nghĩa là tín hiệu dang xung Gauss va ham mat phổ của nó cùng được biểu diễn bởi một hàm số và có tính đối xứng Để nhận được hàm phổ từ hàm s() (hoặc ngược lại) chỉ cần thay biến t bằng biến œ (hoặc ngược lại) Trong trường hợp nay dai phổ được xác định ở mức e1? so
2
4 » 1 XS LA KY
vdi gia tri cuc dai sé bang 2b =2.— = 2.— = 4 , còn hệ số B=x2rx.aA
a Ty Tụ
Tương tự, hàm phổ có dạng xung Gauss:
w?
S(o)= Be
sé ting vci tin hiéu "Gauss":
|
với độ rộng t1, = 2
Rõ ràng rằng độ rộng xung t, càng hẹp, dải phổ 2b càng rộng
11.8.3 Phổ của tín hiệu xung dạng BsinC(x)
sip2zWt
— 11.61
2rWt )
Cho tín hiệu xung s(t) = B
trong đó 2xW có thứ nguyên là tần số góc, cịn độ rộng xung bằng 1/W (được tính bằng độ rộng của búp chính)
Để tìm phổ của xung đã cho (hình 11.15a) có thể sử dụng công thức tổng quát (11.33) Song để đơn giản tính tốn, ta sử dụng quan hệ tương hỗ giửa biến thải gian t và biến tần số œ của phép biến đổi Fourier và kết quả đã nhận được trong phần đầu của
Trang 25Chuong 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 147 4 sit) # Yu) 1 1 _^W 2W zo os > =—Z “—Z ì -2nw OO 2nW œ sin 2nWt
a) D6 thi xung s(t) = 8 2rWt b) Đồ thị phổ của xung
Hinh 11.15
Nếu trên hình 11.12 ta thay biến thời gian t bằng biến tan sé o va 1/2 bang o,, sau đó nhân với hệ số tỉ lệ 2x ta sẽ nhận được để thị hàm mật độ phổ:
2rs(u} = 2n7A, -o,, <a <o,,
cha ham thdi gian:
sind xt
of
G(t) = 2A.0,,
Biéu thitc trén nhan dude tw biéu thitc (11.58) khi thay w = t va 1, = 20,
Néu thay c4c hAng sé 2Ao = B, va o,, = 2aW, ta tim dude ham phé cua tin hiệu xung (11.61):
° B xB Om
¥(o) = 2nA = 215 — =" — = Ba khi -2nW < œ< 2nW
On Om 2
Đề thị của hàm phổ Y(@) là hình 11.15b
11.8.4 Phổ của chùm n xung vng có biên độ A, độ rộng t, như nhau và
cách đều nhau một đoạn Tạ
Trang 26148 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
Nếu gọi mật độ phổ của xung thứ nhất là Gi (w) thi mật độ phổ của xung thứ hai là G ;(0) = e1 G ¡(o), của xung thứ ba là G a(o) = e 2T G ¡(0) và xung thứ n là G Ao) = @ Vet G ,(@) Theo tinh chat cộng phổ, ta tìm được mật đổ phổ của chùm n xung:
G()= Gio) + Go(o) + + Ga(o)
= Gio) +e 87 Gy (a) + te Xn=DaT Ôi (w)
= Gi(o)|1 + e yoT e 28T „ + lín- DéT
2kx
Tại các tần số ø = Tr (Œ là các số nguyên) mỗi thành phần trong dấu ngoặc vuông đều bằng 1, do đó:
2kz 2kzx
Glo )=G lê T - nh T ] (11.61)
R ^ a 2k ^ A - + ` ^ 4 4
Vay tai cic tan sé m = “T , môđun mật độ phố của chùm n xung vuông lớn gấp n lần môđun của mật độ phổ của xung vuông đơn Về ý nghĩa vật lý, điều này có thể giải
¬ we Qkn „ ` ` Ty x
thích như sau: Tại các tần số o = 7 các thành phần phổ của mỗi xung trong chùm m xung đồng pha với nhau (sai khác nhau góc 2km)
Ư các tần số ư = và các tần số mà tại đó tổng các véctd e '*T bằng khơng thì mật độ phổ của chùm n xung vuông bằng khơng Cịn tại các tần số khác, môđun của mật độ phổ |G(o)| được xác định bằng tổng hình học (tổng véctở) của mật độ phổ của các xung thành phần
Kết quả trên cũng có thể nhận được theo phương pháp khác, nếu thay tổng các số hạng trong dấu ngoặc vuông của biểu thức phổ bằng tổng của cấp số nhân công bội
q=e”
Áp dụng cơng thức tính tổng của cấp số nhân công bội q:
— U(g"- 1)
q-l a
ta sé tim dude-ham pho G (@) cua chùm n xung vuông:
_ 7 T _ FT -Jjnœ—| ~Jnm— jnw— e 21a 2_e 2
e jnwT -1
Trang 27Chương 11 TÍN HIỆU VÀ.PHỔ CỦA NÓ 149
2km sinne Ủ 0
Tại các tần số œ = xa biêu thức —4 cé dang 3° Ap dung quy tac Lépitan sin— 2 ta tim dude: T ns cos— = bám Omr - ) — COS0 TP 2 T - ` w 2kn » ˆ #n-De -
Vậy tại các tân số ®=—› mật độ phơ G(œ) =nG¡(o)e 2 va médun 1|G(@)| =n|G,(o)l
Trên hình 11.17a vẽ môđun của mật độ phổ của chùm ba xung vuông, cịn trên hình 11.17b vẽ môđun của mật độ phổ của chùm bốn xung vuông với khoảng cách giữa các xung T = ẩt, Qs sy LA ot 2n tị 47 T 1x Hình 11.17
Đường nét đứt trên hình 11.17 biểu thị mật độ phổ của xung vuông đơn Khi số xung n tăng lên, môđun của mật độ phổ bị tách nhỏ ra, và khi số xung n —> œ, mật độ phổ sẽ gồm những vạch tuyến tính, đó chính là phổ của dãy xung vng tuần hồn
11.8.5 Phổ của hàm xung đơn vị õ(t)
Trang 28150 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
thể xem tín hiệu xung đơn vị Š(Œ) là giới han của xung vng (hình 11.12) khi biên đệ cua xung E = 1/1, và độ rộng 1,—> 0
8(t) = œ khit=0 0 khit +0 foc) dt =1
Nếu tín hiệu xung đơn vị được dịch chuyển theo trục thời gian của đoạn tạ để thành tín hiệu õ(t - tạ), khi đó ta sẽ có:
S(t —tp) <1 Fhit=t ° 10 khit et, (11.63) 11.63
[ 8(t - to).dt =1 (11.64)
Tw cdc biéu thitc (11.63), (11.64) dé dang suy ra:
[ Bit - toF(t)dt = (to) [ S(t — ty).dt = (to) (11.65)
Thật vậy, theo định nghĩa hàm ð(t - tạ) sẽ bằng không trên tất cả trục thời gian t, trừ điểm t = tạ, ở đấy nó có giá trị vơ cùng lớn, do đó miền lấy tích phân trên đó có thể thu hẹp vô cùng nhỏ chỉ cần nó có bao điểm tọ Trong khoảng thời gian hẹp vơ cùng, hàm f(t) có giá trị bằng số và bằng f(ta) và do đó có thể đưa ra ngoài dấu tích phân
Vậy tích phân của tích hàm f(t) hất kỳ với hàm &(t - te) trong khoảng từ -œ đến +œ bằng giá trị của hàm f() tại thời điểm t = to, tinh chat nay trong toán học được gọi là tính chất lọc của hàm đenta (hàm xung đơn vì)
Để tìm mật độ phổ của hàm Š(t), có thể sử dụng công thức phổ của xung vuông đơn (11.12) khi thay Á = 1/t, va 1, > 0, khi đó ta có :
sin *
Gs(o) = lim—.1, —2- =1
1 @1/ x
2
Vay mat dé phé Gs(w) cha ham xung dan vi (9 là một số thực và bằng 1 trên toàn bộ dải tần số Trong lý thuyết phổ của tín hiệu, phổ của ham 4(t) goi 14 phé trang
Cũng có thể xác định mật độ phổ của hàm ô(t) theo công thức tổng quát (11.33): Gs(o) = fdct —tạ)e “dt
—®
Trang 29Chương 11 TÍN HIỆU VÀ PHO CUA NO 151
Gs(o) = | ô(t - tạ}e '" dt =e %6 j &(t - ty)dt = e (11.66)
Trong trường hợp tạ= 0, G ;(o) =1
Hàm ơ(t ~ tạ) có thể viết dưới dạng biến đổi ngược Fourier của hàm phổ G ;(œ): fei toda (11.67)
-@
1 Tẻ 1
&(t — tp.) = — | Gs(o}e''dœ¿ = —
( 0 2m J 2n
Năng lượng của tín hiệu xung đơn vị ô(Œ) lớn vô cùng Điều này được giải thích bằng đẳng thức Paxéven (11.57) khi ham phổ G ;(@) = 1, năng lượng của tín hiệu sẽ lớn vô cùng, hoặc năng lượng của tín hiéu õ(Œ) ty lệ với 1/1,, khi t, > O, năng lượng của nó
sẽ võ cùng lớn
Sử dụng quan hệ tương hỗ giữa biến thời gian t và biến tần số œ của phép biến
đổi Fourier, có thể xét đặc tính của hàm &(o):
8(@) = + [eiat zi [ eat 2n 2n (11.68a)
Dễ dàng thấy rằng, việc thay đổi dấu trên số mũ của biểu thức trong dấu tích phân không làm thay đối giá trị của nó
Tương tự ta có:
Sa vo 4 7 o-sa l [ -W@-saw
8(@ — @g) = an J dt = 5 Je dt (11.68b) 11.9 PHO CUA MỘT SỐ HÀM KHÔNG TỒN TAI TICH PHAN FOURIER
Ta đã biết, hàm f(t) c6 bién di Fourier, néu né thoa man diéu kién:
[Ifflt << (11.69)
Điều này có nghĩa là tích phân trên phải hội tụ tuyệt đối
Trong thực tế tổn tại một số hàm tín hiệu khơng thỏa mãn điều kiện (11.69), nhưng tồn tại phổ Fourier Thí dụ các nguồn tác động bậc thang, hoặc tại thời điểm t = 0 đóng mạch nối nguồn tác động hình sin (xem hình 11.18)
Trang 30152 LY THUYET MACH - TIN HIEU
s(t)
4 s(t)
a) Nguồn tác động bac thang b) Nguồn dao động hình sin tác động vào mạch tại thời điểm t = 0 Hình 11.18 Ví dụ, để tìm phổ của tác động bậc thang: 0 khit<0 e(t) = E khit>0 - ta xét phổ của hàm: 0 khit <0
e(t) = Ee -Ct khit>0, vớiC>O -
Dé dang thấy rằng hàm e(t) thỏa mãn điểu kiện (11.69) và mật độ phổ của nó:
Go) = Ef ete dt -—— eter 3 C+jJœ lp ~—= C+jo (11.70)
hay:
` -iaretg®
G(o) = E e = , —9%0<(@<œ (11.70)
œ + œ2
4" ˆ ⁄ E
Với môđun: G(o) = ————— JC? +0? va argument: (@) = arctg
Đồ thị môđun và argument cua hàm phổ G (œ) vẽ trên hình 11.19 (đường nét đứt)
Trong biểu thức (11.70), nếu cho C — 0 ta sẽ nhận được mật độ phổ của hàm bậc
thang:
EE
Trang 31Chương 11, TIN HIEU VA PHO CUA NO 153
E in? O(a) = 2/2 khi o>O
- Ϩ
Gg() = E (11.71)
sp” Ø() = -n/2 khi œ <O
@
Dễ dàng thấy rằng:
lime(t) = limEe “` = E=e(t) C30 C-»0
Dé thi cha médun G;(w) va argument O(a) của mật độ phổ G gío) tính theo cơng thức (11.71) vẽ trên hình 11.19 (đường rét liền)
Cần chú ý rằng khi sử dụng phương pháp thừa số hội tụ để tính phổ Fourier của các hàm không thỏa mãn điều kiện hội tụ tuyệt đối của tích phân, việc chuyển qua giới hạn chỉ được thực hiện đối với kết quả cuối cùng của tích phân
Su dung đặc tính của hàm đenta cho phép mở rộng khái niệm mật độ phổ của các đao động điều hòa, hay các dao động tuần hoàn bất kỳ Thí dụ xác định mật độ phổ của dao động điều hòa s(t) = Ágcos(ogt + œạ) Hàm điều hòa s(t) không thỏa mãn điểu kiện hội tụ tuyệt đổi của tích phần
Ev
i et
Hinh 11.19
Theo công thức tổng quát (11.38), viết biểu thức của mật độ phổ của dao động điều hòa:
G(o) = s@)e “at = Áo | cos(oạt + pe dt
—œ œ
Sử dụng công thức Euler, tích phân trên có thể viết đưới dạng:
Glo) = Abo give few orat + Ag ca feverorde
2 —m 2 ~œ
Trang 32154 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
Jet mat = 2n8(o — 0) —œ®
[nhát = 2mỗ(@ + @p)
—œ
do dé:
A -}
Glo) = Eme”"°8(o —eg) + 2ne MB(o + 09)| (11.72)
Agrle™ &(@ — @,) + e 9B(œ + ®;]|
Hàm mật độ phổ G (œ) (11.72) bang O tại tất cả các tần số, trừ tần số œ = œạ và @ = -@o, tai day nó có giá trị vơ cùng lớn Vậy dao động điều hòa tần số ø¿ biên độ hữu hạn có mật độ phổ bằng vô cùng tại các tần số øạ và -oœạ, trong trường hợp riêng khi
= 0, ta nhận được tín hiệu hằng số:
G (0) = Ao2n8(0) (11.73)
Tương tự, có thể biểu diễn mật độ phổ của dao động tuần hoàn bất kỳ: s(t)= À + » A, cos(kaw,t + 4, )
ket
dưới dạng tổng của các hàm đenta:
Glo) = 21A gồ(@) + A, nei S(@ -@,) +e 5 +0, )
+A „ma: 5(@ ~ 20,) +e 5(@ + 2a,)| +
(11.74) + Arle &(m -nw,) + e §(œ + no, ) +
11.10 PHAN TÍCH TÍN HIỆU THÀNH CHUỖI KACHENNHIKƠV
Xét tín hiệu khơng tuần hồn:
_ 1 Tẻ -jet
s(t) = 2x | Hore dt
trong đó G (ø) là mật độ phổ của hàm s(t) Giả sử hàm phổ G (@) là giới nội, nghĩa là nó sẽ bằng không khi ø > @) và khi œ < —ø@ạ, khi đó tích phân trên sẽ biến thành:
1 ‘Pe
s(t) = — ("at (11.75)
2n “iy
Trang 33Chương 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 155
jk
G(w) = tA e 2o (11.76)
2
Các bién dé pbhtic Ay trong chuối (11.76) được xác định theo công thức tương ứng (11.24) nhưng biến thời gian t được thay bằng biến tần số œ:
~jk 2% Ay = 2 f&(ore 2 deo hay: Ax “IAL dy (11.77) , 1 1 trong đó: A.= = oF (11.78) qa
Nếu trong biểu thức (11.78), thực hiện thay đối số t = kA, và so sánh với biểu thức
(11.77), ta sẽ nhận được:
2ns(-kA,) =o, Ax hay:
Av= (—kA,) = 2A,s(-kA,) (11.79)
@ E
Thay giá trị của Av từ biểu thức (11.78) vào biểu thức (11.76) ta có:
II " 1 %œ ø G(o) 5 Pt ka el - (11.80) A » s(A,)e *⁄â® k=
Nếu trong biểu thức (11.75), thay hàmG (o) bằng biểu thức (11.80), ta nhận được:
s(t) = — fad S` s(kA, Tang
Toe k= -00
» AL J (cA, el" do
kane 27 (11.81)
SẺ sŒkA, y Ay sino, sinw c(t — kA,)
rò
=
vế 1 t- kA,
_ Ñ” s(kA,) sing,(t — kA,)
Trang 34156 LÝ THUYẾT MẠCH - TÍN HIỆU
Từ biểu thức (11.81) ta thấy, nếu tín hiệu s(t) có phổ hữu hạn, thì có thể phân tích nó thành chuỗi (11.9) theo hệ hàm:
siny, _ sinw,(t - kA,)
ott) (11.82)
Chuỗi (11.81) được gọi là chuỗi Kachennhikov của tín hiéu s(t)
Trên hình 11.20 vẽ đồ thị thời gian của các hàm ¢,(t) trong (11.82) Dé dang thấy rằng, hệ hàm (1182) là hệ hàm trực giao chuẩn hóa Tại các thời điểm
2 oy
tk” =2kA, = k= ham @,(t) = 0, va tai cdc thai diém t = ko ham o,(t) = 1 Do dé
® e
+ z ` -2 1 xe age + ^ ` N + + N » z
tại các thai diém t,= on chuéi (11.81) chỉ tôn tại một thành phần có giá trị bằng giá
¢
trị tức thời của hàm s() tại thời điểm đó
Như vậy nếu tín hiệu s(t) không chứa các thành phần tần số lớn hơn tần số f„ , thì nó hồn toàn được xác định bởi các giá trị tức thời rời rạc của nó tại các thời điểm
; 1 1
ach nh ột kh không lớn hơn ————| À; < các au mo oang A, khơng 2 =Í ta Eons
dinh ly Kachennhikov, hay định lý về sự rời rạc hóa tín hiệu
Định lý Kachennhikov do nhà bác học vĩ đại Kachennhikov người Nga - Viện sĩ viện hàn lâm khoa học Liên xô (trước đây) tìm ra có một ý nghĩa rất lớn trong kỹ thuật } Kết luận trên được gọi là
thông tin hiện đại Nó mở ra khả năng phát triển thông tin số, cũng như khả năng truyền trên một đôi dây thông tin đồng thời nhiều kênh thông tin khác nhau Vì theo định lý để truyền tín hiệu liên tục sŒ) (hình 11.21), ta khơng cần truyền tất cả các giá trị của nó tại mọi thời điểm, mà chỉ cần truyền đi các giá trị rời rạc của nó tại các thời (hình 11.22) Khi đó phía sau thu tin, từ các
điểm cách nhau một khoảng A, <
max
Trang 35Chuong 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 157 s(t) Hình T1.21 SKA, wll 0 \ 2A, Hình 11.22
11.11 PHÂN TÍCH TÍNH CHẤT TƯƠNG QUAN CUA TIN HIEU
Đối với các tín hiệu xác định, ngồi đặc tính tần số (phổ Fourier), trong thực tế còn quan tâm đến đặc tính thời gian của nó Hàm tương quan của tín hiệu đặc trưng cho tốc độ thay đối theo thời gian của tín hiệu đó
Hàm tương quan của tín hiệu xác định s(t) độ rộng hữu bạn, ký biệu là w(), được xác định bởi biểu thức:
)= fest — tat (11.83)
trong đó + là khoảng dịch chuyển của tin hiéu s(t) theo truc thai gian
Biểu thức (11.83) cho thấy hàm tương quan w(+) đặc trưng cho mối tương quan điên hệ) của tín biệu sŒ) khi bị dịch chuyển đi một khoảng t theo trục thời gian với chính tín hiệu s(t) ban dau
Hàm tương quan y(t) dat gid tri cuc dai khi r = 0, vì tín hiệu bất kỳ hoàn toàn tương quan với chính nó Khi t = 0, ta có:
la) = [s*(t)dt =W (11.84)
Trang 36158 LY THUYET MACH - TIN HIEU Khi khoảng dịch chuyển t tăng lên, ham tuong quan y(t) giam va khi gia tri t
tăng lớn hơn độ rộng của tin hiéu, ham tuong quan y(t) = 0
Trên hình 11.23 mơ tả cách xây dựng hàm tương quan w(t) của tín hiệu xung vuông với độ rộng t; - tị; trên hình 11.23a vẽ đồ thị của xung vng s(t); trên hình 11.28b vẽ đồ thị của xung sau khi đã dịch chuyển đi một khoảng r theo trục thời gian; trên hình 11.23c vẽ đồ thị tích của tín hiệu s(£) s(t — 0; con trén hình 11.23d đồ thị của hàm tương quan w)
Tương tự, trên hình 11.24 mô ta cách xây dựng hàm tương quan y(t) cua tín hiệu xung tam giác
Việc chuyển dịch tín hiệu s(t) một khoảng t theo trục thời gian có thể thực hiện về phía bên phải, hoặc bên trái của tín hiệu đã cho Do đó biểu thức (11.83) cũng có thể viết dưới đạng:
y(t) = | s(t)s(t + t)dt (11.85)
—=%®œ
nghĩa là hàm tương quan \/(+) là một hàm chẳn của đối số t
Trên hình 11.25a vẽ đồ thị thời gian của tín hiệu s(t) là một chùm bốn xung vuông độ rộng t„, các xung cách đều nhau một đoạn T và trên hình 11.2ãb vẽ dé thị hàm tương quan y(t) cua nó
Vì năng lượng của tín hiệu tuân hồn lớn vơ cùng, nên đối với tín hiệu tuần hồn khơng thể xác định hàm tương quan theo các biểu thức (11.83), hoặc (11.85) Trong trường hợp này hàm tương quan được xác định theo biểu thức:
T2
welt) = lim 5 Í=(©sœ - pat
Trang 37Chương I1 TÍN HIEU VA PHO CUA NO 189 a) 0 > 1 Tx { ty b ) 4W ! | -3T -2T -T ty 0 1 t Hình 11.25
Hàm tương quan của tín hiệu tuần hồn w+(t) có thứ nguyên là công suất, và
(0) bằng cơng suất trung bình của tín hiệu tuần hồn Đối với tín hiệu tuần hồn,
giá trị trung bình của tích s(t).s(t — +) trong khoảng thời gian vô cùng lớn T, bang giá trị
trung bình trong một chu kỳ Tọ, do đó biểu thức (11.86) có thể viết:
Tạ!2 Tạ/2
w;(Ị = + ̓sđŒ - 1)dt = i ƒs(Ðs( + t)dt (11.87)
To -Tg/2 Tor
Biểu thức tích phân (11.87) chính là hàm tương quan của tín hiệu trong khoang Tụ
Tạ/2 Tạ/2
Wr, (t) = [sttstt - Dat = jse@sΠ+ t)dt
Ty/2 -Ty /2
do dé:
W+(®) = v„G) Ty (11.88)
Từ biểu thức (11.88) đễ dàng thấy rằng, hàm tương quan của tín hiệu tuần hoàn cũng là một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng chu kỳ của tín hiệu Thí dụ, đơi với tín hiệu tuần hồn:
Trang 38160 LY THUYET MACH - TIN HIEU
9 Ty/2
yr(t) =.— [cos(aot - @osloa(t —T)- ot = TẠ2 €OS(ĐoT; @®ọ = 2n (11.89)
Ty -Ty/2 2 To
2
Khi t= 0, y,(0) = $ là cơng suất trung bình của tín hiệu
Cũng cần nhấn mạnh rằng hàm tương quan w/;(+) không phụ thuộc vào góc pha đầu cta tin hiéu s(t)
Tương tự, để đánh giá mối liên hệ của hai tín hiệu khac nhau s,(t) va s,(t), ngudi ta sử dụng hàm tương quan chéo Hàm tương quan chéo của hai tín hiệu s,(t) va s,(t),
ký hiệu là w¡;(+), được xác định bởi biểu thức:
wuzC = Ị s,(t)s,(t - t)dt = | s(t + t)s;Œ)dt (11.90)
Hàm tương quan y(t) 1A trudng hap riéng cha ham tudng quan chéo khi s,(t) va s,(t) 14 nhu nhau
Trang 39Chuong 11 TIN HIEU VA PHO CUA NO 161
C4n lwu y rang, hàm tương quan chéo w,„(+) không nhất thiết đạt giá trị cực đại
tai t= 0, va cing không nhất thiết là hàm chẵn hoặc hàm lẻ theo đối số 1
Xét hàm tương quan chéo của hai tín hiệu điều hòa cùng tần số và gốc pha đầu khác nhau:
s,(t) = A,cos (wt — @¡) s,(t) = A,cos (wt — @¡)
Sau khi thay cac ham s,(t) va s,(t) vao biéu thite (11.90), lấy tích phân ta nhận được:
AyAy cos [pz- (py — Pe )] (11.91)
Wy2(t) =
R6 ràng hàm tương quan chéo của bai tín hiệu điều hịa cùng tần số phụ thuộc vào hiệu hai góc pha đầu của chúng Trong trường hợp tần số của một tín hiệu, thí dụ
¬- UY cu ra 2 ơô
s() l bi số của tan số của tín hiệu s¡(), (0y = an @, = no, = n(n =1,2,3, ) thi hai
1 1
tín hiệu là trực giao nhau và tích phân (11.90) bằng O, nghĩa là bàm tương quan chéo
Wy2(t) =0
11.12 QUAN HE GIUA HAM TUONG QUAN VA DAC TRUNG PHO CUA TÍN HIỆU
Trong biểu thức (11.51), nếu thay f(t) = s(t), g(t) = s(t — 1), ta sẽ nhận được:
Ỉ f(t)g(t)dt = Ị s(t)a (t ~ t)dt
—
Tích phân bên vế phải chính là hàm tương quan của tín hiệu sŒ), do đó:
wr) = Ís(t)s(t - dat = a [G(@)G:@)de ` 2m aa (11.92)
trong đồ G (œ) là hàm phổ của tín hiệu s(t); G.(o) 1a ham phé cua tin hiéu f(t) sau khi bi giữ chậm một khoảng thời gian t: (Gil) = Glo)e™*; G.(a) là hàm liên hợp phức của hàm (G:(œ};(Gÿ @) =G’" (w)e**)
Nếu trong biểu thức (11.92), thay G¿()=G”(o)eÌ°' và lưu ý rằng: 2
G(o)G (œ) = Glo) , ta sẽ nhận được:
2 1 TA = JOT 93 w(t) xd G(œ)| e”? do (11.93)
Trang 40162 LY THUYET MACH - TIN HIEU
2 wo
Go] ‘= [v@e*"at (11.94)
Vay binh phuong médun ham phé cha tín hiệu băng biến déi thuan Fourier ham tương quan của nó; hàm tương quan của tín hiệu bằng biến đổi ngược Fourier của bình phương mơđun hàm phổ của nó
Từ các kết qua nhận được, dé dang suy ra rằng bề rộng phổ của tín hiệu càng lớn, thời gian tương quan của tín hiệu càng nhỏ
11.13 KHÁI NIỆM VỀ DAO ĐỘNG CAO TẦN BỊ ĐIỀU CHẾ
Một trong những nhiệm vụ cơ bản của kỹ thuật vô tuyến điện là truyền tin tức di xa qua không gian tự do Như ta đã biết, các tin tức cần truyền đi thường có phổ nằm trong dải tần số thấp nên không thể truyền trực tiếp đi xa được do có độ suy giảm lớn trên đường truyền và do nhiều nguyên nhân kỹ thuật khác Ví dụ đối với tiếng nói, âm nhạc, thường có phổ tần nằm trong đãi tần f„ = (30 + 50) Hz đến f„„ = (3000 + 10000) Hz
Do đó, để truyền tin tức đi xa người ta phải cho bàm tin tức tác động (xâm nhập) vào các đao động điều hòa tần số cao, làm cho một hoặc một số tham số của dao động điều hòa (biên độ, tần số, góc pha) biến thiên theo quy luật của hàm tin tức
Quá trình tác động của hàm tin tức vào dao động tần số cao làm cho một hoặc một số tham số của nó biến thiên theo quy luật ham tin tức được gọi là quá trình điều chế Dao động tần số cao có tham số biến thiên theo quy luật hàm tìn tức gọi là dao động bị điều chế hay tín hiệu điều chế Dao động tần số cao có tham số khơng đổi gọi là dao động tải tin, hay đao động tần số mang Tần số mang øœạ¿ được chọn tùy thuộc vào cu ly truyền tin, điểu kiện truyền lan sóng điện từ, và nhiều yếu tố khác Song trong mọi trường hợp, tần số mang øạ cần chọn lớn hơn rất nhiều lần tần số cao nhất của phể tin tức Điều này sẽ đảm bảo cho việc truyền tín hiệu qua các mạch vô tuyến điện không bị méo dạng Mặt khác, để loại trừ khả năng gây méo dạng tín hiệu trong quá trình truyền lan của sóng điện từ, cần chọn tần số mang oạ sao cho bề rộng phổ của tin tức nhỏ hơn tần số mang
Trong trường hợp chung, dao động cao tần bị điều chế (tín hiệu điều chế) có thể viết dưới dạng:
u = U(t)cos [aot + @(Œ)] = Ult)cos Dit) (11.85) trong đó biên độ Ủ(t) hoặc góc pha 9(t) biến thiên theo quy luật hàm điều chế (hàm tin tức)
Nếu biên độ UŒ) = Ù và góc o(t) = 9 1A hằng số, thì đao dộng (11.95) là dao động điều hòa đơn giản (dao động tần số mang)
Nếu biên độ U@) biến thiên theo quy luật hàm điều chế góc pha @() là hằng số,